2020届高三上学期第一次月考数学(理科)试题含答案
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2020届高三月考试卷(一)
数学(理科)
时量：120分钟满分:150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1 .已知集合 A={ (x, y) | y =x3}, A={ (x, y) | y =x},则 A」B 的元素个数是 A. 4 B.
3
C. 2 D.1
2 .已知i为虚数单位，a w R,若复数z =a +(1 -a)i的共轲复数z在复平面内对应的点位于
第一象限，且z 2=5,则z =
<1 ” 是 “ lg x < 1 " 的(B)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
5.设 a =log318,b =log424,c =24 ,则 a,b,c 的大小关系是
A. i>200? B. i>201?
C. i>202? D. i>203?
8 .中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动 物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 )中的一种.现有十二生肖的吉祥物C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量a=(l , 0), b=(-3,4)的夹角为日，则sin2日等于 A.」B工C.
25 25 24 24 25 . 25
3 A. 2-i B.-l + 2i C.-1-2i D.-2+3i
A.a
7.运行如图所示的程序中S图，若输出的 S的值为101,则判断框中可以填 2+之1 -2 -
各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、 狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有
A. 50 种 B. 60 种
C. 70 种 D. 90 种
9 .将函数f (x) =2sin(2x-—)的图象向左平移 土个单位长度得到函数的图象， 则下列说法正
6 6
确的是(C)
A.函数g( x)的最小正周期是 -
2
B.函数g(x)的图象关于直线x =-三对称
12
C.函数g(x)在(―土)上单调递减
6'2
函数g(x)在(0,—)上的最大值是1
6
10.若函数f (x) =ln x与g(x) = x2 +3x + a两个函数的图象有一条与直线 y = x平行的公共
切线，则a =
A.-1 B. 0 C. 1 D. 3
4 x为有理数
11.设函数f(x)=J 4工和朝，则关于函数f(x)有以下五个命题:
0, x为无理数
①-x R, f(f(x)) =1 ;
② x, y R, f (x y)= f (x) f (y);
③函数f(x)是偶函数;
④函数f(x)是周期函数;
⑤函数f(x)的图象是两条平行直线
12 .已知三棱锥 D-ABC的四个顶点在球 0的球面上，若AB=AC=BC=DS
DC=1,当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，球 0的表面积为
5 二
A. — B. 2 二 C. 5 二 D. 20二 -3 -
、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分。把各题答案的最简形式写在题中的横线 上。 -4 -
13 .已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3) = f (x),且当xw[0,g)时，f(x) = —x2,
14 .已知△ ABC是等腰直角三角形，|AC|=|BC|=1 , CP =2(CA + CB),则 AP，BP)=.
15 .秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求兰角形面积的方
法以小斜哥并大斜哥减中斜哥， 余半之，自乘于上.以小斜哥乘大斜哥减上， 余四约之，为实,
为从隅，开平方得积。”如果把以上这段文字写成公式就是 s=j：[a2c2 _(a.j ")],
其中a,b,c是△ ABC的内角A, B, C的对边，若 sin C=2sin AcosB ,且b22c 2成等差数列,
则△ ABC面积S的最大值为竺
5
16 .若 Vm w (0,e),三x1,x2 w (0,e),且为 #x2 ,使得(m-J2)2 + 2 = ax, -ln x1 = ax2 -
ln x2 ,
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第
考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60分。
17 .(本小题满分12分)
已知4ABC是的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足cosA+a =劣且b = 4. cosB b b
(1)求角B;
(2)求△ ABC周长的最小值.
18 .(本小题满分12分)
已知四棱锥 P- ABCD勺底面ABC虚等腰才!!形，AB//CD, A6 BC=Q
PB±AC PA= PB=AB=2CD=22 , AC=3.
(1)证明：平面 PBD，平面ABCD (2)点E是棱PC上一点，且 OE〃平面PAD,求二面角E— 0B — A的正弦值.
19 .(本小题满分12分)
2 2 则实数a的取值范围是 (e为自然对数的底数)
17-21题为必 -5 -
x
如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C: — + a
F1,F2 ,P为椭圆C上一点，且PR垂直于X轴，连结并延长交椭圆于另一点 Q设PQ=》_F1Q.
⑴若点P的坐标为(1 , 3),求椭圆C的方程;
2
(2)若3 M九M 4,求椭圆C的离心率的取值范围
20 .(本小题满分12分)
某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发
展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了 100天，这五家“农家乐”的收
费榇准互不相同，得到的统计数据如下表，X为收费标准(单位：元/日)为人住天数(单位：天)， 以频率作为各自的“人住率”，收费标准 X与y人住率、的散点图如图.
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记 亡为“入住率”超过 0.6的农家乐
的个数，求二的概率分布列；
(2)令z=lnx,由散点图判断 ？=bX + ?与？ = bz十夕哪个更合适于此模型(给出判断即可，
不必说明理由)？并根据你白判断结果求回归方程 ；(夕,8的结果精确到0.1)
(3)根据第(2)问所求的同归方程，试估计收费标准为多少时， 100天销售额L最大？ (100天
销售额L= 100 X入住率X收费标准 X)
21 .(本小题满分12分) -6 -
已知函数 f (x) = xln( x a) 1(a < 0).
(1)若函数f (x)在定义域上为增函数，求 a的取值范围；
(2)证明：f (x) < ex +cosx .
(二)选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
记分。
22 .(本小题满分10分)选彳4—4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 C的极坐标方程 P=6cose,以极点为原点，极轴为 X轴的正半轴
一一 一一一 ，， ，，，，、， ‘x=2+t cosa, ,,,
建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程为3 ,(t为参数).
y = -1 +tsina
n ............. . ，、一一 ............ 、一一
(1)右a二万，求曲线C的直角坐标万程以及直线 /的极坐标万程；
(2)设点P(2,-1),曲线C与直线l交于A, B两点，求| PA |2 + | PB |2的最小值.
23 .(本小题满分10分)选彳4-5:不等式选讲
已知f(x)=|2x+2|+|x—1|的最小值为t.
⑴求t的值；
1 4
(2)若实数a,b满足2a2 +2b2 =t,求 + 的最小值， -7 -
a2 b2
数学（理科）
一、选择题：
1.B 2.A 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C 10.B
11.B 12.A
二、填空题： -8 -
HinUl- Hl— sin ( ^0B B\ rox U —引中
Y BW 《D .靠》■ A .. - - -■ - ■ , - 6 分
-d,
f为在乙4风’中.由於弦定理科护= /+l—2wgs方=『+/一•<•= I小
H >,= lft+3
却”十《KN,,*，△山:«?的同枝=u4■匕十r£l£, 当u =h=e=4时.△八UC周长取到长大位且鼠大做为12. 12分
18.
【解析】t 口证明：等藤梯悠血BCD中,△CWJJSZVJCD.，器=错=£
JL At =3, AfX4 = 2, A()B = 2. .,.(AA- +OB-=且#二fiA . UH,即且('HL>,
X 7FB_|_^G* JL BDA PB-PC_L 平面 PHD. 工；*人「匚平面门，，平而i｝im . #而且NC/J. . - 1分
Pt3 由 11)知.八匚」平面 PBf),.+.AC LW, .,.Pi)= /衍FF=?.
11m+。柠-〃柠.即H?IOH,
如国.以04心也门尸所在支线分别为上辅.事轴.二轴电上空前式附坐茸札 J
就 小。0/).小。.？.0八『5*。.门，手而用出的法向量山 卬3.13 次卜
♦」用力平曲凡ALMJEU平面PAC, /
平面Hnr平时F*JJ FA.：t()E//『八. ■夫卜窕1
谩平曲EOB的法向量为” =r .亦0 +则” I E5 .即y=d - /，/*、1
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1X^1 ?0 I ] 2 2
................ 疹
・二所求二面用的正弦值JL苛. ...... . . r……,……r. . r12分
t注；辜黑第12)问也可忒由二面廊的定义求解.同样给分)
19.13.
14.4
15. 2.5
5
16. 5 < a < e) e
17.
【解析J⑴尚浩十六丁艮止蕊定理.
CDS Hsin li Mm £
sin H
