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不定积分的15个基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数的不定积分时求出它的原函数。
在计算不定积分时，有一些基本公式可以帮助我们简化计算。
下面是关于不定积分的15个基本公式：1. 常数公式：对于任意常数k，∫kdx = kx + C，其中C为任意常数。
2. 幂函数公式：对于任意常数n，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为任意常数。
3. 倒数公式：∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为任意常数。
4. 正弦函数公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为任意常数。
5. 余弦函数公式：∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为任意常数。
6. 正切函数公式：∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C，其中C为任意常数。
7. 余切函数公式：∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C，其中C为任意常数。
8. 指数函数公式：∫e^x dx = e^x + C，其中C为任意常数。
9. 对数函数公式：∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为任意常数。
10. 反正弦函数公式：∫arcsin(x) dx = xarcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C，其中C为任意常数。
11. 反余弦函数公式：∫arccos(x) dx = xarccos(x) - sqrt(1-x^2) + C，其中C为任意常数。
12. 反正切函数公式：∫arctan(x) dx = xarctan(x) - ln|1+x^2| + C，其中C为任意常数。
13. 反余切函数公式：∫arccot(x) dx = xarccot(x) + ln|1+x^2| + C，其中C为任意常数。
14. 双曲正弦函数公式：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C，其中C为任意常数。
15. 双曲余弦函数公式：∫cosh(x) dx = sinh(x) + C，其中C为任意常数。
不定积分方法总结一．一个重要思想拆分：用各种变换将一个合式分解成多个分式，这些分式的积分往往是好求的，再对每个分式进行积分，从而达到运算的简化。
常见方法是裂项。
二．需要牢记的东西不定积分基本公式一共26个，牢记这些公式有助于提高运算速度1）∫cdx=cx2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4) ∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√(a^2-x^2)dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c11）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c13) ∫secx tanx dx=secx+C14)∫cscxcotx dx=-cscx+C15）∫0 dx=c16) ∫1/(1+x^2) dx=arctanx+c17) ∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c18) ∫tanx dx=-In|cosx|+c19) ∫cotx dx=In|sinx|+c20) ∫secx dx=In|secx+tanx|+c21) ∫cscx dx=In|cscx-cotx|+c22) ∫1/√(x^2+a^2) dx=In(x+√(x^2+a^2))+c23) ∫1/√(x^2-a^2) dx=|In(x+√(x^2-a^2))|+c24)∫√(a^2-x^2)dx=x/2√(a^2-x^2)+a^2/2*arcsin(x/a)+c25)∫√(x^2+a^2)dx=x/2√(x^2+a^2)+a^2/2*In(x+√(x^2+a^2))+c26)∫√(x^2-a^2)dx=x/2√(x^2-a^2)-a^2/2*In(x+√(x^2-a^2))+c 三．常用方法总结1.第一换元积分法（1）第一换元积分法又叫凑微分F'(x)=f(x),∫f(ax+b)x=1/a∫f(ax+b)(ax+b)'dx=1/a∫f(ax+b)d(ax+b)=1/aF(ax+b)+C (2)显式第一换元积分形F'(x)=f(x),则有如：∫f(lnx)/xdx=∫f(lnx)dlnx=F(lnx)+C∫f(arctanx)/(1+x²)dx=∫f(arctanx)darctanx=F(arctanx)+C（3）常见三角函数积分①∫（sinx）^n(cosx)^mdx.若m,n至少有一个奇数，不妨设m=2k+1,则=∫(sinx)^n(cosx)^2kcosxdx=∫(sinx)^n(1-sin²x)^kdsinx.若m,n均为偶数，则用倍角公式降幂成奇数，再求解。
不定积分基本公式表（经典实用）以下是一些经典的不定积分公式：1. 基本导数公式：$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$, （当$n≠-1$）$\int e^xdx=e^x+C$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$, （$x≠0$）$\int \cos xdx=\sin x+C$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$\int \sec^2xdx=\tan x+C$$\int \csc^2xdx=-\cot x+C$$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x+C$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$2. 三角函数公式：$\int \tan xdx=\ln|\sec x|+C$$\int \cot xdx=\ln|\sin x|+C$$\int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C$$\int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C$$\int \sin^2 xdx=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$$\int \cos^2 xdx=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$$\int \sin^3 xdx=-\frac{1}{3}\cos^3 x+\cos x+C$$\int \cos^3 xdx=\frac{1}{3}\sin^3 x+\sin x+C$3. 特殊公式：$\int e^{ax}\cos bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)+C$$\int e^{ax}\sin bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)+C$$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$ $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$ $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C$其中，$C$为常数。
积分常用公式一．基本不定积分公式：1． C x dx +=⎰2． ) 3．111++=⎰αααx dx x 1(-≠αC x dx x+=⎰ln 14．5．C aa dx a xx+=⎰ln )1,0(≠>a a C e dx e xx+=⎰6． 7．C x xdx +-=⎰cos sin C x xdx +=⎰sin cos 8．9．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 22Cx dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210． 11．C x xdx x +=⋅⎰sec tan sec Cx xdx x +-=⋅⎰csc cot csc 12．（或）C x dx x+=-⎰arcsin 11212arccos 11C x dx x+-=-⎰13．（或）C x dx x +=+⎰arctan 11212cot 11C x arc dx x +-=+⎰14．15．C x xdx +=⎰cosh sinh Cx xdx +=⎰sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法：1．2．C x xdx +-=⎰cos ln tan Cx xdx +=⎰sin ln cot 3．4．C axa x a dx +=+⎰arctan 122C a x ax a ax dx ++-=-⎰ln 21225． 6．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 7．8．C axx a dx +=-⎰arcsin22Ca x x a x dx +±+=±⎰2222ln 9．C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 222222210．Ca x x a a x xdx a x +±+±±=±⎰2222222ln 2211．第一类换元积分法（凑微分法）：Cx F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=⎰⎰⎰)]([)(])([)]([)()]([)(ϕϕϕϕϕϕ为为为为为为为为为为为为12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：Cx F C t F dt t f dt t t g t x dxx g +=+=='=-⎰⎰⎰)]([)()()()]([)()(1ϕϕϕϕ为注：要求代换单调且有连续的导数，且“换元须还原”)(t ϕ13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)⎰⎰-=vduuv udv 14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。
常见的不定积分(公式大全)一、基本积分公式1. $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，其中 $ n \neq 1 $。
2. $ \int dx = x + C $。
3. $ \int a dx = ax + C $，其中 $ a $ 为常数。
4. $ \int e^x dx = e^x + C $。
5. $ \int \ln x dx = x \ln x x + C $。
6. $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $。
7. $ \int \sin x dx = \cos x + C $。
8. $ \int \cos x dx = \sin x + C $。
9. $ \int \tan x dx = \ln |\cos x| + C $。
10. $ \int \cot x dx = \ln |\sin x| + C $。
二、换元积分法1. $ \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax + b) d(ax + b) $。
2. $ \int f(x^n) dx = \frac{1}{n} \int f(x^n) d(x^n) $。
3. $ \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) dx = \frac{1}{a} \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) d(\sqrt{ax^2 + bx + c}) $。
4. $ \int f(\sqrt{a^2 x^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{a^2 x^2}) d(\sqrt{a^2 x^2}) $。
5. $ \int f(\sqrt{x^2 a^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{x^2 a^2}) d(\sqrt{x^2 a^2}) $。
三、分部积分法1. $ \int u dv = uv \int v du $。
常用的24个不定积分公式及证明一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 证明：根据求导公式(kx + C)'=k，所以∫ kdx = kx + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 证明：对frac{x^n + 1}{n+1}+C求导，根据求导公式(x^m)'=mx^m - 1，可得(frac{x^n+1}{n + 1}+C)'=frac{(n + 1)x^n+1-1}{n+1}=x^n，所以∫ x^n dx=frac{x^n +1}{n+1}+C(n≠ - 1)。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 证明：当x>0时，(ln x)'=(1)/(x)；当x < 0时，[ln(-x)]'=(1)/(-x)×(-1)=(1)/(x)。
所以∫(1)/(x)dx=lnx+C。
4. ∫ e^x dx=e^x+C- 证明：因为(e^x)' = e^x，所以∫ e^x dx=e^x+C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- 证明：设y = a^x，则ln y=xln a，y = e^xln a。
对y=(a^x)/(ln a)+C求导，((a^x)/(ln a)+C)'=(1)/(ln a)× a^xln a=a^x，所以∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)。
6. ∫sin xdx=-cos x + C- 证明：因为(-cos x)'=sin x，所以∫sin xdx =-cos x+C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 证明：因为(sin x)'=cos x，所以∫cos xdx=sin x + C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 证明：因为(tan x)'=sec^2x=(1)/(cos^2)x，所以∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C。
常用不定积分公式在微积分的学习中，不定积分是一个非常重要的概念。
不定积分是对函数的原函数的求解，而在求解过程中，常常需要使用到各种各样的不定积分公式。
这些不定积分公式是数学中的基础，掌握它们对于学习微积分、解决各种数学问题都是非常必要的。
一、基础不定积分公式在学习不定积分之前，首先要掌握基本的求导公式。
因为求不定积分实际上就是对常见的函数进行反向求导。
下面是一些基础不定积分公式。
1、常数函数的不定积分公式：$$\int{k}dx = kx + C$$其中k为任意常数，C为积分常数。
2、幂函数的不定积分公式：$$\int{x^{\alpha}}dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C, \qquad (\alpha \neq -1)$$其中$\alpha$为任意常数，C为积分常数。
3、指数函数的不定积分公式：$$\int{e^{x}}dx = e^{x} + C$$$$\int{\sin{x}}dx = -\cos{x} + C$$$$\int{\cos{x}}dx = \sin{x} + C$$$$\int{\tan{x}}dx = -\ln{\mid{\cos{x}}\mid} + C$$$$\int{\cot{x}}dx = \ln{\mid{\sin{x}}\mid} + C$$其中C为积分常数。
5、反三角函数的不定积分公式：$$\int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}} = \arcsin{\frac{x}{a}} + C$$$$\int{\frac{dx}{a^2+x^2}} = \frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} + C$$二、复合函数的不定积分公式在微积分中，我们经常会遇到要对复合函数进行求不定积分的情况，这时需要使用到复合函数的不定积分公式。
下面是一些常用的复合函数的不定积分公式。
1、多项式函数的不定积分公式：$$\int{(f(x))^n}f '(x)dx = \frac{(f(x))^{n+1}}{n+1} + C$$其中’n’表示整数，C为积分常数。
不定积分24个基本公式不定积分是微积分中一个重要的概念，它对应于函数的原函数的求解。
在学习不定积分的过程中，掌握了一些基本的公式可以帮助我们更好地解题。
下面是24个常见的不定积分的基本公式：1. $$\int x^n \,dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C, \quad (n\neq -1)$$这是幂函数的不定积分公式，其中C是常数。
2. $$\int e^x \,dx = e^x + C$$这是指数函数的不定积分公式。
3. $$\int \sin x \,dx = -\cos x + C$$这是正弦函数的不定积分公式。
4. $$\int \cos x \,dx = \sin x + C$$这是余弦函数的不定积分公式。
5. $$\int \sec^2 x \,dx = \tan x + C$$这是正切函数的不定积分公式。
6. $$\int \csc^2 x \,dx = -\cot x + C$$这是余切函数的不定积分公式。
7. $$\int \frac{1}{x} \,dx = \ln，x， + C$$这是倒数函数的不定积分公式。
8. $$\int \frac{1}{1+x^2} \,dx = \arctan x + C$$这是反正切函数的不定积分公式。
9. $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \arcsin x + C$$这是反正弦函数的不定积分公式。
10. $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \,dx = \ln(x +\sqrt{x^2+1}) + C$$这是反双曲函数的不定积分公式。
11. $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \,dx = \ln(x + \sqrt{x^2-1}) + C$$这是反双曲函数的不定积分公式。
12. $$\int \frac{1}{x\ln x} \,dx = \ln，\ln x， + C$$这是对数函数的不定积分公式。
不定积分24个基本公式
一、原函数不定积分的概念原函数的定义：
如果区间I上，可导函数F(x)的导函数为f'(x),即对任一
x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx 那么函数F(x)就称为f(x)(或 f(x) dx)在区间 I 内的一个原函数。
原函数存在定理：
如果函数f(x)在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导
函数F(x)，使对任一x∈I都有 F'(x)=f(x).
简单地说：
连续函数一定有原函数。
不定积分的定义：
在区间 I 上，函数f(x)的带有任意常数项的的原函数称为
f(x)( f(x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，记作∫ f(x)dx . 其中记号∫ 称为积分号，f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
二、基本积分公式
三、不定积分的性质
设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则∫ [ f(x) ± g(x)]
dx= ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 。
记：合拢的加减积分可以分开加减积分2. 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，k为非零常数，则
∫ k f(x) dx=k ∫ f(x) dx
记者:非零常数乘以积分，可以把常数拿出来，乘以不定积分。
四、第一类换元积分法
设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：
也叫做凑微分法
五、第二类换元积分法
设x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ'(t)≠0，又设
f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数，则有换元公式
是x=ψ(x)的反函数。
三种常见的换元公式(注：利用三角形理解去记)
利用第二种换元积分法解出的常见的积分公式：
六、分部积分法
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为 (uv)'=u'v+uv',移项，得： u v'=(u v)'-u' v
对这个等式两边求积分
∫ u v' dx=u v- ∫ u' v dx 称为分部积分公式
按零件的集成顺序集成:反对力量指的是三，意思是从后面集成容易，先集成那个。
积分顺序:三角函数，指数函数，幂函数，对数函数，最后是反三角函数。
七、有理函数的积分
1.复合函数积分利用换元法：∫ f[ g(x) ]dx, 令t=g(x) ,解出 x= u(t) ，t=g(x) 和x= u(t) 互为反函数，dx=u(t)dt 则∫f(t) du(t).
2.有理函数的积分
两个多项式的商 P(x) / Q(x) 称为有理函数，又称为有理分式。
当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式的次数时，称这有理函数为真分式。
当分子多项式P(x)的次数大于分母多项式的次数时，称这有理函数为假分式。
如果分母Q(x)可以分解为两个多项式的乘积。
Q(x)=Q(x1)Q(x2) 且Q(x1)、Q(x2)没有公因式，可以拆分成两个真分式之和
P(x)/Q(x) = P1(x)/Q1(x) + P2(x)/Q2(x)。
例如：设有两个个因子 A，B满足
通过次幂的系数相等，有
A+B=1, -(2A+3B)=1,
解得
A=4, B=-3
3.可化为有理函数的积分(复杂的有理式)
利用代换积分法，一个量等于一个复数公式，求解反函数公式求积分。
以上内容纯属个人总结，不代表官方观点。
以上是不定积分的内容，经常考。
考虑到这一点，我们下次继续讨论定积分的内容。
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