二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

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那尔轰学校（九）年级（数学）学案

主备教师：周先学审核人：数学组日期：累计 23 课时

课题 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c

图象和性质第 5周第5课时课型新授课

学习

目标与重难点学习目标：

1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.

2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.

3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题.4.会用待定系数法求二次函数的解析式.

重点、难点：二次函数的图象及性质.

一、复习引入

一般地，抛物线y=a(x-h) 2 +k与y=ax2 的相同，不同

y=ax2y=a(x-h) 2 +k

抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点: 1.当a﹥0时，开口，

当a﹤0时，开口，2.对称轴是；3.顶点坐标是。

二、探究新知

二次函数开口方向对称轴顶点坐标

y=2(x+3) 2+5

y = -3(x-1) 2 -2

y = 4(x-3) 2 +7

y = -5(2-x) 2 - 6

你能说出二次函数216212xxy图像的特征吗？

我们知道,像y=a(x-h) 2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数

216212xxy也能化成这样的形式吗? 画出此函数图像。

合作、探讨

抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）可以化成

因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是顶点坐标是

三、解答题：

1、已知抛物线cbxaxy2的对称轴为2x，且经过点（1,4）和（5,0），试求该抛物线的表达式。

2、如图，抛物线cbxxy2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3。（1）求抛物线所对应的函数解析式；（2）求ABD的面积。

总结归纳

二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案

园正教育考试研究中心第 1 页共 7 页数学个性化教学教案

授课时间：年月日备课时间年月日

年级九学科数学课时 2 h 学生姓名

授课主题 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质授课教师

教学目标 1.会用配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；

2.能根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴公式求函数的顶点坐标和对称轴；

3.会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象；

4.会用待定系数法求二次函数的解析式．

教学

重、难点 1.通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y=a(x-h)2+k的形式，求出对称轴和顶点坐标．

2.求二次函数的函数关系式，二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质运用．

3.建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题．

教学过程一、【历次错题讲解】

二、【基础知识梳理】

知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

[归纳概括]二次函数y=ax2+bx+c通过配方可转化成形式.

其图像和性质如下表：

图像开口方向顶点

坐标对称

轴增减性最值

a>0

向上

a<0

向下

知识点2 确定二次函数的解析式

(1)若已知二次函数的图像上任意三点坐标，则设为一般式，将三点的坐标代入，列出含有a、b、c的三元一次方程组求解即可.

(2)若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常设函数解析式为顶点式 .

特别地，当抛物线的顶点是原点时，h=0，k=0，此时可设函数解析式为；

二次函数y=ax2+bx+c图像与性质教学设计

人教版二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教学设计（第一课时）

江苏省南通市通州区通海中学张永健

一、教材分析

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质学习函数的重要基础。本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，进一步经历探索二次函数图象和性质的过程。由于学生在学习过程中的遗忘和二次函数学习的难处，所以教学时应注意引导学生找出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图像的联系，然后通过观察图像，结合解析式特点，思考和归纳函数图像的特征及其性质，从简单到复杂、从特殊到一般，能将二次函数的一般式化为顶点式。并能正确判断出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，让学生对二次函数有一个形象和直观的认识。

二、学情分析

我们的学生在进入初三后，部分学生学习习惯不好，课堂学习不够专注，缺乏数学思维，因而导致他们的数学基础较差、学习信心不足、兴趣不大，有大约一半的学生感到学习数学很困难。

三、教学目标分析

知识技能：1掌握用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图像。

2 掌握用图像或通过配方确定抛物线y=ax2+bx+c的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3 经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图像和开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。

数学思考与问题解决：1 通过图像和配方描述二次函数y=ax2+bx+c的性质，体会数形结合的思想。

2 通过y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k两种不同函数表达式互化，深刻理解它们的内在关系。

3 能用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为形如y=a(x-h)2+k的形式，并能结合图像说出其相关性质。

情感态度：1 通过两种函数表达式互化，体会数学和谐之美。

2 在探索配方的过程中，体验探究的乐趣。

二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

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◆本节课内容

一、二次函数y=ax2+bx+c

1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：

2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：

二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。

方法一：五点法

先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。

方法二：平移法 2 / 19 利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：

（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；

（2）作出二次函数y=ax2的图像；

（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数

y=ax2+bx+c的图像。

3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：

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二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系

注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定

（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。

三、二次函数解析式的求法

求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。

由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。

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◆课堂练习

题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值

1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。

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题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围

2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。设t=a+b+1，则t的取值范围是（）

二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案 2

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