离散数学 3集合论基础

第三章集合论基础1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。

⑴{a}∈A T ⑵⌝({a}⊆ A) F⑶c∈A F ⑷{a}⊆{{a,b},c} F⑸{{a}}⊆A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T⑺{{a,b}}⊆A T ⑻{a,b}⊆{{a,b},c} F⑼{c}⊆{{a,b},c} T ⑽({c}⊆A)→(a∈Φ) T2、证明空集是唯一的。

（性质1：对于任何集合A，都有Φ⊆A。

）证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ⊆Φ2 。

因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ⊆Φ1 。

所以Φ1=Φ2 。

3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念)a)是否Φ∈B?是否Φ⊆B?b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}⊆B?c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}⊆B?解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}}在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b}B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}}然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}}以后熟悉后就可以直接写出。

a) Φ∈B Φ⊆Bb) {Φ}∈B {Φ} ⊆ Bc) {{Φ}}∈B {{Φ}}⊆Ba)、b)、c)中命题均为真。

4、证明A⊆B ⇔ A∩B=A成立。

证明：A∩B=A ⇔∀x(x∈A∩B ↔x∈A)⇔∀x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B))⇔∀x((x∉A∩B∨x∈A)∧(x∉A∨x∈A∩B))⇔∀x((⌝(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B))⇔∀x(((x∉A∨x∉B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B)))⇔∀x(T∧(T∧( x∉A∨x∈B)))⇔∀x( x∉A∨x∈B)⇔∀x(x∈A→x∈B)⇔ A⊆B5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证明：任取x∈(A-C)-(B-C)⇔x∈(A-C)∧x∉(B-C)⇔(x∈A∧x∉C)∧⌝(x∈B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉C)∧(x∉B∨x∈C)⇔(x∈A∧x∉C∧x∉B)∨(x∈A∧x∉C∧x∈C)⇔x∈A∧x∉C∧x∉B⇔x∈A∧x∉B∧x∉C⇔(x∈A∧x∉B)∧x∉C⇔x∈A-B∧x∉C⇔x∈(A-B)-C所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)6、A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)证明：任取x∈A-(B∪C)⇔x∈A∧x∉(B∪C)⇔x∈A∧⌝(x∈B∨x∈C)⇔x∈A∧(x∉B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉B)∧(x∈A∧x∉C )⇔x∈A-B∧x∈A-C⇔x∈(A-B)∩(A-C)所以A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C))7、~(A∩B)=~A∪~B ~(A∪B)=~A∩~B 这两个公式称之为底-摩根定律。

离散数学结构练习题1. 集合论基础- 定义集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}，求A∩B（A和B的交集）。

- 给定集合C={x|x是小于10的正整数}，求C的子集数量。

- 证明如果A⊆B且B⊆C，则A⊆C。

2. 逻辑运算- 写出命题p: "x是偶数"和命题q: "x能被4整除"的逻辑表达式，并求p∧q（p和q的合取）。

- 给定命题r: "今天是星期一"和命题s: "明天是星期二"，判断r∨s（r或s的析取）的真值。

- 证明德摩根定律：(A∪B)' = A'∩B' 和(A∩B)' = A'∪B'。

3. 函数与关系- 定义函数f: N→N，f(x) = 2x，求f(3)的值。

- 给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}在集合{1,2,3,4}上，判断R是否为等价关系，并说明理由。

- 证明如果f是从集合A到集合B的单射函数，那么对于任意的a1, a2∈A，若a1≠a2，则f(a1)≠f(a2)。

4. 组合数学- 计算5个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球的不同放法数量。

- 给定n个不同的元素，求从这n个元素中选取k个元素的所有可能组合的总数。

- 证明二项式定理：(a+b)^n = ∑(从k=0到n) C(n,k) * a^(n-k) * b^k。

5. 图论基础- 画出一个有5个顶点的无向图，使得该图是连通的且没有环。

- 给定一个有向图，找出所有可能的简单路径。

- 证明欧拉路径和欧拉回路的存在条件。

6. 布尔代数- 给定布尔表达式A∧(B∨C)，使用布尔代数的规则将其简化。

- 构造一个布尔函数f(A,B,C)=A⊕B⊕C的真值表。

- 证明布尔代数中的分配律：A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)。

7. 归纳与递归- 使用数学归纳法证明对于所有自然数n，1+2+3+...+n =n(n+1)/2成立。

离散数学形考任务3集合论部分概念及性质本文档将介绍离散数学形考任务3中集合论部分的概念及性质。

以下是相关内容：集合的定义集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。

集合中的元素可以是任何事物，如数字、字母、符号等。

一般使用大写字母表示集合，元素用小写字母表示，并用大括号{}将元素括起来。

集合的性质1. 互异性：集合中的元素是互不相同的，即集合中的每个元素只出现一次。

2. 无序性：集合中的元素没有先后之分，元素的排列顺序不影响集合本身。

3. 确定性：一个元素要么属于集合，要么不属于集合，不存在中间状态。

4. 外延性：两个集合中的元素完全相同，则这两个集合相等。

5. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号{}或∅表示。

集合的运算1. 并集：将两个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。

用符号∪表示。

例如，A∪B表示集合A和集合B的并集。

2. 交集：两个集合中共同拥有的元素组成的集合。

用符号∩表示。

例如，A∩B表示集合A和集合B的交集。

3. 差集：从一个集合中排除掉与另一个集合中相同的元素，得到的新集合。

用符号-表示。

例如，A-B表示集合A和集合B的差集。

4. 补集：相对于全集U，集合A在全集U中未包含的元素组成的集合。

用符号A'表示。

例如，A'表示集合A的补集。

应用举例1. 假设有两个集合A = {1, 2, 3}和B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}，A∩B = {2, 3}，A-B = {1}。

2. 如果全集U是整数集，A = {x | x > 0}表示大于0的整数集合，补集A' = {x | x ≤ 0}。

以上是离散数学形考任务3集合论部分的概念及性质。

希望本文档能对您有所帮助！。

离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。

它以集合论、图论和逻辑等为基础，涉及了许多重要的基础知识点。

下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。

1. 集合论（Set theory）：集合论是离散数学的基础，涉及了集合的概念、运算和恒等关系，以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。

2. 逻辑（Logic）：逻辑是离散数学的重要组成部分，涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则，包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。

3. 函数（Functions）：函数是离散数学中的核心概念之一，涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数（如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等）以及函数的复合和逆函数等。

4. 关系（Relations）：关系是离散数学中的另一个核心概念，涉及了关系的定义、关系的特性（如自反性、对称性、传递性和等价关系等）、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。

5. 图论（Graph theory）：图论是离散数学的重要分支，涉及了图的基本概念（如顶点、边、路径和圈等）、图的表示方法（如邻接矩阵和邻接表等）、图的遍历算法（如深度优先和广度优先等）、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。

7. 代数结构（Algebraic structures）：代数结构是离散数学的一个重要方向，涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类，以及同态映射和同构等概念。

8. 数论（Number theory）：数论是离散数学的一个重要分支，涉及了自然数的性质和结构，包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。

9. 排序和选择（Sorting and selection）：排序和选择是离散数学中的一类重要问题，涉及了各种排序算法（如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等）和选择算法（如选择排序和堆排序等），以及它们的复杂度分析和应用。

离散数学集合论知识点
离散数学集合论知识点
集合是离散数学中最基本的概念之一，集合论是研究集合性质、集合运算等问题的学科。

以下是关于集合论的几个重要知识点：
1. 集合的定义和符号表示
集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为该集合的元素，用大括号括起来表示。

例如，{1, 2, 3}表示一个由1、2、3三个元素组成的集合。

通常用小写字母表示集合，例如A、B、C等，用大写字母表示元素。

2. 子集和真子集
集合A是集合B的子集，当且仅当A中的每个元素都是B中的元素。

用符号A⊆B表示。

若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集。

用符号A⊂B表示。

3. 并集和交集
设A和B为两个集合，则它们的并集是由A和B中的元素组成的集合，用符号A∪B表示；它们的交集是A和B中共有的元素组成的集合，用符号A∩B表示。

4. 补集和差集
设U是全集，A是U的一个子集，那么A的补集是U中不属于A的所有元素组成的集合，用符号A'表示。

如果A、B是U的子集，则它们的差集是由属于A 但不属于B的元素组成的集合，用符号A-B表示。

5. 笛卡尔积
设A和B为两个集合，则A和B的笛卡尔积是由所有有序对(a,b)组成的集合，其中a∈A，b∈B。

用符号A×B表示。

例如，若A={1,2}，B={a,b}，则A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}。

以上是离散数学集合论的一些基本知识点，它们是其他数学领域的基础，在实际应用中也有广泛的应用。

离散数学基础离散数学是数学的一个分支，主要研究非连续、离散的概念和结构。

它在计算机科学、信息科学以及其他相关领域中具有重要的应用。

本文将介绍离散数学的基础概念和常见的应用。

一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合。

在集合论中，我们常用符号来表示集合和集合之间的关系。

例如，如果A是一个集合，我们可以使用A∈B表示元素A属于集合B。

集合论还引入了交集、并集、差集等运算，用于描述集合之间的关系和操作。

二、逻辑和命题逻辑是离散数学的另一个重要组成部分。

它研究的是推理和推断的规则。

逻辑中最基本的概念是命题，它可以是真或假的陈述。

逻辑运算符包括非（¬）、与（∧）、或（∨）和蕴含（→）。

利用这些运算符，我们可以构建复合命题，并进行逻辑推理。

三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图的应用。

图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。

图可以用来描述网络、社交关系、路线规划等问题。

图论中的常见概念包括图的连通性、最短路径、最小生成树等。

四、代数系统离散数学还研究各种代数系统，如群、环、域等。

代数系统是一种结构，它由一组元素和定义在这些元素上的运算构成。

代数系统在密码学、编码理论等领域中有广泛的应用。

例如，RSA加密算法就是基于模运算的群的性质。

五、概率论概率论是离散数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生概率和随机现象的规律。

概率论可以用来描述随机算法的性能、信息的压缩率等。

在计算机科学中，概率论在机器学习、数据挖掘等领域中有着广泛的应用。

六、离散数学的应用离散数学在计算机科学和信息科学中有着广泛的应用。

例如，离散数学的概念和方法在编程语言设计、数据结构与算法、数据库系统等方面都扮演着重要的角色。

离散数学还在密码学、图像处理、计算机网络等领域中有着重要的应用。

结论离散数学作为数学的一个分支，研究的是非连续、离散的概念和结构。

它的基础概念包括集合论、逻辑和命题、图论、代数系统以及概率论。

离散数学集合论基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的基础学科，集合论是离散数学的基础之一。

在这篇文章中，我们将介绍离散数学集合论的基础知识，包括集合的定义、运算、关系等内容。

一、集合的定义与表示集合是具有确定性的事物或对象的总体，它是数学中的一个基本概念。

我们可以用不同的方式表示一个集合，包括列举法、描述法和图形法。

（一）列举法列举法是通过列举集合中的元素来表示一个集合。

例如，可以用列举法表示自然数集合N={1, 2, 3, 4, …}，表示所有正整数的集合。

（二）描述法描述法是通过描述集合中元素的性质来表示一个集合。

例如，可以用描述法表示偶数集合E={x | x是整数，且x能被2整除}，表示所有能被2整除的整数的集合。

（三）图形法图形法是用图形的方式表示一个集合。

例如，可以用图形法表示平面上所有整数坐标点构成的集合。

二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。

（一）并集集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。

例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

（二）交集集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合。

例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。

（三）差集集合A与集合B的差集，记作A-B，表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。

例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。

（四）补集对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示由全集U中不属于集合A的元素组成的集合。

例如，设全集U为自然数集合N，A={2, 4, 6}，则A'={1, 3, 5, 7, ...}（即不是偶数的自然数）。

三、集合的关系集合的关系包括包含关系、相等关系和互斥关系等。

离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结集合论部分第三章、集合的基本概念和运算3.1 集合的基本概念集合的定义与表⽰集合与元素集合没有精确的数学定义理解：⼀些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员集合的表⽰列元素法A={ a, b, c, d }谓词表⽰法B={ x | P(x) }B 由使得P(x) 为真的x构成常⽤数集N, Z, Q, R, C 分别表⽰⾃然数、整数、有理数、实数和复数集合，注意0 是⾃然数.元素与集合的关系：⾪属关系属于∈，不属于?实例A={ x | x∈R∧x2-1=0 }, A={-1,1}1∈A, 2?A注意：对于任何集合A 和元素x (可以是集合)，x∈A和x?A 两者成⽴其⼀，且仅成⽴其⼀.集合之间的关系包含（⼦集）A?B??x (x∈A→x∈B)不包含A?B??x (x∈A∧x?B)相等A = B?A?B∧B?A不相等A≠B真包含A?B?A?B∧A≠B不真包含A?B思考：≠和?的定义注意∈和?是不同层次的问题空集?不含任何元素的集合实例{x | x2+1=0∧x∈R} 就是空集定理空集是任何集合的⼦集Ax (x∈?→x∈A) ?T推论空集是惟⼀的.证假设存在?1和?2，则?1??2 且?1??2，因此?1=?2全集E 相对性在给定问题中，全集包含任何集合，即?A (A?E )幂集定义P(A) = { x | x?A }实例P(?) = {?}，P({?}) = {?,{?}}P({1,{2,3}})={?,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}计数如果|A| = n，则|P(A)| = 2n3.2 集合的基本运算集合基本运算的定义??-~⊕并A?B = { x | x∈A∨x∈B }交A?B = { x | x∈A∧x∈B }相对补A-B = { x | x∈A∧x?B }对称差A⊕B = (A-B)?(B-A)= (A?B)-(A?B)绝对补~A = E-A⽂⽒图（John Venn）关于运算的说明运算顺序：~和幂集优先，其他由括号确定并和交运算可以推⼴到有穷个集合上，即A1?A2?…A n= {x | x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈A n}A1?A2?…A n= {x | x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈A n}某些重要结果A-B?AA?B ?A-B=?（后⾯证明）A?B=??A-B=A命题演算法证X?Y：任取x ，x∈X?… ?x∈Y 例3 证明A?B?P(A)?P(B)任取xx∈P(A) ?x?A?x?B ? x∈P(B)任取xx∈A ? {x}?A ? {x}∈P(A) ? {x}∈P(B){x}B x∈B包含传递法证X?Y：找到集合T 满⾜X?T 且T?Y，从⽽有X?Y例4 A-B ? A?B证A-B ? AA ? A?B所以A-B ? A?B利⽤包含的等价条件证X?Y：例5 A?C∧B?C ?A?B?C证A?C?A?C=CB?C?B?C=C(A?B)?C=A?(B?C)=A?C=C(A?B)?C=C ?A?B?C命题得证反证法证X?Y：欲证X?Y, 假设命题不成⽴，必存在x 使得x∈X 且x?Y. 然后推出⽭盾.例6 证明A?C ∧ B?C ? A?B?C证假设A?B ? C 不成⽴，则?x (x∈A?B∧x?C)因此x∈A 或x∈B，且x?C若x∈A, 则与A?C ⽭盾；若x∈B, 则与B?C ⽭盾.利⽤已知包含式并交运算：由已知包含式通过运算产⽣新的包含式X?Y ?X?Z?Y?Z, X?Z?Y?Z 例7 证明A?C?B?C ∧ A-C?B-C ? A?B证A?C?B?C，A-C ? B-C上式两边求并，得(A?C)?(A-C) ? (B?C)?(B-C)(AC)(A~C) (BC)(B~C)A(C~C) B(C~C)AE BEA B命题演算法证明X=Y：任取x ，x∈X ?… ?x∈Yx∈Y ?… ?x∈X或者x∈X ?… ? x∈Y例8 证明A?(A?B)=A （吸收律）证任取x,x∈A?(A?B) ? x∈A∨ x∈A?Bx∈A ∨ (x∈A ∧ x∈B) ? x∈A等式替换证明X=Y：不断进⾏代⼊化简，最终得到两边相等例9 证明A?(A?B)=A （吸收律）证(假设交换律、分配律、同⼀律、零律成⽴)A?(A?B)=(A?E)?(A?B) 同⼀律=A?(E?B) 分配律=A?(B?E) 交换律=A?E 零律=A 同⼀律反证法证明X=Y：假设X=Y 不成⽴，则存在x 使得x∈X且x?Y，或者存在x 使得x∈Y且x?X，然后推出⽭盾.例10 证明以下等价条件A?B ? A?B=B ? A?B=A ? A-B=?(1) (2) (3) (4)证明顺序：(1) ?(2), (2) ?(3), (3) ?(4), (4) ?(1)(1) ?(2)显然B?A?B，下⾯证明A?B?B.任取x，x∈A?B ? x∈A∨x∈B ? x∈B∨x∈B ? x∈B因此有A?B?B. 综合上述（2）得证.(2) ?(3)A=A?(A?B) ? A=A?B（将A?B⽤B代⼊)(3) ?(4)假设A-B≠?, 即?x∈A-B，那么x∈A且x?B. ⽽x?B ? x?A?B.从⽽与A?B=A⽭盾.(4) ?(1)假设A?B不成⽴，那么x (x∈A ∧ x?B) ? x∈A-B ? A-B≠?与条件（4）⽭盾.集合运算法证明X=Y：由已知等式通过运算产⽣新的等式X=Y ? X?Z=Y?Z, X?Z=Y?Z，X-Z=Y-Z 例11 证明A?C=B?C ∧ A?C=B?C ? A=B证由A?C=B?C 和A?C=B?C 得到(A?C)-(A?C)=(B?C)-(B?C)从⽽有A⊕C=B⊕C因此A⊕C=B⊕C ? (A⊕C)⊕C =(B⊕C)⊕CA⊕(C⊕C) =B⊕(C⊕C) ?A⊕?=B⊕?? A=B3.3 集合中元素的计数集合的基数与有穷集合集合A 的基数：集合A中的元素数，记作card A有穷集A：card A=|A|=n，n为⾃然数.有穷集的实例：A={ a,b,c}, card A=|A|=3；B={ x | x2+1=0, x∈R}, card B=|B|=0⽆穷集的实例：N, Z, Q, R, C 等包含排斥原理：定理设S 为有穷集，P1, P2, …, P m是m 种性质，A i 是S中具有性质P i的元素构成的⼦集，i=1, 2,…, m.则S中不具有性质P1, P2, …, P m 的元素数为证明要点：任何元素x，如果不具有任何性质，则对等式右边计数贡献为１，否则为０证设x不具有性质P1, P2, … , P m ,x?A i, i= 1, 2, … , mx?A i?A j, 1≤i < j ≤m…x?A1?A2?…?A m,x 对右边计数贡献为1 - 0 + 0 -0 + … + (-1)m· 0 = 1例1 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5 和6 整除，也不能被8 整除的数有多少个？解：S ={ x | x∈Z, 1≤x ≤1000 },如下定义S的3 个⼦集A, B, C：A={ x | x∈S, 5 | x }，B={ x | x∈S, 6 | x }，C={ x | x∈S, 8 | x }对上述⼦集计数：|S|=1000,|A|= ?1000/5? =200, |B|=?1000/6?=133，|C|= ?1000/8? =125,|A?B|= ?1000/30? =33, |B?C| = ?1000/40? =25,|B?C|= ?1000/24? =41,|A?B?C| = ?1000/120? =8,代⼊公式N = 1000-(200+133+125)+(33+25+41)-8=600例224名科技⼈员，每⼈⾄少会1门外语.英语：13；⽇语：5；德语：10；法语：9英⽇：2; 英德：4；英法：4；法德：4 会⽇语的不会法语、德语求：只会1 种语⾔⼈数，会3 种语⾔⼈数x+2(4-x)+y1+2=13x+2(4-x)+y2=10x+2(4-x)+y3=9x+3(4-x)+y1+y2+y3=19x=1, y1=4, y2=3, y3=2。

离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息技术、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。

下面为大家整理了一些离散数学的重要知识点。

一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。

集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

集合的表示方法包括列举法，如{1, 2, 3}；描述法，如{x ｜ x 是大于 0 的整数}。

集合的运算有并集、交集、差集和补集。

并集是将两个集合中的所有元素合并在一起；交集是两个集合中共同的元素；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素；补集是在全集中去掉给定集合的元素。

集合之间的关系包括子集、真子集和相等。

如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，则 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集且 A 不等于 B，则 A 是 B 的真子集；如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。

二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。

关系可以用矩阵和关系图来表示。

矩阵表示直观清晰，关系图则更形象。

关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。

自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是没有元素与自身有关系。

对称性是若 a 与 b 有关系，则 b 与 a 也有关系；反对称性是若 a 与b 有关系且 b 与 a 有关系，则 a ＝ b。

传递性是若 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，则 a 与 c 有关系。

特殊的关系有等价关系和偏序关系。

等价关系满足自反性、对称性和传递性，它将集合划分为等价类。

偏序关系满足自反性、反对称性和传递性，常用于描述元素之间的排序。

三、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。

函数有单射、满射和双射之分。

单射是不同的定义域元素对应不同的值域元素；满射是值域中的每个元素都有定义域元素与之对应；双射则既是单射又是满射。

复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

四、图论图由顶点和边组成。

图的分类有有向图和无向图。

同等学力离散数学基础知识点一、集合论基础。

1. 集合的概念与表示。

- 集合是一些确定的、互不相同的对象的总体。

例如，全体自然数的集合，记为N = {0,1,2,·s}。

集合的表示方法有列举法，如A={1,2,3}；描述法，如B = {xx是偶数}。

- 元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，记作a∈ A；否则记作a∉A。

2. 集合间的关系。

- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。

特别地，A = B当且仅当A⊆ B且B⊆ A。

- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则称A是B的真子集，记作A⊂ B。

- 空集varnothing是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3. 集合的运算。

- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。

例如，A = {1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。

对于上述A和B，A∩ B={3}。

- 差集：A - B={xx∈ A且x∉ B}。

A={1,2,3}，B = {3,4,5}时，A - B={1,2}。

- 补集：设全集为U，集合A的补集¯A=U - A。

二、关系与函数。

1. 关系的概念。

- 关系是集合笛卡尔积的子集。

设A、B是两个集合，A× B={(a,b)a∈ A,b∈B}，A到B的关系R是A× B的子集，若(a,b)∈ R，则称a与b有关系R，记作aRb。

- 关系的表示：可以用关系矩阵和关系图表示关系。

2. 关系的性质。

- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有aRa，则R是自反的。

- 对称性：若对任意a,b∈ A，当aRb时，有bRa，则R是对称的。

- 传递性：对任意a,b,c∈ A，当aRb且bRc时，有aRc，则R是传递的。

3. 函数。

- 函数是一种特殊的关系。

设A、B是两个集合，f:A→ B是一个函数，对于任意a∈ A，存在唯一的b∈ B，使得(a,b)∈ f，记为b = f(a)。

离散数学精选笔记一、集合论基础。

1. 集合的定义与表示。

- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。

通常用大写字母表示集合，如A、B、C等。

- 集合的表示方法有列举法和描述法。

- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，例如A = {1,2,3}。

- 描述法：用谓词来描述集合中元素的性质，例如B={xx是偶数且x < 10}。

2. 集合间的关系。

- 包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A包含于B，记作A⊆ B。

当A⊆ B且A≠ B时，称A是B的真子集，记作A⊂ B。

- 相等关系：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。

3. 集合的运算。

- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。

- 并集：A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。

- 补集：设全集为U，A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。

- 集合运算的性质：- 交换律：A∩ B = B∩ A，A∪ B=B∪ A。

- 结合律：(A∩ B)∩ C = A∩(B∩ C)，(A∪ B)∪ C=A∪(B∪ C)。

- 分配律：A∩(B∪ C)=(A∩ B)∪(A∩ C)，A∪(B∩ C)=(A∪ B)∩(A∪ C)。

二、命题逻辑。

1. 命题与命题联结词。

- 命题是能够判断真假的陈述句。

例如“今天是晴天”是一个命题。

- 命题联结词：- 否定¬：若P为命题，则¬ P表示“P不成立”。

- 合取wedge：Pwedge Q表示“P并且Q”，当P和Q都为真时，Pwedge Q为真。

- 析取vee：Pvee Q表示“P或者Q”，当P和Q至少有一个为真时，Pvee Q为真。

- 蕴涵to：Pto Q表示“如果P，那么Q”，当P为真Q为假时，Pto Q为假，其余情况为真。

- 等价↔：P↔ Q表示“P当且仅当Q”，当P和Q同真同假时，P↔ Q为真。

2. 命题公式及其分类。

- 命题公式是由命题变元（通常用P、Q、R等表示）和命题联结词按照一定规则组成的符号串。