200-3年江苏省高考数学试题

a (A)(B) (C)(D) 2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区域（不包含边界）为2．抛物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）A ．81 B ．－81 C ．8D ．－8 3．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7244．设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是 （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪ （0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[||||(+∞∈+=λλAC AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 7．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a8．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ）A ．[a1,0] B ．]21,0[a C ．|]2|,0[ab D ．|]21|,0[ab - 9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 11．已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ． 33πD ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中x 9的系数是 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题 ①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD. ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD. ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD. ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）D EKBC 1A 1B 1 A F CG 18．（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G.（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.20．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意 22．（本小题满分14分）设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k ka a a121.31)(2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分解：由),()(,)(x f x f x f =-得是偶函数.0cos ,0,sin cos sin cos ),sin()sin(=>=-+=+-ϕωωϕωϕϕωϕω所以得且都成立对任意所以即x xx x x.232,;]2,0[)2sin()(,310,0;]2,0[)22sin()(,2,1;]2,0[)232sin()(,32,0.,2,1,0),12(32,,3,2,1,243,0,043cos ,43cos )243sin()43(,43cos )243sin()43(,0),43()43(,)(.2,0==+==≥+===+====+=∴=+=>=∴=+=∴=+==+-=-=≤≤ωωππωωππωππωωππωπωωπωππωππωππωπππππϕπϕ或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又得取得对称的图象关于点由所以解得依题设x x f k x x f k x x f k k k k k f f x x f x f M x f 19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D AED A V V 11--=,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ，则ED S h S AB A AED⋅=⋅∆∆1.2621,24121111=⋅==⋅==∆∆∆ED AE S AB A A S S AED AB A AE A 又 .362.36226221的距离为到平面即AED A h =⨯=∴解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平ABD 所成的角.则A(2a ,0,0),B(0,2a ,0),D(0,0,1).37arccos .372131323/14||||cos ).31,34,32(),2,2,2(.1.03232).1,2,0(),32,3,3().31,32,32(),1,,(),2,0,2(1111121所成角是与平面解得ABD B A BG BA BG A BG BA a a BD GE a BD a a CE a a G a a E a A =⋅=∠∴-=-=∴==+-=⋅∴-==∴（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A 1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).,,0)0,1,1()2,0,0(,0)0,1,1()1,1,1(11AED ED E AA ED ED AA ED AE 平面又平面⊂⊥∴=--⋅=⋅=--⋅-=⋅（Ⅰ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （Ⅱ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121()2,2121(22a a F a a E ---和 （Ⅲ）当,22时>a 方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0())21(21,0(22---+a a F a a E 和为合乎题意的两个定点. （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分. 证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k k n x a --)(， 所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数n n n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>-即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n n a aa a Q a a a P a a Q ⋅⋅++- ∴,121n n a a a ⋅=+ ∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a a a a a a a a ==⋅=-++-+3222222122321)1()1()1(n n a aa a a =1111221211221221)()1()1(---+-==-+++n n n n n aa a a a a a ， ∴.)(121-=n a a a a n（Ⅱ）证明：由a =1知,21n n a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时 ∴∑∑=++=++<-=-≤-nk n k k n k k k ka a a a a a a1111121.321)(161)(161)( （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n因此∑∑∑=++-==++-≤-=-+-nk i i i i nk k k ka a a a a a a a an k kk 1221111121212121121)()()(11∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a = .31121151<++a a a。

2023年高考（江苏卷）2023年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．）．1.已知集合A?{?1,0,1,2},B?{0,2,3}，则AB?_____2.已知i是虚数单位，则复数z?(1?i)(2?i)的实部是_____.3.已知一组数据4,2a,3?a,5,6的平均数为4，则a的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为?2，则输入x的值是_____..y2x256.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心5a2率是____.7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， f?x??x3 ，则f(-8)的值是____. 8.已知sin(22?2??) =，则sin2?的值是____.349.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.ππ﹢)的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是10.将函数y=3sin(2x462023年高考（江苏卷）____.11.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和Sn?n2?n?2n?1(n?N?)，则d+q的值是_______．12.已知5x2y2?y4?1(x,y?R)，则x2?y2最小值是_______．13.在△ABC中，AB?4，AC?3，∠BAC=90?，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3PA?mPB?(?m)PC（m为常数），则CD的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy中，已知P(13A，B是圆C：x2?(y?)2?36上的两个动点，满足PA?PB，0)22则△PAB面积的最大值是__________．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．）15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．的（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a?3,c?2,B?45?．2023年高考（江苏卷）（1）求sinC的值；4（2）在边BC上取一点D，使得cos?ADC??，求tan?DAC的值．517.地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，OO?为铅垂线(O?在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO?的距离a(米)之间满足关系式h1?之间满足关系式h2??12a；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO?的距离b(米)4013b?6b.已知点B到OO?的距离为40米.800（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO?的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价最低?3k(万元)(k>0).问O?E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价2x2y218.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:??1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在43第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP?QP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= .2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 3．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ． 4．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则AZ 中有 个元素.5．已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b ==，则|5|a b -= ．6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 8．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( )011=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y a p x 。

10．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为11．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为13．满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值14．设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为二、解答题：本大题共6小题，共90分。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果函数y ax2bx a的图象与x轴有两个交点，则点(a,b)在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）b b b bOa O a OaOaA．B．C．D．2．抛物线y ax2的准线方程是y 2，则a的值为（）1 1C．8 D．－8 A．B．－8 83．已知x (,0),cosx 4 ,则tg2x（）2 57 7 24D．－24A．B．－C．724 24 72x1,x0,4．设函数f(x) 1若f(x0) 1,则x0的取值范围是（）x2,x0A．（－1，1）B．(1,)C．（－∞，－2）∪（0，+∞）D．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足AB AC 的轨迹一定通过ABC的OPOA( ), 0,则,PAB ACA．外心B．内心C．重心D．垂心6．函数yln x1,x(1, )的反函数为（）x 1A．y e x1,x (0, ) B．e x 1C．y e x1,x ( ,0) D．e x 1 y e x1,x (0, )e x 1y e x1,x ( ,0)e x 17．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）a3a3a3a3 A．B．C．D．3 4 6 128．设a 0,f(x) ax2bx c，曲线y f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为0, ,则P到曲线y f(x)对称轴距离的取值范围为（）4A．0,1B．0,1C．0,b D．0,b1a 2a 2a 2a9．已知方程(x22x m)(x22x n) 0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，4则|mn| （）A．1 B．3C．1D．34 2 810．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线y x 1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为2，则此双曲线的方程是（）3A．x 2y2B．x2y2C．x2y2x2y21 1 1 1D．3 4 4 3 5 2 2 511．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（x4，0），若1x42，则tg的取值范围是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）3 3 3 5 2 5 3 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3 B．4 C．33 D．62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．(x21)9的展开式中x9系数是2x14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不56 1 432同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB AC,BD CD,则BC AD②若AB CD,AC BD,则BC AD③若AB AC,BD CD,则BC AD④若AB CD,AC BD,则BC AD其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）18．（本小题满分12分）已知函数f(x)sin( x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M(3,0)对称，且在区间0,上是单调函数求和的值4 219．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90 ，侧棱AA1 2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（Ⅰ）求A1B与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（Ⅱ）求点A1到平面AED 的距离C1A1 B1DEGCA B 20．（本小题满分12分）已知常数a 0,向量c (0,a),i(1,0) 经过原点O以c i 为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于P，其中R 试问：是否存在两个定点E、F，使得PE PF为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由21．（本小题满分12分）已知a 0,n为正整数（Ⅰ）设y(x a)n，证明y' n(xa)n1；（Ⅱ）设f n(x)x n(x a)n，对任意na，证明f n1'(n1)(n1)f n'(n) 22．（本小题满分14分）设a0，如图，已知直线l:y ax及曲线C:yx2,C上的点Q1的横坐标为作直线平行于x轴，交直线l于点P n1，再从点P n1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q n1.Q n(n1,2,3,⋯）的横坐标构成数列a n（Ⅰ）试求an1与a n的关系，并求a n的通项公式；（Ⅱ）当a1n1(ak1,a1时，证明ak1)ak22 k 132c n1y l（Ⅲ）当a 1时，证明(a k a k1)a k23k 1r2Q3r1Q2Q1Oa1a2a3 x2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分60分.1．C2．B3．D4．D5．B6．B7．C8．B9．C10．D11．C12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分16分.13．2114．6,30,10 15．12016．①④2三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.（Ⅰ）P(A) 0.90,P(B) P(C)0.95，P(A)0.10,P(B) P(C)0.50. 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC) P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)2 0.90 0.95 0.05 0.10 0.95 0.95P(A)P(B)0.176P(C)答：恰有一件不合格的概率为0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.90 0.0522 0.10 0.05 0.95 0.10 0.0520.012解法二：三件产品都合格的概率为 P(ABC) P(A) P(B) P(C) 0.90 0.9520.812由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为1 [P(ABC)0.176] 1 (0.812 0.176) 0.012.答：至少有两件不合的概率为0.012.（ 18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

2022年江苏省高考数学真题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}4＜x x M =，{}13N ≥=x x ，则N M ⋂=（）A.{}20＜x x ≤ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤231＜x xC.{}163＜x x ≤ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤1631＜x x2.已知()11=-z i ，则=+z z（）A.2- B.1- C.1 D.23.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，DA BD 2=.记m A C=，n D C=，则=B C（）A.nm23- B.nm32+- C.nm23+ D.nm32+4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km ²；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km ².将该水库在这两个水位间的形状看做一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为()65.27≈（）A.39100.1m⨯ B.39102.1m⨯ C.39104.1m⨯ D.39106.1m⨯5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.61 B.31 C.21 D.326.记函数()()04sin ＞ωπωb x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的最小正周期为T .若ππ223＜＜T ，且()x f y =的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛223，π中心对称，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf （）A.1B.23 C.25 D.37.设1.01.0ea =，91=b ，9.0ln -=c ，则（）A.c b a ＜＜ B.a b c ＜＜ C.b a c ＜＜ D.bc a ＜＜8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为π36，且333≤≤l ，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡48118， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡481427， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡364427， D.[]27,18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：锥体的体积13V Sh=，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{0,1,2,8}A=，{1,1,6,8}B=-，那么A B=▲ ．2．若复数满足i12iz⋅=+，其中i是虚数单位，则的实部为▲ ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲ ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲ ．5．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩- 则((15))f f 的值为 ▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为．（1）用分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267，求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．%网（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()5αβ+=-，所以225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为267，所以21 267AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)22．综上，直线l 的方程为532y x =-+．学*19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点． （2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立， 即11，1d 3，32d 5，73d 9，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为(1,2]m q ∈，则112n m q q -<≤≤， 从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>． 因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为m q m． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．．．．．．．．．．答题区域内作答．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长． B ．选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点． （1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ． 又因为PC =23，OC =2， 所以OP =22PC OC +=4．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 因此，点P 的坐标为(3，–1)． C ．选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2， 所以π4cos236AB ==． 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ． 因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,,2)22P -， 从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--， 故111|||14|310|cos ,|20||||522BP AC BP AC BP AC ⋅-+===⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020． （2）因为Q 为BC 的中点，所以31(,,0)22Q ， 因此33(,,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==． 设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量， 则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即330,22220.x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 不妨取(3,1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为， 则111||25sin |cos |,|||552CC CC CC |θ==⋅⨯⋅==n n n ， 所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-． 为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f （x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C 交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD 1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x 0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cos B＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sin B＝cos B，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sin B＝，cos B ＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF 2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF 2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x ＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，。

2003年-2013年江苏省高考数学试题分类解析汇编专题10：选修系列一、选择填空题1.（江苏2006年5分）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 ▲ 【答案】18。

【考点】线性规划问题。

【分析】画出可行域，得在直线22x y -=与直线1x y -=-的交点A(3，4)处，目标函数z 最大，最大值为18。

2.（江苏2007年5分）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为【 】 A ．2 B ．1 C ．12 D ．14【答案】B 。

【考点】简单线性规划的应用。

【分析】令u x y v x y =+⎧⎨=-⎩。

则100u u v u v ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩。

作出区域是等腰直角三角形，可求出面积11221=⨯⨯=s 。

故选B 。

二、解答题1.（江苏2008年附加10分）选修4—1 几何证明选讲如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ． 求证：2ED EB EC =⋅．【答案】证明：如图，∵AE 是圆的切线，∴ABC CAE ∠=∠。

又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴BAD CAD ∠=∠。

∴ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠。

BCEDA∵ADE ABC BAD ∠=∠+∠， DAE CAE CAD ∠=∠+∠， ∴ ADE DAE ∠=∠。

∴EA=ED 。

∵ EA 是圆的切线，∴由切割线定理知,2EA EC EB =⋅。

而EA=ED ，∴2ED EB EC =⋅。

【考点】与圆有关的比例线段。

【分析】根据已知EA 是圆的切线，AC 为过切点A 的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD 是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得。

江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD 上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x ∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．18．（16分）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k, 若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立, 则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”, 又是“P（3）数列”, 证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a 的取值范围．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP ⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k 次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2020•江苏）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A ∩B={1}, 则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2020•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．3．（5分）（2020•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为, 再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件, 而抽取60辆进行检验, 抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致, 按照一定的比例, 即样本容量和总体容量的比值, 在各层中进行抽取．4．（5分）（2020•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=, 不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图, 模拟程序是解决此类问题的常用方法, 注意解题方法的积累, 属于基础题．5．（5分）（2020•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式, 属于基础题6．（5分）（2020•江苏）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．【分析】设出球的半径, 求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R, 则球的体积为：R3,圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法, 考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2020•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域, 结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0, 得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2, 3],则在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率P==, 故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算, 结合函数的定义域求出D, 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程, 得到P, Q坐标, 求出焦点坐标, 然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=, 双曲线渐近线方程为：y=x, 所以P（, ）, Q（, ﹣）, F1（﹣2, 0）．F2（2, 0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用, 考查计算能力．9．（5分）（2020•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1, S3=, S6=, 可得=, =, 联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=, S6=, ∴=, =,解得a1=, q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．10．（5分）（2020•江苏）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x, 利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．11．（5分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1, ] ．【分析】求出f（x）的导数, 由基本不等式和二次函数的性质, 可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义, 可得f（x）为奇函数, 原不等式即为2a2≤1﹣a, 运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f（x）为奇函数,则f（a﹣1）+f（2a2）≤0,即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）,即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为：[﹣1, ]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用, 注意运用导数和定义法, 考查转化思想的运用和二次不等式的解法, 考查运算能力, 属于中档题．12．（5分）（2020•江苏）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=3．【分析】如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．可得cosα=, sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m, n ∈R）, 即可得出．【解答】解：如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．∴cosα=, sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m, n∈R）,∴=m﹣n, =0+n,解得n=, m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．13．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是[﹣5, 1] ．【分析】根据题意, 设P（x0, y0）, 由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0, 分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域, 联立直线与圆的方程可得交点的横坐标, 结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意, 设P（x0, y0）, 则有x02+y02=50, =（﹣12﹣x0, ﹣y0）•（﹣x0, 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20,化为：12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0, 表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立, 解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5, 1],故答案为：[﹣5, 1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系, 关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2020•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n ∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数, 进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0, 1）上, f（x）=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f（x）是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1, 2）上, f（x）=, 此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2, 3）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3, 4）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4, 5）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5, 6）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6, 7）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7, 8）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8, 9）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9, +∞）上, f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 函数的图象和性质, 转化思想, 难度中档．二.解答题15．（14分）（2020•江苏）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC, 利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD, 结合线面垂直的判定定理可知AD ⊥平面EFG, 从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD, EF⊥AD, 且A、B、E、F四点共面, 所以AB∥EF,又因为EF⊊平面ABC, AB⊆平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC,因为BC⊥BD, 所以FG∥BC,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD, 所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF, 且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG, 所以AD⊥EG,故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定, 考查空间想象能力, 考查转化思想, 涉及线面平行判定定理, 线面垂直的性质及判定定理, 注意解题方法的积累, 属于中档题．16．（14分）（2020•江苏）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣, 问题得以解决,（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）,∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0, π],∴x=,（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）,∵x∈[0, π],∴x+∈[, ],∴﹣1≤cos（x+）≤,当x=0时, f（x）有最大值, 最大值3,当x=时, f（x）有最小值, 最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质, 属于基础题17．（14分）（2020•江苏）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为,两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c, 由椭圆的准线方程x=±, 则2×=8, 即可求得a和c的值, 则b2=a2﹣c2=3, 即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标, 分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率, 则即可求得l2及l1的斜率及方程, 联立求得Q点坐标, 由Q在椭圆方程, 求得y02=x02﹣1, 联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m, n）, 当m≠1时, =, =, 求得直线l1及l1的方程, 联立求得Q点坐标, 根据对称性可得=±n2, 联立椭圆方程, 即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==, 则a=2c, ①椭圆的准线方程x=±, 由2×=8, ②由①②解得：a=2, c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0, y0）, 则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x﹣1）,直线PF 1的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x+1）,联立, 解得：, 则Q（﹣x0, ）, 由P, Q在椭圆上, P, Q的横坐标互为相反数, 纵坐标应相等, 则y0=,∴y02=x02﹣1,则, 解得：, 则,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．方法二：设P（m, n）, 由P在第一象限, 则m＞0, n＞0,当m=1时, 不存在, 解得：Q与F 1重合, 不满足题意,当m≠1时, =, =,由l 1⊥PF1, l2⊥PF2, 则=﹣, =﹣,直线l1的方程y=﹣（x+1）, ①直线l2的方程y=﹣（x﹣1）, ②联立解得：x=﹣m, 则Q（﹣m, ）,由Q在椭圆方程, 由对称性可得：=±n2,即m2﹣n2=1, 或m2+n2=1,由P（m, n）, 在椭圆方程, , 解得：, 或, 无解,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．【点评】本题考查椭圆的标准方程, 直线与椭圆的位置关系, 考查直线的斜率公式, 考查数形结合思想, 考查计算能力, 属于中档题．18．（16分）（2020•江苏）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过N作NP∥MC, 交AC于点P, 推导出CC1⊥平面ABCD, CC1⊥AC, NP⊥AC, 求出MC=30cm, 推导出△ANP∽△AMC, 由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过点N 作NP⊥EG, 交EG于点P, 过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q, 推导出EE1G1G为等腰梯形, 求出E1Q=24cm, E1E=40cm, 由正弦定理求出sin∠GEM=, 由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 在平面ACM中, 过N作NP∥MC, 交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱, ∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD, ∴CC1⊥AC, ∴NP⊥AC,∴NP=12cm, 且AM2=AC2+MC2, 解得MC=30cm,∵NP∥MC, ∴△ANP∽△AMC,∴=, , 得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台, ∴EE1=GG1, EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形, 画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm, EG=14cm, EQ=32cm, NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得：E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=, sin∠EGM=sin∠EE1G1=, cos,根据正弦定理得：=, ∴sin, cos,∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=, ∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．19．（16分）（2020•江苏）对于给定的正整数k, 若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立, 则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质, a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n , 根据“P （k ）数列”的定义, 可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由“P （k ）数列”的定义, 则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , 变形整理即可求得2a n =a n ﹣1+a n +1, 即可证明数列{a n }是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1, 公差为d, 则a n =a 1+（n ﹣1）d,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）,=2a n +2a n +2a n ,=2×3a n ,∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：由数列{a n }是“P （2）数列”则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , ① 数列{a n }是“P （3）数列”a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , ②由①可知：a n ﹣3+a n ﹣2+a n +a n +1=4a n ﹣1, ③a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1, ④由②﹣（③+④）：﹣2a n =6a n ﹣4a n ﹣1﹣4a n +1,整理得：2a n =a n ﹣1+a n +1,∴数列{a n }是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质, 考查数列的新定义的性质, 考查数列的运算, 考查转化思想, 属于中档题．20．（16分）（2020•江苏）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0, b ∈R ）有极值, 且导函数f′（x ）的极值点是f （x ）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a 的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, 进而再求导可知g′（x）=6x+2a, 通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣, 从而f（﹣）=0, 整理可知b=+（a＞0）, 结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根, 进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）, 结合a＞3可知h（a）＞0, 从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣, 利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2, 进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣, 因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1,所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, g′（x）=6x+2a,令g′（x）=0, 解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0, g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0, g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣,由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点,所以f（﹣）=0, 即﹣+﹣+1=0,所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值,所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,所以4a2﹣12b＞0, 即a2﹣+＞0, 解得a＞3,所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）,由于a＞3, 所以h（a）＞0, 即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣,设x1, x2是y=f（x）的两个极值点, 则x1+x2=, x1x2=,所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2,又因为f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a＞3, 所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0,所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0,由于a＞3时2a2+12a+9＞0,所以a﹣6≤0, 解得a≤6,所以a的取值范围是（3, 6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值, 考查运算求解能力, 考查转化思想, 注意解题方法的积累, 属于难题．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2020•江苏）如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB, 即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C, ∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC, ∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP, ∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB,∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2020•江苏）已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律, 代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==,（2）设点P（x, y）为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0, y0）,则=, 即x0=2y, y0=x,∴x=y0, y=,∴, 即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换, 属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程, 代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数, 从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时, d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用, 属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2020•江苏）已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4, c2+d2=16, 令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．代入ac+bd化简, 利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）, 即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4, c2+d2=16,令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64, 当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．【必做题】26．（2020•江苏）已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球, 则p=p（A2）=P （A 2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）, 由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为, …, , P（x=）=,k=n, n+1, n+2, …, n+m, 从而E（X）=（）=, 由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为, …, ,P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m,∴E（X）=（）==＜==•（）==,∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．25．（2020•江苏）如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD, 由AA1⊥平面ABCD, 可得AA1⊥Ax, AA1⊥AD, 以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A, B, C, D, A1, C1的坐标, 进一步求出, , , 的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量, 再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值, 进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD, AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax, AA1⊥AD,以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°,∴A（0, 0, 0）, B（）, C（, 1, 0）, D（0, 2, 0）,A1（0, 0, ）, C1（）．=（）, =（）, , ．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为,由, 得, 取x=, 得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为, 则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角, 训练了利用空间向量求空间角, 是中档题．。

2023江苏高考数学真题及答案（完整版）2023江苏高考数学真题及答案（完整版）小编整理了2023江苏高考数学真题及答案，数学在多个不同领域的应用一般被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并促成全新数学学科的发展。

下面是小编为大家整理的2023江苏高考数学真题及答案，希望能帮助到大家!2023江苏高考数学真题及答案要怎么做高中数学笔记首先，在课堂教学中培养好的听课习惯是很重要的。

听当然是主要的，听能使注意力集中，注意积极思考、分析问题，要把老师讲的关键性部分听懂、听会。

提高数学能力，锻炼自己的思维，主要也是通过课堂来提高，要充分利用好课堂这块阵地，学习数学的过程是活的，在随着教学过程的发展而变化，尤其是当老师注重能力教学的时候，教材是反映不出来的。

数学能力是随着知识的发生而同时形成的，无论是形成一个概念，掌握一条法则，会做一个习题，都应该从不同的能力角度来培养和提高。

课堂上通过老师的教学，理解所学内容在教材中的地位，弄清与前后知识的联系等，只有把握住教材，才能掌握学习的主动。

其次，听的时候不能光听，为了往后复习，应适当地有目的性的记好笔记，领会课上老师的主要精神与意图。

科学的记笔记可以提45钟课堂效果。

再次，如果数学课没有一定的速度，那是一种无效学习。

慢腾腾的学习是训练不出思维速度，训练不出思维的敏捷性，是培养不出数学能力的，这就要求在数学学习中一定要有节奏(有目的进行训练)，这样久而久之，思维的敏捷性和数学能力会逐步提高。

最后，在数学课堂中，老师一般少不了提问与板演，有时还伴随着问题讨论，因此可以听到许多的信息，这些问题是很有价值的。

对于那些典型问题，带有普遍性的问题都必须及时解决，不能把问题的结症遗留下来，甚至沉淀下来，有价值的问题要及时抓住，遗留问题要有针对性地补，注重实效。

学好高中数学要怎么做第一步，怎么样学好高中数学首先需要吃透数学书的知识，如何学习知识，如何提高高中数学成绩，同学上课前要做好预习，带着问题来认真听讲，做好布置的，作业。

2025届江苏省各地高考适应性考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．2B ．1C ．2D ．52．已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8 3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-35．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种6．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-57．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎛ ⎝⎦B ．5⎫⎪⎪⎣⎭ C ．25⎛ ⎝⎦D ．25⎫⎪⎪⎣⎭8．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．1209．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．474733⎡--+⎢⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．676733⎡+⎢⎣⎦10．△ABC 中，AB ＝3，BC 13=AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ）A ．33B ．332C ．3D ．3211．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4B ．8C ．9D ．2712．已知双曲线22221x y a b-=（0a ＞，0b >）的左、右焦点分别为E F ，，以OF （O 为坐标原点）为直径的圆C 交双曲线于A B 、两点，若直线AE 与圆C 相切，则该双曲线的离心率为（ ） A 236+ B 226+C 3226+D 326+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省2024年中职职教高考文化统考数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑）1. 设集合M={x|x≥1,x∈R},m=√2，则下列关系中正确的是（）A.m<MB.m>MC.m∉MD.m∈M2. 若复数z=1−2ⅈ，则z⋅ⅈ3等于（）A.2+ⅈB.−2−ⅈC.−1+2ⅈD.1−2ⅈ3. 已知向量a⃗=(−2,3),b⃗⃗=(1,−k)，若a⃗‖b⃗⃗，则实数k的值是（）A.−32B.−23C.32D. 34. 下列逻辑运算正确的是（）A.A+B̅̅̅̅̅̅̅̅=A⋅B̅ B.A⋅(A+B)=AC.AB̅̅̅̅+B̅=A+B̅ D.A+B⋅C=A⋅(B+C)5. 已知长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是V，点P,Q分别在侧棱CC1和DD1上，且CP=D1Q，则四棱锥A−CPQD的体积是（）A.16V B.14V C.13V D.12V6. 已知一个扇形的周长为16，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度是（）A. 1B. 2C. 4D. 57. 若(√x−2x )n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中第4项的系数是（）A.−960B.−8C. 960D. 33608. 题图是某项工程的网络图（单位：天），则该工程的关键路径是（）A.A→C→E→H→IB.A→C→F→G→IC.B→D→F→G→ID.B→D→E→H→I9. 已知双曲线y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=√33x，且该双曲线的一条准线和抛物线y=14x2的准线重合，则该双曲线的标准方程是（）A.y 24−x212=1 B.y212−x24=1 C.y2−x23=1 D.y23−x2=110. 已知正实数x,y满足2x+2y−xy=0，若不等式x+4y−m≥0恒成立，则实数m的最大值是（）A. 9B. 13C. 18D. 26二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 题图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的S值是_________．12. 已知sⅈn (38π+θ)=13，则cos (74π+2θ)=_________.13. 在数列{a n }中，a 1=34,a n =3an+13−a n+1，则数列{a n }的通项公式为_________. 14. 若动点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)分别在直线l 1:x −y +4=0和直线l 2:x −y +8=0上移动，点P 是线段MN 的中点，则圆(x −2)2+y 2=1上的点到P 点的最小距离是_________．15. 已知函数f (x )={x 2+2x −2,x <1−log 122x ,x >1，若函数f (x )在区间[m,n ]上的值域为[−3,6]，则n −m 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共8小题，共90分）16. 已知一次函数f (x )=ax +1−a 的图象经过第一、二、三象限．（1）求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式a 3x ≤(1a )x 2−4．17. 已知函数f (x )是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，点(2,4)在函数f (x )的图象上，当x <0时，f (x )=x 2+bx .（1）求实数b 的值；（2）求函数f (x )的解析式；（3）若f (a )=5，求实数a 的值.18. 学校准备从2名教师、4名男同学、3名女同学中随机选5人参加一项志愿者服务活动.求下列事件的概率：（1）A ={女同学全部被选中}；（2）B ={男同学甲被选中，且至少1名教师被选中}；（3）C ={既有男同学又有女同学被选中}.19. 在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且ΔABC 的面积S =a 2+c 2−b 24． （1）求角B 的大小；（2）设函数f (x )=√3cos (2x −π3)−2sⅈn x cos x ，若f (A 2)=√32,b =√6，求a ．20. 近年来，电商行业蓬勃发展拓宽了农产品的销售渠道.某农户将成本价20元/千克的有机大米按36元/千克的价格进行线上销售，每天可售出80千克.经统计发现，若将有机大米的售价每提高1元/千克，则日销售量减少4千克；若将有机大米的售价每降低1元/千克，则日销售量增加8千克.不考虑其他因素，问有机大米的售价定为多少元时，每日获得的利润最大？并求出最大利润.21. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，20是S2与S5的等差中项，且a3=7．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n⋅a n+1．①求数列{b n}的前n项和T n;②若C n=43n+12T n，求数列{Cn}的前n项和M n．22. 某地区计划种植两种具有空气净化功能的树：松树和樟树．每种植一株松树每年可吸收3千克二氧化硫和2千克氮氧化物，每种植一株樟树每年可吸收2千克二氧化硫和4千克氮氧化物．目前，该地区的空气质量监测数据显示，全年至少需吸收6000千克二氧化硫和8000千克氮氧化物，方能改善空气质量．假设种植一株松树的成本为800元，种植一株樟树的成本为1000元．不考虑其他因素，请制定一份植树计划，确定应种植多少株松树和樟树，就能以最低的成本满足空气质量改善需求？并求出最低成本．23. 已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(−2,−1)，且离心率为√32．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆D:2x 2a2+2y2b2=1，点M(1,t)(t>0)在椭圆D上，射线OM交椭圆C于点N．①求点N的坐标；②若直线l与椭圆C有两个交点E,F，且与椭圆D有且仅有一个交点．证明：ΔEOF的面积是定值．。

2023年江苏省宿迁市沭阳高级中学高考数学段考试卷（一）1. 若集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数z满足，为z的共轭复数，则( )A. B. 5 C. D. 33. 设，那么( )A. B. C. D.4. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.5. 若，则的值为( )A. B. 1 C. 2 D.6. 某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )A. 80B. 40C. 60D. 207. 椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点如图已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则( )A. B. C. D.8. 如图，在三棱柱中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，，若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.9.设是数列的前n项和，且，，则( )A. B. 数列是公差为的等差数列C. 数列的前5项和最大D.10. 已知为函数的导函数，若，，则下列结论错误的是( )A. 在上单调递增B. 在上单调递减C. 在上有极大值D. 在上有极小值11. 下列说法正确的是( )A. 两个相交平面组成的图形称为二面角B. 异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补C. 二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角D. 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系12. 已知向量，，则下列命题正确的是( )A. 存在，使得B. 当时，与垂直C. 对任意，都有D.当时，在方向上的投影的数量为13. 已知是定义域为R的奇函数，且当时，则______ .14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，则的最小值为______ .15. 在直角梯形ABCD中，，，，E为AD的中点.将和分别沿EB，EC折起，使得点A，D重合于点F，构成四面体若四面体FBCE的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为______ .16. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度__________17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______.求C；若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.18. 设数列的前n项的和为，且，数列满足，且对任意正整数n都有，，成等比数列．求数列的通项公式；证明数列为等差数列；令，问是否存在正整数m，k，使得，，成等比数列？若存在，请求出m，k的值；若不存在，请说明理由．19. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面ABCD，是边长为2等边三角形，，点E为CD的中点，点M为PE上一点与点P，E不重合证明：；当AM为何值时，直线AM与平面BDM所成的角最大？20. 已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上.当时，求双曲线C的方程.设P为双曲线上一点，点M，N在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P 恰为线段MN的中点，试判断的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.21. 为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，在以组距为5画分数的频率分布直方图设“”时，发现Y满足，，试确定n的所有取值，并求k；组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在的参赛者评为一等奖；分数在的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段评为二等奖．求学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率；已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望．22. 已知函数，，为的导函数.讨论的极值；若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意知，，由，解得或，所以或，则故选：首先求解集合B，再求本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：复数z满足，，，故选：先求出z的值，再求出其共轭复数即可求解结论．本题考查求复数的共轭复数，注意解题方法的积累，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】先由条件结合指数函数的单调性，得到，再由指数函数和幂函数的单调性求解．本题主要考查指数函数、幂函数的单调性．【解答】解：且在R上是减函数．指数函数在R上是减函数幂函数在R上是增函数故选：4.【答案】D【解析】解：，不等式恒成立，当且仅当时取等号，当时，，，故选：当时，不等式恒成立，，利用基本不等式可求得，从而可得答案．本题考查函数恒成立问题，考查基本不等式的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：在中，令可得；再令可得得，两式相乘可得，故选：在所给的等式中，分别、令可得两个等式，再把这两个等式相乘，即可得到要求式子的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，三年级要抽取的学生是，故选：要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．7.【答案】A【解析】解：如图，由椭圆的光学性质可得M，A，三点共线．设，则，故，解得又，所以，所以故选：结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，最后由可得答案．本题考查椭圆的定义及其性质，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：取AB的中点O，的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系，又，若E是棱的中点，则，，，，则，，则，，，则，则异面直线与所成角的余弦值为，故选：取AB的中点O，的中点D，建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合求解即可．本题考查了异面直线所成的角的求法，重点考查了空间向量的应用，属基础题．9.【答案】AC【解析】解：，，或舍，故选项A正确；又，，，数列是公差为的等差数列，故选项B错误；由得，，数列的前5项和最大，故选项C正确；当时，，这与矛盾，故选项D错误．故选：令可得即可求判断A，利用，的关系可得即可判断B，C，取求得即可判断本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的性质，属于中档题．10.【答案】ABC【解析】解：由，可得，设函数，其导数，则，由，得，则，所以，，所以在上单调递减，故A错误；又，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，故B、C错误，D正确，故选：依题意，可求得，求得的解析式后，求导分析其单调性可判断A；对求导分析其单调性与极值，可判断B、C、D，从而可得答案．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．11.【答案】BD【解析】解：对于A，根据二面角的定义知，A错；对于B，因为异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，所以异面直线a，b的方向向量分别是二面角的两个面的法向量，所以a，b所成的角与这个二面角相等或互补，所以B对；对于C，二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角，没有点最小值，所以C错；对于D，根据二面角的定义知，D对．故选：A根据二面角定义判断；B根据二面角的平面角与二面角半平面所在平面的法向量成角关系判断；C 用极限思想求解；D根据二面角定义判断．本题考查了二面角的基本概念，属于中档题．12.【答案】BD【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，向量的数量积的应用，三角函数的恒等变换的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．利用向量平行的关系验证可判断A；利用同角三角函数求出与的关系，结合向量垂直性质即可判断B；通过向量的模的求法求解判断C；利用向量的数量积结合同角三角函数的关系可求得，进而利用投影向量的定义即可判断【解答】解：对A：若，则，即，故不存在这样的使得，故A错误；对B：当时，则，则，则与垂直成立，故B正确，对C：若，则，得，即，此时存在，故C错误；对D：因为，即，结合，解得，，所以在方向上的投影的数量为，故D正确．故选13.【答案】【解析】解：根据题意，当时，，而，则，所以，由是奇函数，则；故答案为：根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．14.【答案】8【解析】解：因为，由正弦定理得，因为，所以，即，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为故答案为：先由正弦定理，结合，得到，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，还考查了正弦定理的应用，属于中档题．15.【答案】【解析】解：如图．由题意可知，折叠后所构成的四面体FBCE中，，，不可能为直角．在中，由可知，为直角，即因为，，，FB，平面FBC，所以平面FBC，则有又因为，所以平面FEC，则有所以四面体FBCE外接球的球心为BE的中点，半径为在直角梯形ABCD中，设，则有，，由，解得负值已舍去，则因此，四面体FBCE外接球的半径为故答案为：画出折叠前后，折叠后所构成的四面体FBCE说明为直角，即证明平面FBC，推出转化求解外接球的半径即可．本题考查空间几何体的特征，外接球的半径的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向三角形集中，再通过正弦或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．设此山高，在中，利用仰角的正切表示出BC，进而在中利用正弦定理求得【解答】解：设此山高，则，在中，，，，根据正弦定理得，解得故答案为：17.【答案】解：选①时，，利用正弦定理：，由于，所以，故，又，整理得，因为，故选②时，，结合正弦定理，整理得，由于，所以，又，，故，因为，故选③时，，由正弦定理得，又，整理得，所以，整理得，因为，故由于的面积为，所以，解得由余弦定理得，故，当且仅当，即，时，，所以BD的最小值为【解析】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考查三角恒等变换和基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于基础题．选①时，由正弦定理得，再由即可求解；选②时，利用以及化简可得，即可求解；选③时，利用正弦定理及两角差的余弦公式化简可得即可求解．，再由余弦定理得，利用基本不等式可得BD的最小值．18.【答案】解：，可得，时，，满足的首项，可得；证明：数列满足且对任意正整数n都有，，成等比数列．可得，即有，即有，即有，当n为奇数时，，可得；当n为偶数时，，而，可得，可得；，则数列为等差数列；，假设存在正整数m，k，使得，，成等比数列，可得，即，即，即，可得，5，25，可得，，或，，或，则存在或，或，使得，，成等比数列．【解析】运用数列的递推式可得所求通项公式；由等比数列中项性质和等差数列的定义，即可得证；求得，假设存在正整数m，k，使得，，成等比数列，运用等比数列的中项性质和整除的概念，可得所求值．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式，考查分类讨论思想和方程思想，化简运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：因为三角形PCD是等边三角形，且E是DC中点，所以，又因为面PCD，面面ABCD，面面，所以面ABCD，又因为面ABCD，所以，因为ABCD是矩形，所以，设，所以，即，所以，因为，，，面PAE，面PAE，所以面PAE，又因为面PAE，所以解：设F是AB中点，以E为原点，EF所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，EP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，由已知得，设，则，设面BDM的法向量为，则，令，有，所以，当且仅当时取等号，即当时，直线AM与面BDM所成角最大．【解析】由题意可得面ABCD，则，由空间几何关系可证得，从而面PAE，结合面面垂直的定义可得建立空间直角坐标系，由题意求得直线AM与平面BDM所成的角的函数表达式，然后结合基本不等式求解其最值即可确定AM的长度．本题主要考查线面垂直的判定与应用，空间向量及其应用，立体几何中的探索性问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．20.【答案】解：双曲线，则，，，，即又，，，，双曲线C的方程为；的面积为定值2，由得双曲线C的渐近线方程为，设，，其中，，为线段MN的中点，，将点P的坐标代入双曲线C的方程得，解得，设，则，又，，，，，，又，，的面积为定值【解析】由题意得，结合题意可得，整理得，求解即可得出答案；由得双曲线C的渐近线方程为，设，，其中，，可得，将P代入双曲线方程得，设，则，可得，表示出的面积，求解即可得出答案．本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：根据题意，X在内，按组距为5可分成6个小区间，分别是，由，，，15，16，17，18，19，每个小区间对应的频率值分别是，解得，的对值是14，15，16，17，18，19，由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由知，学生B的分数属于区间的概率分别是：，我们用符号或表示学生或在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，则学生A最终获得一等奖的概率是，学生B最终获得一等奖的概率是，，，，的分布列为：012P【解析】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于较难题．在内，按组距为5可分成6个小区间，分别是由，由，，能求出n的对值和由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，学生B的分数属于区间的概率分别是，用符号或表示学生或在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，由此能求出学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率．学生A最终获得一等奖的概率是，学生B最终获得一等奖的概率是，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和22.【答案】解：由题意，函数，，可得函数的定义域为，且，设，，则，①当时，可得，所以在上单调递增，所以没有极值；②当时，若，则，在上单调递减，若，则，在上单调递增，所以在处取得极小值，且极小值为，在上没有极大值，综上，当时，没有极值；当时，的极小值为，无极大值．由题意知，存在，使得，即存在，使得，构造函数，则，当，即时，在上恒成立，单调递增，所以，可得，与矛盾，不满足题意；当，即时，若，则，单调递减，若，则，单调递增，此时，由，可得，所以，因为，所以不等式不成立；当，即时，在上恒成立，单调递减，所以，可得，满足题意．综上，实数a的取值范围为【解析】求得，设，求得，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解；根据题意转化为存在，使得，构造函数，求得，分、和，结合函数的单调性和极值、最值，即可求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，恒成立问题的求解，化归转化思想，属难题．。

江苏高考数学卷历年真题高考数学是近年来备受关注的一门学科，不仅涵盖的知识点广泛，而且考察的能力和思维方式也要求考生具备综合应用能力。

江苏高考数学卷历年真题便是许多考生备考复习的重要资料，通过做历年真题，考生可以熟悉考试题型，掌握解题技巧，系统地复习知识点，提高应试能力。

一、选择题部分选择题是高考数学卷的必考部分，涵盖了基础知识点的考查，考生需要在一定时间内迅速准确地作答。

江苏高考数学卷历年真题中的选择题，往往涵盖了不同难度层次的题目，考察了考生对知识点的掌握程度和应用能力。

通过做选择题，考生可以在短时间内迅速检验自己的学习水平，找出薄弱环节，有针对性地进行复习和提高。

二、填空题部分填空题是数学考试中常见的一种题型，要求考生对概念和定理有深刻的理解，能够准确运用所学知识解决问题。

江苏高考数学卷历年真题中的填空题，往往考查了考生对知识点的理解和灵活运用能力，要求考生具备一定的逻辑思维和推理能力。

通过做填空题，考生可以加深对知识点的理解，培养解题思维，提高解题技巧。

三、解答题部分解答题是考察考生综合运用所学知识解决问题的重要环节，要求考生理清问题思路，合理运用所学知识和方法解答问题。

江苏高考数学卷历年真题中的解答题，往往设计了具有一定难度和复杂性的问题，考查了考生的综合分析和解决问题的能力。

通过做解答题，考生可以提高综合运用知识的能力，培养逻辑推理和问题解决的能力，为应对考试中的解答题提供有力支持。

总之，江苏高考数学卷历年真题是考生备考复习的重要资料，通过做历年真题，考生可以熟悉考试题型，掌握解题技巧，系统地复习知识点，提高应试能力。

考生在备考过程中，要根据自己的实际情况，有针对性地选择历年真题进行练习，不断总结经验，不断提高解题能力，为取得优异的成绩奠定扎实的基础。

希望广大考生能够充分利用历年真题这一宝贵资源，努力备考，顺利应对高考数学考试。

祝愿所有考生都能取得理想的成绩，实现自己的人生目标！。