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六、数列(必修五)

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六、数列1（2011西城一模理14）.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n n n n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，, 当111a =时，100a =__62____；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为__1或5____.2(2011西城一模文14). 已知数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为其前n 项和，对于1,2,3,n = ，有1135,2n n n n n n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,， 当53=a 时，1a 的最小值为___5___；当11=a 时，1220S S S +++= ___910___.3（2011东城一模理2）已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于（B ）（A ）40 （B ）42（C ）43 （D ）454（2011东城一模理14）已知数列{}n a 满足：11a =，22a =，33a =，44a =，55a =，且当n ≥5时，1121n na a a a +=- ，若数列{}nb 满足对任意*N n ∈，有2221212n n n b a a a a a a =---- ，则b 5=65 ；当n ≥5时， =n b n -70 ． 5（2011东城一模文10）在等差数列{}n a 中，若1232,13a a a =+=，则456a a a ++= 42 ．6（2011朝阳一模理4）已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是 （D ）（A ）511 （B ） 1023 （C ）1533 （D ）30697（2011丰台一模理4）．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，14a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =(C)(A) 3或-1 (B) 3或1 (C) 3 (D) 18(2011海淀一模理2)．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S CA ．10B ．16C ．20D ．249(2011门头沟一模理2)．等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于（A ）7 （B ）3.5 （C ）14 （D ）2810（2011石景山一模理3）．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ）A ．72B ．68C ．54D ．9011（2011石景山一模理14）．函数)0(2>=x x y 的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，n N *∈，若161=a ，则=+53a a 5 ，数列{}n a 的通项公式为 52n - ．12(2011朝阳一模文4). 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和，若13a =，24144a a =，则5S 的值是（C ）（A ）692 （B ） 69 （C ）93 （D ）18913(2011丰台文10)．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2=1，S 5=10，则S 7= 21 ． 14(2011门头沟一模文3).等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于A. 7 B . 14 C. 28 D. 3.515(2011石景山一模文3)．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ）A ．54B ．68C ．90D ．7216(2011石景山一模文14)．函数)0(2>=x x y 的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，n N *∈，若161=a ，则=+53a a 5 ，数列{}n a 的通项公式为 52n - ．解答1（2011西城一模文17）. （本小题满分13分）已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且12323a a a +=.（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2，公差为q 的等差数列，其前n 项和为n T . 当2n ≥时，试比较n b 与n T 的大小.解：（Ⅰ）由已知可得211123a a q a q +=，……………………2分因为{}n a 是等比数列，所以23210q q --=.……………………3分解得1q =或13q =-.……………………5分（Ⅱ）①当1q =时，1n b n =+，232n n nT +=，……………………7分所以，当2n ≥时，2202n n n n T b +--=>.即当1q =时，(2)n n T b n >≥.……………………8分 ②当13q =-时，72(1)()33n nb n 1-=+--=，……………………9分2132(1)()236n n n n T n n 1-=+--=，……………………10分(1)(14)6n n n n T b ---=-，……………………12分所以，当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，n n T b >.……………………13分综上，当1q =时，(2)n n T b n >≥.当13q =-时，若14n >，n n T b <；若14n =，n n T b =；若214n ≤<，n n T b >.2（2011朝阳一模理20）．（本小题满分14分）有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a (,1,2,3,,,m k n n = ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列．（Ⅰ）证明1122m d p d p d =+ （3m n ≤≤，12,p p 是m 的多项式），并求12p p +的值； （Ⅱ）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d (每组数的个数构成等差数列)．设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m cm d 的前n 项和n S ．（Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式 1(6)50n n S d ->成立的所有N 的值． 解：（Ⅰ）由题意知1(1)mn m a n d =+-．212121[1(1)][1(1)](1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--，同理，3232(1)()n n a a n d d -=--，4343(1)()n n a a n d d -=--，…，(1)1(1)()n n n n n n a a n d d ---=--． 又因为123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列，所以2132(1)n n n n nn n n a a a a a a --=-==- . 故21321n n d d d d d d --=-==- ，即{}n d 是公差为21d d -的等差数列．所以，12112(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-．令122,1p m p m =-=-，则1122m d p d p d =+，此时121p p +=． …………4分 （Ⅱ）当121, 3d d ==时，*2 1 ()m d m m =-∈N ．数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d ．按分组规律，第m 组中有21m -个奇数，所以第1组到第m 组共有2135(21)m m ++++-= 个奇数．注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k ++++-= ，所以前2m 个奇数的和为224()m m =.即前m 组中所有数之和为4m ，所以44()m c m =．因为0m c >，所以m c m =，从而 *2(21)2()m c m m d m m =-⋅∈N ．所以 234112325272(23)2(21)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ . 23412123252(23)2(21)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ .故2341222222222(21)2n n n S n +-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅2312(2222)2(21)2n n n +=++++---⋅12(21)22(21)221n n n +-=⨯---⋅-1(32)26n n +=--. 所以 1(23)26n n S n +=-+． …………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得*2 1 ()n d n n =-∈N ，1(23)26n n S n +=-+* ()n ∈N . 故不等式1(6)50n n S b -> 就是1(23)250(21)n n n +->-． 考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---1(23)(250)100n n +=---．当1,2,3,4,5n =时，都有()0f n <，即1(23)250(21)n n n +-<-．而(6)9(12850)1006020f =--=>，注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >.因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-成立，即1(6)50n n S d ->成立． 所以,满足条件的所有正整数5,6,7,,20N = ． …………………………14分3(2011海淀一模理20). （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅， 设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j = ，12()m g m b b b nm =+++- (1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ；（Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-= ，求函数)(m g 的最小值.解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)j k k k k k j ======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)m b b b b b m ==+==++====112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-…………………5分（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤， 故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分 另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a = ，则当m M ≥时必有m b n =，所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分 下面计算(1)g M -的值： 1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123()n M a a a a b =-+++++123()n a a a a n =-+++++ …………………12分 ∵123100n a a a a n ++++-= ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分4（2011石景山一模理20）．（本小题满分14分）已知定义在R 上的函数)(x f 和数列{}n a ，a a =1，12a a ≠，当*∈N n 且2≥n 时，)(1-=n n a f a ，且)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ，其中a ，k 均为非零常数．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（Ⅱ）令n n n a a b -=+1)(*∈N n ，若11=b ，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）若数列{}n a 为等比数列，求函数)(x f 的解析式．解：（Ⅰ）由已知)(1-=n n a f a ，)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ),4,3,2(⋅⋅⋅=n ，得=-+n n a a 1)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ),4,3,2(⋅⋅⋅=n ．由数列{}n a 是等差数列，得=-+n n a a 11--n n a a ),4,3,2(⋅⋅⋅=n ．所以，1--n n a a )(1--=n n a a k ，),4,3,2(⋅⋅⋅=n ，所以1=k ． ………………4分 （Ⅱ）由0121≠-=a a b ，可得=-=232a a b .0)()()(1212≠-=-a a k a f a f且当2>n 时，=-=+n n n a a b 10)()()()(12111≠-=⋅⋅⋅=-=----a a k a a k a f a f n n n n n ． 所以，当2≥n 时，11111()()n n n n n n n n n n b a a f a f a k b a a a a +------===--， ……………7分 因此，数列{}n b 是一个首项为1b ，公比为k 的等比数列．所以 数列{}n b 的通项公式是111n n n b b k k --==)(*∈N n ．……………………8分（Ⅲ）若{}n a 是等比数列，由（Ⅱ）知，)(121a a k b n n -=-)(*∈N n ，121213211()()()(2)n n n n b b b a a a a a a a a n --+++=-+-++-=-≥ ， )(1211-+⋅⋅⋅+++=n n b b b a a ． …………………………………………10分 当1=k 时，)1)((121--+=n a a a a n )2(≥n ．上式对1=n 也成立，所以，数列{}n a 的通项公式为：)1)()((--+=n a a f a a n )(*∈N n ．所以，当1=k 时，数列{}n a 是以a 为首项，a a f -)(为公差的等差数列．所以，1≠k ． ……………………………………………………………………12分当1≠k 时，kk a a a a n n ---+=-11)(1121)2(≥n ． 上式对1=n 也成立，所以 k k a a f a a n n ---+=-11))((1kk a a f k a a f a n -----+=-1))((1)(1所以 01)(=--+ka a f a ka a f =⇒)(． 所以 等式ka a f =)(对于任意实数a 均成立．所以 kx x f =)()1(≠k ． ……………………………………………………14分5(2011朝阳一模文20)．（本小题满分14分）有n (3, )n n *∈N ≥个首项为1，项数为n 的等差数列，设其第m (, )m n m *∈N ≤个等差数列的第k 项为mk a (1,2,3,,)k n = ，且公差为m d . 若11d =，23d =， 123,,,,n n n nn a a a a 也成等差数列．（Ⅰ）求m d （3m n ≤≤）关于m 的表达式；（Ⅱ）将数列{}m d 分组如下：1()d ，234(,,)d d d ，5(d ，6d ，7d ，8d ，9d ）…， （每组数的个数组成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式1(6)50n n S d ->成立的所有N 的值． 解（Ⅰ）由题意知，1(1)mn m a n d =+-．212121[1(1)][1(1)](1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--，同理，3232(1)()n n a a n d d -=--，4343(1)()n n a a n d d -=--，…，(1)1(1)()nn n n n n a a n d d ---=--．123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列，所以2132(1)n n n n nn n n a a a a a a --=-==- ，故21321n n d d d d d d --=-==- .即{}n d 是公差是21312d d -=-=的等差数列．所以，21m d m =-（3m n ≤≤，*,m n ∈N ）． ………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知*2 1 ()m d m m =-∈N ．数列{}m d 分组如下：(1)，(3,5,7)，(9,11,13,15,17)，…．按分组规律，第m 组中有21m -个奇数，所以第1组到第m 组共有2135(21)m m ++++-= 个奇数．注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k ++++-= ，所以前2m 个奇数的和为224()m m =，即前m 组中所有数之和为4m ，所以44()m c m =． 因为0m c >，所以m c m =，从而 *2(21)2()m c m m d m m =-⋅∈N ．所以 234112325272(23)2(21)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ . 23412123252(23)2(21)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，故2341222222222(21)2n n n S n +-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅2312(2222)2(21)2n n n +=++++---⋅12(21)22(21)221n n n +-=⨯---⋅-1(32)26n n +=--， 所以 1(23)26n n S n +=-+． ……………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）得*2 1 ()n d n n =-∈N ，1(23)26n n S n +=-+* ()n ∈N .故不等式1(6)50n n S d -> 就是1(23)250(21)n n n +->-． 考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---1(23)(250)100n n +=---． 当1,2,3,4,5n =时，都有()0f n <，即1(23)250(21)n n n +-<-．而(6)9(12850)1006020f =--=>，注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >.因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-成立，即1(6)50n n S d ->成立． 所以满足条件的所有正整数5,6,7,,20N = ．…………………………………14分6(2011丰台文17)．（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式． 解：（I ）当n =1时，11312a a =-， ∴a 1=2． ……………………2分当2n ≥时， ∵312n n S a =- ① 1131(2)2n n S a n --=-≥ ② ①-②得：133(1)(1)22n n n a a a -=---，即13n n a a -=， ……………………3分∴ 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列． ……………………4分∴123n n a -=⋅． ……………………6分（II ）∵1n n n b b a +=+，∴当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅……13223b b =+⋅02123b b =+⋅ ……………………8分相加得 121011132(333)523413n n n n b b ----=+⋅+++=+⋅=+- ． ……………………11分 （相加1分，求和1分，结果1分）当n =1时，111345b -+==， ……………………12分∴134n n b -=+． ……………………13分7(2011海淀一模文16). （本小题共13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）. ( I )求n S ；( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.解：（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥，*N n ∈成立 ………2分 即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==⋅, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分 所以12n n a a +-=对*N n ∈成立 ，所以{}n a 是等差数列， …………………4分 所以有212n n a a S n n n +=⋅=+ ，*N n ∈ …………………6分 （II ）存在. …………………7分由（I ），2n a n =，*N n ∈对成立所以有396,18a a ==，又12a =， ………………9分 所以由 112339, b a b a b a ===，，则23123b b b b == …………………11分 所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ，其通项公式为123n n b -=⋅ . ………………13分8(2011海淀一模文20). （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ， 设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ；(II) 若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++= ，求函数)(m g 的最小值.解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =，所以123440,70,90,100b b b b ====， 所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=-. …………………3分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， ① …………………5分 当且仅当1100m b +=时取等号.因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =， 所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m <<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+ . …………………7分 （III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123100()M a a a a b =-+++++123100()100a a a a =-+++++ ，∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-，∴()g m 最小值为100-. …………………13分9(2011门头沟一模文19).（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足以下两个条件：①点),(1+n n a a 在直线2+=x y 上，②首项1a 是方程01432=+-x x 的整数解，（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）数列}{n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，11a b =，22a b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，解不等式n n S T ≤.解 （I ）根据已知11=a ，21+=+n n a a 即d a a n n ==-+21，…………2分所以数列}{n a 是一个等差数列，12)1(1-=-+=n d n a a n…………4分（II ）数列}{n a 的前n 项和2n S n = …………6分 等比数列}{n b 中，111==a b ，322==a b ，所以3=q ，13-=n n b …………9分数列}{n b 的前n 项和2133131-=--=n n n T …………11分n n S T ≤即2213n n ≤-，又*N n ∈，所以1=n 或2 …………14分10(2011石景山一模文20)．（本小题满分14分） 已知定义在R 上的函数)(x f 和数列{}n a ，a a =1，12a a ≠，当*∈N n 且2≥n 时，)(1-=n n a f a ，且)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ，其中a ，k 均为非零常数．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（Ⅱ）令n n n a a b -=+1)(*∈N n ，若11=b ，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）若数列{}n a 为等比数列，求函数)(x f 的解析式．解：（Ⅰ）由已知)(1-=n n a f a ，)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ),4,3,2(⋅⋅⋅=n ，得=-+n n a a 1)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ),4,3,2(⋅⋅⋅=n ．由数列{}n a 是等差数列，得=-+n n a a 11--n n a a ),4,3,2(⋅⋅⋅=n ．所以，1--n n a a )(1--=n n a a k ，),4,3,2(⋅⋅⋅=n ，所以1=k ． ………………4分 （Ⅱ）由0121≠-=a a b ，可得=-=232a a b .0)()()(1212≠-=-a a k a f a f且当2>n 时，=-=+n n n a a b 10)()()()(12111≠-=⋅⋅⋅=-=----a a k a a k a f a f n n n n n ． 所以，当2≥n 时，11111()()n n n n n n n n n n b a a f a f a k b a a a a +------===--， ……………7分 因此，数列{}n b 是一个首项为1b ，公比为k 的等比数列．所以 数列{}n b 的通项公式是111n n n b b k k --==)(*∈N n ．……………………8分（Ⅲ）若{}n a 是等比数列，由（Ⅱ）知，)(121a a k b n n -=-)(*∈N n ，121213211()()()(2)n n n n b b b a a a a a a a a n --+++=-+-++-=-≥ ， )(1211-+⋅⋅⋅+++=n n b b b a a ． …………………………………………10分 当1=k 时，)1)((121--+=n a a a a n )2(≥n ．上式对1=n 也成立，所以，数列{}n a 的通项公式为：)1)()((--+=n a a f a a n )(*∈N n ．所以，当1=k 时，数列{}n a 是以a 为首项，a a f -)(为公差的等差数列．所以，1≠k ． ……………………………………………………………………12分当1≠k 时，kk a a a a n n ---+=-11)(1121)2(≥n ． 上式对1=n 也成立，所以 k k a a f a a n n ---+=-11))((1kk a a f k a a f a n -----+=-1))((1)(1所以 01)(=--+ka a f a ka a f =⇒)(． 所以 等式ka a f =)(对于任意实数a 均成立．所以 kx x f =)()1(≠k ． ………………………………………………………14分。

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高中数学必修五数列知识点+练习含答案解析(非常详细)

高中数学必修五数列知识点+练习含答案解析(非常详细)

第一部分必修五数列知识点整理第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，na 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。

③ 前n 1(1)2n n na d -=+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质：ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。

iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。

iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2a bA +=。

3.等比数列： ① 定义：1n na q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

② 通项时为常数列)。

③.前n 项和需特别注意,公比为字母时要讨论.④.性质：ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。

iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。

(完整版)数学必修五数列知识总结

(完整版)数学必修五数列知识总结

数列知识总结一.知识网络 :等差数列的正等差数列性质有整数列的观点通项及关前 n 项和数应集等比数列等比数列的用性质二.重点提示:1.数列的定义 :按必定序次摆列的一列数. 数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，，n ｝上的函数当自变量由小到大挨次取值时对应的一列函数值．2.数列的通项公式和前 n 项和:关于随意数列a n , 其通项是 a n和它的前 n 项和S n之间的关系是: a n S1,(n 1)S n (n.Sn 1 2, n N *)3.求数列通项公式的方法:①察看法:找项与项数的关系,而后猜想查验, 即得通项公式 a n ,注意利用前几项得出的通项公式不必定独一 .②利用通项 a n和它的前 n 项和S n之间的关系是:,③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解.④其余方法: 迭加,迭乘,待定系数等.4.证明一个数列是等差数列或等比数列, 常用的两种基本方法 : 一是利用定义; 二是．．．．利用等差中项（或等比中项）来进行证明.( 注意:通项的特色与前 n 项和的特色只用于判断)5.等差数列的性质:(1) 数列 a n为等差数列，则a m= a n＋（m－n）d,或d a n a m n m(2) 数列 a n为等差数列的充要条件是:其通项公式能够写成a n= an＋b (a,b为实．．．．常数).(3) 数列 a n 为等差数列的充要条件2a n an 1 a n 1,推广．．．．2a n a n k a n k( n>k. >0)(4) 数列a n为等差数列:若 m n p q ,则a m a n a p a q.(5)数列 a n为等差数列,去掉前m项,剩下的项组成等差数列.推行：数列 a n为等差数列,则每隔k项取m项的和仍组成等差数列.(6)数列 a n是公差为d的等差数列,则奇(偶)数项组成公差为2 d的等差数列.推行①:数列a n为公差为 d 等差数列: 则在数列中每隔 k 项取一项组成的数列是公差为 (k 1)d 的等差数列.项数成等差数列的项成等差数列.推行②:数列a n是公差为 d 的等差数列 ,则项下标成等差数列的项也成等差数列.(7) 数列a n , b n 项数同样的等差数列 :则ka n , pa n qb n , panq ( p, q 为常数) 仍为等差数列.(8) 数列a n 为等差数列,其前n 项和S n能够写成S n an 2 bn, (a, b 为常数).(9)数列 a n为等差数列:则数列中挨次每连续k项之和组成的数列也是等差数列.(10)数列 a n为等差数列: S奇表示奇数项的和, S偶表示偶数项的和,若项数为2n 项时, 则有S奇－S偶 = nd , S奇 / S偶= a n / a n+ 1 ;若项数为 2n － 1 项时 , 则有奇－S偶= an, 奇/S偶= n/ (n－S S 1), S2 n 1(2n 1)a n .6.等比数列的性质:(1) 数列a n 为等比数列: a n a1q n 1, a m a n q m n , a n 2 an man m.(2) 数列a n 为等比数列: a n 2 an 1 a n 1 ,推行 a n 2 a n m a n m ( n>m >0)(3) 数列a n 为等比数列: m n p k ,则 a m a n a p a k.(4)数列 a n为等比数列,取掉前若干项,节余的项也组成等比数列.推行：数列 a n为等比数列,则每隔k项取m项的和(积)仍组成等比数列.(5) 数列 a n 为等比数列,则奇(偶)数项组成等比数列.推行① :数列 a n 为公比为 q 等比数列: 则在数列中每隔 k 项取一项组成的数列是公比为 q k 1 的等比数列.推行②:数列 a n 为等比数列 ,则项数成等差数列的项成等比数列.1 a n } , ka n , a n b n , a n k(k 为 (6) 数列 a n , b n 为项数同样的等比数列: 则 { } , {b n a n常数) 等仍为等比数列.(7) 数列 a n 为公比为 q(q ≠±1) 的等比数列:则数列中连续 k 项之和(积) 组成的数列是等比数列.(8) 数列 a n 为等比数列: ( S 奇 表示奇数项的和, S 偶 表示偶数项的和 )若项数为 2n 项时,则有 S 偶 / S 奇 = q;若项数为 2n －1 项时, 则有( S 奇 － a 1 )/ S 偶 =q.(9) 递推公式为 a n 1 pa n q( p 1) 的递推数列 { a n } , 都能够转变为an 1q p a nq 进而结构等比数列.p1 p 17.等差数列与等比数列比较:名称等差数列等比数列定义a n+ 1 ―a n =da n 为等差数an 1q ( q0 )a n 为等比数列a n列通项公 a n = a 1＋( n －1) d = a m ＋( n －a n = a 1q n－1 = a m q n －m 式 m) d前 n 项 S nn a 1 a nna 1q 1 , 2S n a 1 1 q n a 1a n q和公式 1n n1q 1 q 1 .na 1dq2a ，A ，b 成等差数列a ，G ，b ，成等比数列中项Aa b，或 2 A=a ＋b ．Gab ，或 G 2=ab28.等差数列与等比数列的关系:(1) 各项为正的等比数列 a n ,其对数数列{log a a n }( a 0, a 1) 为等差数列.(2) 数列 a n 为等差数列,则数列{ C a n }( C 为正常数) 为等比数列.9.数列乞降的一般方法( 联合于详细的示例解说): ①倒序乞降法:(等差数列的乞降);②错位相减法:(等比数列和差比数列);例 1:乞降: a 2a 2 3a 3 4a 4na n (n N *) .③裂项相消法:(数列中的各项能够拆成几项, 而后进行消项);例 2:乞降:1 1 55 1 (2n 1) 1.1 3 3 7(2n 1)例 3:求数列{1} 的前 n 项和.nn1④通项化归法:(化出通项, 由通项确立乞降方法 );例 4:求数列:1,1 , 1 , ,2 1 , 的前 n 项和 S n .1 2 1 2 3 1 3n⑤分组乞降法:(将一个数列分红几组,每组都能够用乞降公式来求解); 例 5:求数列 2,2 1 ,3 1 ,4 1, , n1 , 的前 n 项之和.2 4 82n 1⑥公式法:( 应用等差或等比数列的乞降公式直接来求解). ⑦.累差迭加法例 6:已知数列 6,9,14,21,30, , 此中相邻两项之差成等差数列,求它的通项.⑨∑乞降记法n用 a k = a 1a 2a 3a n 。

六、数列1(必修五)

六、数列1(必修五)

六、数列（必修五）1.等比数列}{n a 的首项与公比分别是复数2(i i +是虚数单位)的实部与虚部，则数列}{n a 的前10项的 和为（ A ）A ．20B ．1210- C.20- D.i 2- 2.公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为（C ） A ．1 B ．2 C ．3D ．43.等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列.若1a =1，则4s = （ C ） A ．7 B. 8 C.15 D.164.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{}n a :1,3,3,4,6,5,10,, 记其前n 项和为n S ，则19S 的值为（ D ） A ．129B ．172C ．228D ．2835.等差数列{}n a 中，11a =，5998a a +=，n S 为其前n 项和，则9S 等于（ A ） A ．297B ．294C ．291D ．3006.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n n S 为{a }的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ A ） A ．2B ．3C ．15D ．不存在7.等差数列}{n a 的前n 项和134111073,4,8,S a a a a a S n 则若=-=-+等于（ C ）A ．152B ．154C ．156D ．1588.已知等差数列}{n a 的前13项之和为413π，则)tan(876a a a ++等于（ C ）A ．33 B ．3 C ．1- D ．19.已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则()=86b b （ D ）A ．2B ．4C ．8D ．1610.设222100131211++++= S ，则S 的范围是（ B ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,23 C ．()3,2 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛25,2 11.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则69S S = ．3712.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310(7)n a n -=>，714S =，72n S =，则 n = 12 ．13.数列{}n a 中，n S n 是前项，若111,34,n n n a S S S -===则 。

人教版高数必修五第6讲：等比数列的概念、性质(学生版)

人教版高数必修五第6讲：等比数列的概念、性质(学生版)

等比数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。

2. 等比数列的通项公式____________________3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以_________为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列（5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q-== 当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则n n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。