初中数学倒角知识点总结

几何倒角技巧和方法1.引言1.1 概述几何倒角是一种制造工程中经常使用的加工技术，通过在物体的边缘或角落部分创建一定的曲面来实现。

倒角的作用是改善物体的外观，减少锐角和棱角对人体和物体的伤害，并提高物体的强度和耐用性。

本文旨在介绍几何倒角的技巧和方法，帮助读者更好地理解和应用这一加工技术。

首先，我们将概述几何倒角的定义和作用，然后详细介绍常用的几何倒角技巧。

接下来，我们将深入探讨倒角的具体方法和步骤，以帮助读者实施倒角操作。

在文章的结论部分，我们将总结几何倒角的技巧和方法，并探讨倒角在实际应用中的意义。

此外，我们还会展望未来倒角技术的发展趋势，以展示这一技术在制造工程领域中的潜力和前景。

通过阅读本文，读者将能够全面了解几何倒角的技巧和方法，并了解倒角在实际应用中的重要性和价值。

我们希望本文能够为读者在制造工程中的倒角操作提供有益的指导和启示。

文章结构是指文章的整体组织方式和布局，它的合理设计可以使读者更好地理解文章的内容和结构，并能够更加清晰地把握文章的逻辑和思路。

本文的结构如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 倒角的定义和作用2.2 常用的几何倒角技巧2.3 倒角的方法和步骤3. 结论3.1 总结几何倒角技巧和方法3.2 倒角在实际应用中的意义3.3 展望未来倒角技术的发展文章采用了引言、正文和结论三个部分的结构。

引言部分包括概述、文章结构和目的三个子部分。

概述部分将对几何倒角技巧和方法进行简要介绍，引发读者对该主题的兴趣。

文章结构部分描述了本文的整体框架和组织方式，可以帮助读者更好地预期后续内容。

目的部分明确了本文撰写的目的和意义。

正文部分是本文的核心部分，包括倒角的定义和作用、常用的几何倒角技巧以及倒角的方法和步骤。

通过对这些内容的介绍和分析，读者可以全面了解几何倒角的概念、应用场景以及如何进行倒角操作。

结论部分对整篇文章进行总结和回顾，总结了几何倒角技巧和方法的要点，并强调了倒角在实际应用中的意义。

倒角公式证明过程【原创实用版】目录1.倒角公式的概念2.倒角公式的证明方法3.倒角公式的应用实例正文1.倒角公式的概念倒角公式，又称作余角公式，是三角函数中的一种重要公式。

它表示的是一个角的余角与该角的正弦、余弦、正切等函数之间的关系。

具体来说，如果一个角为α，那么它的余角为 90°-α，根据倒角公式，可以得到以下关系式：sin(90°-α) = cosαcos(90°-α) = sinαtan(90°-α) = 1/tanα2.倒角公式的证明方法为了证明倒角公式，我们可以利用三角函数的定义和诱导公式进行推导。

以 sin(90°-α) = cosα为例，根据三角函数的定义，sinα = 对边/斜边，cosα = 邻边/斜边。

在一个直角三角形中，角α的对边为a，邻边为b，斜边为c，那么有：sinα = a/ccosα = b/c再根据余角的定义，角α的余角为 90°-α，那么在同一个直角三角形中，角α的余角对应的对边为 b，邻边为 a，斜边为 c，那么有：sin(90°-α) = b/c由此可见，sin(90°-α) = cosα，即证明了倒角公式。

3.倒角公式的应用实例倒角公式在实际应用中具有很高的价值，它可以帮助我们在解决一些与角度相关的问题时，简化计算过程。

例如，在解决一个关于角度的方程时，如果直接求解角度较为复杂，那么可以利用倒角公式将角度转换为更容易求解的形式。

假设有一个方程：sinα = 3/5，那么可以通过倒角公式求解α的值。

根据倒角公式，可以得到：α = arcsin(3/5)这样，就将求解角度的问题转换为求解反正弦的问题，从而简化了计算过程。

总结：倒角公式是三角函数中非常重要的一个公式，它表示了角与其余角之间的函数关系。

倒角的标注方法及含义倒角是一种用于设计和制造中的加工工艺，常见于金属、塑料等材料的加工过程中。

倒角可以使得工件的边缘更加光滑，减少棱角的锐利度，提高整体的安全性和美观度。

本文将介绍几种倒角的标注方法及其含义，帮助读者了解倒角的加工过程和使用场景。

1. 均匀倒角：均匀倒角是最常见的倒角方式之一，它指的是将边缘或角落处的棱角以相同的角度和弧度进行倒角处理。

这种倒角方式适用于工件中棱角较多、需要统一处理的情况。

2. 路径倒角：路径倒角是根据设计需求，在工件边缘或角落处绘制一条具有特定形状的路径，并按照路径进行倒角加工。

路径倒角可以根据需要制定不同的形状，如圆形、椭圆形或其他自定义的形状。

3. 双面倒角：双面倒角是指在工件的两个相邻面同时进行倒角加工，以使得倒角边缘的光滑度达到一致。

双面倒角常用于需要两个面都保持一定倒角程度的工件中，例如一些连接件或装配件。

4. 不均匀倒角：不均匀倒角是指根据工件的实际需求和设计要求，在倒角的过程中对不同部位进行不同的倒角处理。

这种倒角方法可以使得工件的外观更具立体感和层次感，适用于一些特殊形状或需要强调某些部位的工件。

5. 倒角的含义：倒角不仅仅是一种加工工艺，它还有着重要的含义。

首先，倒角可以有效地减少工件边缘的尖锐度，避免意外伤害和损坏，提高工件的安全性。

其次，倒角可以改善工件的外观质感，使其更加美观大方。

此外，倒角还有助于提高工件的使用寿命，减少因尖锐棱角造成的磨损和损坏。

总结起来，倒角是一种常见且重要的加工工艺，在不同的设计和制造场景中都有着广泛的应用。

本文介绍了几种常见的倒角标注方法及其含义，希望能帮助读者更好地理解和应用倒角技术，提高工件的质量和使用效果。

在进行倒角加工时，需要根据具体需求选择适合的倒角方式，并注意倒角的形状、大小和位置，以满足设计要求和实际需要。

三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。

平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题就平行线+拐点模型(猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点(平行线)模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型1：猪蹄模型(M型)【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.1(2022·河南洛阳·统考二模)如图，AB∥CD，∠ABM=30°，∠CDM=45°，则∠BMD的度数为()A.105°B.90°C.75°D.70°2(2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO =46°，∠OCD=88°，则∠BOC的度数为()A.116°B.124°C.134°D.135°3(2023春·四川泸州·七年级校考期末)如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为()A.α+β+γB.β+γ-αC.180°-α-γ+βD.180°+α+β-γ4(2023·广东深圳·校联考模拟预测)北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB ∥CD ，当人脚与地面的夹角∠CDE =60°时，求出此时上身AB 与水平线的夹角∠BAF 的度数为()A.60°B.45°C.50°D.55°5(2023春·河南驻马店·九年级专题练习)已知AB ∥CD ，∠EAF =13∠EAB ，∠ECF =13∠ECD ，若∠E =66°，则∠F 为()A.23°B.33°C.44°D.46°6(2022·浙江七年级期中)如图(1)所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．(1)如图(2)所示，已知AB ⎳CD ，请问∠B ，∠D ，∠E 有何关系并说明理由；(2)如图(3)所示，已知AB ⎳CD ，请问∠B ，∠E ，∠D 又有何关系并说明理由；(3)如图(4)所示，已知AB ⎳CD ，请问∠E +∠G 与∠B +∠F +∠D 有何关系并说明理由．模型2：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+⋯+∠n=(n-1)180°.7(2023·广东·统考二模)如图所示，已知AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()A.180°B.270°C.360°D.540°8(2023·山西吕梁·校联考模拟预测)如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=32°，∠2=62°，则∠3的度数为()A.118°B.148°C.150°D.162°9(2023·河南三门峡·校联考一模)如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知CD垂直地面上的直线DF于点D，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点C 缓慢向上抬高，AB段则一直保持水平状态上升(即AB始终平行于DF)．在该运动过程中，当∠ABC=112°时，∠BCD的度数是()A.112°B.138°C.158°D.128°10(2023春·新疆·七年级校考阶段练习)如图，如果AB∥CD，那么∠B+∠F+∠E+∠D=°．11(2022春·河北保定·七年级校考期中)如图，已知A1B∥A n C，则∠A1+∠A2+∠A3=，则∠A1+∠A2 +⋅⋅⋅+∠A n等于(用含n的式子表示)．模型3：牛角模型图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α=β-γ.如图2，已知：AB∥DE，结论：α=β+γ-180°.12(2023·安徽滁州·校联考二模)如图，若AB∥CD，则()A.∠1=∠2+∠3B.∠1+∠3=∠2C.∠1+∠2+∠3=180°D.∠1-∠2+∠3=180°13(2023·江苏·七年级假期作业)如图，若AB ⎳CD ，则∠1+∠3-∠2的度数为14(2022·湖北洪山·七年级期中)如图，已知AB ∥CD ，P 为直线AB ，CD 外一点，BF 平分∠ABP ，DE 平分∠CDP ，BF 的反向延长线交DE 于点E ，若∠FED =a ，试用a 表示∠P 为．15(2023春·广东深圳·九年级校校考期中)已知直线AB ∥CD ，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，∠A =120°，∠C =130°．求∠APC 的度数：(2)问题迁移：如图2，写出∠APC ，∠A ，∠C 之间的数量关系，并说明理由：(3)问题应用：如图3，∠EAH :∠HAB =1:3，∠ECH =20°，∠DCH =60°，求∠H ∠E的值．16(2023·余干县八年级期末)已知直线AB ∥CD ，(1)如图1，直接写出∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为；(2)如图2，∠BME 与∠CNE 的角平分线所在的直线相交于点P ，试探究∠P 与∠E 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，∠ABM =1n ∠MBE ，∠CDN =1n∠NDE ，直线MB 、ND 交于点F ，则∠F=．∠E模型4：羊角模型图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α=γ-β.如图2，已知：AB∥DE，结论：α+β+γ=180°.17(2023春·上海·七年级专题练习)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为．18(2022·江苏七年级期中)如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于()A.20°B.25°C.30°D.40°19(2023春·浙江·七年级专题练习)已知AB⎳CD，求证：∠B=∠E+∠D20(2023·河南·统考三模)如图，已知AB∥DE，∠ABC=150°，∠CDE=75°，则∠BCD的度数为()A.55°B.60°C.45°D.50°21(2023·河北沧州·校考模拟预测)如图，∠A=58°，∠D=122°，∠1=3∠2，∠2=25°，点P是BC上一点．(1)∠DFE的度数为；(2)若∠BFP=50°．则CE与PF(填“平行”或“不平行”)．模型5：蛇形模型(“5”字模型)基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α=β+180°-γ.如图2，已知：AB∥DE，结论：α=γ+180°-β.22(2023·四川广元·统考三模)珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE等于()A.50°B.40°C.30°D.20°23(2023·湖南长沙·九年级校联考期中)如图，若AB∥CD，∠α=65°，∠γ=25°，则∠β的度数是()A.115°B.130°C.140°D.150°24(2023·河南周口·校联考三模)如图，AB∥EF，∠B=100°，∠CDE=25°，则∠BCD的度数是()A.125°B.75°C.95°D.105°25(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，AB∥CD，CD∥EF，CE平分∠BCD，若∠ABC=58°，则∠CEF 的度数为()A.131°B.141°C.151°D.161°26(2023·江西·九年级校考阶段练习)如图∠BAC=10°，∠ACD=125°，CD⊥EF于点D，将AB绕点A 逆时针旋转α，使AB∥EF，则α的最小值为．课后专项训练1(2023·山东临沂·统考二模)如图，a∥b,∠1=45°，则∠2的度数为()A.105°B.125°C.135°D.145°2(2023春·安徽·九年级专题练习)如图，已知：AB∥EF，∠B=∠E，求证：BC∥DE．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是()A.延长BC交FE的延长线于点GB.连接BEC.分别作∠BCD，∠CDE的平分线CG，DHD.过点C作CG∥AB(点G在点C左侧)，过点D作DH∥EF(点H在点D左侧)3(2023·浙江台州·统考一模)如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1= 30°，∠2=50°，则∠3的度数为( )．A.130°B.140°C.150°D.160°4(2023·江苏·八年级假期作业)如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=( )．A.630°B.720°C.800°D.900°5(2023·辽宁抚顺·统考三模)如图，若AB∥CD∥EF，∠1=15°，∠2=60°，那么∠BCE=()A.120°B.125°C.130°D.135°6(2022·安徽芜湖·七年级期中)如图，AB ∥CD ，BF ,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE ，BF ∥DE ，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为A.30°B.35°C.36°D.45°7(2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模)如图是一款手推车的平面示意图，其中AB ∥CD ，∠1=24°，∠3=148°，则∠2的度数为()A.56B.66C.98D.1048(2023春·重庆江津·七年级校联考期中)如图，AB ⎳CD ，∠ABE =12∠EBF ，∠DCE =13∠ECF ，设∠ABE =α，∠E =β，∠F =γ，则α，β，γ的数量关系是()A.4β-α+γ=360°B.3β-α+γ=360°C.4β-α-γ=360°D.3β-2α-γ=360°9(2022·江苏七年级期末)如图，AB ∥CD ，则∠1+∠3-∠2的度数等于．10(2023·湖南长沙·校联考二模)如图所示，AB∥DE，∠1=130°，∠2=36°，则∠3=度．11(2022·四川成都·七年级期末)已知直线AB∥DE，射线BF、DG分别平分∠ABC，∠EDC，两射线反向延长线交于点H，请写出∠H，∠C之间的数量关系：．12(2022·黑龙江·七年级月考)如图，AB⎳CD，E是CD上的点，过点E作EF⎳DP，若∠PEF=∠PEH，EG平分∠DEH，∠B=152°，∠PEG=65°，则∠BPD=．13(2023·浙江·九年级专题练习)如图，已知AB∥DE，∠BCD=30°，∠CDE=138°，求∠ABC的度数．14(2023春·重庆南岸·九年级校考期中)在数学课上老师提出了如下问题：如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE?小明认为∠D-∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：15(2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习)(1)如图(1)AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．(2)观察图(2)，已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．(3)观察图(3)和(4)，已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．16(2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习)(1)如图①，如果AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C．(2)如图②，AB∥CD，根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C=．(3)如图③，AB∥CD，若∠ABP=x，∠BPQ=y，∠PQC=z，∠QCD=m，则m=(用x、y、z表示)．17(2023春·山东淄博·九年级校考期中)如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．(1)如图1，若∠BAE=30°，∠DCE=20°，则∠AEC=；如图1，若∠BAE=α，∠DCE=β，则∠AEC=；(2)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由．18(2022·湖南株洲市八年级期末)已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点(不与点E，F重合)，设∠PAE=∠1，∠APB=∠2，∠PBF=∠3．(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；(提示：过点P作PM∥a)(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系(不要求证明)．19(2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中)问题探究：如下面四个图形中，AB∥CD．(1)分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．(2)请你从中任选一个加以说明理由．解决问题：(3)如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=°．20(2023春·湖北黄冈·七年级校考期中)如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE(1)求证：∠B+∠C-∠A=180°：(2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；(3)如图③，在(2)的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE=．21(2023春·广东·七年级专题练习)(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED 的度数．(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB,CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．22(2023春·福建三明·七年级校考期中)探索：小明在研究数学问题：已知AB⎳CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A、∠C的数量关系．发现：在图1中，∠APC=∠A+∠C；如图5小明是这样证明的：过点Р作PQ⎳AB∴∠APQ=∠A∵PQ⎳AB，AB⎳CD．∴PQ⎳CD∴∠CPQ=∠C∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(1)为小明的证明填上推理的依据；(2)理解：①在图2中，∠P与∠A、∠C的数量关系为；②在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为；(3)拓展：在图4中，探究∠P与∠A、∠C的数量关系，并说明理由．23(2023春·山东·七年级专题练习)如图1，直线AB⎳CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F 在CD上，连接PE，PF．(1)若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．(请写出必要的步骤，并说明理由)(2)如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4=．(不需说明理由，请直接写出答案)(3)如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB=x°，∠PFD=y°，则∠P1= (用含x，y的式子表示)．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2 FD，可得∠P3⋯，依次平分下去，则∠Pn=．(用含x，y的式子表示)三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。

初中几何常见的倒角及其应用初中几何中的倒角问题是常见的考点，也是解题的关键。

掌握常见的倒角类型，对于提高几何解题能力有很大帮助。

什么是倒角？倒角是指在几何图形的角或边上切去一个角，形成新的图形。

通过倒角，可以改变图形的形状、大小和性质，从而为解决问题提供新的思路。

常见的倒角类型及应用1. 直角三角形的倒角直角的倒角：将直角三角形的一个直角倒掉，形成两个新的三角形。

o应用：证明三角形相似、等腰三角形等。

锐角的倒角：将直角三角形的一个锐角倒掉，形成一个四边形。

o应用：证明四边形是特殊的四边形（如平行四边形、矩形等）。

2. 平行四边形的倒角角的倒角：将平行四边形的一个角倒掉，形成一个梯形。

o应用：证明梯形是等腰梯形、求梯形的面积等。

边的倒角：将平行四边形的一边倒掉，形成一个三角形。

o应用：证明三角形相似、求三角形的面积等。

3. 圆的倒角圆心角的倒角：将圆心角倒掉，形成一个扇形。

o应用：求扇形面积、弧长等。

弦的倒角：将圆的一条弦倒掉，形成一个弓形。

•应用：求弓形面积、周长等。

4. 其他图形的倒角除了上述常见的图形外，其他多边形、立体图形等也可以进行倒角。

倒角的方式多种多样，具体要根据题目要求和图形特点来确定。

倒角在解题中的应用•构造辅助线：通过倒角，可以构造出一些特殊的三角形、四边形等，从而方便利用已知的性质和定理进行证明或计算。

•转化图形：将复杂的图形通过倒角转化为简单的图形，从而简化问题。

•寻找等量关系：通过倒角，可以发现图形中隐藏的等量关系，为解题提供新的思路。

总结倒角是初中几何中一种重要的解题技巧。

通过灵活运用倒角的方法，可以有效地解决各种几何问题。

在解题过程中，同学们要善于观察图形，发现图形中的特殊角、特殊线段，并根据题目的要求选择合适的倒角方式。

初中数学倒角方法嘿，同学们！今天咱就来好好聊聊初中数学里那让人又爱又恨的倒角方法。

咱先说说什么是倒角呀，这就好比是在数学的迷宫里找路呢！那一个个角度就是我们要攻克的关卡。

比如说同位角，它们就像是一对亲密无间的好兄弟，位置相同，总是一起出现，一起变化。

看到同位角相等，那可就像找到了一把打开解题大门的钥匙。

内错角呢，就像是两个调皮的小精灵，总是在两条直线之间捣乱，但它们的存在却有着特殊的意义。

当内错角相等的时候，嘿，解题的思路也就出来啦！还有同旁内角，它们就像是一伙团结的小伙伴，相互支持。

当同旁内角互补的时候，哇哦，又一个关键信息到手啦！那怎么运用这些倒角方法呢？就好像我们玩拼图游戏一样。

把那些已知的角度信息当作拼图的碎片，通过同位角、内错角、同旁内角的关系，把这些碎片一点点拼凑起来，最终呈现出完整的解题画面。

比如说有一道题，给了你一些角度，乍一看毫无头绪。

但你仔细观察呀，嘿，发现了一对同位角，这时候不就有线索了嘛！顺着这条线索再找找，说不定就能找到其他的角度关系，然后一步步解开这道题。

有时候遇到难题，就像爬山遇到了陡峭的山峰，别着急，别气馁呀！咱就慢慢找角度，一点点分析，就不信攻不下来。

还有啊，多做练习题也是很重要的哦！就像练武要不断切磋一样，通过大量的练习，才能让我们对倒角方法更加熟练，运用起来更加得心应手。

哎呀，初中数学的倒角方法，真的是很神奇很有趣呢！它能让我们在数学的世界里尽情探索，解开一个又一个谜题。

同学们，可别小瞧了它呀，好好掌握，以后遇到难题都不怕啦！加油哦！相信你们一定能把倒角方法运用得炉火纯青，在数学的海洋里畅游无阻！。

初中数学倒角知识点总结.doc一、倒角的基本概念倒角是指将一个直角或锐角改变其角度大小和方向的过程。

在数学中，倒角通常被用于平移、旋转、对称等操作，以简化图形的形状和计算。

二、倒角的方法1.平移法：通过平移图形，将一个角从一个位置移到另一个位置，使角度发生变化。

2.旋转法：通过旋转图形，将一个角围绕一个固定点旋转一定的角度，使角度发生变化。

3.对称法：通过对称变换，将一个角翻转到另一个位置，使角度发生变化。

三、倒角的应用1.在几何图形中的应用：倒角在几何图形中有着广泛的应用，如三角形、四边形、多边形等。

通过倒角操作，可以简化图形的形状和计算，提高解题效率。

2.在实际生活中的应用：倒角在实际生活中也有着广泛的应用，如建筑物的设计、机械零件的制造等。

通过倒角操作，可以使建筑物或机械零件的形状更加美观、实用和方便。

四、倒角的性质1.倒角的度数和方向：倒角的度数和方向可以根据需要进行调整。

通过平移、旋转、对称等操作，可以改变倒角的度数和方向。

2.倒角的角度变化：倒角的角度变化会影响图形的形状和大小。

通过改变倒角的度数和方向，可以改变图形的形状和大小。

3.倒角的对称性：倒角具有对称性，即对于一个倒角，存在一个对称的倒角与之对应。

这种对称性在解决几何问题时非常有用。

五、如何掌握倒角的知识点1.理解概念：要掌握倒角的知识点，首先需要理解倒角的概念和基本操作方法。

可以通过实例和练习题来加深对倒角概念的理解。

2.掌握方法：要掌握倒角的方法，需要了解平移、旋转、对称等操作的特点和应用场景。

可以通过练习题和实践操作来加深对各种倒角方法的理解和掌握。

3.实践应用：要掌握倒角的应用，需要将倒角方法应用到具体的几何问题和实际生活中。

可以通过解决一些具有代表性的几何问题和实际生活问题来提高对倒角应用的理解和掌握。

4.总结规律：要掌握倒角的规律，需要在实践中不断总结和归纳。

可以通过对一些经典例题的分析和归纳，总结出一些常见的规律和技巧，提高解题效率。

OD倒角技巧总结一、基础知识1.角度的相关知识等角：角平分线，等腰三角形底角，对顶角，平行线同位角、平行线内错角，同角或等角的余角，同角或等角的补角，同弧、等弧圆周角，圆的内接四边形外角等于内对角，全等三角形对应角相等，相似三角形对应角相等余角：垂直，直角三角形，等腰三角形三线合一，切线，直径所对圆周角是90°补角：平角（三点共线）180°，平行线同旁内角，三角形内角和，圆的内接四边形对角互补外角定理：三角形的外角等于它不相邻两个内角之和转换：全等三角形，相似三角形，圆周角与圆心角倒角（1）题目已知条件（如角度，角分线，垂直，平行）（2）最基本的等角（角分线，对顶角，同角余角，）（2）特殊三角形内角（等腰三角形，直角三角形，含已知角的三角形）（3）位置关系（平行、垂直）（4）等量转化（相似、全等对应角，圆周角圆心角）BA2.八字模型角的关系：∠A +∠B =∠C +∠D边的关系：AB +CD <AD +BC C DA3.“飞镖”模型角的关系：∠BDC =∠A +∠B +∠CB C边的关系：AB +AC＞BD +CD4.经典123 模型（结合“手拉手模型”）如图，∠1 =∠3 ⇔∠1+∠2 =∠3 +∠2即∠AOC =∠BOD常见的旋转模型中经常出现这种导角，如上图：等边EAB和等边CAF，∠EAB =∠CAF =60。

∴∠EAB+∠BAC =∠CAF +∠BAC即∠EAC =∠BAF5.一线三等角模型最常考：一线三垂直模型（结合弦图来学）出题形式：题目条件出现一线三垂直，可以证明全等或者相似题目条件出现等腰直角三角形，可以做垂直，构造一线三垂直，从而构造全等三角形ＣＢＢＡＣＤＥＤＥＡ图１一线三垂直模型图２一线三垂直模型变形ＢＤＡＥ图３垂直模型图１是最常见的一线三垂直模型一般图形∠ABD +∠CBE = 90。

，∠ABD +∠ADB = 90。

∴∠CBE =∠ADB如果BD =BE，那么如果BD ≠BE，那么ABD≌ ABD∽CEBCEB图２是一线三垂直模型的一种常见变形∠ABD +∠CBE = 90。

2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型模型1、双角平分线模型图1图2图31）两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：1902BGC A ∠=︒+∠．2）两外角平分线的夹角模型条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：1902O A ∠=︒-∠．3）一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：12P A ∠=∠．图4图5图64）凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2P A D ∠=∠+∠5）两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2180P A B E ∠=∠+∠+∠-︒6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）条件：如图6，A α∠=，,ABC ACD ∠∠的平分线相交于点1P ，11,PBC PCD ∠∠的平分线相交于点2P ，2P BC ∠，2P CD ∠的平分线相交于点3P ……以此类推；结论：n P ∠的度数是2n α．7）旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D ；结论：AD 平分∠CAD 例1．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在ABC 中，点P 是ABC 内一点，且点P 到ABC 三边的距离相等，若124BPC ∠=︒，则A ∠=．【答案】68︒【分析】由条件可知BP CP 、平分ABC ∠和ACB ∠，利用三角形内角和可求得A ∠．【详解】解：∵点P 到ABC 三边的距离相等，∴BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，∴180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠（），1802PBC PCB =︒-∠+∠（）1802180BPC =︒-⨯︒-∠（）1802180124=︒-⨯︒-︒（）68=︒故答案为：68︒．【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．例2．（2022·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形ABCDE 中，A B E a ∠+∠+∠=，DP ，CP 分别平分EDC ∠，BCD ∠，则P ∠的度数是．【答案】1902α- 【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解．【详解】解：∵五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴540EDC BCD α∠+∠=︒-，∵,DP CP 分别为EDC ∠、BCD ∠的平分线，∴12PDC EDC ∠=∠，12PCD BCD ∠=∠，∴()()1154022PDC PCD EDC BCD α∠+∠=∠+∠=︒-，∴()111805409022P αα∠=︒-︒-=-︒，故答案为：1902α-︒．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记n 边形的内角和为()2180n -⨯︒是解题关键．例3．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O ．(1)求证：∠AOC ＝90°＋12∠ABC ；(2)当∠ABC ＝90°时，且AO ＝3OD （如图2），判断线段AE ，CD ，AC 之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE +CD =AC ，证明见解析【分析】（1）求出∠BAC +∠BCA =180°-∠ABC ，根据角平分线定义求出∠OAC =12∠BAC ，∠OCA =12∠BCA ，即可求出∠OAC +∠OCA 的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（3）在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，证△AEO ≌△AMO ，△DCO ≌△NCO ，推出∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，求出∠MON =∠MOA =45°，根据角平分线性质求出MK =ML ，据此计算即可求解．【详解】（1）证明：∵∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°，∴∠BAC +∠BCA =180°-∠ABC ，∵∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O ．∴∠OAC =12∠BAC ，∠OCA =12∠BCA ，∴∠OAC +∠OCA =12（∠BAC +∠BCA ）=12（180°-∠ABC ）=90°-12∠ABC ，∴∠AOC =180°-（∠OAC +∠OCA ）=180°-（90°-12∠ABC ），即∠AOC =90°+12∠ABC ；（2）解：43AE +CD =AC ，证明：如图2，∵∠AOC =90°+12∠ABC =135°，∴∠EOA =45°，在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，则在△AEO 和△AMO 中，AE AM EAO MAO AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEO ≌△AMO ，同理△DCO ≌△NCO ，∴∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，∴∠EOA =∠MOA =∠CON =∠COD =45°，∴∠MON =∠MOA =45°，过M 作MK ⊥AD 于K ，ML ⊥ON 于L，∴MK =ML ，S △AOM =12AO ×MK ，S △MON =12ON ×ML ，∴AOM MON S AO ON S ∆∆=，∵AOM MON S AM S MN ∆∆=，∴AO AM ON MN =，∵AO =3OD ，∴31AO OD =，∴31AO AM ON MN ==，∴AN =43AM =43AE ，∵AN +NC =AC ，∴43AE +CD =AC ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．例4．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在ABC 中，58B ∠=︒，三角形两外角的角平分线交于点E ，则AEC ∠=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC +∠ACF 的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC +∠ECA 的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B +∠BAC +∠BCA =180°，∠B =58°，∴∠BAC +∠BCA =180°﹣∠B =180°﹣58°=122°，∵∠BAC +∠DAC =180°，∠BCA +∠ACF =180°，∴∠DAC +∠ACF =360°﹣（∠BAC +∠BCA ）=360°﹣122°=238°，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，∴∠EAC =12∠DAC ，∠ECA =12∠ACF ，∴∠EAC +∠ECA =12（∠DAC +∠ACF ）=119°，∵∠EAC +∠ECA +∠AEC =180°，∴∠AEC =180°﹣（∠EAC +∠ECA ）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．例5．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，已知在ABC ∆中，B ∠、C ∠的外角平分线相交于点G ，若ABC m ∠=︒，ACB n ∠=︒，求BGC ∠的度数.【答案】()12BGC m n ∠=+ 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，在BCG ∆中，∠BGC=180°-（12∠EBC+12∠BCF ）=180°-12（∠EBC+∠BCF ）=180°-12（180°-∠ABC+180°-∠ACB ）=180°-12（180°-m°+180°-n°）；=()12+ m n 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．例6．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∠A ＝70°，则∠BDC ＝（）A ．35°B ．25°C ．70°D ．60°【答案】A 【分析】根据角平分线的定义可得∠CBD ＝12∠ABC ，∠DCE ＝12∠ACE ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DCE ＝∠D ＋∠CBD ，∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，然后整理求出∠D ＝12∠A ．【详解】解：∵CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∴∠CBD ＝12∠ABC ，∠DCE ＝12∠ACE ，由三角形的外角性质得，∠DCE ＝∠D ＋∠CBD ，∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠D ＋∠CBD ＝12（∠A ＋∠ABC ）∴∠D ＝12∠A ，∵∠A ＝70°，∴∠D ＝12×70°＝35°．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键．例7．（2022秋·八年级课时练习）如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，……以此类推，若A α∠=，则2020A ∠=．【答案】20202α【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，整理即可得解112A A ∠=∠，同理求出∠A 2，∠A 3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∴12（∠A +∠ABC ）=12∠ABC +∠A 1，∴∠A 1=12∠A ，∵∠A =α．∠A 1=12∠A =12α，同理可得∠A 2=12∠A 1=212α，根据规律推导，∴2020A ∠=20202α，故答案为20202α．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．例8．（2023春·成都市七年级课时练习）如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论①122∠=∠，②32BOC ∠=∠，③901BOC ∠=︒+∠，④902BOC ∠=︒+∠，正确的是．（把所有正确的结论的序号写在横线上）【答案】①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC ＝90°＋12∠1，∠BOC ＝90°＋∠2，再分析判断．【详解】∵CE 为外角∠ACD 的平分线，BE 平分∠ABC ，∴∠DCE ＝12∠ACD ，∠DBE ＝12∠ABC ，又∵∠DCE 是△BCE 的外角，∴∠2＝∠DCE−∠DBE ＝12（∠ACD−∠ABC ）＝12∠1，故①正确；∵BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠OBC ＝12ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，∴∠BOC ＝180°−（∠OBC ＋∠OCB ）＝180°−12（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−12（180°−∠1）＝90°＋12∠1，故②、③错误；∵OC 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∴∠ACO ＝12∠ACB ，∠ACE ＝12∠ACD ，∴∠OCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝12×180°＝90°，∵∠BOC 是△COE 的外角，∴∠BOC ＝∠OCE ＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．例9．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）（1）如图1所示，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线将于点O ，则有1902BOC A ∠=+∠︒，请说明理由．（2）如图2所示，在ABC 中，内角的平分线ABC ∠和外角ACD ∠的平分线交于点O ，请直接写出BOC∠与BAC ∠之间的关系，不必说明理由．（3）如图3所示，AP ，BP 分别平分CAD ∠，CBD ∠，则有1()2P C D ∠=∠+∠，请说明理由．（4）如图4所示，AP ，BP 分别平分CAM ∠，CBD ∠，请直接写出P ∠与C ∠，D ∠之间的关系，不必说明理由．【答案】(1)理由见解析；(2)∠BAC=2∠BOC ；(3)理由见解析；(4)11+9022P D C ∠=∠∠+︒【分析】(1)根据OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACB 的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；(2)根据OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACD 的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；(3)根据AP 是∠DAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP ，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C ，分析等式即可得出结果；(4)AP 是∠MAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x ，∠MAP=∠PAC=y ，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．【详解】解：(1)∵OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACB 的角平分线∴∠ABO=OBC ，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=()11802902A A ︒-∠÷=︒-∠∴∠BOC=11=180909022A A ⎛⎫︒-︒-∠=︒+∠ ⎪⎝⎭(2)∵OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACD 的角平分线∴∠ABO=∠OBC ，∠ACO=∠OCD∵∠BAC +∠ABC=∠ACD ，∠OBC+∠BOC =∠OCD ∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD ∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP 是∠DAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线∴∠DAP=∠PAC ，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP ，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C ∴1()2P C D ∠=∠+∠(4)∵AP 是∠MAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线∴∠MAP=∠PAC ，∠DBP=∠PBC 设∠DBP=∠PBC=x ，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x ∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x ）-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y ∵∠D+∠AEG=∠MAP ∴∠D+180°-（∠C+2x ）-y=y∴x+y=119022D C ∠-∠+︒∴119022P D C C ∠=∠-∠+︒+∠∴11+9022P D C ∠=∠∠+︒【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．例9．（2023·江苏八年级课时练习）（1）如图所示，在ABC 中，,BO CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，证明：1902BOC A ∠=+∠︒．（2）如图所示，ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D ，证明：1902BDC A -︒∠=∠．（3）如图所示，ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，证明：12D A ∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．①由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．②由②得180x y BOC +=-∠︒．③把③代入①，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒（2）∵BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、，由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-12[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°），=90°-12∠A ；（3）如图：∵BD 为△ABC 的角平分线，交AC 与点E ，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，两角平分线交于点D ∴∠1=∠2，∠5=12（∠A +2∠1），∠3=∠4，在△ABE 中，∠A =180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A ①在△CDE 中，∠D =180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A +2∠1），即2∠D =360°-2∠3-∠A -2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A ②，把①代入②得∠D =12∠A ．【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．课后专项训练1．（2023·成都·八年级月考）如图，ABC ∆的外角ACD ∠的平分线CP 与内角ABC ∠的平分线BP 交于点P ，若40BPC ∠=︒，则(CAP ∠=)A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【解答】解：延长BA ，作PN BD ⊥，PF BA ⊥，PM AC ⊥，设PCD x ∠=︒，CP 平分ACD ∠，ACP PCD x ∴∠=∠=︒，PM PN =，BP 平分ABC ∠，ABP PBC ∴∠=∠，PF PN =，PF PM ∴=，40BPC ∠=︒ ，(40)ABP PBC PCD BPC x ∴∠=∠=∠-∠=-︒，2(40)(40)80BAC ACD ABC x x x ∴∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒-︒=︒，100CAF ∴∠=︒，在Rt PFA ∆和Rt PMA ∆中，PA PA PM PF=⎧⎨=⎩，Rt PFA Rt PMA(HL)∴∆≅∆，50FAP PAC ∴∠=∠=︒．故选：C ．2．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在ABC 中，50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，点E 在BC 的延长线上，ABC ∠的平分线BD 与ACE ∠的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，下列结论中不正确的是（）A ．70BAC ∠=︒B ．90DOC ∠=︒C ．35BDC ∠=︒D ．55DAC ∠=︒【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出BAC ∠，即可判断A 选项；根据角平分线的定义求出ABO ∠，再利用三角形的内角和定理求出AOB ∠，然后利用对顶角，即可判断B 选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出DCO ∠，再利用三角形的内角和定理求出BDC ∠，即可判断C 选项；利用角平分线的性质，推出AD 为ABC 的外角平分线，然后列式计算求出DAC ∠，即可判断D 选项．【详解】解：50ABC ∠=︒ ，60ACB ∠=︒，180180506070BAC ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故A 选项正确，不符合题意；BD Q 平分ABC ∠，11502522ABO ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，在ABO 中，180180702585AOB BAC ABO ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，85DOC AOB ∴∠=∠=︒，故B 选项错误，符合题意；CD 平分ACE ∠，()()1111801806060222ACD ACE ACB ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，在COD △中，180180856035BDC COD ACD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故C 选项正确，不符合题意；BD Q 、CD 分别是ABC ∠和ACE ∠的平分线，D ∴到AB 、AC 、BC 的距离相等，AD ∴是ABC 的外角平分线，()()11180180705522DAC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故D 选项正确，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．3．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与y 轴在正半轴、x 轴正半轴分别交A 、B 两点，点C 在BA 的延长线上，AD 平分∠CAO ，BD 平分∠ABO ，则∠D 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【答案】B 【分析】由OA ⊥OB 即可得出∠OAB +∠ABO =90°、∠AOB =90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D 的度数．【详解】解：∵OA ⊥OB ，∴∠OAB +∠ABO =90°，∠AOB =90°．∵DA 平分∠CAO ，∴∠DAO =12∠OAC =12（180°-∠OAB ）．∵DB 平分∠ABO ，∴∠ABD =12∠ABO ，∴∠D =180°-∠DAO -∠OAB -∠ABD =180°-12（180°-∠OAB ）-∠OAB -12∠ABO =90°-12（∠OAB +∠ABO ）=45°．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D =90°-12（∠OAB +∠ABO ）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．4．（2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，连接,OB OC ．若120BOC ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．70︒【答案】C 【分析】由点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，可知O 是角平分线的交点，则12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，由180OBC OCB BOC ∠+∠+∠=︒，可得120ABC ACB ∠+∠=︒，根据180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，计算求解即可．【详解】解：∵点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，∴O 是角平分线的交点，∴12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，∵180OBC OCB BOC ∠+∠+∠=︒，∴1112018022ABC ACB ∠+∠+︒=︒，即120ABC ACB ∠+∠=︒，∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴60A ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．5．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 等于（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°【答案】B【分析】先根据角平分线的定义得到12∠=∠，34∠=∠，再根据三角形外角性质得1234A ∠+∠=∠+∠+∠，13D ∠=∠+∠，则2123A ∠=∠+∠，利用等式的性质得到12D A ∠=∠，然后把A ∠的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵ABC ∠的平分线与ACE ∠的平分线交于点D ，∴12∠=∠，34∠=∠，∵ACE A ABC ∠=∠+∠，即1234A ∠+∠=∠+∠+∠，∴2123A ∠=∠+∠，∵13D ∠=∠+∠，∴11301522D A ∠=∠=⨯︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．6．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在ABC 中，,ACB A BD ∠∠<是角平分线，BE 是边AC 上的高，延长BD 与外角ACF ∠的平分线交于点G ．以下四个结论：①ABD CBD ∠=∠；②90ABE A ∠+∠=︒；③45G ∠=︒；④2A ACB EBD ∠∠∠-=．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明2ABC GBC ∠=∠，2ACF GCF ∠=∠，ACF ABC A ∠=∠+∠，GCF GBC G ∠=∠+∠，可判断③，由()2290BED ADB ∠=︒-∠，ADB DBC ACB ∠=∠+∠，可得()218022BED DBC ACB ∠=︒-∠+∠，从而可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵BD 是ABC 角平分线，∴ABD CBD ∠=∠，故①符合题意；∵BE 是边AC 上的高，∴90ABE A ∠+∠=︒，故②符合题意；∵BD 是ABC 角平分线，CG 平分ACF ∠，∴2ABC GBC ∠=∠，2ACF GCF∠=∠∵ACF ABC A ∠=∠+∠，GCF GBC G ∠=∠+∠，∴22GCF GBC A ∠=∠+∠，∴12G A ∠=∠，∵90A ∠<︒，∴45G ∠<︒，故③不符合题意；∵()2290BED ADB ∠=︒-∠，ADB DBC ACB ∠=∠+∠，∴()218022BED DBC ACB ∠=︒-∠+∠()1802ABC ACB =︒-∠+∠()180180A ACB =︒-︒-∠+∠A ACB =∠-∠，故④符合题意；故选C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．7．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，16BAC ∠=︒，ACB ∠的平分线与外角ABD ∠的平分线交于点E ，连接AE ，则AEC ∠的度数为．【答案】37︒/37度【分析】由角平分线的性质可得EF EH EG ==，进而可证明EA 是BAC ∠的外角平分线，再利用三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：过E 点分别作EF AC ⊥于F ，作EG AB ⊥于点G ，作EH CD ⊥于H ，∵EC 是ACB ∠的平分线，EB 是ABD ∠的平分线，∴EF EH =，EG EH =，∴EF EG =，∴EA 是BAC ∠的外角平分线，∵90ACB ∠=︒，16BAC ∠=︒，∴45ACE ∠=︒，∴180168222FAB EAB ∠︒-︒∠===︒，∴()()18018082164518014337AEC EAC ACE ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒+︒=︒-︒=︒．故答案为：37︒．【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．8．（2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，若A α∠=，则999A ∠=．【答案】9992α【分析】根据角平分线的定义可得112BD ABC A =∠∠，112ACD ACD ∠=∠，再根据三角形外角的性质可得()11122ABC A ABC A ∠+∠=∠+∠，化简可得112A A ∠=∠，进一步找出其中的规律，即可求出999A ∠的度数．【详解】解：1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，112A BD ABC ∠∠∴=，112ACD ACD ∠=∠，又ACD ABC A ∠=∠+∠Q ，111A CD A BD A ∠∠∠=+，()11122ABC A ABC A ∠∠∠∠∴+=+，11122A A α∴∠=∠=，同理可得：21211112222A A αα∠=∠=⨯=，23131122A A ∠∠α==，......则999999999122A A α∠==，故答案为：9992α．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出1A ∠，2A ∠，3A ∠与A ∠的规律是解题的关键．9．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB AC <，BAC ∠的平分线与外角BCD ∠的平分线相交于点M ，作AB 的延长线得到射线AE ，作射线BM ，有下面四个结论：①MCD MAB ∠>∠；②BM CM =；③射线BM 是EBC ∠的角平分线；④1902BMC BAC ∠=︒-∠．所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】由角平分线的定义可知MAB MAC ∠=∠．再根据三角形外角的性质得出MCD MAC AMC ∠=∠+∠，即可确定MCD MAB ∠>∠，故①正确；过点M 作MF AD ⊥于点F ，MG BC ⊥于点G ，MH AE ⊥于点H ，由角平分线的性质定理可得出MF MG MH ==．即易证Rt Rt (HL)BMG BMH ≌，得出MBG MBH ∠=∠，即说明射线BM 是EBC ∠的角平分线，故③正确；利用反证法，假设BM CM =，易证CBE BCD ∠=∠，即得出A ABC CB =∠∠．由AB AC <，可知ABC ACB ∠≠∠，即说明BM CM =不成立，故②错误；由BMC BMG CMG ∠=∠+∠，即得出(90)(90)BMC MBG MCG ∠=︒-∠+︒-∠．再根据角平分线的定义即得出11(90)(90)22BMC CBE BCD ∠=︒-∠+︒-∠，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．【详解】解：∵AM 为BAC ∠的平分线，∴MAB MAC ∠=∠．∵MCD MAC AMC ∠=∠+∠，∴MCD MAC ∠>∠，∴MCD MAB ∠>∠，故①正确；如图，过点M 作MF AD ⊥于点F ，MG BC ⊥于点G ，MH AE ⊥于点H ，∵AM 为BAC ∠的平分线，CM 为BCD ∠的平分线，∴MF MG MH ==．又∵BM BM =，∴Rt Rt (HL)BMG BMH ≌，∴MBG MBH ∠=∠，即射线BM 是EBC ∠的角平分线，故③正确；假设BM CM =，∴MBC MCB ∠=∠．∵CM 为BCD ∠的平分线，BM 是EBC ∠的角平分线，∴MBE MBC ∠=∠，MCB MCD ∠=∠，∴MBE MBC MCB MCD ∠+∠=∠+∠，即CBE BCD ∠=∠，∴180180CBE BCD ︒-∠=︒-∠，即A ABC CB =∠∠．∵AB AC <，∴ABC ACB ∠≠∠，∴假设不成立，故②错误；∵BMC BMG CMG ∠=∠+∠，∴(90)(90)BMC MBG MCG ∠=︒-∠+︒-∠．∵1122MBG CBE MCG BCD ∠=∠∠=∠，，∴11(90)(90)22BMC CBE BCD ∠=︒-∠+︒-∠，∴11(90)(90)22BMC CBE BCD ∠=︒-∠+︒-∠1118022CBE BCD =︒-∠-∠11180(180)(180)22ABC ACB =︒-︒-∠-︒-∠1()2ABC ACB =∠+∠1(180)2BAC =︒-∠1902BAC =︒-∠，∴④正确．综上可知所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．10．（2023春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠ACO=12∠ACB ，∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACD=12∠ACE ，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE ）=12×180°=90°，∵∠BOC ＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，A D m ∠+∠=︒，ABC ∠的平分线与BCD ∠的平分线交于点P ，则P ∠=．（用含字母m 的代数式表示）【答案】12m ︒【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD 的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P 的度数即可．【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，∵PB 、PC 是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，∴∠PBC=12ABC ∠，∠BCP=12BCD ∠，∴∠PBC+∠BCP=1111+=(+)(360) 2222ABC BCD ABC BCD m ∠∠∠∠=︒-︒∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）=11180(360)22m m︒-︒-︒=︒故答案为：12m︒．【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC+∠BCP的度数．12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝．【答案】36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，∴∠CMB+∠CNB=180°，又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴12（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键．13．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC=12∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC=12∠A；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根据∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．【详解】(1)∠BOC=12∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，又∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．∴∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°．∴∠BOC=180°﹣12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A．(2)∠BOC=12∠A．∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∠BOC=∠OCE-∠OBC 又∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．14．（2023·北京昌平·八年级校考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90 +12∠A,理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB ∴∠l+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180︒-∠A)=90︒-12∠A ∴∠BOC=180︒-(∠1+∠2)=180︒-(90︒-12∠A)=90︒+12∠A (1)探究2；如图2中，O 是12∠ABC 与外角12∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中,O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（直接写出结论）(3)拓展：如图4，在四边形ABCD 中，O 是∠ABC 与∠DCB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A+∠D 有怎样的关系？（直接写出结论）【答案】（1）探究2结论：∠BOC=12A ∠；（2）探究3：结论∠BOC=90°－12A ∠；（3）拓展：结论()12BOC A D ∠=∠+∠【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=12∠ACD=12（∠A+∠ABC ），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；（3）同（1）的求解思路．【详解】（1）探究2结论：∠BOC=12∠A ．理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A，即∠BOC=12∠A；（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=12（∠A+∠ACB），∠OCB=12（∠A+∠ABC），在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A+∠ABC），=180°-12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），=180°-12（180°+∠A），=90°-12∠A；故答案为∠BOC=90°-12∠A．（3）∠OBC+∠OCB=12（360°-∠A-∠D），在△BOC中，∠BOC=180°-12（360°-∠A-∠B）=12（∠A+∠D）．故答案为∠BOC=12（∠A+∠D）．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．15．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝°；若∠MON＝90°，则∠ACG＝°；（2）若∠MON＝n°，请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若∠MON＝n°，过C 作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO－∠ACF的度数．（用含n的代数式表示）．【答案】（1）60°；45°；（2）90°－12n；（3）90°－12n．【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到∠ACG的度数；（2）根据（1）中的结论即可求出答案；（3）根据角平分线的性质，平行线的性质得到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性质得到∠BGO－∠ACF=∠ACG，由此得到答案.【详解】（1）∵∠MON+∠ABO+∠BAO＝180°，∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABC=12∠ABO，∠BAC=12∠BAO，当∠MON＝60°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12（180°-∠MON）=60°，当∠MON＝90°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12（180°-∠MON）=45°，故答案为：60°，45°；（2）由（1）知∠ACG=12（180°-∠MON），∵∠MON＝n°，∴∠ACG=12（180°-∠MON）=90°－12n；（3）∵AC平分∠BAO，∴∠BAC=∠CAO∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,∴∠BGO－∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,∵∠MON＝n°时∠ACG=90°－12n，∴∠BGO－∠ACF=90°－12n.【点睛】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用.16．（2023·山西晋城·七年级统考期末）在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α＝70°时，∠BDC度数＝度（直接写出结果）；②∠BDC的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．【答案】（1）（1）①125°；②1902α︒+，（2）1BFC2α∠=；（3）1BMC904α︒∠=+【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得BFC FCE FBC∠=∠-∠，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得BGC BFC∠=∠，结合（1）②的结论可得答案．【详解】解：（1）①∵12DBC∠=∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12（180°﹣70°）＝125°②∵12DBC∠=∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC +∠ACB ）＝180°﹣12（180°﹣∠A ）＝90°+12∠A＝90°+12α．故答案分别为125°，90°+12α．（2）∵BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACE ∴1FBC ABC 2∠=∠，1FCE ACE 2∠=∠，∴BFC FCE FBC ∠=∠-∠＝11(ACE ABC)A 22∠-∠=∠即1BFC 2α∠=．（3）由轴对称性质知：1BGC BFC 2α∠=∠=，由（1）②可得1BMC 90BGC 2∠=︒+∠，∴1BMC 904α∠=︒+．【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．17．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】（1）如图1，在ABC 中，点E 是ABC 内角ACB ∠平分线CE 与外角ABD ∠的平分线BE 的交点，则有12∠=∠E A ．请补齐下方的说理过程．理由如下：因为180EBC EBD ∠+∠=°，又因为在EBC 中，180EBC E ECB ∠+∠+∠=°，所以EBC EBD EBC E ECB ∠+∠=∠+∠+∠．所以EBD E ∠=∠+∠______．（理由是：等式性质）同理可得：ABD A ∠=∠+∠______．又因为BE 和CE 分别是ABD ∠和ACB ∠的角平分线，所以12EBD ABD ∠=∠，∠______12ACB =∠．所以1122ABD E ACB ∠=∠+∠．即111222E ABD ACB ∠=∠-∠=（ABD ACB ∠-∠）．所以12∠=∠E A ．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】（2）如图2，在ABC 中，40ABC ∠=︒．延长BA 至G ，延长AC 至H ，已知BAC ∠、CAG ∠的角平分线与BCH ∠的角平分线及其反向延长线交于E 、F ，求F ∠的度数；【变式拓展】（3）如图3，四边形ABCD 的内角BCD ∠与外角ABG ∠的平分线形成如图所示形状．①已知150A ∠=︒，80D ∠=︒，求E F ∠+∠的度数；②直接写出E F ∠+∠与A D ∠+∠的关系．【答案】（1）ECB ，ACB ，ECB ；（2）70°；（3）①205°；②E F ∠+∠=12（A D ∠+∠）+90°【分析】（1）根据三角形外角的性质以及角平分线的定义，即可得到答案；（2）先推出∠AEC =12∠ABC =20°，再推出∠EAC +∠FAC ==90°，进而即可求解；（3）①延长BA 、CD 交于点M ，延长CE 、BF 交于点N ，可得∠N =12∠M ，进而即可求解；②根据∠N =12∠M ，结合平角的意义以及三角形内角和定理，即可得到结论．【详解】解：（1）因为180EBC EBD ∠+∠=°，又因为在EBC 中，180EBC E ECB ∠+∠+∠=°，所以EBC EBD EBC E ECB ∠+∠=∠+∠+∠．所以EBD E ∠=∠+∠ECB ．（理由是：等式性质）同理可得：ABD A ∠=∠+∠_ACB_．又因为BE 和CE 分别是ABD ∠和ACB ∠的角平分线，所以12EBD ABD ∠=∠，∠__ECB____12ACB =∠．所以1122ABD E ACB ∠=∠+∠．即111222E ABD ACB ∠=∠-∠=（ABD ACB ∠-∠）．所以12∠=∠E A ．故答案是：ECB ，ACB ，ECB ；（2）∵40ABC ∠=︒，∴∠AEC =12∠ABC =20°，∵BAC ∠、CAG ∠的角平分线与BCH ∠的角平分线及其反向延长线交于E 、F ，∴∠EAC +∠FAC =12∠ABC +12CAG ∠=12(∠ABC +CAG ∠)=12×180°=90°，∴∠F=180°-90°-20°=70°；（3）①延长BA 、CD 交于点M ，延长CE 、BF 交于点N ，∵BF ，CE 平分∠ABG 、∠DCB ，∴∠N =12∠M ，∵150=︒∠BAD ，80ADC ∠=︒，∴∠M =180°-（180°-150°）-（180°-80°）=50°，∴∠N =25°，∴AEF BFE ∠+∠=360°-（180°-25°）=205°；②∵AEF BFE ∠+∠=360°-（180°-∠N ）=180°+∠N ，BAD ∠+ADC ∠=180°+∠M ，又∵∠N =12∠M ，∴AEF BFE ∠+∠-180°=12（BAD ∠+ADC ∠-180°），即：E F ∠+∠=12（A D ∠+∠）+90°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题的关键．18．（2023春·江苏南京·七年级期中）（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______（2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．【答案】（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-∠【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∵40A ∠=︒，。

初中数学倒角知识点总结一、倒角的概念倒角是指用一个平面切割出一个立体图形的顶点，使之成为一个平面，即把一个尖角变成了一个平角。

二、倒角的特点1、倒角是一个尖角所对的一个立体图形的顶点；2、在三维空间中的一个顶点可以有多个倒角；3、倒角所对的两个棱相交；4、倒角处的角度应该是直角或者锐角，不应该是钝角。

三、倒角的计算倒角的计算方法有两种，一种是用勾股定理，另一种是用三棱柱的性质。

1、用勾股定理计算倒角（1）已知倒角所对的两个棱长度可以利用勾股定理计算倒角所对的三角形的斜边，再计算出角度；（2）已知倒角所对的两个棱和一个直角可以利用勾股定理计算倒角所对的三角形的一个锐角，再用180°减去这个锐角得到倒角的度数。

2、用三棱柱的性质计算倒角如图所示，A、B、C、D四个点确定了一个三棱柱，点B所在的平面将三棱柱的顶点D锥尖倒角，使得棱DB成为最终倒角三棱柱的轴。

利用示意图可以得到tanADB=AB DB=ABDC=ABDA .ADB=arctan ADA.四、倒角的应用倒角是一个很重要的三维图形的概念，在数学和工程中有许多应用。

1、立方体四顶点倒角立方体的四个顶点倒角后，成为四个等腰直角三角形，这样可以减少立方体的重量，但保持相对稳定。

2、机械结构的设计在机械结构的设计中，有时需要对一些机械零件的顶点倒角，这是因为倒角后能够减少零件的重量，提高生产效率，同时也能够减少一些不必要的突出部分，减少受力面，从而提高零件的强度和稳定性。

3、建筑与装修在建筑和装修中，倒角也经常应用，比如墙面的顶角倒角、门窗的边角倒角等。

这不仅可以美化建筑结构，还可以避免尖锐的边角划伤人体。

五、倒角的误区1、倒角就是平角倒角并不是直接变成了平角，而是被一个平面所切割，所以倒角的度数应该是锐角或直角。

2、倒角只能用勾股定理计算倒角的计算方法有多种，可以根据具体题目采用不同的方法计算，不一定只能用勾股定理。

3、倒角只有一个一个顶点可以有多个倒角，不只是一个。