初等数论复习资料

初等数论

一、计算题

求解不定方程9x +21y =144.

解：因为（9，21）=3，3，所以有解；

化简得3x +7y =48；

考虑3x +7y =1，有x =-2, y =1，

所以原方程的特解为x =-96, y =48，

因此，所求的解是x =-96+7t , y =48-3t , t ∈Z 。

求不定方程x  2y  3z = 41的所有正整数解。

解：分别解x  2y = t

t  3z = 41

得 x = t  2u

y = u uZ，

t = 41  3v

z = v vZ，

消去t得 x = 41  3v  2u

y = u

z = v u，vZ。

由此得原方程的全部正整数解为

(x, y, z) = (41  3v  2u, u, v)，u > 0，v > 0，41  3v  2u > 0。

求[136,221,391]=?

设n的十进制表示是zxy4513，若792n，求x，y，z。

解：因为792 = 8911，故792n  8n，9n及11n。

我们有8n  8z45  z = 6，以及

9n  91  3  x  y  4  5  z = 19  x  y  9x  y  1， (1)

11n  11z  5  4  y  x  3  1 = 3  y  x  113  y  x。 (2)

由于0  x, y  9，所以由式(1)与式(2)分别得出

x  y  1 = 9或18，

3  y  x = 0或11。

这样得到四个方程组：bxyayx31

已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.

解：a=12b +26, a +b +12+26=454, 12b +26+b +12+26=454,

(12+1) b =454-12-26-26=390, b =30, 被除数a =12b +26=360+26=386.

从5, 6, 7, 8, 9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数，它能

同时被3, 5, 7整除，那么这些四位数中最大的一个是多少？

解：被5整除，个数必为5，5+6+7+8=26,

5+6+7+9=27 ,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除，故选出的四个不同的数字是5, 6, 7,9,但不同排序有9765,9675,7965,7695,6975,6795,

在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加1，继续这样操作下去，最后得到三个数为35，47，83．问原来所写的三个数能否是2，4，6?

解：不能．因为原来所写的三个数若是2，4，6，每次操作后剩下的三个数是两偶一奇．

甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤?

解：设买甲物x斤，乙物y斤，丙物z斤，则5x  3y 31z = 100，

x  y  z = 100。

消去z，得到 7x  4y = 100。

(1)显然x = 0，y = 25是方程(1)的解，因此，方程(1)的一般解是

tytx7254 ， tZ

因为x＞0，y＞0，所以 0＜t  3。

即t可以取值t1 = 1，t2 = 2，t3 = 3。相应的x，y，z的值是

(x, y, z) = (4, 18, 78)，(8, 11, 81)，(12, 4, 84)。

将1-—99这99个自然数依次写成一排，得一多位数A ＝1 2 3 4 5 6 7 8 9

1011…97 98 99，求A 除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余数分别是多少?

解：由数的整除特征，2和5 看末位，∴ A除以2余1，A 除以5余4；4和25 看末两位，∴ A除以4余3，A 除以25余24；8和125看末三位，∴ A除以8余3，且除以125余24；3和9看各位数字的和，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，A 所有数字的和等于450, ∴ A除以3和9都余0，A 除以11的余数利用定理1. 4, 计算奇数位数字之和－A 的偶数位数字之和．奇数位数字之和1+3+5+7+9+(0+1+…+9) ×9，偶数位数字之和2+4+6+8+(1+2+…+9) ×10，两者之差为－40，原数除以11的余数就是－40除以11的余数：4.

四位数7x 2y 能同时被2，3，5整除，求这样的四位数．

解：同时被2，5整除，个位为0，再考虑被3整除，有4个：7020，7320，7620，7920．

证明题

证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.

证明：因为133)1(233nnnn,

所以只需证明1332nn)5(mod.

而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,

所以这只需将n=0,±1,±2代入1332nn分别得值1，7，1，19，7.

对于模5, 1332nn的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,

所以1332nn)5(mod

所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。

证明形如4n -1的整数不能写成两个平方数的和.

证明 设n 是正数, 并且n ≡-1

22n =x +y

则因为对于模4, x , y 只与0,1,2,-1等同余,

22x , y 所以只能与0,1同余,

所以

x 2+y 2≡0, 1, 2

这与n ≡-1的假设不符

即定理的结论成立.

试证对任何实数x,恒有〔x〕+〔x+21〕=〔2x〕

证明：设x=[x]+α,0≤α<1

①当0≤α< 21时, [x +21]=[x], [2x]=2[x] ∴等式成立

②当21≤α< 1时, [x +21]=[x]+1, [2x]=2[x]+1 ∴等式成立

故对任何实数x,恒有[x]+[x+21]=[2x]。

证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数

证明: 设相邻两个偶数分别为2n，(2n+2）

所以2n(2n+2）=4n(n+1)

而且两整数的乘积是2的倍

即4n(n+1)是8的倍

证明：(1) 当n ∈Z 且n =9q +r (0≤r <9) 时，r 只可能是0,1,8;

证：把n 按被9除的余数分类，即：若n=3k, k∈Z ，则n =27k , r=0；

若n=3k +1, k∈Z ，则n =(3k ) +3(3k ) +3(3k ) +1=9k (3k +3k +1) +1,r=1；

若n=3k－1, k∈Z ，则n =(3k ) -3(3k ) +3(3k ) -1=9(3k -3k +k -1) +8,r=8.

n 3n 2n -+的值是整数。 (2) 当 n ∈Z 时，326

n 3n 2n 2n 3-3n 2+n 32-+=证 因为，只需证明分子2n -3n +n 是6的倍数。

3266

2n 3-3n 2+n =n (2n 2-3n +1) =(n -1) n (2n -1)

=(n -1) n (n -2+n +1) =n (n -1)(n -2) +(n -1) n (n +1) .

由k ! 必整除k 个连续整数知：6 |n (n -1)(n -2) ,6 |(n -1) n (n +1) .

或证：2!|(n -1) n , (n -1) n 必为偶数. 故只需证3|(n -1) n (2n -1) .

若3|n, 显然3|(n -1) n (2n -1) ；若n 为3k +1, k ∈Z ，则n －1是3的倍数，得知

(n -1) n (2n -1) 为3的倍数；若n 为3k －1, k ∈Z ，则2n －1=2(3k－1) －1=6k-3, 2n －1是3的倍数.

综上所述，(n -1) n (2n -1) 必是6的倍数, 故命题得证

证明：若质数p>2，则2P-1的质因数一定是2pk+1形。

证明：设q是2p-1的质因数，由于2p-1为奇数，

∴ q≠2，（2，q）=1。

由条件q|2p-1,即2p≡1（mod q）。

设h是使得2x≡1（mod q）成立最小正整数，若1

∴ 2p|q-1，q-1=2pk, 即q=2pk+1 k∈Z。