广东实验学校2020届高三理科数学寒假作业----导数专题
函数的切线及函数零点问题
1.已知函数f (x)＝a x＋b x(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1).
(1)设a＝2，b＝12.
①求方程f (x)＝2的根；
②若对任意x∈R，不等式f (2x)≥mf (x)－6恒成立，求实数m的最大值；
(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f (x)－2有且只有1个零点，求ab的值.
考点整合
1.求曲线y＝f (x)的切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程.
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k ＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程.
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.
2.三次函数的零点分布
三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：
3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法
研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图象，如单调性、值域、与x轴的交点等，其常用解法如下：
①转化为形如f (x1)·f (x2)＜0的不等式：若y＝f (x)满足f (a)f (b)＜0，则f (x)在(a，b)内至少有一个零点；
②转化为求函数的值域：零点及两函数的交点问题即是方程g(x)＝0有解问题，将方程分离参数后(a＝f (x))转化为求y＝f (x)的值域问题；
③数形结合：将问题转化为y＝f (x)与y＝g(x)的交点问题，利用函数图象位置关系解决问题.
(2)研究两条曲线的交点个数的基本方法
①数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案.
②函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.
2.已知函数f (x)＝2x3－3x.
①求f (x)在区间[－2，1]上的最大值；
②若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f (x)相切，求t的取值范围.
探究提高解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(2)问中的切线过点(1，t).
3. 已知函数f (x)＝x3－x.
(1)设M(λ0，f (λ0))是函数f (x)图象上的一点，求图象在点M处的切线方程；
(2)证明：过点N(2，1)可以作曲线f (x)＝x3－x的三条切线.
热点二利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题
[命题角度1]讨论函数零点的个数
4.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3＋ax＋14，g(x)＝－ln x.
(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f (x)的切线；
(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f (x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数.
探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是：
(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.
[命题角度2]根据函数零点求参数范围
5.(2017·徐州考前信息卷)已知函数f (x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋ax－2(e为自然对数的底数，a∈R).
(1)判断曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；
(2)当x∈\f(1e)，e)时，若函数y＝f (x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围.
探究提高研究方程的根(或函数零点)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.
6. (2017·南通调研节选)已知函数f (x)＝ax2－x－ln x，a∈R.
(1)当a＝38时，求函数f (x)的最小值；
(2)若－1≤a≤0，证明：函数f (x)有且只有一个零点.
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1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，它的难点在于分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点P(x0，y0)的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P(x0，y0)处的切线，必以点P为切点，则此时切线的方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).
2.我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图象的交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.
3.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件.
4.求函数零点或两函数的交点问题，综合了函数、方程、不等式等多方面知
识，可以全面地考察学生对函数性质、函数图象等知识的综合应用能力，同时考察学生的变形、转化能力.因此在高考压轴题中占有比较重要的地位.
7..(2017·泰州质检)已知函数f (x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R).
(1)当a＝2时，求f (x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f (x)－ax＋m在\f(1e)，e)上有两个零点，求实数m的取值范围.
8.已知函数f (x)＝x2－a ln x－1，函数F(x)＝x)－1\r(x)＋1.
(1)如果函数f (x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，求实数a的取值范围；
(2)当a＝2时，你认为函数y＝f（x）x－1的图象与y＝F(x)的图象有多少个公共点？请证明你的结论.
