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《二次函数ｙ＝＝ａ ＋ｂＸ＋ｃ的图像（一）》导学案设计
孙丰收
（山东省平度市西关中学，山东平度２６６０００）
中图分类号：Ｇ６３３．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—０５６８（２０１ １）１３—００１２—０２
【学习内容】 二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图像性
质最复杂、应用难度最大的函数，是考试中的重要考查内
容之一。教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知
识人手进行知识探究。 这是数学发现与学习的常用方法，
同学们应注意学习和运用。另外，在本节内容学习中同学
们还要注意“类比”前几节的内容学习，在对比中加强联
系和区别，从而更深刻地体会二次函数的图像和性质。本
节课在做出二次函数ｙ＝ａ（ｘ—ｈ） 的图像的基础上，进一步研
究ｙ＝ａ（ｘ—ｈ） ＋ｋ和ｙ＝ａｘ 的图像，并探索它们之间的关系和各
自的性质．旨在全面掌握所有二次函数的图像和性质的变
化情况。同时对二次函数的研究，经历了从简单到复杂，
从特殊到一般的过程：先是从ｙ＝ｘ 开始，然后是ｙ＝ａｘ。，
ｙ＝ａｘ ＋ｃ，最后是ｙ＝ａ（ｘ＿ｈ） ，ｙ＝ａ（ｘ—ｈ） ＋ｋ，ｙ＝ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ。符合学
生的认知特点，体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式
的必要性。
【学习日标】 １．知识与技能。
（１）能够作出ｙ＝ａ（ｘ—ｈ） ￣ｌｙ＝ａ（ｘ—ｈ） ＋ｋ的图像，并能够
理解它与ｖ＝ａｘ 的图像的关系，理解ａ，ｈ和ｋ对二次函数图像
的影响。
（２）能正确说出ｙ＝ａ（ｘ—ｈ）。＋ｋ图像的开口方向、对称轴
和顶点坐标。
２．过程与方法。经历探索二次函数ｙ＝ａ（ｘ—ｈ） ＋ｋ的图像
的作法和性质的过程。
３．情感态度与价值观。
（１）在小组活动中体会合作与交流的重要性。
（２）进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解
决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
园正教育考试研究中心 第 1 页 共 7 页 数学个性化教学教案
授课时间： 年 月 日 备课时间 年 月 日
年级 九 学 科 数学 课 时 2 h 学生姓名
授课主题 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 授课教师
教学目标 1.会用配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2.能根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴公式求函数的顶点坐标和对称轴；
3.会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象；
4.会用待定系数法求二次函数的解析式．
教 学
重、难 点 1.通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y=a(x-h)2+k的形式，求出对称轴和顶点坐标．
2.求二次函数的函数关系式，二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质运用．
3.建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题．
教学过程 一、【历次错题讲解】
二、【基础知识梳理】
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
[归纳概括]二次函数y=ax2+bx+c通过配方可转化成 形式.
其图像和性质如下表：
图 像 开口方向 顶 点
坐 标 对称
轴 增减性 最值
a>0
向上
a<0
向下
知识点2 确定二次函数的解析式
(1)若已知二次函数的图像上任意三点坐标，则设为一般式 ，将三点的坐标代入，列出含有a、b、c的三元一次方程组求解即可.
(2)若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常设函数解析式为顶点式 .
特别地，当抛物线的顶点是原点时，h=0，k=0，此时可设函数解析式为 ；
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◆本节课内容
一、二次函数y=ax2+bx+c
1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：
2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：
二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法
先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。
方法二：平移法 2 / 19 利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：
（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；
（2）作出二次函数y=ax2的图像；
（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数
y=ax2+bx+c的图像。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：
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二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系
注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定
（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。
三、二次函数解析式的求法
求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。
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◆课堂练习
题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值
1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。
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题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围
2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。设t=a+b+1，则t的取值范围是（ ）
2yaxbxc二次函数的图像和性质
一、填空题：
1.
二次函数在上有最小值-，则的值为___________.
2. 将抛物线y＝＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是 .
3. 直线y = 2x＋b右移3个单位长度后过抛物线y = 2x2－2x＋4的顶点，则b = 。
4. 已知二次函数y=的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为 ．
（4） （5） （6） （7）
(4) （5） （6） （7）
5. 如图，抛物线 y=(与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是 。
6. 如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数 y= （a＜0）的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为 ．
7. 如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 .
8．（2015南通）关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 .
