微分方程作业

1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。

由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。

（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。

解：将 2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。

2、求下列方程的解。

１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=--解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：2x =，73y =。

则令2X x =-，73Y y =-。

故原式可变成：2333dY x ydX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+.两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。

3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。

2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=.两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()x y c x e =是原方程的通解。

微分方程作业一、选择题1、下列方程中为线性微分方程的是（ ）（A ）2)(y '+x y x =' (B)x y y y =-'2 (C) x e y xy x y =+'-''222 (D)y xy y y cos 3=-'-'' 2、下列函数中哪组是线性无关的（ ）（A ）x ln ， 2ln x (B)1， x ln (C)x x 2ln , (D)ln x , 2ln x3、以x y cos 1=, x y sin 2= 为特解的方程是（A ）0=-''y y (B)0=+''y y (C)0='+''y y (D)0='-''y y4、微分方程02=-'+''y y y 的通解是（ ）（A ）x x ec e c y 221--= （B ）221x x e c e c y -=- （C ）221x x e c e c y --= （D ）x x e c e c y 221+=-5、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程，0)()(=⋅+'⋅+''y x q y x p y 两个特解，21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=（ ）（A ）一定是该方程的通解 （B ）是该方程的特解（C ）是该方程的解 （D ）不一定是方程的解6、下列函数满足方程0=+''y y 的是 。

（A ）1=y （B ）x y = （C ）x e y = （D ）x y sin =7. 下列方程中为线性微分方程的是（ ）（A ）2)(y '+x y x =' (B)x y y y =-'2 (C) x e y x y x y =+'-''222 (D)y xy y y cos 3=-'-'' 8. 以x y cos 1=, x y sin 2= 为特解的方程是（A ）0=-''y y (B)0=+''y y (C)0='+''y y (D)0='-''y y9．微分方程y y '=''的通解为（A ）x e c x c y 21+= （B ）x e c c y 21+=（C ）c x c y +=1 （D ）221x c x c y +=10.方程'3xy y +=的通解是（ ）Ａ 3c y x =+ Ｂ 3y c x =+ Ｃ3c y x =-- Ｄ 3c y x=- 11、下列函数中，（ ）是微分方程''7'120y y y -+=的解A 3y x =B 2y x =C 3x y e =D 2x y e =12.函数y=y(x)的图形上的点(0,-2)的切线为2x-3y=6,且该函数满足微分方程''6y x =,则此函数为( )A 32y x =-B 232y x =-C 33260y x x --+=D 323y x x =+13、微分方程y y '=''的通解为（A ）x e c x c y 21+= （B ）x e c c y 21+=（C ）c x c y +=1 （D ）221x c x c y +=二、填空题1．032=-'+''y y y 的通解2、x y =/的通解是3、04=+''y y 对应的特征方程是4、065=+'+''y y y 的通解为 。

(单选题) 1: 微分方程y'-y=0满足初始条件y(0)=1的特解为（）。

A: e^xB: e^x-1C: e^x+1D: 2-e^x正确答案:(单选题) 2: 微分方程dx/y+dy/x=0满足当x=3时，y=4的特解是（）。

A: x^2+y^2=25B: 3x+4y=CC: x^2+y^2=CD: x^2+y^2=7正确答案:(单选题) 3: n阶线性非齐次微分方程的所有解（）．A: 构成一个线性空间B: 构成一个n-1维线性空间C: 构成一个n+1维线性空间D: 不能构成一个线性空间正确答案:(单选题) 4: xy'''+2x^2(y')^2+x^3*y=x^4+1是（）阶微分方程。

A: 1B: 2C: 3D: 4正确答案:(单选题) 5: y'=y满足当x=0时，y=2的特解是（）。

A: Y=e^x+1B: y=2e^xC: y=2e^(x/2)D: y=3e^x正确答案:(单选题) 6: 微分方程xyy''+x(y')^3-y^4-y'=0的阶数是（）。

A: 3B: 4C: 5D: 2正确答案:(单选题) 7: 方程xy'+y=3的通解是（）。

A: y=C/x+3B: y=3/x+CC: y=-C/x-3D: y=C/x-3正确答案:(单选题) 8: 微分方程ylnydx+(x-lny)dy=0是（）A: 可分离变量方程B: 线性方程C: 全微分方程D: 贝努利方程正确答案:(单选题) 9: 方程dy/dx=x^(-1/3)+y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）A: 上半平面B: xoy平面C: 下半平面D: 除y轴外的全平面正确答案:(单选题) 10: y=C1e^x+C2e^(-x)是方程y''-y=0的（），其中C1，C2为任意常数。

A: 通解B: 特解C: 是方程所有的解D: 上述都不对正确答案:(单选题) 11: 微分方程2ydy-dx=0的通解为（）。

微分方程和差分方程作业题参考答案一、微分方程初值问题（1）用四阶Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,3]．（2）用ode45 方法常微分方程初值问题的数值解(近似解)，然后利用画图来比较两者间的差异．解（1）代码clearf=sym('y-exp(x)*cos(x)');a=0; b=3; h=0.1;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x=0; y=1;szj=[x,y];for i=1:n-1 % i=1:nl1=subs(f,{'x','y'},{x,y});l2=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2});l3=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2});l4=subs(f,{'x','y'},{x+h,y+l3*h});y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h;szj=[szj;x,y];endplot(szj(:,1),szj(:,2), 'dg-');（2）代码fun=inline('y-exp(x)*cos(x)','x','y');[x,y]=ode45(fun,[0,3],1)两个图放在一起比较如下：结论：通过对这个微分方程的两种不同方法的求解，从图形中可以看出，两种方法所得到的数值解大致重合，因此可以得出对于这个微分方程，用这两种方法的效果大致一样。

二、设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？解：分析和建模设t时刻（单位为分钟）容器中每升盐水中所含净盐的百分比为x(t),考虑时间区间],[tt t∆+内容器中净盐量的变化等于注入清+，并利用质量守恒定律；]t t∆,[t水所含的净盐量减去放出盐水中的净盐量。

单选题第1题 (2) 分设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A、非线性方程有一个;B、非线性方程有两个;C、非线性方程有三个;D、非线性方程有四个.第2题 (2) 分是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A、.B、.C、.D、.第3题 (2) 分是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A、AB、BC、CD、D第4题 (2) 分设和是方程组的两个基解矩阵,则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.A、.B、.C、.D、.第5题 (2) 分设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A、线性方程有一个;B、线性方程有两个;C、线性方程有三个;D、线性方程有四个.第6题 (2) 分微分方程是( ).A、n阶变系数非齐次线性常微分方程;B、n阶变系数齐次线性常微分方程;C、n阶常系数非齐次线性常微分方程;D、n阶常系数齐次线性常微分方程.第7题 (2) 分微分方程的一个解是( ).A. ,B. ,C. ,D..A、.B、.C、.D、.第8题 (2) 分设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定是正的;B. 的朗斯基行列式一定是负的;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式恒不为零.A、AB、BC、CD、D第9题 (2) 分满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B. ;C. ;D. .A、.B、.C、.D、.第10题 (2) 分已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B. ;C. ;D. .A、AB、BC、CD、D第11题 (2) 分初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).＋A. 6;B. ;C. ;D. +.A、.B、.C、.D、.第12题 (2) 分下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.(i) , (ii) , (iii) , (iv).A、1B、2C、3D、4第13题 (2) 分可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ； B. ； C. ； D..A、.B、.C、.D、.第14题 (2) 分可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B. ;C.;D..A、.B、.C、.D、.第15题 (2) 分设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A、.B、.C、.D、.多选题第16题 (5) 分以下利用参数法求解一阶隐方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是不能省略的:解答：引入参数(A)，则原方程可以写为, 将此方程两边对x求导(B), 可得:, 或(C).这是一个关于p和x的方程, 且是未知函数p的导数可以解出的一阶常微分方程, 进而还是变量分离型方程. 因此我们将这个方程分离变量:.(D)两边积分并求出积分可以得到（C是任意常数）:,因此, 将此式和参数的表达式联立, 即得原方程的参数形式解: (E).A、.B、.C、.D、.E、.第17题 (5) 分以下是一阶微分方程的求解过程, 请说明下划线所指出那些步骤中, 哪些是可以省略的:解答：记, 则(A),注意到(B)，因此方程不是恰当方程(C). 可以计算, 因而方程有只与x 有关的积分因子，并且该积分因子可以求出为：.将该积分因子乘在原方程的两端：(D), 分项组合为,或可整理为(E), 最后得到原方程的通解.A、AB、BC、CD、DE、E第18题 (5) 分如下求解三阶常系数线性方程的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误:解答：(i) 先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方程及特征根分别为(A), , , .故对应齐方程的通解为(B).(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如, 这里a,b是待定常数.代入原方程可得.利用对应系数相等便得到代数方程组:.由此可解得(D), 故.(iii) 原方程的通解可以表示为(E).A、.B、.C、.D、.E、.第19题 (5) 分求解方程时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步:A. 因为,B. 所以原方程是恰当方程;C. 将方程中的重新分项组合,D. 凑出全微分：,E. 得到通解：.A、AB、BC、CD、DE、E第20题 (5) 分利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的:解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。

安顺市镇宁县六马中学教师：韦应俭第一部分一、常微分方程的概念含有自变量、函数及其导数的关系式. 二、一阶微分方程的初等解法 （1）变量分离方程 形如：)()(y x f dydxρ=的方程，称为变量分离方程，这里)(),(y x f ρ分别是y x ,的连续函数.（2）可化为分离变量方程的方程的三种形式 ①)(xy f dy dx yx =∙；②)(x y g dy dx =；③)(222111xc x b x a x c x b x a f dy dx++++= （3）贝努力方程n y x g y x dydx)()(+=ρ （4）一阶线性方程)()(x g y x dxdy+=ρ （5）Riccaiti 方程)()()(2x r y x g y x dxdy++=ρ （6）形如0),(),(=+dy y x N dx y x M 的方程 ①若0=∂∂-∂∂xNy M ，则方程式恰当的通解是0)(.0)1(12=-+==+-+dy x y ydx dc dy y yx dx y ②若Mx Ny M -∂∂-∂∂只含有y ，则原方程有积分因子.⎰=-∂∂-∂∂dx Mxn y m e y )(μ，即0),()(),()(=+dy y x N y dx y x M y μμ是恰当的③若NxN y M ∂∂-∂∂只含y ，则⎰=∂∂-∂∂dy n xny m e y )(μ，即0),()(),()(=+dy y x N x dx y x M x μμ是恰当的④若MN xN y M -∂∂-∂∂,只含)(y x +，则⎰=++-∂∂-∂∂)()(y x d M N xny m e y x μ⑤若xMyN x N y M -∂∂-∂∂，只含有)(xy ，则⎰==∂∂-∂∂)()(xy d xM yN x n y m e xy μ三、一阶微分方程的解的存在定理 （1）研究的目的（2）解存在但不唯一的例子10,100)(22<<⎩⎨⎧≤<≤≤=-=⇒-=⇒=c x c x c x y c x y y dx dy其中（3）解的存在性定理 一阶显示方程：),(y x f dxdy=……)1.3( 初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy ……)2.3(定理)1.1.3(存在唯一性定理如果)1.3(的),(y x f 在R ：b y y a x x ≤-≤-||,||00上满足：（1）在R 上连续（2）在R 上关于y 满足lipshit 条件，则初值问题)2.3(在区间h x x ≤-||0上上存在唯一解.其中),(y x f 对y 满足lipshit 条件是指，0>∃L 常数,对R 中∀两点),(),,.(1210y x y x 均有不等式成立：|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-.20k y x y x f M mba h ∈=),(|),(|max ),,min( 几何解释：线段场定义)1.3(中的),(y x f 在2R k ∈内有定义，对R 中∀点),(y x ，以),(y x 为中心，作一单位线段),(y x f k =，称为在点),(y x 的浅素。

⾼等数学课外作业微分⽅程部分参考解答⾼等数学课外作业微分⽅程部分参考解答4.1-4.2 微分⽅程的基本概念可分离变量的微分⽅程⼀．1.（1）⼆阶微分⽅程；（2）⼀阶微分⽅程；（3）⼀阶微分⽅程；(4) 不是微分⽅程；(5) ⼀阶微分⽅程。

2.（1）是；（2）不是3.（1）arcsin arcsin .s t C =+ （2）(1)(1).y x e e C +-=4.（1）2y x '=；（2）2.yy x '=- ⼆．1.分离变量得：ln sin dy dxy y x=，两边积分得：ln ln ln csc cot ln y x x C =-+，即ln (csc cot ).y C x x =-将,3x y e π==代⼊可得：C =故所求特解为：ln cot ).y x x =-2. 分离变量得：2.4dy dx y x =-两边积分得：12ln ln ln .42xy c x +=+-即y =将4,2x y ==代⼊，解得：c =故y = 3. 两边关于x 求导得：2.xy yy '=故或者0y ≡；或者1,2y x '=即21.4y x c =+ 注意到在原⽅程中令0x =，可得(0)0.y =因此0.c =于是所求微分⽅程的特解为：或者0y ≡；或者21.4三．设t 时刻物体运动速度为()v t ，则由已知条件结合⽜顿运动定律可得：t dvk m v dtv k m v ?====10(10)50,4, 1.(10)这是可分离变量微分⽅程，分离变量并积分可得：v =故所求速度为：v ==(60)/秒。

四．设曲线⽅程为().y y x =则曲线上点(,)x y 处的切线⽅程为：().Y y y X x '-=-由于它在两坐标轴之间的部分被切点平分，因此有：0(2)y y x x '-=-，也即有.y y x '-=分离变量得：dy dxy x=-，两边积分得：ln ln ln .y x c =-+因此 .xy c =由曲线过点(2,3)，可知 6.c =因此所求曲线⽅程为 6.xy =五．设()R t 表⽰时刻t 时镭的现有量。

华师《常微分方程》在线作业微分方程y'-y=0满足初始条件y(0)=1的特解为（）。

A.e^xB.e^x-1C.e^x+1D.2-e^x正确答案:A微分方程dx/y+dy/x=0满足当x=3时，y=4的特解是（）。

A.x^2+y^2=25B.3x+4y=CC.x^2+y^2=CD.x^2+y^2=7正确答案:An阶线性非齐次微分方程的所有解（）．A.构成一个线性空间B.构成一个n-1维线性空间C.构成一个n+1维线性空间D.不能构成一个线性空间正确答案:Dxy'''+2x^2(y')^2+x^3*y=x^4+1是（）阶微分方程。

A.1B.2C.3D.4正确答案:Cy'=y满足当x=0时，y=2的特解是（）。

A.Y=e^x+1B.y=2e^xC.y=2e^(x/2)D.y=3e^x正确答案:B微分方程xyy''+x(y')^3-y^4-y'=0的阶数是（）。

A.3B.4C.5D.2正确答案:D方程xy'+y=3的通解是（）。

A.y=C/x+3B.y=3/x+CC.y=-C/x-3D.y=C/x-3正确答案:A微分方程ylnydx+(x-lny)dy=0是（）A.可分离变量方程B.线性方程C.全微分方程D.贝努利方程正确答案:B方程dy/dx=x^(-1/3)+y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）A.上半平面B.xoy平面C.下半平面D.除y轴外的全平面正确答案:Dy=C1e^x+C2e^(-x)是方程y''-y=0的（），其中C1，C2为任意常数。

A.通解B.特解C.是方程所有的解D.上述都不对。