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用列举法求概率(列表法)

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25.2.1 用列表法求概率课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

25.2.1 用列表法求概率课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
A.


B.


1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(2，1)
(2，2)
C.




D.
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有
4种等可能的情况，
)
知识讲解
知识点2 用列表法求概率
【例 2】一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，
2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3)至少有一个骰子的点数为2.
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
（B ）
A.


B.


C.


D.


随堂练习
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不
会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两
道题全对的概率是（ B ）
A.


B.


C.


D.


随堂练习
3. 在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机

用列举法求概率

用列举法求概率
等可能性事件的概率可以用列举法而求得。
列举法就是把可能出现的结果一一列举出来分析 求解的方法．
探究
• 问题1.掷一枚一硬币，正面向上的概率是多少？ • 问题2.抛掷一个骰子，它落地时向上的点数为 ① 2的概率是多少？ ②落地时向上的数是3的倍数的概率是多少？ ③点数为奇数的概率是多少？ ④点数大于2且小于5的数的概率是多少？
该踩在A区还是B区？
P134.练习1
在线段上表示出不同的概率情况
（1）太阳每天从东方升起 （2）斗门今天下大雪 （3）掷一枚硬币，正面朝上 （4）掷 一枚骰子，落地点数为6
0≤P(A) ≤1. 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
1．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只， 二等品3只，三等品2只．则从中任意取1只，是 二等品的概率等于( )．
互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如
下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注
明了一定的奖金额，其余商标的背面是一
张苦脸，若翻到它就不得奖。参加这个游
戏的观众有三次翻牌的机会。某观众前两
次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能
再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概
率是（ ）．
A. 1 B. 1
6
5
C. 3
20
性相等。
（1）满足指向红色有3种结果，
P(红色)=_____
（2）満足指向红色或黄色一共有5种
结果，P( 红或黄）=_______
（3）满足不指向红色有4种结果
P( 不指红）= ________
能不能把结果分为红、绿、
黄三种可能，再用P（A）
＝m/n求概率
解：A区有8格3个雷，
如图：计算机扫雷游
ห้องสมุดไป่ตู้

九年级数学上册教学课件《用列表法求概率》

九年级数学上册教学课件《用列表法求概率》
硬币的正反面
直接列举法
掷骰子的点数
列表法
用列表法求概率适用于事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多的概率问题.
在运用列表法求概率时，应注意各种结果出现的可能性相等，要注意列表时事件(或数据)的顺序不能随意混淆.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
【教材P138练习 第1题】
解：（1） ；（2） ；（3） .
2. 有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1,2,3,4,5,6.随机 抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二 次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？
【教材P138练习 第2题】
例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两枚骰子的点数相同；（2）两枚骰子点数的和是9；（3）至少有一枚骰子的点数为2.
知识点2
用列表法求概率
怎么列出所有可能出现的结果？
第1枚第2枚
1
2
3
4
5
6
1
1,1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
2
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
3
1,3
4
小凯
1,2
1,3
1,4
点P所有可能的坐标如下表：
2,1
2,3
2,4
3,1
3,2
3,4
4,1
4,2
4,3
解：
小敏
(2)求点(x，y)在函数y=-x+5图象上的概率.
解：记点P满足在函数y=-x+5的图象上为事件A.
x+y=5
拓展延伸
8.有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？

用列表法求概率课件课件(共22张PPT)

用列表法求概率课件课件(共22张PPT)
（1）两枚骰子的点数相同；
（2）两枚骰子的点数和是9；
（3）至少有一枚骰子的点数为2.
两枚骰子分别记为第一枚和第二枚，列表如下
第一枚
1
第二枚
1
(1,1)
2
3
4
5
6
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
球，记下标号. 若两次取的乒乓球标号之和为 4，小林赢；若标号之和为
5，小华赢. 请判断这个游戏是否公平，并说明理由.
解：列表得：
第一个
将“标号之和为 4”记
第二个
1
1
2
3
4
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
一列出.
【注意】直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两
步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
思考
“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后抛掷一枚质地均匀的硬币”，
这两种试验的所有可能结果一样吗？
分步思考：(1)在第一枚为正面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况；
(2)第一枚为反面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况. 所有的结果共
2 1
即“正正”“反反”,所以P(A)= 4 2
（2）一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上(记为事件C)有2种结果；

人教版七年级上册用列表法求概率

人教版七年级上册用列表法求概率

3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
由上表可以看出，同时掷两枚骰子，所有可能出现的 结果有36种，并且它们出现的可能性相等.
一 10 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (6)概率与统计、算法初步、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球、射击问题为背景理解概率问题。
1 2 3 4 5 6 第二十一章 一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。
二 本章的难点是解一元二次方程。
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
用列举法求概率
第1课时 用列表法求概率
学习目标
1.知道什么时候采用“枚举法”和“列表法” . 2.会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.(难点) 3.知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.(重点)

25.2用列举法求概率用列表法求概率(教案)

25.2用列举法求概率用列表法求概率(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与概率相关的实际问题，如抛两个骰子，求两个骰子点数之和为7的概率。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如投掷两个骰子，记录并分析结果。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
本节课将结合实际例子，让学生在实际操作中掌握列举法和列表法求解概率的方法。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.数据分析：通过用列举法和列表法求解概率问题，培养学生对数据整理和分析的能力，使其能够运用合的方法对随机事件进行概率计算，形成数据分析的核心素养。
2.逻辑推理：在教学过程中，引导学生通过逻辑推理的方式，理解事件发生的可能性，并运用列举法和列表法进行推理，提高学生的逻辑思维能力。
3.数学建模：让学生在实际问题中运用数学知识建立模型，通过列表法和列举法求解概率，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，形成数学建模的核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解并掌握列举法求概率的基本步骤：确定试验的所有等可能结果、确定事件A的所有可能结果、计算事件A的概率。
举例：抛掷一个骰子，求出现偶数点的概率。重点是让学生通过实际操作，理解并掌握如何找出所有等可能结果，以及如何确定事件A的所有可能结果，进而计算出事件A的概率。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“25.2用列举法求概率用列表法求概率”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断事情发生可能性大小的情况？”（例如：抛硬币时，正面朝上的可能性是多少？）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索概率的奥秘。

列举法求概率

列举法求概率
6 8 A 1 4 7 B 5
探究活动2
解：在表格里列举为
解：拔动两个转盘的可能结果在表格里列举 出来的可能性共有九个． 事件A盘胜的可能性有（6，4）、（6，5）、 （8，4）、（8，5）、（8，7），共五个； 事件B盘胜的可能性有（1，4）、（1，5）、 （1，7）、（6，7），共四个；
5 P（A盘胜）＝ 9
探究活动3
同时掷两个质地均匀的骰子活动，
1、两个骰子的点数相同的概率． 2、两个骰子点数的和是9的概率． 3、至少有一个骰子点数为2的概率．
解：由列表法列举得
事件掷两个骰子发生的可能性共有36个
1、两个骰子的点数相同发生的可能性共有6个
6 1 P（两个骰子的点数相同）＝ ＝ 6 36
2、两个骰子点数的和是9发生的可能性共有4个
１ 个
．
P（向上的面点数是2）＝ 6
1、在九（5）班计算概率中，有一道练习题有部分的 同学是这样做的： 掷两枚硬币，求两枚硬币全部正面向上的概率？ 解：掷两枚硬币发生的可能有：正正，正反，反反， 共3个；
事件两枚硬币全部正面向上发生的可能有1个；
1 P（两枚硬币全部正面向上）＝ 3
探究
这道题解题过程和结果对不对？如果不 对，错在哪里？并把其改正。
正确解题
解：掷两枚硬币发生的可能有：正正，正 反，反正，反反，共4个； 事件两枚硬币全部正面向上发生的可能 有1个； P（两枚硬币全部正面向上）＝ 1
4
有一个游戏活动，两名同学分别拔动A、 B两个转盘，使之转动，指针指数大的一方 为获胜者，。 由于两个转盘上的数字不同，如果你上 来，你会选哪一个转盘？说说你的理由
4 1 6 7
3
2
9
8
练习

用列举法求概率(第二课时)教案

用列举法求概率(第二课时)教案

§25.2 用列举法求概率(第二课时列表法)【教学目标】1． 会用列表的方法求含有两个要素的有限等可能事情的概率。

2． 体验数学方法的多样性灵活性，提升解题水平。

【教学重点】准确理解和区分一次试验中包含两步的试验。

【教学难点】当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果。

【活动过程】请独立思考下列问题，小组长组织交流问题1.同时掷两枚质地均匀的硬币有几种可能的结果？ 问题2.同时掷两枚质地均匀的骰子有几种可能的结果？问题2与问题1相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。

怎样避免这个问题呢？带着这个问题阅读课本第135页分析与表25—2。

活动二 使用列表法求概率请自主完成例3的解题过程，小组交流、订正，并完成题后小结 例3 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：①两个骰子的点数的和是8； ② 至多有一个骰子的点数为3； ③ 骰子的点数都是奇数。

解：思考：（1）当一个事件涉及两个因素且可能出现的结果数目较多时，通常采用 法。

（2）把“同时掷两个质地均匀的骰子”改为“把一个骰子掷两次”上述结果有无变化？练习：在一个口袋有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸一个小球，求下列事件的概率： （1）两次取的小球标号相同；（2）两次取的小球标号的和为5。

思考：（1）列表法求概率的步骤是：（2）对比列举法与列表法的优缺点：课堂练习：1．有两组卡片，第一组三张卡片上分别写着Ａ、Ｂ、Ｃ，第二组五张卡片上分别写着Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ．试用列表法求出从每组卡片中各抽取一张，两张都是Ｃ的概率．2.某生好逸恶学，已知某次考试只有100道单项选择题，所有的单项选择题都只有四个选项，且只有一个准确，选对一个得1分，不选或选错均不得分，该考生所有题都不会做，便在考试中做了四个标有A、B、C、D的签来决定选项，求该生得满分的概率，估计该考生此次考试能得多少分．3. 田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强．如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，求田忌获胜的概率．4. 小刚参观上海世博会，由于仅有一天的时间，他上午从A—中国馆、B—日本馆、C—美国馆中任意选择一处参观，下午从D—韩国馆、E—英国馆、F—德国馆中任意选择一处参观．（1）请用列表法，分析并写出小刚所有可能的参观方式（用字母表示即可）；（2）求小刚上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率．。

用列举法求概率

用列举法求概率

(3)至少有一个骰子的点数为2 解：两个骰子的点数相同(记为事件A) ∴P(A)=6/36=1/6
解：两个骰子的点数相同(记为事件A) ∴P(A)=6/36=1/6 丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。
想一想，什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便？
从3个口袋中各随机地取出1个小球。
例2、甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；
分析：这里涉及到两个因素，所以先用列表法把 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
个小球上全是辅音字母的概率是多少？
（2）取出的3
所有可能的结果列举出来，然后再分析每个事件 （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个 元音字母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是 多少？
本题中元音字母: A E I 辅音字母: B C D H
用列举法求概率
解：甲两个口骰袋子中的点装数有相2同个(记相为事同件的A)小∴P球(A，)=6它/36们=1分/6 别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们
（1）三辆车全部继续直行的结果有1个，则 P（三辆车全部继续直行）= 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；
算下列事件的概率: （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 复习：什么时候用“列表法”方便？
（2）取出的3
(1)两个骰子的点数相同 P（两辆车右转，一辆车左ห้องสมุดไป่ตู้）=
第第 二一个个
1 2 3 4 5 6
1
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

初中九年级数学 用列举法求概率第一课时用列表法求概率(一)

初中九年级数学 用列举法求概率第一课时用列表法求概率(一)
4.2.2 用列举法求 概率
第1课时 用列表法求概 率
概率的定义：
一般的,对于一个随机事件A， 我们把刻画其发生可能性大小的 数值，称为随机事件A发生的概
等率可，记能为性P概（率A）的. 求法：
一般的,如果在一次实验中,有 n种可能的结果,并且它们发生的 可m种能结m性果都,相那等么,事事件件发包生含的其概中率的 为P(An )=
（2）写出各指定事件发生的可能 结果：
❖ A:取出的2个球同色
（R ，R ）、 R ❖
1
1
（ 1，R2）、（R2，R1）、（R2，R2）(共4种)
❖ B:取出2个白球
❖ （W1,W1）、（W1，W2）、（W2，W2）、（W2，W2）(共4种)
1
1
（3）指定事件的概4率为： 4
P(A)=_____,P(B)=_______.
动脑筋
❖ 李明和刘英各掷一枚骰子，如果两枚骰子的 点数之和为
奇数，则李明赢；如果两枚骰子的点数之和为
偶数，则
游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相等，
各掷一枚骰子，可能出现的结果数目较多，
刘英赢.这个游戏为了公不重平不漏吗地？列举所有可能的结果，通常
采用列表法.
我们可以把掷两枚骰子的全部可能结果列表如下
练一练：
❖ 1.如图，有三条绳子穿过一块木板，姐妹两 人分别站在木板的左、右两边，各选该边的
一段绳子.若每1 边每段绳子被选中的机会相等，
则两人选到同一绳子的概率为多少？
3
❖ 2.从-2，-1,2这三个数中任意1 取两个不同的书， 作为点的坐标，求该点在第3四象限的概率.
（R1， R1）
（R2，
R2
R1）
R2

(12.16列表)用列举法求概率

(12.16列表)用列举法求概率

方法二：
第1枚 第2枚 正
列表法 正 反
（正，正） （反，正）
反
（正，反） （反，反）
什么时候用“列表法”方便？
第一枚硬币
第二枚硬币
所有可能出现的结果
正
正 反 正 反
( 正 , 正) ( 正 , 反) ( 反 , 正) ( 反 , 反)
开始
反
方法三：将同时掷两枚硬币，想象为先掷一枚，
再掷一枚，分步思考：在第一枚为正面的情况下 第二枚硬币有正、反两种情况，同理第一枚为反 面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况．
P(奇) ＝ P(偶) ，
2× 5=10 2+5=7 2+5=7 3× 5=15 3+5=8 3+5=8 4× 5=20 4+5=9
2× 6=12 2+6=8 2+6=8 × 3 3+6=9 6=18 3+6=9 4 ×6=24 4+6=10
1 3 解：不公平． 因为P(奇) ＝ ，P(偶)＝ ； 4 4 所以不公平． 1 1 理由：因为P(奇) ＝ ，P(偶)＝ ； 2 2 所以公平．
归纳总结，画龙点睛
1、本节课你有哪些收获？有何感想？
我有哪些 收获？
2、用列表法求概率时应注意什么情况？
学会了
用列表法求随机事件发生的理论概率 （也可借用树状图分析） 用列表法求概率时应注意各种情况发生的可 能性务必相同
明白了
懂得了
合作交流的重要性
利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件 发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求 出某些事件发生的概率.
2 2 2 3 3 3 4 4 2× 1=2 2× 2=4 2× 3=6 2× 4=8 2+1=3 2+2=4 2+3=5 2+4=6 2+1=3 2+2=4 2+3=5 2+4=6 3× 1=3 3 × 2=6 3 × 3=9 3 × 4=12 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7 4× 1=4 4× 2=8 4× 3=12 4× 4=16 4+1=5 4+2=6 4+3=7 4+4=8
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九年级数学上册第25章第二节
问题情境一：“猜硬币游戏”
1、老师向空中抛掷两枚同样的 一元硬币，如果落地后一正一反， 老师赢；如果落地后两面一样， 你们赢。请问，你们觉得这个游 戏公平吗？
问题情境二
如果有两组 牌，它们牌 面数字分别 为1、2、3， 那么从每组 牌中各摸出 一张牌，两 张牌的牌面 数字和是多 少？
观察、分析、讨论如何表格化
列表法
第一张牌的
牌面数字
第二张牌 牌面数字
的
1
2
3
1 2
（ 1 ， 1 ）（ 1 ， 2 ） （ 1 ， 3 ） （ 2 ， 1 ）（ 2 ， 2 ） （ 2 ， 3 ） （ 3 ， 1 ）（ 3 ， 2 ） （ 3 ， 3 ）
3 1 P (A)= = 9 3
3
牌面数字等于4 的概率
第一组 第二组
问题：两张牌面数字和为几的概率最大？
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
问题：
你能否找到更简便的方法把可能出现 的结果不重不漏的列出来吗?
（分组实验，探究交流。）
引导学生对所有列举规律排列
（1，1） （ 1 ， 2 ）（ 1 ， 3 ） （2，1） （ 2 ， 2 ）（ 2 ， 3 ） （3，1） （ 3 ， 2 ）（ 3 ， 3 ）
顾
与 思
考
2、布置作业 巩固提高
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1) 两个骰子的点数相同； (2) 两个骰子的点数的和是9； (3) 至少有一个骰子的点数为2。
1 2 3 4 5 6
1
2 3 4 5 6
(1,1)
(2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2)(2,2) (3,2 Nhomakorabea (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3)
(2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4)
(2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6)
(2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果 有6个，即（1，1），（2，2），（3，3），（ 4， 6 1 4），（5，5），（6，6），所以P(A)= 36 = 6
归纳总结
当一次试验涉及两个因素 并且可能出现的结果数目较多 的时候，为不重不漏的列出所 有的可能结果，可以采用列表 法。
小王为学校联欢会设计了一个“配紫色“的 游戏；下面是两个可以自由转动的转盘，每个 转盘可以分成几个相等的扇形，游戏者同时可 以转动两个转盘，如果转盘Ａ转出了红色，转 盘Ｂ转出了蓝色，那么他就赢了。因为红色和 蓝色在一起配成了紫色。 1）利用列表法表示游戏所有可能出现的结果。 2）游戏者获胜的概率是多少？
（2）满足两个骰子的点数的和是9（记为事件B）
的结果有4个，即（3，6），（4，5），（5， 1 4 4），（6，3），所以P(B)= 36 = 9
（3）至少有一个骰子的点数为2（记为 事件C）的结果有11个，所以P(C)= 11 。 36
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