北师大版九年级数学下《第二章二次函数》单元测试题(有答案)

第二章 二次函数

一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)

1．下列函数中，y是关于x的二次函数的是( )

A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝x(x－1)

C．y＝1x2 D．y＝(x－1)2－x2

2．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是( )

A．开口向下 B．对称轴是直线x＝－1

C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点

3．已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值是－3，那么m的值等于( )

A．10 B．4 C．5 D．6

4．如图2－Z－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是( )

图2－Z－1

A．x＜－2 B．－2＜x＜4

C．x＞0 D．x＞4

5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下：

x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

y －1.59 －1.16 －0.71 －0.24 0.25 0.76

则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x满足条件( )

A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4

C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－Z－2所示，则一次函数y＝bx＋a的图象不经过( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

图2－Z－2

7．如图2－Z－3是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b＋c>0；④若点B－52，y1，C－12，y2为函数图象上的两点，则y1＜y2.其中正确的是( )

图2－Z－3

A．②④ B．①④ C．①③ D．②③

8．如图2－Z－4，正三角形ABC的边长为4，P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是( )

图2－Z－4

图2－Z－5

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

9．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是______________．

10．已知抛物线y＝x2－2x－3，若点P(3，0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．

11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)

12．如图2－Z－6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为4 m，AB＝12 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为5 m，则DE的长为________m.

图2－Z－6

13．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数在y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________．

图2－Z－7

三、解答题(本大题共4小题，共48分)

14．(10分)如图2－Z－8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．

(1)试求抛物线的表达式；

(2)记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积．

图2－Z－8

15．(12分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图2－Z－9所示．

(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围)；

(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．

图2－Z－9

16．(12分)如图2－Z－10，在直角坐标系中，已知点A(8，0)，B(0，6)，点P由点B出发沿BA方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由点A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ.若设运动时间为t(0＜t＜103)秒，解答下列问题：

(1)当t为何值时，△APQ与△ABO相似？

(2)设△AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．

图2－Z－10

17．(14分)如图2－Z－11，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，AB＝2.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)设P为对称轴上一动点，求△APC的周长的最小值；

(3)设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为________．

图2－Z－11

详解详析

1．[解析] B A．当a＝0时，y＝bx＋c不是二次函数；B.y＝x(x－1)＝x2－x是二次函数；C.y＝1x2不是二次函数；D.y＝(x－1)2－x2＝－2x＋1为一次函数．故选B.

2．[答案] C

3．[解析] D 原二次函数可化为y＝(x－3)2－9＋m，∵函数的最小值是－3，∴－9＋m＝－3，∴m＝6.故选D.

4．[解析] B ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于(－2，0)和(4，0)两点，函数图象开口向下，∴函数值y＞0时，自变量x的取值范围是－2＜x＜4，故选B.

5．[解析] C 由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y＝0，即这个数是关于x的一元一次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围为1.4＜x＜1.5.

故选C.

6．[答案] D

7．[解析] B ①由抛物线与x轴有两个交点，知b2－4ac＞0，所以①正确．②因为对称轴为直线x＝－1，所以－b2a＝－1，即2a－b＝0，所以②错误．因为抛物线经过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1，0)，于是有a＋b＋c＝0，所以③错误．④点B－52，y1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C－12，y2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y1＜y2，所以④正确．故选B.

8．[解析] C ∵△ABC是正三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠BPD＋∠APD＝∠C＋∠CAP，∠APD＝60°，∴∠BPD＝∠CAP，∴△BPD∽△CAP，∴BP∶AC＝BD∶PC.∵正三角形ABC的边长为4，BP＝x，BD＝y，∴x∶4＝y∶(4－x)，∴y＝－14x2＋x.故选C.

9．[答案] y＝－2(x＋1)2－3

10．[答案] (－1，0)

11．[答案] ＞

[解析] 由y＝(x＋3)2－2可知抛物线的对称轴为直线x＝－3.

∵抛物线开口向上，而点A(4，y1)到对称轴的距离比点B(－4，y2)到对称轴的距离远，

∴y1＞y2.

12．[答案] 18

[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C.

设AB与y轴交于点H，

∵AB＝12，∴AH＝BH＝6，

由题可知：OH＝5，CH＝4，

∴OC＝5＋4＝9，

∴B(6，5)，C(0，9)．

设该抛物线的表达式为y＝ax2＋k，

∵顶点为C(0，9)，

∴y＝ax2＋9.

把B(6，5)代入，得5＝36a＋9，解得a＝－19，

∴抛物线的表达式为y＝－19x2＋9.

当y＝0时，0＝－19x2＋9，解得x＝±9，

∴E(9，0)，D(－9，0)，

∴OE＝OD＝9，

∴DE＝OD＋OE＝9＋9＝18(m)．

故答案为18.

13．[答案] (1＋7，3)或(2，－3)

[解析] ∵△ABC是等边三角形，且AB＝2 3，∴AB边上的高为3.又∵点C在二次函数的图象上，∴点C的纵坐标为±3.将y＝±3代入y＝x2－2x－3，得x＝1±7或0或2.∵点C落在该函数在y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x＝1＋7或2，∴点C的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．

14．解：(1)由题意得4a－2b＋2＝6，4a＋2b＋2＝2，

解得a＝12，b＝－1.

∴抛物线的表达式为y＝12x2－x＋2.

(2)当x＝0时，y＝2，故点D的坐标为(0，2)．连接BD，CD，BC.

∵C，D两点的纵坐标相同，

∴CD∥x轴，

∴点B到CD的距离为6－2＝4.

∵CD＝2－0＝2，

∴S△BCD＝12×2×4＝4.

15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；

(2)根据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；

(3)首先得出w－150与x之间的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，求得对应的x值，根据增减性，求出x的取值范围．

解：(1)由题意得40k＋b＝300，55k＋b＝150，解得k＝－10，b＝700.

故y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋700，

(2)由题意，得－10x＋700≥240，