数学高考概率与统计历年真题精选2024

大题概率统计(精选30题)1(2024·浙江绍兴·二模)盒中有标记数字1，2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122，则X=2)，求X的分布列及数学期望E X.【答案】(1)1 2；(2)分布列见解析，1.【分析】(1)根据组合知识求得取球的方法数，然后由概率公式计算概率；(2)确定X的所有可能取值为0，1，2，然后分别计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】(1)设事件A=“取出的2个小球上的数字不同”，则P A=C12C12+C12C12C14C14=12.(2)X的所有可能取值为0，1，2.①当相邻小球上的数字都不同时，如1212，有2×A22×A22种，则P X=0=2×A22×A22A44=13.②当相邻小球上的数字只有1对相同时，如1221，有2×A22×A22种，则P X=1=2×A22×A22A44=13.③当相邻小球上的数字有2对相同时，如1122，有2×A22×A22种，则P X=2=2×A22×A22A44=13.所以X的分布列为X012P 131313所以X的数学期望E X=0×13+1×13+2×13=1.2(2024·江苏扬州·模拟预测)甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为13，且各局比赛结果相互独立.(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.【答案】(1)7 27；(2)分布列见解析，31781.【分析】(1)写出所有可能情形,利用互斥事件的概率和公式即可求出；(2)算出X为不同值时对应的概率并填写分布列，之后求出数学期望即可.【详解】(1)设“三局比赛后，甲得3分”为事件A，甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负，所以P A=133+A3313 3=727，故三局比赛甲得3分的概率为7 27 .(2)依题意知X的可能取值为2,3,4,5，P X=2=2×132=29，P X=3=2×C12133=427，P X=4=2×C12134+C1313 4=1081，P X=5=1-P X=2-P X=3-P X=4=1-29-427-1081=4181，故其分布列为：X2345P2942710814181期望E X=2×29+3×427+4×1081+5×4181=31781.3(2024·江苏南通·二模)某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为17.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？【答案】(1)9种(2)349.【分析】(1)法一，利用分步乘法计数原理集合组合数的计算，即可求得答案；法二，利用间接法，即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法，减去甲担任队长的选法，即可得答案；(2)考虑第一次传球，老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位，继而确定第二次以及第三次传球后球回到老师手中的情况，结合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.【详解】(1)法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为C13；再选出副队长，方法数也是C13，故共有方法数为C13×C13=9(种).方法二先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为A 24=4×3=12(种)；若甲任队长，方法数为C 13，故甲不担任队长的选法种数为12-3=9(种)答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.(2)①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为14；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为67；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为17，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：14×67×17=398.②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为34，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为27，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为17，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为34×27×17=398，所以，前三次传球中满足题意的概率为：398+398=349.答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是349.4(2024·重庆·模拟预测)中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO 问界M 7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ ．【答案】(1)73.3分(2)分布列见解析；期望为35【分析】(1)根据频率分布直方图求解中位数的方法可得答案；(2)确定抽取的“问界粉”人数，再确定ξ的取值，求解分布列，利用期望公式求解期望.【详解】(1)由频率分布直方图可知：打分低于70分的客户所占比例为40％，打分低于80分的客户的所占比例为70％，所以本次调查客户打分的中位数在[70，80)内，由70+10×0.50-0.400.70-0.40=2203≈73.3，所以本次调查客户打分的中位数约为73.3分；(2)根据按比例的分层抽样：抽取的“问界粉”客户3人，“非问界粉”客户7人，则ξ的所有可能取值分别为0，1，2，其中：P (ξ=0)=C 03C 27C 210=715，P (ξ=1)=C 13C 17C 210=715，P (ξ=2)=C 23C 07C 210=115，所以ξ的分布列为：ξ012P715715115所以数学期望E (ξ)=0×715+1×715+2×115=35．5(2024·福建三明·三模)某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14，园艺类占14，民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25，25，45，选手乙答对这三类题目的概率均为12.(1)求随机任选1题，甲答对的概率；(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.【答案】(1)35(2)4411000【分析】(1)利用全概率公式，即可求得答案；(2)求出乙答对的概率，设每一轮比赛中甲得分为X ，求出X 的每个值对应的概率，即可求得三轮比赛后，甲总得分为Y 的每个值相应的概率，即可得答案.【详解】(1)记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件A i i =1,2,3 ,记随机任选1题，甲答对为事件B ，则P A 1 =14,P A 2 =14,P A 3 =12,P B |A 1 =25,P B |A 2 =25,P B |A 3 =45，则P B =P A1 P B |A 1 +P A2 P B |A 2 +P A3 P B |A 3=14×25+14×25+12×45=35；(2)设乙答对记为事件C ，则P C =P A 1 P C |A 1 +P A 2 P C |A 2 +P A 3 P C |A 3 =14×12+14×12+12×12=12，设每一轮比赛中甲得分为X ，则P X =1 =P BC =P B P C =35×1-12 =310，P X =0 =P BC ∪BC =P BC +P CB=35×12+1-35 ×1-12 =12，P (X =-1)=P B C =1-35 ×12=15，三轮比赛后，设甲总得分为Y ，则P Y =3 =3103=271000，P Y =2 =C 23310 2×12=27200，P Y =1 =C 13×310×122+C 23×3102×15=2791000，所以甲最终获得奖品的概率为P =P Y =3 +P Y =2 +P Y =1 =271000+27200+2791000=4411000.6(2024·江苏南京·二模)某地5家超市春节期间的广告支出x (万元)与销售额y (万元)的数据如下：超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X ，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程y =b x +a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2，a =y -b x ．【答案】(1)X 的分布列见解析，期望E (X )=95(2)y=7x +17；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，(2)利用最小二乘法求解线性回归方程即可.【详解】(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C ，D ，E 这3家超市，则随机变量X 的可能取值为1，2，3P (X =1)=C 13C 22C 35=310，P (X =2)=C 23C 12C 35=35，P (X =3)=C 33C 35=110，∴X 的分布列为：X123P31035110数学期望E (X )=1×310+2×35+3×110=95．(2)x =2+4+5+6+85=5，y =30+40+60+60+705=52，b=ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2=60+160+300+360+560-5×5×524+16+25+36+64-5×52=7，a=52-7×5=17．∴y 关于x 的线性回归方程为y=7x +17；在y =7x +17中，取x =10，得y =7×10+17=87．∴预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．7(2024·重庆·三模)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.记随机变量X i =1,第i 局乙当裁判0,第i 局甲或丙当裁判, i =1,2,⋅⋅⋅,n ，p i =P X i =1 ，X 表示前n 局中乙当裁判的次数.(1)求事件“n =3且X =1”的概率；(2)求p i ；(3)求E X ，并根据你的理解，说明当n 充分大时E X 的实际含义.附：设X ，Y 都是离散型随机变量，则E X +Y =E X +E Y .【答案】(1)34；(2)p i =-13 ×-12i -1+13；(3)p i ，答案见解析。

2024年高考数学概率统计在工程问题中的应用历年真题近年来，数学概率统计在工程领域的应用越发广泛。

作为一门重要的工具和方法，数学概率统计为工程师们提供了解决问题、优化设计以及降低风险的有效手段。

本文将通过回顾2024年高考数学真题，探讨数学概率统计在工程问题中的实际应用。

题目一：某航天公司进行火箭发射的可行性分析，其火箭成功发射的概率为0.95，而失败的概率为0.05。

如果该公司计划连续发射20枚火箭，问至少有几枚火箭会成功的概率高于90%？解析：这是一个典型的二项分布问题。

根据题意，火箭成功发射的概率为p=0.95，失败的概率为q=0.05。

我们需要计算至少有几枚火箭会成功的概率高于90%。

首先，我们可以利用二项分布的公式计算每个可能取值的概率，然后累加计算概率高于90%的情况。

但是由于需要计算较多的组合情况，这种方法比较繁琐。

相对而言，可以采用逆向思维的方法简化计算。

考虑到至少有几枚火箭成功的概率高于90%，则至多有几枚火箭失败的概率低于10%。

根据二项分布的性质，我们可以通过计算“至多有几枚火箭失败的概率低于10%”来得到答案。

利用二项分布的计算公式，可以得到至多有k枚火箭失败的概率为P(X≤k)，其中X表示火箭失败的次数。

我们需要找到满足P(X≤k)≥0.1的最大k值。

通过查表或使用计算工具，我们可以得到当k=1时，P(X≤1)=0.0951；当k=2时，P(X≤2)=0.181；当k=3时，P(X≤3)=0.2653；当k=4时，P(X≤4)=0.3446；当k=5时，P(X≤5)=0.4176。

由此可见，当至多有5枚火箭失败时，满足P(X≤5)≥0.1。

因此，至少有15枚火箭会成功的概率高于90%。

综上所述，根据2024年高考数学真题中的火箭发射问题，数学概率统计帮助我们求解至少成功的火箭数量，为航天工程提供了可行性分析的依据。

题目二：一家汽车制造公司收集了过去5年的销售数据，并发现每年新车销售量均呈正态分布。

2024高考数学精选概率统计真题历年汇编2024年高考数学考试，概率统计部分是考生们关注的重点。

为了帮助大家更好地复习备考，本文将汇编2024年高考数学概率统计部分的精选真题。

以下是真题内容及解析。

一、选择题1. 设随机变量X的概率分布列为X 0 1 2 3 4P(X) a 2a 4a 6a 8a则a的取值范围是：A. [0, 1/20]B. [0, 1/8]C. [0, 1/6]D. [0, 1/4]解析：根据概率分布列的性质，各事件的概率之和应为1，即a + 2a + 4a + 6a + 8a = 1。

解得a = 1/42。

所以，a的取值范围是[0, 1/42]，选项A与答案一致。

2. 设事件A、B相互独立，已知P(A) = 1/3，P(B) = 1/4，P(A∪B) = 5/12，那么P(A∩B)的值为：A. 1/12B. 1/16C. 1/18D. 5/12解析：由概率的加法定理，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

代入已知条件，得5/12 = 1/3 + 1/4 - P(A∩B)。

解得P(A∩B) = 1/12，选项A与答案一致。

3. 甲、乙两个工人分别负责两台机器的维修，他们各自独立地对机器进行维修，设甲在任意一天修好机器的概率为0.7，乙在任意一天修好机器的概率为0.6，那么工作两天后，有且仅有一台机器被修好的概率是：A. 0.39B. 0.42C. 0.45D. 0.48解析：根据题意，只有甲在第一天修好乙在第二天修好或甲在第二天修好乙在第一天修好这两种情况满足条件。

所以，设事件A表示甲在第一天修好，事件B表示乙在第一天修好，则所求概率为P(A)×P(B') + P(A')×P(B)，计算得0.7×0.4 + 0.3×0.6 = 0.42，选项B与答案一致。

二、解答题4. 某家超市进行促销活动，消费者购买该超市某种商品的概率为0.3。

2024年数学高三下册概率统计基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知一组数据的方差是9，那么这组数据的标准差是（）A. 3B. 9C. 3²D. 1/32. 下列哪个图形能够表示一个离散型随机变量X的概率分布（）A. 直方图B. 折线图C. 散点图D. 条形图3. 抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰好出现两次正面朝上的概率是（）A. 1/2B. 1/3C. 3/8D. 1/44. 已知随机变量X服从二项分布，且P(X=0)=0.16，P(X=1)=0.32，则P(X=2)等于（）A. 0.16B. 0.32C. 0.48D. 0.645. 下列关于正态分布的说法，错误的是（）A. 正态分布是连续型概率分布B. 正态分布曲线呈钟形C. 正态分布的均数等于0，标准差等于1D. 正态分布曲线关于x轴对称6. 设随机变量X的分布列为：X=1的概率为0.2，X=2的概率为0.3，X=3的概率为0.5，则E(X)等于（）A. 1B. 2C. 2.5D. 37. 已知一组数据的平均数为50，标准差为5，那么这组数据的中位数（）A. 一定大于50B. 一定小于50C. 一定等于50D. 无法确定8. 在一组数据中，众数与众数的频率之和等于（）A. 1B. 0C. 数据总数D. 频率9. 下列关于概率的说法，正确的是（）A. 必然事件的概率为0B. 不可能事件的概率为1C. 随机事件的概率介于0和1之间D. 互斥事件的概率之和等于110. 在一个箱子中有5个红球，3个蓝球，2个绿球，随机取出一个球，取到红球或绿球的概率是（）A. 2/5B. 3/5C. 4/5D. 1/2二、判断题：1. 样本方差越大，说明数据的波动越大。

（）2. 两个互斥事件的概率之和一定等于1。

（）3. 随机变量X的期望值E(X)一定等于它的众数。

（）4. 在二项分布中，如果n固定，p越大，概率分布越集中。

（）5. 正态分布曲线下，面积等于1的部分对应的横坐标范围是负无穷到正无穷。

2024年高考数学专题概率统计历年题目归纳在高考数学考试中，概率统计是一个重要的考点。

掌握概率统计的基础理论和解题方法是学生取得高分的关键。

为了帮助同学们更好地备考2024年高考数学专题概率统计，本文将对历年高考数学专题概率统计题目进行归纳和总结。

1. 投掷硬币问题：- 实例：某学生有3枚硬币，分别为甲、乙、丙。

每枚硬币均正反面均匀无区别，共有两面。

甲硬币正面为A，乙硬币正面为B，丙硬币正面为C。

每枚硬币正、反面出现的概率均为0.5。

如果学生随机选取一枚硬币并投掷，问投掷得到正面的概率是多少？- 解题思路：根据题意，学生随机选取硬币的概率为1/3，而每枚硬币出现正面的概率为0.5。

因此，投掷得到正面的概率为(1/3)×0.5 = 1/6。

2. 生日相同问题：- 实例：某班级有30名学生，问他们中至少有两人生日相同的概率是多少？- 解题思路：首先需要计算不同学生生日都不相同的概率。

第一个学生的生日可以是任意一天，而第二个学生的生日不同于第一个学生的概率为(365-1)/365，第三个学生的生日不同于前两个学生的概率为(365-2)/365，以此类推。

所以，30名学生都不生日相同的概率为(365-1)/365 × (365-2)/365 × … × (365-29)/365。

因此，他们中至少有两人生日相同的概率为1-[(365-1)/365 × (365-2)/365 × … × (365-29)/365]。

3. 球的抽取问题：- 实例：某箱子里有5个白球和3个黑球，从中随机抽取2个球，问这两个球颜色相同的概率是多少？- 解题思路：首先需要计算抽取第一个球后，剩下球的情况。

若首先抽到白球，则剩下4个白球和3个黑球。

此时，抽取第二个球颜色相同的概率为4/7。

若首先抽到黑球，则剩下5个白球和2个黑球。

此时，抽取第二个球颜色相同的概率为2/7。

高考数学2024概率与统计历年题目全集概率与统计是高中数学中一门重要的学科，也是高考数学考试的一部分。

在概率与统计中，我们需要通过概率的计算和统计的方法来分析和解决实际问题。

为了帮助同学们复习和准备高考数学考试，本文整理了高考数学2024概率与统计历年题目全集，希望能对同学们有所帮助。

1. 单项选择题1) 已知概率为P(A) = 0.2，P(B) = 0.4，事件A、B相互独立，求P(A并B)的值。

2) 一次抛掷一硬币，设正面向上的概率为p，反面向上的概率为q。

连续抛掷3次硬币，求正面朝上的次数不超过2次的概率。

3) 某音乐社有男生40人，女生60人。

从中随机抽取一人，求抽到女生的概率。

2. 典型案例题1) 某超市中购买了100个某品牌产品，其中有5个是次品。

现从中不放回地连续抽取3个产品，求至少有一个次品的概率。

2) 某餐厅的饭菜有4个主食和6个副食。

现从中选择2个饭菜，求至少有一个主食的概率。

3. 解答题1) 设事件A与事件B相互独立，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.5。

求下列事件的概率：a) P(A并B)b) P(A或B)c) P(A的对立事件)2) 设P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，P(A并B) = 0.1，求下列事件的概率：a) P(A的对立事件)b) P(B的对立事件)c) P(A或B)3) 有一批产品，其中20%是次品。

现从中不放回地连续抽取3个产品，求以下事件的概率：a) 已抽出的3个产品都是次品；b) 至少有一个次品。

（提示：利用组合数学中的排列、组合知识进行计算）本文仅列举了一部分高考数学2024概率与统计历年题目，希望能给同学们提供一些复习和备考的参考。

在备考过程中，同学们还需结合教材和课堂上的知识，多进行习题训练和模拟考试，提高解题能力和应试技巧。

祝同学们取得优异的高考成绩！。

高考数学概率统计历年真题全解2024一、概率统计概述概率统计是数学的一个分支，研究的是随机事件的发生规律以及对这些规律进行推断和分析的方法。

在高考中，概率统计是一个重要的考点，占据了相当的比重。

为此，我们整理了2024年高考数学概率统计部分的历年真题，并进行全面解析，以便同学们更好地复习备考。

二、选择题1. (2024年高考数学试题第一题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第一题内容省略)2. (2024年高考数学试题第二题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第二题内容省略)三、填空题1. (2024年高考数学试题第三题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第三题内容省略)2. (2024年高考数学试题第四题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第四题内容省略)四、解答题1. (2024年高考数学试题第五题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第五题内容省略)2. (2024年高考数学试题第六题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第六题内容省略)五、综合题(2024年高考数学试题第七题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第七题内容省略)六、总结通过对2024年高考数学概率统计部分的历年真题全面解析，我们可以发现在这一部分考题中，题目类型多样，涉及了选择题、填空题、解答题以及综合题等。

因此，考生在备考过程中需要对每种题型进行充分的练习和掌握，掌握基础知识的同时，也要注重解题技巧的积累和应用。

在准备概率统计部分考试的过程中，同学们还需要注重对知识点的理解和记忆，同时进行大量的习题练习，做到理论联系实际。

此外，注意解题过程中科学合理地运用公式和数学方法，同时要善于归纳总结，使得问题的解决更加精准和高效。

最后，祝愿同学们在高考中取得优异的成绩，实现自己的梦想！。

专题14概率与统计(填空题)近三年高考真题1．（2024•上海）现有某地一年四个季度的GDP （亿元），第一季度GDP 为232（亿元），第四季度GDP 为241（亿元），四个季度的GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP 为 （亿元） ．【答案】946（亿元）．【解析】设其次季度GDP 为x 亿元，第三季度GDP 为y 亿元，则232241x y <<<，中位数与平均数相同， ∴23224124x y x y ++++=， 473x y ∴+=，∴该地一年的GDP 为232241946x y +++=（亿元）．故答案为：946（亿元）．2．（2024•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm ，最小值为154cm ，依据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 ．【答案】7．【解析】极差为18615432-=，组距为5，且第一组下限为153.5，32 6.45=，故组数为7组， 故答案为：7．3．（2024•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有肯定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ． 【答案】120；35． 【解析】设盒子中共有球15n 个，则甲盒子中有黑球2n 个，白球3n 个，乙盒子中有黑球n 个，白球3n 个，丙盒子中有黑球3n 个，白球3n 个， 从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为23154620n n n n n n ⨯⨯=； 将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率93155n n =．故答案为：120；35．4．（2024•乙卷（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参与社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．【答案】3 10【解析】设5人为甲、乙、丙、丁、戊，从5人中选3人有以下10个基本领件：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；甲、乙被选中的基本领件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；故甲、乙被选中的概率为310．。

专题21概率与统计的综合运用目录01 求概率及随机变量的分布列与期望 (2)02 超几何分布与二项分布 (3)03 概率与其它知识的交汇问题 (4)04 期望与方差的实际应用 (6)05 正态分布与标准正态分布 (8)06 统计图表及数字特征 (10)07 线性回归与非线性回归分析 (13)08 独立性检验 (16)09 与体育比赛规则有关的概率问题 (18)10 决策型问题 (20)11 递推型概率命题 (21)12 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 (23)13 高等背景下的概统问题 (25)01 求概率及随机变量的分布列与期望1．（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．2．（2024·河南·统考模拟预测）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；E X．(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望()3．（2024·全国·模拟预测）某科研所计划招聘两名科研人员，共有4人报名应聘．科研所组织了专业能力、创新意识和写作水平三场测试，每场测试满分100分，每名选手在三场测试中的得分分别按50%,30%和20%计入总分，按总分排序，若总分相同，则依次按专业能力、创新意识和写作水平的得分从高到低排序，前两名录取．下表是4名应聘者的三场测试成绩：项目选手1选手2选手3选手4专业能力/分85808284创新意识/分80808582写作水平/分86858688(1)该科研所应招聘哪两名选手？并说明你的理由．(2)该科研所要求新招聘的两名科研人员上岗前参加线上培训．已知专业能力、创新意识和写作水平各有两个线上报告，培训者需从每个项目的两个报告中选择一个学习，记新招聘的两名科研人员参加学习的相同报告的数目为X ，求X 的概率分布列和数学期望．4．（2024·全国·模拟预测）班会课上，甲、乙两位同学参加了“心有灵犀”活动：从5个成语中随机抽取3个，甲同学负责比划，乙同学负责猜成语．甲会比划其中3个，甲会比划的成语，乙猜对的概率为12，甲不会比划的成语，乙无法猜对．(1)求甲乙配合猜对2个成语的概率；(2)设甲乙配合猜对成语个数为X ，求X 的分布列和数学期望．02 超几何分布与二项分布5．（2024·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．(1)现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X 表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X 的分布列，并求出X 的数学期望()E X ．(2)现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有()010,a a a *<<ÎN条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设事件A 为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当0a a =时，事件A 发生的概率最大，求0a 的值．6．（2024·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为(01)p p <<，且每道题答对与否互不影响.(1)分别求小张，小王答对题目数的分布列；(2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求p 的取值范围.7．（2024·广东肇庆·统考一模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X .(1)当6n =时，求()2P X £(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变最Y ，若其数学期望()E Y 和方差()D Y 均存在，则对任意正实数a ，有()()()21D Y P Y E Y a a-<³-.根据该不等式可以对事件“()Y E Y a -<”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n 的最小值.03 概率与其它知识的交汇问题8．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知三棱锥-P ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA a =，PB b =，PC c =，三棱锥-P ABC 的外接球半径2R =.(1)求三棱锥-P ABC 的侧面积S 的最大值；(2)若在底面ABC 上，有一个小球由顶点A 处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点B 的概率为12，滚向顶点C 的概率为12；当球在顶点B 处时，滚向顶点A 的概率为23，滚向顶点C 的概率为13；当球在顶点C 处时，滚向顶点A 的概率为23，滚向顶点B 的概率为13.若小球滚动3次，记球滚到顶点B 处的次数为X ，求数学期望()E X 的值.9．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点1A 出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为16，沿正方体的侧棱爬行的概率为23．(1)若蚂蚁爬行n 次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；(2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C 出现的次数为X ，求X 的分布列与数学期望．10．（2024·安徽·蚌埠二中校联考模拟预测）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以x表示这2人中使用AI作业的人数，求x的分布列和数学期望；(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“1X=”表示该使用“AI=”表示该使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X0=”表示该不使用“AI作业”的学生没“1Y=”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y0有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结论不要求证明）04 期望与方差的实际应用11．（2024·北京西城·高三统考期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X 为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1x ，2x ，3x ，4x ，其方差为21s ；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1y ，2y ，3y ，4y ，其方差为22s ；1x ，2x ，3x ，4x ，1y ，2y ，3y ，4y 的方差为23s .写出21s ，22s ，23s 的大小关系.（结论不要求证明）12．（2024·广东东莞·高三统考期末）某区域中的物种C 有A 种和B 种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A 种数目比B 种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C ，统计其中A 种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n 次（其中*n ÎN ），记第i 次试验中的A 种数目为随机变量i X （1,2,,i n =×××）；③记随机变量11ni i X X n ==å，利用X 的期望()E X 和方差()D X 进行估算．设该区域中A 种数目为M ，B 种数目为N ，每一次试验都相互独立．(1)已知()()()i j i j E X X E X E X +=+，()()()i j i j D X X D X D X +=+，证明：()()1E X E X =，()()11D X D X n=；(2)该小组完成所有试验后，得到i X 的实际取值分别为i x （1,2,,i n =×××），并计算了数据i x （1,2,,i n =×××）的平均值x 和方差2s ，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据210.5s n=．（ⅰ）请用x 和2s 分别代替()E X 和()D X ，估算MN和x ；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求1X 的分布列中概率值最大的随机事件{}1X k =对应的随机变量的取值．13．（2024·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）某校为了庆祝建校100周年，举行校园文化知识竞赛.某班经过层层选拔，还有最后一个参赛名额要在甲､乙两名学生中产生，该班设计了一个选拔方案：甲，乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为12.甲､乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.(1)分别求甲､乙两名学生恰好答对2个问题的概率；(2)设甲答对的题数为X ，乙答对的题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.05 正态分布与标准正态分布14．（2024·全国·模拟预测）某市有20000名学生参加了一项知识竞赛活动（知识竞赛分为初赛和复赛），并随机抽取了100名学生的初赛成绩作为样本，绘制了频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和80%分位数．(2)若所有学生的初赛成绩X 近似服从正态分布()2,N m s，其中m 为样本平均数的估计值，11s »，初赛成绩不低于89分的学生才能参加复赛，试估计能参加复赛的人数．(3)复赛设置了三道试题，第一、二题答对得30分，第三题答对得40分，答错得0分．已知某学生已通过初赛，他在复赛中第一题答对的概率为23，后两题答对的概率均为12，且每道题回答正确与否互不影响，记该考生的复赛成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N m s，则()0.6827P X m s m s -<£+»，()220.9545P X m s m s -<£+»，()330.9973P X m s m s -<£+»．15．（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径i x （单位：厘米），如下表：i123456789101112ix 28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5计算得：1212211360,10992i i i i x x ====åå.(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值m 与样本方差2s .(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件A ：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38].①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求()P A ；②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布()230,8N .在这个条件下，求()P A ，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.参考公式：若()2,Y N m s :，则()()()0.6827,20.9545,30.9973P Y P Y P Y m s m s m s -£»-£»-£».参考数据：1212120.68270.01,0.95450.57,0.99730.97»»».16．已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X ，求X 的期望和方差；（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当n 比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量()2~,Y N m s ，令Y Z ms-=，则~(0,1)Z N ．当~(0,1)Z N 时，对于任意实数a ，记()()F =<a P Z a ．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布(0,1)N 对应的概率值．例如当0.16a =时，由于0.160.10.06=+，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是(0.16)F 的值．a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808，0.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157'0.71900.7224①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？06 统计图表及数字特征17．（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上（含9.50)m 的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：):m 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望EX ；（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）18．（2024·江西·高三校联考阶段练习）某学校即将迎来建校80周年，为了增进学生爱校、荣校意识，团委组织学生开展“迎校庆、知校史”的知识竞赛活动，共有100名同学参赛.为了解竞赛成绩的分布情况，将100名同学的竞赛成绩按[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)用样本估计总体，求图中a 的值及此次知识竞赛成绩的80%分位数；(2)现从竞赛成绩在[)80,95的学生中以分层抽样的方式抽取15人进行培训，经过一轮培训后再选取2人担任主持人工作，求在至少1人来自分数段[)90,95的条件下，另外1人来自分数段[)80,85的概率.19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.(1)求出直方图中m 的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）；(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.20．（2024·全国·高三期末）武汉外国语学校预筹办“六十周年校庆”庆典活动，需要对参与校庆活动的志愿者进行选拔性面试.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a ，b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的第70百分位数（结果精确到0.1）；(3)在第二，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取6人，然后再从这6人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.07 线性回归与非线性回归分析21．（2024·吉林·东北师大附中校考模拟预测）2015年7月31日，在吉隆坡举行的国际奥委会第128次全会上，北京获得2022年冬奥会举办权.在申冬奥过程中，中国正式向国际社会作出“带动三亿人参与冰雪运动”的庄严承诺.这一承诺，既是我国为国际奥林匹克运动做出重大贡献的大国担当展现，也是根据我国经济水平和全民健身需求做出的群众性运动的战略部署.从北京冬奥会申办成功到2021年10月，全国参与冰雪运动人数累计达到3.46亿，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，这是北京冬奥会给予全球冬季体育运动和奥林匹克运动的最为重要的遗产，可以说是2022年北京冬奥会的第一块金牌.“冬奥热”带动“冰雪热”，也带动了冰雪经济，以冰雪运动为主要内容的冰雪旅游近年来发展迅速，2016至2022六个冰雪季的旅游人次y （单位亿）的数据如下表：年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022年度代号t 123456旅游人次y1.71.972.240.942.543.15(1)求y 与t 的相关系数（精确到0.01），并回答y 与t 的线性相关关系的强弱；(2)因受疫情影响，现将2019—2020年度的异常数据剔除，用剩下的5个年度数据（年度代号不变），求y 关于t 的线性回归方程（系数精确到0.01），并推测没有疫情情况下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估计值.附注：参考数据：611 3.56ii t t ===å，611 2.096i i y y ===å，6147.72i i i t y ==å，62191i i t ==å，7».参考公式：相关系数r 线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：ˆb22．（2024·全国·高三专题练习）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．参考数据11t x =：71i ii t y=åt72217ii tt=-å1 7500.370.55参考公式：对于一组数据1122(,)(,)(,)n n u v u v u v L ，，，，其经验回归方程 µv a bm =+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ1221ni i i nii n n mnmn bmm==-=-åå， µav bm =- .(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y (秒/题)与训练天数x (天)有关，经统计得到如下数据：x (天)1234567y (秒/题)910800600440300240210现用 b y a x=+ 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；( a，b 用分数表示)(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为23，且各局之间相互独立，设比赛X 局后结束，求随机变量X 的分布列及均值．23．（2024·全国·模拟预测）近三年的新冠肺炎疫情对我们的生活产生了很大的影响，当然也影响着我们的旅游习惯，乡村游、近郊游、周边游热闹了许多，甚至出现“微度假”的概念．在国家有条不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某乡村抓住机遇，依托良好的生态环境、厚重的民族文化，开展乡村旅游．通过文旅度假项目考察，该村推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．该村推出了六条乡村旅游经典线路，对应六款不同价位的旅游套票，相应的价格x 与购买人数y 的数据如下表．旅游线路奇山秀水游古村落游慢生活游亲子游采摘游舌尖之旅套票型号A B C D E F 价格x /元394958677786经数据分析、描点绘图，发现价格x 与购买人数y 近似满足关系式()0,0by ax a b =>>，即()ln ln ln 0,0y b x a a b =+>>，对上述数据进行初步处理，其中ln i i v x =，ln i i w y =，1i =，2， (6)附：①可能用到的数据：6175.3i i i v w ==å，6124.6i i v ==å，6118.3i i w ==å，621101.4i i v ==å．②对于一组数据()12,v w ，()22,v w ，…，(),n n v w ，其回归直线ˆˆˆw bv a =+的斜率和截距的最小二乘估计值分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i v v w w v w nvwbv v vnv ====---==--åååå，ˆˆa w bv=-．(1)根据所给数据，求y 关于x 的回归方程．(2)按照相关部门的指标测定，当套票价格[]49,81x Î时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”．现有三位游客，每人从以上六款套票中购买一款旅游，购买任意一款的可能性相等．若三人买的套票各不相同，记三人中购买“热门套票”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望．08 独立性检验24．（2024·湖北武汉·高三统考期末）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位，为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关，他记录了一段时间的相关数据如下表：项目速度快速度慢合计准确率高102232准确率低111728合计213960(1)依据0.010a =的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？(2)为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进行小组才艺展示，若甲、乙两人在这10人中，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率.附：a0.1000.0500.0250.0100.0050.001x a2.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d c -=++++其中n a b c d =+++.25．（2024·陕西榆林·校考模拟预测）由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取400名进行调查，得到统计数据如下表：保护动物意识强保护动物意识弱合计男性14060200女性80120200合计220180400(1)根据以上数据，依据小概率值0.001a=的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取4次.记被抽取的4人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bca b c d a c b dc-=++++，其中n a b c d=+++.附：a0.100.050.0100.0050.001xa2.7063.841 6.6357.87910.82826．（2024·全国·高三专题练习）为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免．据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的2×2列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上2×2列联表，根据小概率值0.001a=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联（结果精确到0.01）？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率，求X的分布列和数学期望．参考公式及数据：()()()()()22n ad bca b c d a c b dc-=++++，其中n a b c d=+++．a0.1000.0500.0100.001xa2.7063.841 6.63510.82809 与体育比赛规则有关的概率问题27．（2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球（比分3∶3）再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯．(1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3人对比赛最终结果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为12，求预测正确的人数X的分布列和期望；(2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队友在某次传接球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在梅西脚下的概率为n P，求n P．。