2016.4.北京西城高三一模 文科数学 真题

北京市西城区2016年高三一模试卷数 学(文科） 2016.4第Ⅰ卷(选择题 共40分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1。

设集合2{|}4A x x x =≤,集合{1,2,3,4}B =--,则AB =( )（A ）{1,2}- (B){2,4} （C ）{3,1}-- （D){1,2,3,4}-- 2. 设命题p ：0,sin 21xx x ∃>>-，则⌝p 为（ )（A)0,sin 21xx x ∀>-≤ (B ）0,sin 21xx x ∃><- （C ）0,sin 21xx x ∀><- (D ）0,sin 21x x x ∃>-≤3。

如果()f x 是定义在R 上的奇函数,那么下列函数中，一定为偶函数的是（ )(A ）()y x f x =+ (B ）()y xf x = (C ）2()y x f x =+ (D ）2()y x f x =4．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况,其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示。

若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）(A ）{2} （B ）{1,2} (C){0,1,2} （D){2,3}5。

在平面直角坐标系xOy 中，向量OA ＝（-1， 2），OB＝（2, m ) ， 若O , A ， B 三点能构成三角形，则（ ）（A ）4m =- （B ）4m ≠- （C ）1m ≠ (D)m ∈R甲队 乙队 890 1m8236。

执行如图所示的程序框图,若输入的,A S 分别为0， 1,则输出的S =（ ）（A ）4 （B ）16 (C ）27 (D ）36 7. 设函数12()log f x x x a=+-,则“(1,3)a ∈”是 “函数()f x 在(2,8)上存在零点”的（ )（A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D)既不充分也不必要条件 8。

北京市西城区2016年高三一模试卷英语2016.4本试卷共10页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分：听力理解（共三节，30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，共7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话你将听一遍。

例：What is the man going to read?A. A newspaper.B. A magazine.C. A book.答案是A。

1. Where are the two speakers?A. At the library.B. At the bookstore.C. At the police station.2. Why is Mary coming home late?A. She‟ll pick up Jenny.B. She‟ll visit her friend.C. She‟ll go to her night class.3. How much did the woman probably spend on her textbooks in total?A. More than $400.B. Less than $400.C. Around $80.4. What will Lucy probably do?A. Turn off the TV.B. Help her sister.C. Do her homework.5. When are the speakers going to play tennis?A. This afternoon.B. Tomorrow morning.C. Tomorrow afternoon.第二节（共10小题；每小题1.5分，共15分）听下面4段对话或独白。

北京市西城区2016届高三一模文科数学试卷一、单选题1.设集合，集合，则（）A． B．C． D．【知识点】集合的运算【试题解析】所以。

故答案为：B【答案】B2.设命题p：，则p为（）A． B．C． D．【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p为：。

故答案为：A【答案】A3.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A． B．C． D．【知识点】函数的奇偶性【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。

故答案为：B【答案】B4.下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）A． B． C． D．【知识点】样本的数据特征茎叶图【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2．故答案为：C【答案】C5.在平面直角坐标系中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O，A，B三点能构成三角形，则（）A． B． C． D．【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若O，A，B三点能构成三角形，则O，A，B三点不共线。

若O，A，B三点共线，有：-m=4，m=-4．故要使O，A，B三点不共线，则。

故答案为：B【答案】B6.执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的（）A．4 B．16 C．27 D．36【知识点】算法和程序框图【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是，则输出的36。

故答案为：D【答案】D7.设函数，则“”是“函数在上存在零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【知识点】零点与方程【试题解析】因为所以若，则函数在上存在零点；反过来，若函数在上存在零点，则则故不一定。

故答案为：A【答案】A8.在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（）A．最多可以购买4份一等奖奖品 B．最多可以购买16份二等奖奖品C．购买奖品至少要花费100元 D．共有20种不同的购买奖品方案【知识点】线性规划【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，则根据题意有：，作可行域为：A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2016.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．29n - 16- 11．3 33y x =±12．6 13．21 14．○1○4注：第10，11题第一问2分，第二问3分；第14题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得 3b c =. ………………3分 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π3A =，7a =， ………………5分 得 227b c bc =+-，所以 222()733b b b +-=，解得 3b =. ………………7分 （Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-. 所以 2πsin()3sin 3C C -=. ………………8分 即31cos sin 3sin 22C C C +=， ………………11分 所以35cos sin 22C C =，所以3tan 5C =. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，………………2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30100075040⨯=人. ……4分 （Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件A ， ………………5分由题意，得2325C 37()11C 1010P A =-=-=，因此至少有1人体育成绩在[60,70)的概率是710. ………………9分 （Ⅲ）解：a , b , c 的值分别是为79, 84, 90；或79, 85, 90. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由11CC D D 为矩形，得11//CC DD ，又因为1DD ⊂平面1ADD ，1CC ⊄平面1ADD ，所以1//CC 平面1ADD ， ……………… 2分 同理//BC 平面1ADD ， 又因为1BCCC C =，所以平面1//BCC 平面1ADD , ……………… 3分 又因为1BC ⊂平面1BCC ，所以1//BC 平面1ADD . ……………… 4分 （Ⅱ）解：由平面ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=，得AB BC ⊥，又因为1AB BC ⊥，1BC BC B =，所以AB ⊥平面1BCC ， 所以1AB CC ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点， 所以1CC ⊥平面ABCD ， 因为11//CC DD ， 所以1DD ⊥平面ABCD .过D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥，所以1,,DA DM DD 两两垂直，以1,,DA DM DD 分 别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分则(0,0,0)D ，(4,0,0)A ，(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,2)C ，1(0,0,2)D ， 所以1(1,2,2)AC =-,1(4,0,2)AD =-. 设平面11AC D 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由10AC ⋅=m ，10AD ⋅=m ，得220,420,x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩令2x =，得(2,3,4)=-m . ………………8分易得平面1ADD 的法向量(0,1,0)=n . 所以329cos ,||||29⋅<>==-m n m n m n . 即平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值为32929. ………………10分 （Ⅲ）结论：直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………11分证明：设1(0)DD m m =>，1((0,1))DP DC λλ=∈， 由(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,)C m ，(0,0,0)D ，ABCDD 1C 1Pyxz得1(1,0,)BC m =-，1(3,2,)DC m =，1(3,2,)DP DC m λλλλ==，(3,2,0)CD =--， (33,22,)CP CD DP m λλλ=+=--. ………………12分 若1BC CP ⊥，则21(33)0BC CP m λλ⋅=--+=，即2(3)3m λ-=-， 因为0λ≠， 所以2330m λ=-+>，解得1λ>，这与01λ<<矛盾.所以直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：对()f x 求导，得1()(1)e e x x f x x a -'=+-， ………………2分 所以(1)2e e f a '=-=，解得e a =. ………………3分 故()e e x x f x x =-，()e x f x x '=. 令()0f x '=，得0x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)-∞0 (0,)+∞()f x ' -0 +()f x↘↗所以函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞. ………………5分（Ⅱ）解：方程2()2f x kx =-，即为2(1)e 20x x kx --+=，设函数2()(1)e 2x g x x kx =--+. ………………6分 求导，得()e 2(e 2)x x g x x kx x k '=-=-．由()0g x '=，解得0x =，或ln(2)x k =. ………………7分 所以当(0,)x ∈+∞变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：x (0,ln(2))kln(2)k (ln(2),)k +∞()g x ' -0 +()g x↘↗所以函数()g x 在(0,ln(2))k 单调递减，在(ln(2),)k +∞上单调递增. ………………9分由2k >，得ln(2)ln 41k >>.又因为(1)20g k =-+<， 所以(ln(2))0g k <.不妨设12x x <（其中12,x x 为2()2f x kx =-的两个正实数根），因为函数()g x 在(0,ln 2)k 单调递减，且(0)10g =>，(1)20g k =-+<，所以101x <<. ………………11分 同理根据函数()g x 在(ln 2,)k +∞上单调递增，且(ln(2))0g k <， 可得2ln(2)ln 4x k >>，所以12214||ln 41ln ex x x x -=->-=，即 124||ln ex x ->. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，椭圆C ：221113x y m m+=， ………………1分所以21a m =，213b m=， 故12226a m ==，解得16m =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=. ………………3分因为222c a b =-=， 所以离心率63c e a ==. ………………5分 （Ⅱ）解：设线段AP 的中点为D ，因为||||BA BP =，所以BD AP ⊥， ………………7分 由题意，直线BD 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则点D 的坐标为003(,)22x y +，且直线AP 的斜率003AP y k x =-， ………………8分 所以直线BD 的斜率为031AP x k y --=， 所以直线BD 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-. ………………10分 令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-， 由2200162x y +=，得22063x y =-， 化简，得20023(0,)2y B y --. ………………11分 所以四边形OPAB 的面积OPAB OAP OAB S S S ∆∆=+200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯………………12分 2000233(||||)22y y y --=+ 0033(2||)22||y y =+003322||22||y y ⨯⨯≥ 33=.当且仅当00322y y =，即03[2,2]2y =±∈-时等号成立. 所以四边形OPAB 面积的最小值为33. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为7. ………………2分 （Ⅱ）解：设1a p =，其中0p ≠，且1p ≠±.由111n n n a a a ++=-，得211p a p +=-，31a p=-，411p a p -=+，5a p =，所以15a a =，因此A 中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次. ………………4分 所以{}n b 中，432k b -=，423k b -=-，4112k b -=-，413k b =（*k ∈N ），所以{}n c 中，433k c -=，422k c -=-，4113k c -=-，412k c =（*k ∈N ）. ……………5分由111||||k ki i i i i i b c b c +==--∑∑≥，得项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大.由417||3i i i b c =-=∑， ………………6分 得34564864117||||86420163i i i ii i b c b c ⨯==-=-=⨯=∑∑.所以当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑.故m 的最大值为3455. ………………8分 （Ⅲ）证明：假设T 中的元素个数大于或等于17个. 因为数列{}n a 中，0i a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组123,,)(a a a 有且只有8个：,0,0)(0，,0,0)(1，,1,0)(0，,0,1)(0，,1,0)(1，,0,1)(1，,1,1)(0，,1,1)(1.那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的123,,a a a . ………………10分设这三个数列分别为1234567,,,,,,{}n c c c c c c c c ：；1234567,,,,,,{}n d d d d d d d d ：；123456,,,,,,{}n f f f f f f f f ：，其中111d f c ==，222d f c ==，333d f c ==.因为这三个数列中每两个的距离大于或等于3，所以{}n c 与{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=中至少有3个成立.不妨设445566,,c d c d c d ≠≠≠.由题意，得44,c d 中一个等于0，而另一个等于1.又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立， 同理，得55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”或“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立.所以71||2i i i f c =-∑≤和71||2i i i f d =-∑≤中必有一个成立.这与题意矛盾，所以T 中的元素个数小于或等于16. ………………13分。

西城区高三统一测试数学（文科） .4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么UA B =（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ）2)，(0,2) （B ）2,0)，(2,0) （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则 （A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+ （B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=- （C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+（D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A ）3（B ）6 （C ）42（D ）258．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||x 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()xf x 的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____； 直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin 4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足15A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P 0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号 题号 1 234 5 1 × √ √ √ √2 √ √ √ √ ×3 √ √ √ √× 4 √ √√ ××5√ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √√× 8 √ × × × × 9 √ √ ××× 10 √ √√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）； （Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．12 11．(1,1)；212．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分] 所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．[ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分]所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a C A c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以 1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分] 所以 π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分] 33sin 2A A = [ 9分] π3sin()6A +． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin AB +3 [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度0.80.80.70.70.2[ 4分]所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分] （Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分]又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分] 所以12PF PC =． [ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =． 所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分]所以直线OM 的斜率是 22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分]解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=．因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分] 因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分] 由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：x1-(1,0)- 0 (0,1) 1()g x '-0 -()g x21e 2+ ↘ 1↘12所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分]所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分] 设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞， 所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增， 所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分] 所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．11 / 11 所以 ||MN 的最小值为2，此时1a ． [13分]。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若A B B = ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(,1)-∞-2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC = ，则AM =（ ）（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2AB AC +4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为真命题（C ）“p ⌝”为真命题 （D ）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是（ ） （A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+侧(左)视图正(主)视图 俯视图6. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ） （A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中1处应填（ ）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____.11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5,2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.1 该食品在8C的保鲜时间是_____小时；2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了a此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <.16．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3)2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠= ,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积.FADPM18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：甲 6 6 99乙79xy（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x =，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>，点(1,A 在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值.20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x x =+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．6 3x =- 11. 9 12．113．7914．4 是 注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为123,1,a a a +是公差为3-的等差数列，所以213213,(1)3,a a a a +=-⎧⎨=+-⎩………………2分即112114,2,a q a a q a q -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩………………3分解得118,2a q ==. ……………… 5 分所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=．……………… 7分 （Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==， 所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分16116[1()]343n =-<. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =2sin cos 1)x x x =-1sin 222x x=+ ……………… 4分πsin(2)3x =+， (6)分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ……………… 8分（Ⅱ）解：由22ππππ2π+232k k x -+≤≤，k ∈Z ， ……………… 9分得5ππππ+1212k k x -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为[5ππππ+]1212k k -,，k ∈Z . ……………… 11分所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ……………… 13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//MF 平面PAB . ………………7分 同理，得//EF 平面PAB .又因为=MF EF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ， 所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分（Ⅲ）解：在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略）， 由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ， 所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯= . …… 14分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>. (2)分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零， 所以,x y 中至少有一个小于6， (4)F CADPMB E分又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ，所以15x y +≤， 所以15x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ， ……………… 6分记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ……………… 7分而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ， ……………… 8分因此事件M 的概率81()162P M ==. ……………… 10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ……………… 2分又因为点(1,2A 在椭圆C 上， 所以221314a b +=， ……………… 3分解得2a =，1b =，c =所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (5)分（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 易得直线1OP ，2OP 的斜率之积1214k k ⋅=-. …………… 6分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以22(8)4(41kmk m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……………… 9分由方程组22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(1)250k x kmx m +++-=， ………………10分设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221kmx x k -+=+，212251m x x k -⋅=+， ……………… 11分所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅=== 222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分将2241m k =+代入上式，得212211444k k k k -+⋅==--. 综上，12k k ⋅为定值14-. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， ……………… 1分求导，得32()2f x x '=-， ……………… 2分令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，……………… 3分所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值． ……………… 4分（Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ……………… 5分设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x'=-， 所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ， 所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分 即2031x =-，此方程显然无解， 所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ……………… 8分（Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”.由方程2121x kx x +=-，得3112k x x=++. ……………… 9分 令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ， 因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ………………11分而方程32k t t =++中， t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一 根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点. ……………… 13分。

北京市西城区2016 年高三一模试卷英语2016.4本试卷共12 页，共150 分。

考试时长120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分：听力理解（共三节，30 分）第一节（共5 小题；每小题 1.5 分，共7.5 分）听下面5 段对话。

每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你将有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话你将听一遍。

例：What is the man going to read?A. A newspaper.B. A magazine.C. A book.答案是A。

1. Where are the two speakers?A. At the library.B. At the bookstore.C. At the police station.2. Why is Mary coming home late?A. She‟ll pick up Jenny.B. She‟ll vis it her friend.C. She‟ll go to her night class.3. How much did the woman probably spend on her textbooks in total?A. More than $400.B. Less than $400.C. Around $80.4. What will Lucy probably do?A. Turn off the TV.B. Help her sister.C. Do her homework.5. When are the speakers going to play tennis?A. This afternoon.B. Tomorrow morning.C. Tomorrow afternoon.第二节（共10 小题，每小题 1.5 分，共15 分）听下面4 段对话或独白。

北京市西城区2016高三一模试卷数学（理科） 2016．4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.设集合{}240A x x x =+<，集合{}21,B n n k k ==-∈Z ，则A B =(A){}1,1-(B){}1,3(C){}3,1--(D){}3,1,1,3--2.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），则C 曲线是(A)关于x 轴对称的图形 (B)关于y 轴对称的图形 (C) 关于原点对称的图形(D)关于y x =对称的图形3.如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是 (A) ()y x f x =+(B)()y xf x = (C)()2y x f x =+(D)()2y x f x =4.在平面直角坐标系xOy 中，向量()1,2OA =-,()2,OB m =，若O ，A ，B 三点构成的三角形，则 (A) 4m =- (B)4m ≠-C)1m ≠(D)m ∈R5.执行如图所示的程序库按图，若输入的A 、S 分别为0，1则输出的S = (A)4(B)16(C)27(D)366.设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“(),0a ∈-∞ ”是“12log x x a >+”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件7.设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>），且函数()f x 的部分图像如图所示，则有(A)357436f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(B)375463f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (C) 573364f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(D)537346f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.如图，在棱长为()0a a >的正四面体ABCD 中，点B ，C ，D 分别在棱AB ，AC ，AD 上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111A B C D -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V F x =，则 (A)当23x =时，函数()f x 取得最大值 (B)函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 (C)函数()f x 的图像关于直线12x =对称(D)存在0x ，使得()013A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD的体积）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.在复平面内，复数1z 与2z 对应的点关于虚轴对称，且11i z =-+，则12z z = . 10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，33a =-，245a a =，则n a = ；记{}n a 的前项和为n S ，则n S 的最小值为 .ADCBD 1C 1B 1A 111.若圆()2221x y -+=与双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线相切，则a = ；双曲线C 的渐近线方程是.12.一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是 . 13.在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者工作，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，共有 种不同的志愿者分配方案.（用数字作答）14.一辆赛车在一个周长为3km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系. 根据图1，有一些四个说法：①在这第二圈的2.6km 到2.8km 之间，赛车速度逐渐增加； ②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km ；③大约在这第二圈的0.4km 到0.6km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶； ④在图2的四条曲线（注：s 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹. 其中，所有正确说法的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设3A π=，sin 3sin B C =.（Ⅰ）若a =b 的值；（Ⅱ）求tan C 的值. 16．（本小题满分13分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被成为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生，试估计，高一全年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取2人，至少有1人体育成绩在[)60,70的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且分别在[)70,80，[)80,90，[]90,100三组中，其中a ，b ，c ∈N ，当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，写出a ，b ，c 的值.（结论不要求证明）（注：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）17．（本小题满分14分）如图，四边形为梯形ABCD ，DAD BC ∥，90BAD ∠=，四边形11CC D D 为矩形，已知1AB BC ⊥，4AD =，2AB =，1BC =.（Ⅰ）求证：1BC ∥平面1ADD ；（Ⅱ）若12DD =，求平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设P 为线段1C D 上的一个动点（端点除外），判断直线1BC 与直线CP 能否垂直？并说明理由. 18．（本小题满分13分）已知函数()1e e x x f x x a -=- ，且()'1e f =. （Ⅰ）求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程()()222f x kx k =->存在两不相等的正实数根1x ，2x ，证明：124lnex x ->.19．（本小题满分14分）已知椭圆()22:310C mx my m +=>的长轴长为O 为坐标原点（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ）设点()3,0A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.20．（本小题满分13分）设数列{}n a 和{}n b 的项均为m ，则将数列和的距离定义为1mi ii a b=-∑.（Ⅰ）该出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离（Ⅱ）设A 为满足递推关系111nn na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 得最大值；证明：中的元素个数小于或等于16.北达教育总部位于北京大学校内,分校遍及北京各城区40多所,多年来被家长认可的教育机构,法制晚报曾报道：是什么让北达教育成为京城良好口碑课外辅导品牌?为此北达教育被法制晚报评为：公众最信赖知名教育品牌！曾多次被新浪网，中国网评为课外绿色发展机构！北达教育为中央电视台推荐品牌。

北京市西城区2015 —2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，集合，若，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）2. 下列函数中，值域为的偶函数是（）（A）（B）（C）（D）3．设是所在平面内一点，且，则（）（A）（B）（C）（D）4．设命题p：“若，则”，命题q：“若，则”，则（）（A）“”为真命题（B）“”为真命题（C）“”为真命题（D）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）6. “”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7. 设，满足约束条件1,3,,x yy my x+-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥若的最大值与最小值的差为7，则实数（）（A）（B）（C）（D）8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中（单位：千米）为行驶里程，（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中○1处应填（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知复数满足，那么____.10．若抛物线的焦点在直线上，则实数____；抛物线C的准线方程为____.11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.12．已知函数的部分图象如图所示，若不等式的解集为，则实数的值为____.13. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，则____；ABC的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：）满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时.○1该食品在的保鲜时间是_____小时；○2已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知数列是等比数列，并且是公差为的等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记为数列的前n项和，证明：.16．（本小题满分13分）已知函数()cos(sin)=，.f x x x x（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数的单调增区间.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，, ,分别为的中点，点在线段上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积.18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求的值；（Ⅱ）如果，，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，求的概率； （Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）已知椭圆:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为，点在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆的相交于不在坐标轴上的两点，，记直线， 的斜率分别为，，求证：为定值.20．（本小题满分13分）已知函数，直线. （Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9． 10．11. 9 12． 13． 14．4 是 注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：设等比数列的公比为， 因为是公差为的等差数列， 所以……………… 2分 即……………… 3分解得. ……………… 5 分所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=． ……………… 7分（Ⅱ）证明：因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分 . ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =2sin cos1)x x x=+-………………4分，………………6分所以函数的最小正周期. ………………8分（Ⅱ）解：由ππππ2π+23222xk k-+≤≤，，………………9分得，所以函数的单调递增区间为，. ………………11分所以当时，的增区间为，. ………………13分（注：或者写成增区间为，. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，所以.由分别为的中点，得，所以.………………1分因为侧面底面，且，所以底面. ………………2分又因为底面，所以. ………………3分又因为，平面，平面，所以平面. ………………5分（Ⅱ）证明：因为为的中点，分别为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面. ………………7分同理，得平面.又因为，平面，平面，所以平面平面. ………………9分又因为平面，所以平面. ………………10分（Ⅲ）解：在中，过作交于点（图略）， 由，得， 又因为，所以， ……………… 12分 因为底面，所以底面，所以四棱锥的体积1166424332M ECDF ECDFV SMN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=. …… 14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即. ……………… 2分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零， 所以中至少有一个小于6， ……………… 4分 又因为，且， 所以，所以. ……………… 5分 （Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，……………… 6分 记甲的4局比赛为，，，，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛 为，，，，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：， ，，，，，，，，，，，，，，. ……………… 7分 而事件的结果有8种，它们是：，，，，，，，， ……………… 8分 因此事件的概率. ……………… 10分（Ⅲ）解：的可能取值为，，. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得，， ……………… 2分 又因为点在椭圆上，所以， ……………… 3分解得，，，所以椭圆C 的方程为. ……………… 5分 （Ⅱ）证明：当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，易得直线， 的斜率之积. …………… 6分 当直线的斜率存在时，设的方程为. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ……………… 8分 因为直线与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即. ……………… 9分 由方程组 得222(1)250k x kmx m +++-=， ……………… 10分 设，，则，， ……………… 11分所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅=== 222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分将代入上式，得.综上，为定值. ……………… 14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数定义域为， ……………… 1分 求导，得， ……………… 2分 令，解得．当变化时，与的变化情况如下表所示：所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，……………… 3分 所以函数有极小值，无极大值． ……………… 4分 （Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切， ……………… 5分 设切点为，又因为， 所以切线满足斜率，且过点， 所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分 即，此方程显然无解， 所以假设不成立．所以对于任意，直线都不是曲线的切线. ……………… 8分 （Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.由方程，得. ……………… 9分 令，则，其中，且. 考察函数，其中， 因为时，所以函数在单调递增，且. ……………… 11分 而方程中，，且.所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一 根，故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点. ……………… 13分。