毕业论文导数在经济学中的应用

广东商学院数学与计算科学学院导数在经济学中的应用1引言对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现[1] 。

因此，在当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。

导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、经济打点中 ,有着普遍的应用意义[2]。

其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反映了一个变量对另一个变量的转变率。

在经济学中，也存在转变率问题，如：边际问题和弹性问题。

运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。

导数在经济领域中的应用非常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。

随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，是经济分析的重要工具。

把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。

数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念，是经济学应用的一个重要工具[3]。

导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分析是导数在经济学中的两个重要应用。

如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时，仅仅依据它的全部成本。

而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。

在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。

我认为应当进一步研究相对变化率。

总而言之，当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的影响，缺乏从总体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情况。

在商品经济活动中进行编辑分析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策者做出合理的决策。

在此我想用导数作为分析工具，对每个经济环节进行定量分析。

通过研究成本所引起的边际收益与边际成本的的比较，分析绝对数相对变化率的经济问题，特别具体分析因缺乏弹性的商品和富有弹性的商品的价格变动所产生的影响。

同时将弹性分析与边际分析有机结合，衡量出如何确定最优的价格，获得最大的利润。

从而帮助企业做出更精明的决策，为其提供精确的数值和创新思路。

导数的概念：设函数 y=f （x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量 x 在点x 0处取得增量 x （点x0 + x 仍在该邻域内）时，相应地函数 y 取得增量y =f（ x 0+x ）导，并称这个极限为函数y=f （ x）在点x0处的导数，记为 f' （x0），即f ' ( x0 ) lim y lim f ( x0x) f ( x0 )。

x xx 0x0若函数 y=f （ x）在某区间内每一点都可导，则称 y=f （x）在该区间内可导，记 f' （x）为 y=f （x）在该区间内的可导函数（简称导数）。

2经济分析中常用的函数2.1需求函数与供给函数（1）需求函数。

作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等。

为了便于讨论我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量尽受市场价格的影响，即 Q表示某种商品的需求量，P 表示此种商品的价格，则用 Q=f（P）表示对某种商品的需求函数。

例如，某空调的价格从3000 元 / 台降到 2000元/台时，相应的需求量就从 600 台增到1000 台，显然需求是和价格相关的一个变量。

一般来说，对某种商品的需求量Q随价格减少而增加，随价格增加而减少，所以需求函数是单调减少的函数（如图 1）。

（2）供给函数。

站在卖方的立场上，设 Q 表示对某种商品的供给量， P表示此种商品的价格，则用 Q=F（ P）表示某种商品的供给函数。

一般来说，作为卖方，对某种商品的供给量 Q 是随价格 P 的增加而增加，随价格 P 的减少而减少，所以供给函数是单调增加的函数（如图 2）。

pp1p2DQ1Q2Q图 1 需求曲线需求曲线的特征：1、因变量 Q放在横轴，而自变量价格p 放在纵轴2、需求曲线的斜率为负。

3、需求曲线不会凹向原点P SP2P1Q1Q2Q图 2 供给曲线供给曲线的特征：１、因变量Q 放在横轴，而自变量价格p 放在纵轴２、供给曲线的斜率为正且凸向原点2.2成本函数与平均成本函数（1）成本函数。

产品的成本一般有两类：一类随产品的数量变化，如需要的劳动力，消耗的原料等；这种生产成本称为可变成本。

另一类成本无论生产水平如何都固定不变，如房屋设备的折旧费、保险费等，称为固定成本。

设Q为某种产品的产量，C 为生产此种产品的成本，生产每个单位产品的成本为a，固定成本为C0，则成本函数为 C =C（ Q） =aQ+C0。

（2）平均成本函数。

用 C C (Q)C (Q)表示每单位的平均成本函数[2]。

Q2.3价格函数、收入函数和利润函数（1）价格函数。

一般来说，价格是销售量的函数。

生活中随处可见，买的东西越多消费者就可以把价格压得更低。

例如，某批发站批发 100 件衣服给零售商，批发定价，30 元，若每次多批发 10 件衣服，相应的批发价格就降低 2 元，显然价格是和销售量相关的一个变量。

在厂商理论中，强调的是既定需求下的价格。

在这种情况下，价格是需求量的函数，表示为P=P（Q）。

要注意的是需求函数Q=f （ P）与价格函数 P=P （Q）是互为反函数的关系。

（2）收入函数。

在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为 R。

销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。

因此，收入函数为 R=R（Q）=PQ。

其中 Q 表示销售量， P 表示价格。

（3）利润函数。

利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为 L。

则 L=L（Q）=R（Q）-C（Q）。

其中 Q 表示产品的的数量， R（Q）表示收入， C（ Q）表示成本。

总收入减去变动成本称为毛利，再减去固定成本称为纯利润。

3导数的经济学意义及其在经济分析中的应用3.1边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率。

利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析方法，是经济理论中的一个重要分析方法。

一般地，设函数 y=f （ x）可导，则导数f' （x ）叫做边际函数。

成本函数C=C（Q）的导数 C'（Q）叫做边际成本，其经济意义为当产量为 Q时再生产一个单位的产品所增加的总成本；收入函数 R=R（ Q）的导数 R' （ Q）叫做边际收入，其经济意义为当销售量为 Q 时再多销售一个单位产品所增加的销售总收入；利润函数L=L（Q）的导数 L'（Q）叫做边际利润，其经济意义近似等于产量（或销售量）为Q时再多生产（或多销售）一个单位产品所增加（或减少）的利润。

例 1[4]：假定有酒 100 吨，现价 8 元/ 公斤，多陈一年可增值 2 元/ 公斤，贮存费每年 10000 元，因贮存酒积压资金引起机会成本每年增加10 5 p r （其中 10 5为酒的贮量，P 为当年白酒价格， r 为利息率，且假定 r=10%），那么这些酒须储存多久效益才最大呢？分析：假设须贮 X 年才最佳，由已知可得如下函数关系：1.x 年增加的总收入函数R（ x） 1052x 2105 x （元）2.x 年增加的贮存总成本C（ x） 10000x x 10 510% （[1058 2 105 x）/105 ] 90000 x20000 x 2（元）3. x年净增利润函数L（x） R（x）- C（x）2 105 x [ 90000x 20000x 2 ]110000 x 20000x 2（元）此时边际收入： R（' x） 2 10 5边际成本： C（' x） 90000 40000x因为当 R（'x） C（'x）利润最大，所以有 2 10590000 40000 x ，即x=2.75（年）。

由于驻点唯一，故只有当储存期为 2.75年时 ,企业才能获得最佳经济效益，其最大净增利润为 151 250 元。

由上进一步表明，边际分析这种以导数为工具，以经济现象为内容的数学分析方法已深深融人到了经济学中，并成为经济学的一个重要组成部分。

3.2弹性分析（1）弹性理论在西方微观经济学中 ,弹性是用来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度。

具体地说 ,当一个经济变量发生1%的变动时 ,由它引起另一个经济变量变动的百分比。

因此 ,需求的价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量的变动对于该商品的价格的变动的反应程度。

或者说,它是衡量一种商品的需求量对其价格变化的反应敏感程度,这种敏感程度通常是用需求价格弹性系数来表示。

其公式为：需求的价格弹性系数=需求量变动率 / 价格变动率。

同样 , 供给的价格弹性表示在一定时期内一种商品的价格变动对于该商品的供给量变动的影响。

其公式为：供给的价格弹性系数 =供给量变动率 / 价格变动率。

需求的价格弹性和供给的价格弹性分为点弹性和弧弹性。

而价格弧弹性的计算可以有三种情况 , 它们分别是涨价时的弧弹性、降价时的弧弹性 , 以及中心公式计算的弧弹性。

至于到底应该采用哪一种计算方法 , 这需要具体情况和需要而定。

并且 , 一种商品需求的价格弹性与供给的价格弹性的大小是各种影响因素综合作用的结果,是[3]决定商品供求变化方向、均衡数量及价格水平的重要因素。

用西方经济学的价格弹性理论研究中国市场的价格弹性的变化 , 最关键是科学地计算产品的供给价格弹性和需求价格弹性。

（2）弹性的定义设函数 y=f （ x）在点 x 处可导，函数的相对改变量y与自变量x的相对改变量y x之比，当x0 时的极限称为函数 y=f （ x）在点处的相对变化率，或称为弹性函数。

记为Exx（）f ' x 。

f（x）3.2.1需求价格弹性的概念与分析需求价格弹性的概念：经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格P弹性。

记为 E d Q ' (P) 。

由于需求函数是价格的递减函数，所以需求弹性 E d一Q（ P）般为负值。

其经济意义为：当某种商品的价格下降（或上升）1%时，其需求量将增加（或减少）E d % 。

当E d =-1（即 | E d |=1 ）时，称为单位弹性。

即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等，例如报纸。

当E d<-1（即| E d|>1）时，称为富有弹性。

即商品需求量的相对变化大于价格的需求变化，此时价格的变化对需求量的影响较大。

[9]换句话说，适当降价会使需求量有较大幅度上升，从而增加收入。

例如空调、汽车等高档生活用品，包括旅游和专业服务等。