有限差分法的介绍及简单应用_初学者共29页文档

有限差分法的原理与计算步骤有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。

其基本原理是将连续的偏微分方程转化为差分方程，通过逼近导数，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。

下面将详细介绍有限差分法的原理和计算步骤：一、基本原理：有限差分法基于Taylor级数展开，通过利用函数在其中一点附近的导数信息来逼近函数在该点处的值。

该方法将连续的偏微分方程转化为差分方程，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。

在有限差分法中，常用的差分逼近方式有前向差分、后向差分和中心差分。

二、计算步骤：1.网格划分：将求解区域划分为有限个离散点，并定义网格上的节点和网格尺寸。

通常使用等距离网格，即每个网格点之间的间距相等。

2.离散化：将偏微分方程中的各个导数项进行逼近，利用差分近似来替代和求解。

一般采用中心差分逼近方式，即通过函数值在两侧点的差来逼近导数。

3.代数方程系统：利用离散化的差分方程，将偏微分方程转化为代数方程系统。

根据问题的边界条件和初值条件，构建代数方程系统的系数矩阵和常数向量。

4. 求解代数方程：利用求解线性方程组的方法求解代数方程系统，常用的方法有直接法（如高斯消元法、LU分解法）和迭代法（如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法）。

求解得到各个离散点的解。

5.后处理：根据求解结果进行后处理，包括结果的插值和可视化。

将离散点的解通过插值方法进行平滑处理，并进行可视化展示，以得到连续的函数解。

三、优缺点：1.直观：有限差分法基于网格划分，易于理解和实现。

2.精度可控：可通过调整网格大小和差分逼近方式来控制计算的精度。

3.广泛适用性：可用于求解各种偏微分方程，适用于不同的边界条件和初值条件。

然而，有限差分法也存在一些缺点：1.精度依赖网格：计算结果的精度受到网格划分的影响，因此需要谨慎选择网格大小。

2.限制条件：有限差分法适用于边界对应点处导数有定义的问题，不适用于奇异点和非线性问题。

有限差分法有限差分法（Finite Differential Method, FDM ）什么是有限差分法 有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空间点值的差分形式的方法。

按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格结(节)点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，以求出溶质在各网格结(节)点上不同时刻的浓度。

有限差分法的基本步骤（1）剖分渗流区，确定离散点。

将所研究的水动力弥散区域按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。

（2）建立水动力弥散问题的差分方程组。

（3）求解差分方程组。

采用各种迭代法，如点逐次超松驰方法(SOR)、线逐次超松驰方法(LSOR)、迭代的交替方向隐式方法(IADI)及强隐式方法(SID)等。

(1) 现在分别对时间（从0时刻到到期日）和股票价格（S max )为可达到的足够高的股票价格）进行分割，即\triangle S=S_{max}/M,\triangle T/N,这样就分别有N+1个时间段和M+1个股票价格，建立如图(所示的坐标方格，将定解区域网格化，坐标方格上的点（i,j ）对应时刻和股票价格，用变量f i ,j 表示（i,j ）点的期权价格。

2.建立差分格式（1）内含的有限差分方法其步骤可分为以下几步：(1)求前向差分近似:(2) 后向差分格式：(3)将(2),(3)式平均可更加对称地求出的近似，即(4)(2)求用前向差分近似：(5)(3)求(6)(4)将(4),(5),(6)式代入(1)式可得到内含有限差分公式：+ b j f i,j−c j f i,j + 1 = f i + 1,j(7)aj f i,j− 1其中：i=0,1,…，N-1。

j=0,1…，M-1针对看跌期权和看涨期权可分别求出方程的边界条件：看跌期权：看涨期权：(5)利用边界条件和(7)式可以给出M-1个联立方程组：+ b j f N− 1,j + c j f N− 1,j + 1j=1,2…，M-1aj f N− 1,j− 1求解这M-1个联立方程组即可以求出期权价格，但对美式看跌期权时我们必须考虑其提前执行的情况。