角平分线定理的多种证明方法

三角形内角平分线定理的多种证明方法

已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC

证明：方法一：（面积法）

三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM,

三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM,

所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC

又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，

即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM

所以AB／AC=MB／MC

方法二（相似形）

过C作CN平行于AB交AM的延长线于N

三角形ABM相似三角形NCM,

AB/NC=BM/CM,

又可证明∠CAN=∠ANC

所以AC=CN，所以AB／AC=MB／MC

方法三（相似形）

过M作MN平行于AB交AC于N

三角形ABC相似三角形NMC,

AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC

又可证明∠CAM=∠AMN

所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC 所以AB／AC=MB／MC

方法四（正弦定理）

作三角形的外接圆，AM交圆于D，

由正弦定理，得，

AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,

AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM

又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180

sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,

所以AB／AC=MB／MC

阅读下面材料，按要求完成后面作业。

三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

已知：△ABC中，AD是角平分线（如图1），求证：=。

分析：要证=，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似，现在B、D、C在一条直线，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。

在比例式=中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，

所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的

第四比例项AE，这样，证明=，就可转化证=。

（1）完成证明过程：

证明：

（2）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个即可）

答：用了：①____________；②_____________。

（3）在上述分析和你的证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种：①数形结合思想②转化思想③分类讨论思想答：____________。

（4）用三角形内角平分线定理解答问题：

如图2，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC之长。

（1）证明：过点C作CE//AD交BA的延长线于点E，

则∠E=∠BAD=∠DAC=∠ECA，所以AE=AC，由CE//AD，

可得=，∴=。

（2）两直线平行，同位角相等；等腰三角形的判定；三角形相似的判定的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）②；（4）“略”

古希腊哲学大师亚里士多德说：人有两种，一种即“吃饭是为了活着”,一种是“活着是为了吃饭”.一个人之所以伟大，首先是因为他有超于常人的心。“志当存高远”,“风物长宜放眼量”,这些古语皆鼓舞人们要树立雄无数个自己，万千种模样，万千愫情怀。有的和你心手相牵，有的和你对抗，有的给你雪中送炭，有的给你烦忧……