《初等数论》复习资料

10 级数学与应用数学专业《初等数论》复习

一、填空题（每题3分，共60分）

1. 试写出8除以（—5）的商、余数、表达式

2.

最小的合数是

3. n是整数，则),0(n=

4. cba,,是任意三个非0整数，q是整数，cbqa，则),(),(cbba与的关系是

5. 今天是星期一，过101010天是星期

6. ba,是不全为0的整数，则)),(,),((babbaa＝

7. ba,是整数，则)(],[baba，＝

8. 两整数ba,互质的充要条件是存在两个整数ts,，使得

9. 任意大于1的整数a，其标准分解式为

10.

费马数形如

11. ]23[＝

12. 50以内的质数是

13. )(modmba充分必要条件是m是的因数。

14. 1),(,)(mod11mdmdbda，则mba,,11的关系是

15. a8793267与13的关系是

16. 模10的一个完全剩余系是

17. 模10的一个剩余类是

18. 1x是模3的简化剩余系，2x是模4的简化剩余系，则1243xx关于模12的简化剩余系是 19. 最简真分数ab是混循环小数的条件是

20. p是素数，则)(p＝

二、计算题（每题6分，共30分）

21. 求20！的标准分解式；

22. 求535625的标准分解式；

23. 求(50)

三、应用题（10分）

1. （中国古代问题）二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数。

2. 解同余方程 433157961910(mod225)xxx

3. 证明：（1）整数b分别除2310,10,10,,10,n，必有相同的余数；

（2）若(10,)1b，则 ab是纯循环小数。

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初等数论学习总结

本课程只介绍初等数论的的基本内容。由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系， 因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。

最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。

数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。

初等数论自学安排

第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时

整除的定义、带余数除法

最大公因数和辗转相除法

整除的进一步性质和最小公倍数

素数、算术基本定理

[x]和{x}的性质及其在数论中的应用

习题要求3p：2，3 ； 8p：4 ；12p：1；17p：1，2，5；20p：1。

第二章：不定方程（4学时）自学12学时

二元一次不定方程cbyax

多元一次不定方程cxaxaxann2211

勾股数

费尔马大定理。

习题要求29p：1，2，4；31p：2，3。 2

第三章：同余（4学时）自学12学时

同余的定义、性质

剩余类和完全剩余系

欧拉函数、简化剩余系

欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用

习题要求43p：2，6；46p：1；49p：2，3；53p 1，2。

第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时

同余方程概念

孙子定理

高次同余方程的解数和解法

素数模的同余方程

初等数论练习题答案

信阳职业技术学院

2010年12月

初等数论练习题一 一、填空题

1、d(2420)=12;

(2420)880_

2、设是大于1的整数，若1是质数，则2.

3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.

4、同余方程912≡0( 37)的解是x≡11( 37)。

5、不定方程的通解是900+23t，700+18t tZ。.

6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_(m)_。

7、18100被172除的余数是_256。

8、10365 1。

9、若p是素数，则同余方程x p 1 1( p)的解数为 1 。

二、计算题

1、解同余方程：3x211x20 0 ( 105)。

解：因105 = 357，

同余方程3x211x20 0 ( 3)的解为x 1 ( 3)，

同余方程3x211x38 0 ( 5)的解为x 0，3 ( 5)，

同余方程3x211x20 0 ( 7)的解为x 2，6 ( 7)，

故原同余方程有4解。

作同余方程组：x b1 ( 3)，x b2 ( 5)，x b3 ( 7)，

其中b1 = 1，b2 = 0，3，b3 = 2，6，

由孙子定理得原同余方程的解为x 13，55，58，100 ( 105)。

2、判断同余方程x2≡42( 107)是否有解？ 11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(••）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：

故同余方程x2≡42( 107)有解。

3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

解：易知1271≡50（ 111）。

由502 ≡58（ 111）, 503 ≡58×50≡14（ 111），509≡143≡80（ 111）知5028 ≡（509）3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70（ 111）

初等数论书籍

以下是一些初等数论书籍的推荐：

1. 《初等数论》（陈纪修著）：这本书是一本经典的初等数论教材，已经出版了多个版本，讲述了数论的基本知识和方法，适合有一定数学基础的读者阅读。

2. 《具体数学》（高德纳、萨克斯、斯通著）：这本书结合了数论、组合数学和计算机科学的理论和实践，详细介绍了各种计数方法和算法，对于初学者来说可能有些难度，但阅读后一定会受益匪浅。

3. 《数学桥》（彼得·肯尼斯著）：这是一本关于数学思维和数学思想的读物，其中包括了数论、代数和几何等多个领域的讨论，让读者能够深入了解数学思维的本质。

4. 《初等数论及其应用》（肖臻著）：这本书涵盖了数论基本概念、素数分布、同余方程、二次剩余等多个方面，不仅适合初学者学习，也适合学术人员作为参考资料。

5. 《数论导引》（约瑟夫·希尔伯特、瑞姆安·希尔伯特著）：这本书讲述了数论的基本原理和方法，以及一些在数论中的重要问题，是一本值得一读的经典著作。