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初中几何常见的倒角及其应用初中几何中的倒角问题是常见的考点，也是解题的关键。
掌握常见的倒角类型，对于提高几何解题能力有很大帮助。
什么是倒角？倒角是指在几何图形的角或边上切去一个角，形成新的图形。
通过倒角，可以改变图形的形状、大小和性质，从而为解决问题提供新的思路。
常见的倒角类型及应用1. 直角三角形的倒角直角的倒角：将直角三角形的一个直角倒掉，形成两个新的三角形。
o应用：证明三角形相似、等腰三角形等。
锐角的倒角：将直角三角形的一个锐角倒掉，形成一个四边形。
o应用：证明四边形是特殊的四边形（如平行四边形、矩形等）。
2. 平行四边形的倒角角的倒角：将平行四边形的一个角倒掉，形成一个梯形。
o应用：证明梯形是等腰梯形、求梯形的面积等。
边的倒角：将平行四边形的一边倒掉，形成一个三角形。
o应用：证明三角形相似、求三角形的面积等。
3. 圆的倒角圆心角的倒角：将圆心角倒掉，形成一个扇形。
o应用：求扇形面积、弧长等。
弦的倒角：将圆的一条弦倒掉，形成一个弓形。
•应用：求弓形面积、周长等。
4. 其他图形的倒角除了上述常见的图形外，其他多边形、立体图形等也可以进行倒角。
倒角的方式多种多样，具体要根据题目要求和图形特点来确定。
倒角在解题中的应用•构造辅助线：通过倒角，可以构造出一些特殊的三角形、四边形等，从而方便利用已知的性质和定理进行证明或计算。
•转化图形：将复杂的图形通过倒角转化为简单的图形，从而简化问题。
•寻找等量关系：通过倒角，可以发现图形中隐藏的等量关系，为解题提供新的思路。
总结倒角是初中几何中一种重要的解题技巧。
通过灵活运用倒角的方法，可以有效地解决各种几何问题。
在解题过程中，同学们要善于观察图形，发现图形中的特殊角、特殊线段，并根据题目的要求选择合适的倒角方式。
三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型(射影定理模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD是高，AE是角平分线结论：∠DAE=∠B-∠C21(2023秋·浙江·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD为∠ACB的平分线，CE ⊥AB于点E，则∠ECD度数为()A.5°B.8°C.10°D.12°2(2023春·河南南阳·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有()①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高A.1个B.2个C.3个D.4个3(2023·安徽合肥·七年级统考期末)如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB=9cm，AC= 12cm，BC=15cm，试求：(1)AD的长度；(2)△ACE和△ABE的周长的差．模型2：双垂直模型结论：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③AB⋅CD=AE⋅BC。
4(2023·陕西咸阳·统考一模)如图，在△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，并且CD,BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数为()A.130°B.120°C.110°D.100°5(2022秋·安徽宿州·八年级校考期中)如图，在△ABC中，CD和BE分别是AB，AC边上的高，若CD= 12，BE=16，则ACAB的值为( )．A.35B.34C.43D.586(2023春·河南周口·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，CF⊥AB于点F，AD⊥BC于点D，AD与CF交于点E，∠B=46°．(1)求∠AEC的度数．(2)若AD=6，求CF的长．模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③AB⋅AC=AD⋅BC。
初中几何专题01.三角形中的倒角模型--飞镖模型、风筝模型以及翻角模型一、模型简介近年来，各地中考数学中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉此类模型可以快速得到角的关系，求出所需的角，本专题就飞镖模型、风筝模型以及翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便同学们掌握。
模型1、“飞镖”模型(“燕尾”模型)图1图2图3条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②AB+AD>BC+CD。
条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC；结论：∠O=12(∠A+∠C)。
条件：如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD；结论：∠O=12(∠D-∠B)。
模型常用辅助线添加技巧1在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠E =72°，∠F=65°，则∠D的度数为()A.35°B.45°C.30°D.24°2封闭折线ABCDEFGA组成的“七角形”，其七个角∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G之和为()A.180°B.270°C.360°D.720°3请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．(即如图1．∠ADB=∠A+∠B+∠C)理由如下：方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，⋯大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论．任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．2、风筝模型(鹰爪模型)或角内翻模型图1图21)风筝(鹰爪)模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2)风筝(鹰爪)模型(变形)：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型图1图28字模型(基础型)条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①∠A+∠B=∠C+∠D；②AB+CD<AD+BC。
8字模型(加角平分线)条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D1(2021·河北·统考中考真题)下图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E 保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应(填“增加”或“减少”)度．2(2023·浙江·八年级假期作业)如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．3(2023·山东德州·八年级校考阶段练习)如图1，已知线段AB,CD相交于点O，连接AC,BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD,AB分别相交于点M、N．①若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；②若角平分线中角的关系改为“∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB”，试探究∠P与∠B,∠C之间的数量关系．4(2023春·广东深圳·七年级统考期末)定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD，判断AD+BC与AB+CD的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，在OA，OB上截取OE=OF，连接PE，PF．求证：PE=PF；(3)如图3，在△ABC中，AB>AC，P为角平分线AD上异于端点的一动点，求证：PB-PC>BD-CD．5(2023春·江苏苏州·七年级校联考期中)阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论∠A+∠B=∠C+∠D．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论∠AOC=∠A+∠C+∠P．(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，说明：∠P=12∠B+∠D．(2)将图2看作基本图形，直接利用(1)中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠B=30°，∠D=20°，求∠P的度数．②在图4中，AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系(直接写出结果，无需说明理由)．③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系(直接写出结果，无需说明理由)．模型2、“A”字模型结论：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。
初中数学倒角知识点总结一、倒角的概念倒角是指用一个平面切割出一个立体图形的顶点，使之成为一个平面，即把一个尖角变成了一个平角。
二、倒角的特点1、倒角是一个尖角所对的一个立体图形的顶点；2、在三维空间中的一个顶点可以有多个倒角；3、倒角所对的两个棱相交；4、倒角处的角度应该是直角或者锐角，不应该是钝角。
三、倒角的计算倒角的计算方法有两种，一种是用勾股定理，另一种是用三棱柱的性质。
1、用勾股定理计算倒角（1）已知倒角所对的两个棱长度可以利用勾股定理计算倒角所对的三角形的斜边，再计算出角度；（2）已知倒角所对的两个棱和一个直角可以利用勾股定理计算倒角所对的三角形的一个锐角，再用180°减去这个锐角得到倒角的度数。
2、用三棱柱的性质计算倒角如图所示，A、B、C、D四个点确定了一个三棱柱，点B所在的平面将三棱柱的顶点D锥尖倒角，使得棱DB成为最终倒角三棱柱的轴。
利用示意图可以得到tanADB=AB DB=ABDC=ABDA .ADB=arctan ADA.四、倒角的应用倒角是一个很重要的三维图形的概念，在数学和工程中有许多应用。
1、立方体四顶点倒角立方体的四个顶点倒角后，成为四个等腰直角三角形，这样可以减少立方体的重量，但保持相对稳定。
2、机械结构的设计在机械结构的设计中，有时需要对一些机械零件的顶点倒角，这是因为倒角后能够减少零件的重量，提高生产效率，同时也能够减少一些不必要的突出部分，减少受力面，从而提高零件的强度和稳定性。
3、建筑与装修在建筑和装修中，倒角也经常应用，比如墙面的顶角倒角、门窗的边角倒角等。
这不仅可以美化建筑结构，还可以避免尖锐的边角划伤人体。
五、倒角的误区1、倒角就是平角倒角并不是直接变成了平角，而是被一个平面所切割，所以倒角的度数应该是锐角或直角。
2、倒角只能用勾股定理计算倒角的计算方法有多种，可以根据具体题目采用不同的方法计算，不一定只能用勾股定理。
3、倒角只有一个一个顶点可以有多个倒角，不只是一个。
初中数学中的倒角模型通常指的是涉及两个或多个直线或者线段在相交处形成90度角的情况，这种特殊的角度组合在解决与直角三角形、相似性、勾股定理以及面积计算等相关几何问题时非常常见。
以下是几个常见的倒角模型及其相关性质和应用：
1. 直角三角形模型：
直角三角形的基本性质：直角三角形斜边上的高线将斜边分为两个等腰直角三角形，因此，高等于两直角边的乘积除以斜边。
勾股定理：直角三角形的两条直角边满足a² + b² = c²，其中c为斜边的长度。
2. 两直线垂直模型：
当两条直线在同一平面上且互相垂直时，它们的斜率之积为1，即m₁
m₂ = 1，这里m₁和m₂分别为两条直线的斜率。
或者说，在坐标系中，如果一条直线经过点A(x₁, y₁)，斜率为k，则与其垂直的直线过点B(x₂, y₂)且斜率为k，即y y₂ = k(x x₂) 和 y y₁ = k(x x₁)。
3. 倒角直角梯形模型：
若一个直角梯形的两个底角均为90度，则它的高线同时也是中位线，与上底和下底分别垂直，此时可以用分割法求得面积，即面积=上底长×高/2 + 下底长×高/2。
4. 猪蹄模型：
这是一种描述两个图形相切且其中一个图形内部有一个90度角的模型，例如圆与正方形或矩形相切，圆心到相切直线的距离等于半径。
在这种情况下，可以通过构建直角三角形来解决问题，如半径、内切圆的半径和外切圆半径之间的关系等。
倒角模型证明过程倒角模型证明过程倒角模型是机械设计领域中常用的一种方法，它可以将复杂的结构简化为一系列规则的倒角表面，从而方便后续的加工和制造。
下面就来介绍一下倒角模型的证明过程。
一、确定倒角面的位置和大小首先需要确定哪些表面需要进行倒角处理，根据实际需要和加工难度来决定。
然后计算出每个表面与相邻表面的夹角，进而确定倒角面的位置。
对于每个倒角面，还需要计算出其宽度和深度，来确定倒角的大小。
二、绘制倒角面的截面在确定倒角面位置和大小之后，需要进行绘图。
首先在每个倒角面上，根据其宽度和深度绘制出倒角的截面图形，通常包括直线段、圆弧和曲线等。
然后将这些截面图形沿着倒角面进行投影，得到它们在三维空间中的位置和形状。
三、构造倒角模型接下来，将每个截面图形沿着倒角面进行平移和旋转，得到它们在空间中构成的倒角模型。
在构造过程中，需要保证相邻截面图形之间的过渡平滑，以及倒角模型整体符合设计要求。
四、检验倒角模型最后，需要对倒角模型进行检验，确保其符合制造和加工的要求。
可以进行如下几个方面的检验：1. 检查倒角模型的每个截面图形是否都正确无误，是否符合设计要求。
2. 检查倒角模型的每个倒角面是否都没有遗漏，是否覆盖到了所有需要倒角的表面。
3. 检查倒角模型的相邻截面图形之间的过渡是否平滑，是否符合制造和加工要求。
4. 检查倒角模型的整体形状是否符合要求，是否会对其它部件的装配和使用产生影响。
总之，倒角模型证明过程需要进行细致的计算、绘图和检验，只有确保倒角模型正确无误，才能确保制造和加工的质量和效率。
