中考数学总复习第六章圆第28讲与圆有关的计算课件

第3页
3．(2019·广西梧州中考)如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与 AB 交 于 点 D ， ∠ADO ＝ 85° ， ∠CAB ＝ 20° ， 则 阴 影 部 分 的 扇 形 OAC 的 面 积 是
5 __3_6_π___.
第4页
命题点二 与扇形有关的阴影面积计算
4．(2015·遵义中考)如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2 cm，C为
定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的性
质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
第 33 页
例5 (2018·贵州贵阳中考)如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆 上 ， OC⊥AB ， 垂 足 为 点 O ， P 为 半 圆 上 任 意 一 点 ， 过 P 点 作 PE⊥OC 于 点 E ， 设 △OPE的内心为M，连接OM、PM.
解题技巧：本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质， 掌握弧长公式是解题的关键．
第 24 页
突破点二 与扇形有关的面积计算 例2 (2018·贵州安顺中考)如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm, ∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C ′
(D)
A．3 C．32
B． 3 D． 2
第 28 页
思路分析：∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝ 45°，BD＝ 2 AB．∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°.∵CB＝CD，∴△CBD为等边 三角形，∴BC＝BD＝ 2 AB．∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧 面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB∶CB，∴下面圆锥的侧面积为 2×1＝ 2.

例1
提分技法
利用 圆周角 定理及 其推论 解题时 的思路 1.在利 用圆周 角定理 解答具 体问题 时,找准 同弧所 对的圆 周角及 圆心角 ,并结 合圆周 角定理 进行相 关计 算是关 键.与圆 周角有 关的常 用辅助 线有 :① 过圆 上某点 作直径, 连接 过直径 端点的 弦;② 弦垂 直平 分半径 时可构 造直角 三角形 ;③ 构造 同弧所 对的圆 周角. 2.在利 用圆周 角定理 的推论 解答具 体问题 时,要找 准直径 及等弦 或同弦 所对应 的圆周 角, 一般 会结 合圆 周角定 理进行 相关计 算或证 明.
中考
2019
数学
第六章 圆
目录
CONTENTS
第一节 圆的基本性质 第二节 与圆有关的位置关系 第三节 与圆有关的计算
第一节 圆的基本性质
PART 01
考点帮
考点1 垂径定理及其推论(2011年新 课标
选学内容) 考点2 弦、弧、圆心角之间的关系
考点3 圆周角定理及其推论
考点4 圆内接四边形的概念和性质
∵OA=OB,PA=PB,
∴∠OAB=∠OBA,∠PAB=∠PBA,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴PB 是☉O 的切线.
(2)解:连接 BC,设 OP 交 AB 于点 F. ∵AC 是☉O 的直径,∴∠ABC=90°. ∵OA=OB,AP=BP, ∴OP 垂直平分 AB,∴BC∥OP, ∴∠OPC=∠PCB. ∵∠APC=3∠BPC,∠APO=∠BPO, ∴∠OPC=∠CPB,∴∠PCB=∠CPB,∴BC=BP. 设 OF=t,则 PB=BC=2t,易得△FPB∽△BPO,
方法帮 命题角度 2 圆内接四边形的性质
例2
[ 2 0 1 8 山东济宁] 如图, 点 B , C , D 在☉O 上, 若∠B C D = 1 3 0 °, 则∠B O D 的度数是( D )

3
，S扇形COD＝
1

4
，
∴S阴影＝S扇形OBE＋S△OCE－S扇形COD＝3
3 2 4
3. 2
A. 3π cm
B. 4π cm
C. 5π cm
D. 6π cm
例1题图
D 【解析】扇形的半径(圆锥的母线)、 圆锥的高、圆锥底面圆半径构成直角三角 形．由题意可知，OA＝4 cm，AB＝5 cm， 在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得OB＝ 3 cm，∴该圆锥的底面周长是6π cm.
例1题解图
例 2 (2015河南)如图，在扇形AOB中，∠AOB ＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E.以 点 O 为 圆 心 ， OC 的 长 为 半 径 作 交 OB 于 点 D. 若 OA＝2，则阴影部分的面积为______23__．
例2题图
【解析】如解图，连接OE，∵点C是OA的中点，
∴OC＝ 1 OA＝1，∵OE＝OA＝2，CE⊥OA，
2
∴∠OEC＝30°，∠COE＝60°.∴在Rt△OCE中，
CE＝
3
，∴S△OCE＝
1 2
OC·CE＝
3 2
.∵∠AOB＝
90°，∴∠BOE＝∠AOB－∠COE＝30°，
∴S扇形OBE＝
第六章ห้องสมุดไป่ตู้圆
第27课时 与圆有关的计算
考点精讲
与 圆
扇形弧长和面积的计算
有
关 圆锥的相关计算
的
计 算
圆中阴影部分面积的计算
圆的周长 C=① 2r
扇形的弧长
l
=②
nr 180
圆的面积 S=③ r 2
r为圆半径 n为弧所对 的圆心角度数 l是扇形的弧长

π
180
3
×3= π,
4
∴n=45,即∠AOD=45°,
∴∠BOC=180°-∠AOD-∠COD=75°,
∴ 的长=
75π
180
5
×3= π.
4
第二十四页，共四十一页。
基
础
知
识
巩
固
3.[2019·呼和浩特 34 中月考]如图 28-13,半圆 O 的直径 AB=6,弦 CD 的长为 3,点
C,D 在半圆 AB 上运动,D 点在弧 AC 上且不与 A 点重合,但 C 点可与 B 点重合.
(2)取 CD 的中点 M,在 CD 运动的过程中,求点 M 到 AB 的距离的最小值.
高
频
考
向
探
究
图28-13
第二十五页，共四十一页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
(2)如图②,由 M 点运动路径可判断,当弦 CD 运动到点 C 与点 B 重合时,点 M 到
AB 的距离最小.过点 M 作 ME⊥AB 于点 E,
作半圆,交 AB 于点 D,则阴影部分的面积 ∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠ABC=45°.
∵BC 是直径,∴∠CDB=90°,
是(
)
∴∠BCD=45°=∠ABC,AD=BD,
A.π-1
B.4-π
∴CD=BD,∴S 扇形 COD-S△ COD=S 扇形
C. 2
D.2
BOD-S△ BOD,即
S 弓形 CD=S 弓形 BD.
高
频
考
向
探
究
∴OE= OA=30 cm,

∵S 扇形 OEF＝39600×π×22＝π，S△OEF＝12×OE×OF＝12×2×2＝2. ∴S 阴影＝S 扇形 OEF－S△OEF＝π－2.
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以 AC、BC 为直径画半圆，则 图中阴影部分的面积为52π－4.(结果保留 π)
点 B 是切点，弦 BC∥OA，连结 AC，则图中阴影部分的面积等于( )
2
8
A.3π
B.3π
C．π
D.23π＋ 3
【解析】连结 OC、OB，则 S 阴影＝S 扇形 OCB＝603π6·022＝23π.(注：等高同底的三角形的面积 相等)
【答案】A
9．(2009 中考变式题)如图，将圆沿 AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则 AMB 的度数等于 ()
A．30 cm2 B．30π cm2 C．60π cm2 D．120 cm2
【解析】在 Rt△COB 中，BC＝ OC2＋OB2＝ 82＋62＝10(cm)，∴S 侧＝πrl＝π×6×10 ＝60π(cm2)．
【答案】C
11．(2011 中考预测题)如图，现有 30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为 40 cm， 小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩 下的纸片制作成一个底面半径为 10 cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片 的圆心角为( )
A．5 cm B．10 cm C．12 cm D．13 cm
(2)(2010·兰州)现有一个圆心角为 90°，半径为 8 cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥
的侧面(接缝处忽略不计)．该圆锥底面圆的半径为( )
A．4 cm
B．3 cm
C．2 cm

考点聚焦
归类探究
图28－6
回归教材
第28课时┃ 与圆有关的计算
[点析]平面图形的滚动问题，实质上是物体的旋转，考查动 点移动的路线或围成的面积，难度较大，创新性很强，是中 考的热点考题和容易丢分题．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第28课时┃ 与圆有关的计算
中考预测 1．如图 28－7，矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝12，将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线 l 上进行两次旋转，则点 B 在两 次旋转过程中经过的路径的长是( A )
∴S 正六边形＝6×12a· 23a＝3 2 3a2，
∴S 阴影＝S －S 正六边形 空白＝3 2 3a2－ 43a2＝5 4 3a2，
5 ∴S阴影＝
S空白
443a32a2＝5.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第28课时┃ 与圆有关的计算
方法点析
(1)正n边形的半径R、边心距r和边长的一半构成一个直 角三角形，在正n边形中，共有2n个这样的直角三角形；
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
第28课时┃ 与圆有关的计算
变式题 [2013·衡阳] 如图 28－4，要制作一个母线长为 8
cm，底面圆周长为 12π cm 的圆锥形小漏斗，若不计损耗，
则所需纸板的面积是__4_8_π____cm2.
图 28－4
考点聚焦
归类探究
回归教材
第28课时┃ 与圆有关的计算
探究五 用化归思想解决生活中的实际问题 命题角度： 1．用化归思想解决生活中的实际问题； 2．综合利用所学知识解决实际问题．
考点聚焦
归类探究
回归教材

C=πd= 2πR . (2)半径为 R 的圆中,n°���的���������圆������心角所对 的弧长为 l,则 l= ������������������ .
回练课本 1.(1)半径为 4,圆心角为 90°的扇形弧长
为 2π ;
(2)50°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm,
则此弧所在圆的半径是 9 cm .
若圆锥的底面圆半径是 5,则圆锥的母线 l=
.
22.(2014 珠海)已知圆柱体的底面半径为 3 cm,高为 4 cm,则圆柱体
的侧面积为( A )
A.24π cm2 C.12 cm2
B.36π cm2 D.24 cm2
基础训练
1.(2019 温州一模)如图,已知扇形的圆心角∠AOB=120°,半径 OA=2,则扇形的弧长
2.圆、扇形面积计算
(1)半径为 R 的圆面积 S=
πR2
.
(2)半径为 R 的圆中,圆心角为
n°的扇形面���������积���������为������ S 扇= ������������lR
或 S 扇= ������������������ .
2.(1)半径为 4,圆心角为 90° 的扇形面积为 4π ; (2)一个扇形的半径是 24 cm,面积是 240π cm2,则扇 形的圆心角是 150° .
3
即 V=13πR2h.
(3)如图所示,“粮仓”的容积为45π m3 (单位:m).
4.正多边形与圆
(1)正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做
正多边形.
(2)圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的
外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接
圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一

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CHAPTER
06
圆的综合题解题思路
圆的综合题解题方法
利用圆的性质
根据圆的性质，如圆周 角定理、垂径定理等， 推导出其他相关条件或
结论。
数形结合
将圆的性质与代数方程 相结合，通过代数运算
解决问题。
构造辅助线
在解题过程中，根据需 要构造辅助线，以连接 圆上的点或与其他图形
建立联系。
运用相似三角形
在解题过程中，通过构 造相似三角形，利用相 似三角形的性质解决问
THANKS
感谢观看
详细描述
圆的一般方程是$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$，其中$D, E, F$是三个系数 。这个方程表示所有满足这个方程的点都在圆上。通过解这个方程，可以得到圆 上三个点的坐标。
圆的参数方程
总结词
圆的参数方程是一种基于三角函数的描述圆的方式，它通过 角度和半径来描述圆上的点。
题。
圆的综合题解题技巧
寻找隐含条件
在题目中寻找隐含条件，这些条件可 能对解题起到关键作用。
化复杂为简单
将复杂的问题分解为多个简单的问题 ，逐一解决，最后再综合起来。
利用特殊到一般的思路
先考虑特殊情况，再推广到一般情况 ，这样有助于找到解题思路。
注意图形的变化
在解题过程中，注意图形的变化，如 角度、长度等的变化，并利用这些变 化解决问题。
VS
详细描述
根据圆的对称性质，我们可以利用已知圆 上的任意一点或直径两端点来作出一个与 已知圆相切或重合的新圆。具体操作包括 通过圆心和已知圆上一点作圆，以及通过 两个已知圆的中心和它们之间的距离作圆 。
利用已知点作圆

பைடு நூலகம்
得 r2+r2=(2 2)2,解得 r=2,所以弧 BC 的长为
当
堂
效
果
检
测
第十九页，共四十四页。
180
=π.
基
础
知
识
巩
固
考向二 计算( jì suàn)扇形面积
例 2 [2019·天水]如图 28-6,在平面直角坐标系中,已知☉D 经过原点 O,与 x 轴,y
轴分别交于 A,B 两点,点 B 坐标为(0,2 3),OC 与☉D 交于点 C,∠OCA=30°,则圆
(2)若 DE= 3,∠C=30°,求 的长.
高
频
考
向
探
究
解: (2)连结 AD,
∵AC 为☉O 的直径,∴∠ADC=90°.
∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,BD=CD.∴∠AOD=60°.
当
堂
效
果
检
测
∵DE= 3,∴BD=CD=2 3,
60
2
∴OC=2,∴ 的长=180 π×2=3π.
∵DE⊥AB,∴∠2+∠B=90°.
高
频
考
向
探
究
∴∠2+∠1=90°,∴∠ODE=90°,
∴DE为☉O的切线.
当
堂
效
果
检
测
第十五页，共四十四页。
基
础
知
识
巩
固
例 1 [2019·衢州]如图 28-4,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC.以 AC 为直径作☉O 交
BC 于点 D,过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E.
AD=6,以点A为圆心,AD长为半径画弧EF,交AB于点E,交AC于点F.

（第7题）
8.[2016河南,14] 如图，在扇形 <m></m> 中， <m></m> ，以点 <m></m> 为圆心， <m></m> 的长为半径作 <m></m> 交 <m></m> 于点C.若 <m></m> ，则阴影部分的面积为_ ________.
（第8题）
9.[2015河南,14] 如图，在扇形 <m></m> 中， <m></m> ，点 <m></m> 为 <m></m> 的中点， <m></m> 交 <m></m> 于点E.以点 <m></m> 为圆心， <m></m> 的长为半径作 <m></m> 交 <m></m> 于点D.若 <m></m> ，则阴影部分的面积为_ ______.
考法2 阴影部分面积的计算（8年6考）
3.[2017河南,10] 如图，将半径为2，圆心角为 的扇形 绕点 逆时针旋转 ，点 ， 的对应点分别为 ， ，连接 ，则图中阴影部分的面积是( )
C
（第3题）
A. B. C. D.
4.[2022河南,14] 如图,将扇形 <m></m> 沿 <m></m> 方向平移,使点 <m></m> 移到 <m></m> 的中点 <m></m> 处,得到扇形 <m></m> .若 <m></m> , <m></m> ,则阴影部分的面积为_ _______.

第28讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 确定圆的条件 命题角度： 1. 确定圆的圆心、半径； 2. 三角形的外接圆圆心的性质．
例1 [2012·资阳] 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三 角形的外接圆半径是_1_0_或__8___．
第28讲┃ 归类示例
[解析] 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜 边的一半，分两种情况：
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D； (2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.由以 上作图可得：线段EF与线段BD的关系为互__相__垂__直__平__分__．
图28－6
第28讲┃ 归类示例
解： (1)作图如下图．(2)作图如下图；互相垂 直平分
第28讲┃ 归类示例
中考需要掌握的尺规作图部分有如下的要求： ①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段， 作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂 直平分线．②利用基本作图作三角形：已知三边作 三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及 其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三 角形．③探索如何过一点、两点和不在同一直线上 的三点作圆．④了解尺规作图的步骤，对于尺规作 图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)． 我们在掌握这些方法的基础上，还应该会解一些新 颖的作图题，进一步培养形象思维能力．
第28讲┃ 归类示例
[解析] 四个命题的原命题均为真命题，①的逆 命题为：若|a|＝－a，则a≤0，是真命题；②的逆命 题为：若m>n，则ma2>na2，是假命题，当a＝0时， 结论就不成立；③的逆命题是平行四边形的两组对 角分别相等，是真命题；④的逆命题是：平分弦的 直径垂直于弦，是假命题，当这条弦为直径时，结 论不一定成立．综上可知原命题和逆命题均为真命 题的是①③，故答案为B.