2011年湖南省普通高中学业水平考试
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{,}M a b =，{,}N b c =，则M N 等于（ ）
A ．{,}a b
B ．{,}b c
C ．{,}a c
D ．{}b
2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱
C.球
D.四棱柱下列函数中， 3．函数()sin ,f x x x R =∈的最小正周期是（ ） A ．π
B ．2π
C ．4π
D ．2
π
4．已知向量(2,1),(1,).x ==a b 若⊥a b ，则实数x 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1 5．在区间(0,]+∞为增函数的是（ ） A ．()f x x =-
B ．1
()f x x
=
C ．()lg f x x =
D ．1()2x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
6．某检测箱中有10袋食品，其中由8袋符合国际卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ） A ．18
B ．
15
C ．
110 D ．16
7．在平面直角坐标系中，O 为原点，点P 是线段AB 的中点，向量(3,3),(1,5),OA OB ==- 则向量OP =（ ） A ．(1,2)
B ．(2,4)
C ．(1,4)
D ．(2,8)
8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11B D 与平面1BC D 的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．垂直
C ．相交但不垂直
D ．直线11B D 在平面1BC D 内
9．函数()23x f x =-的零点所在的区间是（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60,45,A B =
=b =，则a =（ ） A
． B ．2 C ．3 D ．
6
正视图 侧视图
俯视图
A
B
C
D
1
A 1
B 1
C 1
D
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．样本数据3,9,5,2,6的中位数是 .．
12．已知某程序框图如图所示，若输入的x 的值为3，则输出的值为 .
13．已知0,x >则函数1
y x x
=+
的最小值是 ． 14．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是 .
．
15．已知点(,)x y 在如图所示的阴影部分内运动，且3Z x y m =-+的最大值为2，则实数
m = ．
三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1
sin ,(0,)2
2
π
αα=∈
（1）求cos α的值；
（2）求sin 2cos 2αα+的值.
第12题图
第15题图
17．（本小题满分8分）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.
(1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；
(2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.
18．（本小题满分8分）已知二次函数2()f x x ax b =++，满足(0)6f =，(1)5f =. （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）当[2,2]x ∈-，求函数()y f x =的最小值与最大值.
19．（本小题满分8分）在数列{}n a 中，已知*112,2(2,)n n a a a n n N -==≥∈. （1）试写出23,a a ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
20． 已知关于,x y 的二元二次方程22240()x y x y k k R ++-+=∈表示圆.C
（1）求圆心C 的坐标； （2）求实数k 的取值范围 （3）是否存在实数k 使直线:240l x y -+=与圆C 相交于,M N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）？若存在，请求出k 的值；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题
二、填空题
11、 5 ； 12、 3 ； 13、 2 ； 14、45 ； 15、 2
三、解答题：
16、（1）(0,),cos 02
π
αα∈∴>，从而cos α= （2）2sin 2cos 22sin cos 12sin ααααα+=+-= 17、（1）高一有：
200
12001202000
⨯=（人）
；高二有20012080-=（人） （2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=
∴人数为0.7520001500⨯=（人）
18、（1）2(0)62
()26(1)156
f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩
（2）
22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-
1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.
19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==
*1
2(2,)n
n a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n ===，(1)
1232
n n n S n +∴=++++=
20、（1）
22:(1)(2)5C x y k ++-=-，(1,2)C ∴-
（2）由505k k ->⇒<
（3）由2
22
24051680(1)(2)5x y y y k x y k
-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩ 设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++=
=
，224
1620(8)05
k k ∆=-+>⇒< 112212*********
24,24,(24)(24)4[2()4]5
k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即4168824
0()5555
k k k k -++=⇒=<满足
