初中数学中的二次函数与解题技巧

初中数学二次函数解析式的解题方法和技巧

摘要：函数是数学解决实际问题的重要工具，初中的二次函数是初中数学的重要知识点，通过二次函数及函数图像，能够将各类数学问题将更加形象和直观测呈现在学生脑海中，这极大的提高了学生对问题的理解、解析和解答。本文将结合二次函数相关的知识点、运用、难易点做出自己有益的分析。

关键词：初中数学；二次函数解析式；解题方法和技巧

初中数学不同于小学数学，初中数学的知识体量大，而且各类知识点已完全精简化，许多概念对于部分学生而言过于抽象。二次函数是高度概括的，如何让学生领悟透彻，函数与函数图像相结合，将数形结合作为切入点，无疑是最好的选择。如何将数形结合的思维常态化，让学生能够自行融合二次函数与相对应的函数图像。在新课改后，学生是否有效利用各类知识点，才是教师授课及考核的关键[1]。

一、二次函数的相关概念

函数都是由代数式组成，在几何含义上的函数实在xy轴系上存在一定的图形意义。例如y=aX2+bx+c,这是函数，所在二位轴系上呈现的是抛物线形状。当令y=0时，即aX2+bx+c=0，这就是一元二次方程，此方程的解在函数图像上就是抛物线与X轴相交的点，即解为 。由此可看出方程重在表述数与数的关系，而函数则是自变量对因变量影响。函数图像呈现的是代数问题几何化，是将数字在空间中立体表现，是将数与数之间的逻辑关系在坐标图上轨迹化，方程则是特定的数值在函数图像上的一两个特定的点。由此方程与函数图像相结合具有天然性的共通。在学习函数和函数图像时，将相关问题图像化；在研究函数图像时，则将函数图像代数化。这样的数形结合有利于快速打开学生的解题思路，更利于培养学生数形结合的学习思维[2]。 二、二次函数解析式的解题方法和技巧

1，一般式的解法

函数知识在初中主要二次函数，这也是解决许多实际问题的基础。解析式作为二次函数较为重要的表达形式[2]，尤其是一般式的解答，可将函数图像引入，结合对应的方程，这利于将抽象的概念具体化。例如，鸡羊同在一笼，总计44只，一共由100只腿。请问鸡有多少只，羊又有多少只？根据题目，我们做出如下解答：设鸡有x只，羊有y只；则x+y=44，2x+4y=100，将两个等式转化为对应函数，则y=44-x，y=25- x，通过这两个函数，我们便可在xy的数轴上做出两条直线函数图像，两条直线的交汇点（x，y）值为（38，6）。通过这个过程我们可发现，函数图像精确的表述了有关问题的解，更直观的将数理问题呈现在学生面前。

方老师数学课堂二次函数压轴题

方老师数学课堂今天为大家带来二次函数压轴题的解析。二次函数是数学中的重要内容，其在初中数学试卷的压轴题中频繁出现，因此掌握二次函数的解题技巧对于提高数学成绩至关重要。

首先，我们来了解一下二次函数的概念。一般地，如果y=ax+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），那么y就称为x的二次函数。二次函数在数学领域具有广泛的应用，其图像为抛物线，具有很多特性，如顶点、对称轴、开口方向等。

接下来，我们探讨一下二次函数压轴题的解题方法。一般来说，二次函数压轴题涉及的知识点较为复杂，包括一次函数、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、勾股定理、一元二次方程等，甚至有时还会与圆相结合。在解题时，我们需要运用数形结合、将军饮马、胡不归、作圆法、二倍角等多种方法。

针对带动点的二次函数解题技巧，我们需要注意以下几点：

1.转化思维：将二次函数问题转化为一元二次方程问题，通过求解方程得到答案。

2.利用配方法：将二次函数的一般式转化为顶点式，从而简化问题。

3.判断图像位置：根据抛物线的开口方向和顶点位置，判断二次函数的性质。

4.结合图形：充分利用数形结合的方法，直观地解决问题。

5.熟练掌握解题方法：多做练习，熟练掌握各种解题方法，提高解题速度。

此外，二次函数与正方形的关系也是中考数学的热点。正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，且四条边相等、四个角为直角。正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线都能平分一组对角。正方形还是轴对称图形，具有4条对称轴。

为了帮助大家更好地掌握二次函数知识，我们精选了15道二次函数压轴题，并附有详细解析。建议大家打印出来好好练习，巩固所学知识。

总之，二次函数作为中考数学的重要知识点，我们需要重视并熟练掌握。通过多做题、总结方法，相信大家一定能攻克这一难题，笑傲中考赛场。

中考压轴题-

二次函数综合

（八大题型+

解题方法）

1、求证“两线段相等”的问题：

借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；

然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距

离公式或点到x轴y轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行

化简,即可证得两线段相等;

2、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：

由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个

端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y轴的线段长度计

算公式-yy

下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的

性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;

3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：

先用点斜式或称K点法求出过已知点,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,

最后用中点坐标公式即可;

4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：

方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线

与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字

母y消掉,得到一个关于x的的一元二次方程,由题有△=2

b

-4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交

点,所以2

b

-4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出

x、y的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离;

方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,

再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;

方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点

中考初中数学一轮复习专题导引40讲

第15讲 二次函数的应用

☞考点解读：

知 识 点 名师点晴

二次函数的应用 1.实际背景下二次函数的关系 会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。

2.将实际问题转化为数学中二次函数问题 会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。

3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路 （1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。

☞考点解析：

考点1：二次函数与几何的综合运用。

基础知识归纳： 求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。

基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。

注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。

【例1】（湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；

（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式，k相等则两直线平行； （3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，

①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；