长方体正方体思维训练(含答案)

第一讲：长方体和正方体的表面积同学们，我们已经知道长方体（或正方体）6个面的总面积，叫做它的表面积。

在实际生产和生活中，有时不需要计算6个面的总面积，只需要计算某几个面的总面积，解题时需要根据具体情况思考要求哪几个面的面积和，再进行计算。

解答这类问题，不仅需要我们具备较扎实的基础知识和观察能力、作图能力和空间想象能力，还要掌握一些解题的方法和技巧。

例题1：小明和妈妈一起给奶奶买了一份礼物，营业员阿姨用一个长30厘米、宽20厘米、高10厘米的长方体盒子装好，并用彩带捆扎起来（打结处的彩带长15厘米），一共需彩带多少厘米？【思路点拨】要求彩带的长度，应该将这些彩带分类整理。

这段彩带包括了打结的15厘米，高有4段，共32厘米，长宽各有2段，共有30×2+20×2=100厘米。

最后只要将这些彩带的长度相加即可。

想一想：还有别的解法吗？例题2：用5个相同的立方体，粘接成一个长方体，总棱长84厘米。

这个长方体的表面积是多少？【思路点拨】要求长方体的表面积的关键是求出长方体的长、宽、高；由于这个长方体是有立方体粘接成，若立方体棱长是a，那么长方体的长和高都是a，宽等于5a；根据题意，得4a×2+5a×4=84，a=3，表面积=a×a×2+5a×a×4=3×3×2+3×15×4=198（平方厘米）例题3：一个立方体增高2厘米（这样底面不变）后，得到一个长方体。

长方体的表面积比原来立方体的表面积增加了96平方厘米。

原来立方体表面积是多少平方厘米？现在长方体的表面积是多少？【思路点拨】长方体比立方体表面积增加了96平方厘米，就是增加了侧面的面积，即4个相等的长方形面积，这个长方形的宽是2厘米，长96÷4÷2=12厘米，长就是立方体的棱长。

立方体的表面积是：12×12×6=864（平方厘米）长方体的表面积是：864+96=960（平方厘米）想一想：还有别的解法吗？1、小明给教师买了一个教师节礼物，他用一个长方体纸盒装礼物，长方体纸盒长35厘米、宽20厘米、高8厘米把它用彩绳包扎起来，打结处需要20厘米(如图)，一共需要彩绳多少厘米?2、一个长方体的长是6厘米，宽和高都是2厘米。

第一讲立体图形及展开同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。

这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图例题选讲例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。

如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合?【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面，那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3就是上面，(如图2)。

从图中不难看出点F与点N，重合，点G与点S重合。

还有一种方法就是动手制作一张展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试试吧!例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点。

请你为它设计一条最短的爬行路线。

【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图2)。

又因为在平面上“两点之间的线段长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线。

练习与思考1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。

如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点重合?2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。

请画出蚂蚁爬行的最短路线。

问：这样的路线共有几条?3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。

这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。

已知这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。

5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、c处填的数各是多少?6.如图所示的10个展开图中，哪些可以做成完整的正方体?7.图(1)是一个正方体，图(2)是这个正方体的一个平面展开图，图(3)、图(4)、图(5)也是这个正方体的平面展开图，但每一个展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。

本课是参加《2021年全国公幵课邀请赛》的获奖作品，本次大赛共设奖项130 名，其中一等奖和二等奖比例约占30%。

本次大赛汇集了全国31个省市向治区的204名优秀教师参与，分为线上授课和线下教学两部分进行。

比赛于2021年5月正式举行，经过激烈角逐，涌现出大量的优质课和优秀教案.经过作者同意，特将获奖作品进行分享.以期能够为广大教#工作者奉献一份力鼠。

通过本次大赛，使老师们的&课与授课水平都能有相应的提升，以促进教育教学水平的提高，力教育枣业贡献出教育人的一份力量！五年级数学下册期末•长方体和正方体的认识《解决问题》专项练习学校: 姓名：考9:1.“新冠疫情”网课期叫，王老师用一根96厘米长的铅丝为同学们做了一个长方体框架的教R。

如果这个长方体的长是io厘米.宽ft s厘米.$接头处忽略不计时，高应该足多少厘米？2.妈妈给丽丽买了个长方体形状的蚊帐（见下阁），蚊帐的四周由钢管固定（地面的四边没有钢管）。

固定这样一个蚊帐，至少需要多长的钢管？3.用铁丝闱成长、宽、高分别是6分米、4分米、3分米的三个长方体模型，至少需要多少分米的铁蛘？4.心灵手巧的小美要用一根长10m的绳子给礼盒做装饰（方法如阁）,结头处绳长30cm,这根绳子最多呵搁扎几个这样的礼盒？5.做一个底面周长足18cm,高足4cm的长方体铁丝框絮。

至少耑要多少厘米的铁丝？6.在展开阁上找到原长方体的卜'面，用▲标注.并计算K而的而积。

7.一个木制长方体的灯笼框架长60厘米，宽35厘米.高35 厘米，做这个灯笼框架至少耑要多少米的水条？8.只列综合算式不计算。

一根长64cm的铁丝，折成一个长8cm、高3cm的长方体框架，宽是多少厘米?9.科技小组用60厘米的铁纹做一个长方体模型，这个长方体的长垃6厘米，宽足5厘米，高是多少厘米？10.用彩带捆扎F面的礼品盒，耑要多少厘米彩带？（彩带结长15t?n）11.鲁巷广场要用钢管做一个长方体形状的遮阳伞支絮（如下阁），这个遮阳伞的长是4.5m.宽是3m，高是2.4m.做这个遮阳伞至少耑要多少米钢管?12.李师傅用木条做一个长8cm.宽4cm，高5cm的长方体框架.至少耑要（）长的木条.A. 17cmB. 34cmC. 68cm13.平荣商店要做一个长2.5m，宽50cm，高80cm的玻璃柜台，现要在柜台各边都安上角铁，这个柜台需要多少米角铁？14.李师傅用铁纹焊一个长10厘米、宽4厘米、高6厘米的长方体框®，至少需要铁蚌多少厘米？15.有一根铁丝，正好可以做成一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体框架.如果用这根铁丝做一个正方体框架，那么这个正方体框®的棱长是多少厘米？参考答案1.解析：96+4- （10+8）= 24-18=6 （厘米）：答:髙应该是6厘米。

人教版五年级下册数学长方体和正方体单元训练（含答案）一、选择题1．如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（）倍。

A．2B．4C．6D．82．下面不能围成正方体的图形是（）。

A．B．C．3．一个水池能蓄水3430m。

430m，我们就说，这个水池的（）是3A．表面积B．体积C．容积4．一个正方体盒子表面展开如图，在该盒子上，“前”字的对面是（）。

A．似B．锦C．你5．四个同学分别用8个1cm3的立方体测量3个盒子的容积，容积最小的盒子是（）。

A．B．C．D．6．将一个长11厘米，宽4厘米，高2厘米的长方体木块分割成最大的正方体，最多可以分割成（）个。

A．10B．11C．97．做一个长方体油箱，要用多少铁皮？是求这个油箱的（）。

A．表面积B．容积C．底面积D．体积8．品轩用棱长1厘米的小正方体摆成一个物体，从前面、右面和上面分别观察这个物体，看到的形状如下图，这个物体的表面积是（）平方厘米。

A．7B．20C．11D．22二、填空题9．学校运来38.4m的沙子，铺在一个长6m、宽28dm的沙坑里，可以铺( )m厚。

10．如图，不做移动，要搭成一个完整的长方体，至少还需要( )个小正方体。

11．用长36厘米的铁丝围成一个正方体的框架，这个正方体的表面积是( )，体积是( )。

12．用一根60cm长的铁丝正好做成一个正方形框架（接头处不计），这个正方体的体积是( )cm3，表面积是( )cm2。

13．由棱长1厘米的小正方体搭成的立体图形（如图），它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。

14．7.8立方米＝( )立方分米 2.8立方分米＝( )升＝( )毫升6立方米30立方分米＝( )立方米7.03升＝( )升( )毫升三、图形计算15．求下面正方体和长方体的表面积和体积。

（单位：厘米）16．求图形的表面积和体积。

四、解答题17．一块长45cm、宽40cm的铁皮，从四个角各切掉一个边长为5cm的正方形，然后做成盒子。

六年级数学下册思维综合训练试题3（附答案）前言在琳琅满目的教辅类图书前——孩子的心声：奥数真难，大人们为什么总要我们学习奥数呢？家长的心声：太难的奥数，让孩子越来越没自信学习数学了。

教师的心声：现行的奥数比课本难多了，若有一套配合课本进度，并能提高学生抽象思维能力的奥数书，将能真正作为课堂教学的延伸。

针对以上种种心声，将此作为课题来研究，在多所名校和社会信誉度较高的办学单位试行的基础生，推出了这套《同步奥数培优》，内容力求体现：配套现行教材以新课标北师大版内容为知识体系，做到在已有知识基础上的拓展，重视知识的螺旋上升，在和教材同步的同时，培养学生的抽象思维能力。

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《五年级奥数》编写组目录第一讲分数乘法（乘法中的简算） (2)练习卷 (5)第二讲长方体和正方体（巧算表面积） (6)练习卷 (10)第三讲分数除法应用题 (11)练习卷 (15)第四讲长方体和正方体（巧算体积） (16)练习卷 (20)第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量） (21)练习卷 (24)第六讲百分数（浓度问题） (25)练习卷 (28)综合演习（1）…………………………………………………………29综合演习（2）…………………………………………………………31第一讲分数乘法例题讲学例1（1）×19（2）27×【思路点拨】观察这两道题中数的特点，第（1）题中的比1少，可以把看作1-，然后和19相乘，利用乘法分配律使计算简便；同样，第（2）题中27与中的分母26相差1，可以把27看作（26+1），然后和相乘，再运用乘法分配律使计算简便。

期中复习讲义（北师大版）2020-2021学年北师大数学五年级下册期中章节复习精编讲义第二单元《长方体（一）》知识互联网知识导航知识点一：长方体的认识1 长方体和正方体的各部分名称：在长方体或正方体中，围成的长方形或正方形叫作长方体或正方体的面；面和面相交的边叫作棱；棱和棱相交的点叫作顶点。

2 长方体和正方体的特征3 长方体和正方体的异同点4 长方体和正方体的关系：正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体5 长方体和正方体特征的应用：判断所给图形能否组成长方体，可以根据长方体的特征一组一组地进行寻找，看看能否找到3组相对应的面。

知识点二：展开与折叠1 正方体展开图的特点（1）沿着正方体的棱剪开，可以把正方体展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体的展开图。

在展开图中，正方体的6个面是相连的，相对的面完全隔开。

（2）将展开图沿虚线（折痕）向内折，能重新折叠成正方体。

（3）正方体的展开图是由6个大小、形状完全相同的正方形组成的组合图形。

（4）正方体的展开图，可分四个类型错误!“一四一”型：中间四个正方形相连，两侧各一个错误!“二三一”型：中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个错误!“二二二”型：中间两个正方形相连，两侧各两个错误!“三三”型：两侧各三个2 长方体展开图的特点：长方体相对的面大小、形状完全相同，并且相对的面完全隔开；长方体上、下两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和宽；前、后两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和高；左、右两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的宽和高。

3长方体和正方体与展开图之间的对应关系（1）长方体和正方体的每一个面都与其他四个面相邻，但只有一个相对的面，所以只要找到一组相对的面，也就同时确定了它们与其他四个面的相邻关系，从而能够通过想象把展开图还原成立体图形。

（2）判断一个图形折叠后相对应的面，可以根据长方体、正方体展开图的特点，先确定一个面为下面，再想象折叠的过程，从而找出相对的面，也可以用实物折一折，直观地找一找。

２０14年六年级数学思维训练：立体几何一、兴趣篇1.一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？２.如图,将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢?3.用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形,这个图形的表面积是多少平方厘米?4.(1)如图1，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为４、３、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？（２）如图2，将一个棱长为５的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、３的长方体，它的表面积减少了百分之几?5．（201３•北京模拟)如图是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞;第三个小洞的挖法与前两个相同,边长为厘米.那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？6．（20１2•北京模拟）(1)如图，将4块棱长为1的正方体木块排成一排,拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积,比原来４个正方体的表面积之和少了多少?（2)一个正方体形状的木块,棱长为1，如图所示，将其切成两个长方体,这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切4刀,将其切成大大小小共1８块长方体.这1８块长方体表面积总和又是多少？7.这里有一个圆柱和一个圆锥（如图)，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米.请回答:圆锥体积与圆柱体积的比是多少?８．如图,一块三层蛋糕,由三个高都为１分米,底面半径分别为1．５分米、１分米和０．５分米的圆柱体组成.请问：（1)这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.1４）（2)如果沿经过中轴线ＡＢ的平面切一刀,将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少?9．有大、中、小三个立方体水池,它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了６厘米和４厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米?(结果精确到小数点后两位）１0．有一个高24厘米,底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水,现有一根长30厘米,底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中,使棒的底面与容器的底面接触,这时水面升高了多少厘米？二、拓展篇1１．将表面积分别为54、96和１５０平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积．１2．（201２•深圳校级模拟)一个长方体,如果长增加２厘米，则体积增加4０立方厘米;如果宽增加3厘米,则体积增加90立方厘米;如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米．求原长方体的表面积．1３．如图,有30个棱长为１米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？１4.如图1,将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为4的正方体,得到如图2的立体图形,这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体,那么剩下的立体图形的表面积又是多少?15．一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体(如图)，这些小长方体的表面积之和为162平方厘米.请问:原正方体的体积是多少？16．如图是一个棱长为４厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少?17.一个无盖木盒从外面量时,其长、宽、高分别为1０厘米、8厘米、5厘米,已知木板厚1厘米，那么做一个木盒,需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少?1８．有一根长为20厘米,直径为6厘米的圆钢,在它的两端各钻一个４厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔,做成一个零件（如图).这个零件的体积为多少立方厘米?（л取3.14）１9．现有一块长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体木块,把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少?（л取3) 20．张大爷去年用长２米宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤.今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？２1．左边正方形的边长为4,右边正方形对角线长度为６．如果按照图中的方式旋转,那么得到的两个旋转体的体积之比是多少?22．如图一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池,存有四分之三池水，请问：（1）将一个高1 1分米，体积３30立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米? (2）如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米?(3)如果再放人一个同样的圆柱,水面高度又变成了多少分米？三、超越篇２3．有一个棱长为20的大立方体,在它的每个角上按如图的方式各做一个小立方体，于是得到８个小立方体．在这些立方体中,上面4个的棱长为12，下面4个的棱长为13．请问：所有这８个小立方体公共部分的体积是多少?24.地上有一堆小立方体,从上面看时如图1，从前面看时如图2，从左边看时如图３.这一堆立方体一共有几个?如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？25.(1)已知一个圆柱的底面直径为6厘米,高为4厘米．求它的体积和表面积;（答案用兀表示）(２)用一个半径为2５厘米,圆心角为3４５.6°的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的体积是多少?如果圆心角是216°呢？(答案用丌表示)26．将图１、图2中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱,这两个立体图形的体积分别是多少?（图1正中央是一个面积为１8平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长为5厘米的等腰三角形;图2中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成.）27.一个透明的封闭盛水容器,由一个圆柱体和一个圆锥体组成,如图圆柱体的底面直径和高都是12厘米,其内有一些水，正放时水面离容器顶１1厘米，倒放时，水面离顶部5厘米．请问:这个容器的容积是多少立方厘米?(兀取3.１４）28.有一个长方体水池，底面为边长６0厘米的正方形,里面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长15厘米的正方形,木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面.现在将木桩提起来2４厘米(仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？29．右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为18厘米的正方形,②③④⑤是同样大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是毫升.30.有一个三棱柱和一个正方体,三棱柱的底面是一个等边三角形,边长恰好等于正方体的面对角线长度,三棱柱的高恰好等于正方体的体对角线长度,如果正方体的棱长为6,那么三棱柱的体积为多少？ﻬ２0１4年六年级数学思维训练：立体几何参考答案与试题解析一、兴趣篇1.一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米?【分析】首先根据长方体的棱长总和=（长+宽＋高）×4,求出棱长总和,用棱长总和除以１2求出正方体的棱长,再根据长方体的表面积公式:ｓ=(ab+ah＋bｈ)×2，正方体的表面积公式：s=６a2,长方体的体积公式：v=abh,正方体的体积公式:v=a3,把数据分别代入公式解答.【解答】解：（３+2+1）×4÷1２＝6×4÷12=２4÷1２＝２（厘米），（３×2＋3×1+2×1）×2:（２×2×6)＝11×２：24=22：24=1１：１2；２×2×2﹣３×2×1＝8﹣6=２(立方厘米）,答:长方体与正方体的表面积之比是1１：12,长方体体积比正方体体积少２立方厘米.2．如图,将长为13厘米，宽为９厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？【分析】先根据题意计算出折成的长方体的长，宽，高,即长方体的长=原长方形的长﹣２个正方形的边长，长方体的宽=原长方形的宽﹣2个正方形的边长,长方体的高=正方形的边长,再根据长方体的容积=长×宽×高,计算出容积．【解答】解：长方体的长:13﹣2﹣２＝９(厘米）长方体的宽：９﹣2﹣2=5（厘米)容积为：9×5×2=９０（立方厘米）答：这个容器的容积为９0立方厘米.如果四角去掉边长为3厘米的正方形:长方体的长：13﹣３﹣３=7(厘米）长方体的宽：9﹣3﹣3=３(厘米）容积为：7×3×3=63（立方厘米)答：这个容器的容积为63立方厘米．3.用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米?【分析】可以从上下左右前后观察各有几个正方形的面，然后用一个正方形的面的面积乘它的个数,即是这个图形的表面积，据此解答．【解答】解:上、下共:9+9=1８(个），左、右共：７+7＝１4(个），前、后共：７+7＝1４(个),表面积:1×1×（18+14+14）,＝4６（平方厘米）；答：这个图形的表面积是4６平方厘米．4．(１)如图1，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体,剩余部分的表面积是多少？(2)如图2,将一个棱长为５的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为５、4、３的长方体，它的表面积减少了百分之几?【分析】图１由图意可知，减少的面积的和新增的面的面积相等,所以剩余部分的表面积就是原来长方体的表面积．图2由图意可知，减少的是长是４,宽是3的两个长方形的面积，用减少的面积除以正方体的表面积即可.【解答】解:（１）６×6×6=2１6答:剩余部分的表面积是216.（2)２×4×3÷（5×5×6)=2４÷15０=16％答:它的表面积减少了16%.5.（20１3•北京模拟）如图是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同,边长为厘米.那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【分析】立体图形的好处就是可以直观视觉,虽然图形被挖去，但６个面看过去都还是面积不变的,特别是从上往下看是,3个正方体的下底面剩下的面积和等于原来的面积,这样就只增加了3个小正方体的各自的侧面;计算出原表面积再加上增加的3个小正方体的各自侧面的面积就是最后得到的立体图形的表面积.【解答】解：原正方体的表面积是:2×2×6＝24(平方厘米)，增加的面积：1×1×4+(×）×4+（×）×4，=４+×４+×4,=４+1+，=５（平方厘米),总表面积为:24＋５=29(平方厘米).答:最后得到的立体图形的表面积是29平方厘米．6．（２012•北京模拟）(1）如图,将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体.那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？（２)一个正方体形状的木块,棱长为１，如图所示，将其切成两个长方体,这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切４刀，将其切成大大小小共18块长方体．这18块长方体表面积总和又是多少?【分析】（1）观察图形可知,拼组后的长方体的表面积比原来减少了6个小正方体的面的面积，由此即可解答；（２)每切一刀，就增加2个正方体的面，所以这两部分的表面积之和就是８个正方体的面的面积之和;在此基础上再切４刀后，表面积比原来又增加了8个小正方体的面,由此即可解答．【解答】解：(1)6×１×1＝6，答：拼组后表面积减少了6.（２)切一刀，得到的两个长方体的表面积之和是：1×1×(６+2）＝8;再切4刀,则表面积之和是:１×1×（6+10)=16；答:切一刀后，表面积之和是8，再切４刀后，表面积之和是1６.７.这里有一个圆柱和一个圆锥(如图),它们的高和底面直径都标在图上,单位是厘米．请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【分析】利用Ｖ=ｓh求得圆锥的体积,Ｖ=sh求得圆柱的体积，依此可得圆锥体积与圆柱体积的比.【解答】解：圆锥体积:圆柱体积=（×３.1４×22×4)：(3.14×４2×８）=（×2２×4)：(42×８)=１：２4；答：圆锥体积与圆柱体积的比是１：２4.8．如图，一块三层蛋糕,由三个高都为１分米，底面半径分别为１.５分米、１分米和0.5分米的圆柱体组成.请问:（1）这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.１４)（2)如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分,那表面积之和又是多少？【分析】由题意可知:这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可．如果沿经过中轴线AB的平面切一刀,将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和圆柱的表面积加上３个长方形的面积乘以2即可．【解答】解（1）大圆柱的表面积：3.14×１.５2×2＋2×3．１4×1.5×1,=14.13+9.42，=２3.55(平方米),中圆柱侧面积:2×3.１4×1×1＝6．28（平方米）,小圆柱侧面积：2×３.1４×0．5×1=３.１4（平方米）,这个物体的表面积:23.55+6.28+3.１4＝32.97（平方米);答:这个物体的表面积是32.97平方米.(2)(1×0.5+１×1＋1×１．５)×2+32.９7=６＋3２．97＝３8．97(平方分米）答:将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和是38.9７平方分米.9．有大、中、小三个立方体水池,它们的内部棱长分别是６米、3米、2米，三个池子都装了半池水.现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面会升高多少厘米？(结果精确到小数点后两位）【分析】根据题意，因为把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积，所以应先求出两块碎石的体积.沉入在中水池的碎石的体积，即3×3×0.０6=0.5４（米３），而沉入小水池中的碎石的体积是：2×２×0.04=0.16(米3）；然后求出两块碎石的体积和,再根据大水池的底面积，求出大水池的水面升高的高度,解决问题．【解答】解：6厘米＝０.06米4厘米=0．04米3×3×0.06＝0.５4（米3）２×2×0.04=0.1６（米３）0.５4+０.16＝0.7(米3)大水池的底面积是:6×6=36(米3)大水池的水面升高了:０.7÷３6=（米）米≈１．94(厘米)．答：大水池的水面大于会升高1.9４厘米．１0.有一个高２４厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器,里面装了一半水，现有一根长30厘米,底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米?【分析】放入圆柱体木棒前后的水的体积不变，根据原来水深２4÷2=12厘米,可以先求得水的体积，那么放入圆柱体木棒后，容器的底面积变小了,由此可以求得此时水的深度,进一步即可求解．【解答】解:［3.14×10２×（２4÷2）]÷(3.14×1０2﹣３．１4×2２）=(3.14×１200)÷（3．14×96)=１２0０÷９6=12.5(厘米)12.5﹣2４÷2=１2.５﹣1２=０．５（厘米)．答:这时水面升高了0.5厘米．二、拓展篇１1.将表面积分别为5４、９6和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗)，求这个大正方体的体积．【分析】因为正方体的每一个面的面积相等,所以这三个正方体的每一个面面积是9、16、25平方厘米.故三个正方体的棱长分别是３、4、5厘米．则大正方体的体积只需将三个正方体的体积相加即可．【解答】解:５4÷6＝９（平方厘米),因为3×3＝9,所以这个正方体的棱长是３厘米,9６÷6=１6(平方厘米)，因为4×4＝16，所以这个正方体的棱长是４厘米,150÷6＝２5（平方厘米)，因为5×5=2５,所以这个正方体的棱长是5厘米,33＋4３+53,=2７+64+125，=２1６（立方厘米）,答:这个大正方体的体积是２1６立方厘米．12.(2０１2•深圳校级模拟）一个长方体,如果长增加2厘米,则体积增加４0立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加４厘米,则体积增加96立方厘米．求原长方体的表面积.【分析】由题意,长增加2厘米,体积增加４0立方厘米，可知宽×高×2=40立方厘米,则宽×高＝20平方厘米．同理可知长×高=30平方厘米,长×宽=24平方厘米，根据长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×２.列式解答．【解答】解：长增加2厘米,体积增加4０立方厘米，可知宽×高×2=4０立方厘米,则宽×高=20平方厘米．同理可知长×高=９0÷3＝30平方厘米,长×宽=９６÷4＝24平方厘米,（长×宽+长×高＋宽×高)×2＝（24+30＋20）×2,=74×２，＝14８(平方厘米）；答：原长方体的表面积是１4８平方厘米．1３.如图,有3０个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形.请问：这个立体图形的表面积等于多少?【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有１6个面;从下面看有1６个面;从前面看有10个面;从后面看有1０个面；从左面看有1０个面；从右面看有10个面．由此即可解决问题．【解答】解:图中几何体露出的面有：10×4+16×２=72（个）所以这个几何体的表面积是:１×１×72=72(平方米)答：这个立体图形的表面积等于7２平方米.1４．如图1,将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为４的正方体,得到如图2的立体图形,这个立体图形的表面积是多少?如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？【分析】将原正方体切去一个小正方体后，减少的表面积正好被新增加的表面积所补充，因此新的立体图形的表面积就等于原正方体的表面积，根据正方体的表面积公式即可求解,如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积是原正方体的表面积﹣边长是4的两个正方形的面积．【解答】解:１０×1０×6=6０0答:这个立体图形的表面积是60０.如果再从顶点Ｂ切掉一个棱长为6的正方体，剩下的立体图形的表面积为:10×10×６﹣4×4×２=6０0﹣3２=568答:剩下的立体图形的表面积是５68．1５.一个正方体被切成2４个大小形状一模一样的小长方体(如图),这些小长方体的表面积之和为1６2平方厘米.请问：原正方体的体积是多少？【分析】由题意，一个正方体被切成２4个大小形状一模一样的小长方体,则需要切6次,每次会增加两个答正方体的面，所以共增加12个大正方体的面，又知这些小长方体的表面积之和为162平方厘米,即原来大正方体的6＋１2=18个面的面积是1６2平方厘米,由此可求得一个面的面积，进而得到大正方体的棱长,再根据正方体的体积公式解答即可.【解答】解：一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体,则需要切６次,共增加12个大正方体的面，一个面的面积:１6２÷(１2+6)＝９（平方厘米），因为３×3=９，所以可知大正方体的棱长是3厘米,大正方体的体积：3×3×３=27(立方厘米），答:原正方体的体积是2７立方厘米.16．如图是一个棱长为４厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一种玩具.该玩具的表面积是多少平方厘米?如果把这些洞都打穿,表面积又变成了多少？【分析】这个玩具的表面积是大正方体的面积,加上6个边长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积,如果把这些洞都打穿，表面积增加4个边长4厘米的小正方体的4个侧面的面积,据此解答即可.【解答】解:玩具的表面积:4×4×6+1×１×６×4=9６+２４＝120(平方厘米）如果把这些洞都打穿,表面积:4×４×６﹣6+1.5×1×４×6=9０+３６=126（平方厘米）答：它的表面积是12０平方厘米．如果把这些洞都打穿,表面积变成了1２6平方厘米．１7.一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为1０厘米、8厘米、5厘米，已知木板厚１厘米，那么做一个木盒,需要这样的木板多少平方厘米?这个木盒的容积又是多少?【分析】如下图:假设用长10厘米，宽8厘米，厚1厘米的木板作底面，那么4个侧面的木板的高就是（5﹣1）厘米,如果前后面用长10厘米,宽4厘米的木板,那么左右面的木板长是(8﹣1﹣１)厘米,左右面木板的宽也是4厘米．然后根据长方体表面积的计算方法，求这5个面的总面积即可．木盒里面的长是(１0﹣1﹣1)厘米，宽是（8﹣1﹣１)厘米,高是（5﹣1)厘米,再根据长方体的容积（体积）公式解答.【解答】解:如图:根据分析:4个侧面的木板的宽是:5﹣１＝4（厘米)１0×8＋10×4×2+(8﹣1﹣１)×４×2＝80+80＋6×4×2=160+48=2０8(平方厘米)(10﹣1﹣1)×(8﹣１﹣１）×(5﹣1)=8×6×4=192（立方厘米)答:做这个木盒至少需用1厘米厚的木板２０８平方厘米.这个木盒的容积是192立方厘米．１８.有一根长为２0厘米，直径为6厘米的圆钢,在它的两端各钻一个4厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件(如图).这个零件的体积为多少立方厘米？（л取３．14）【分析】根据题意可知：这个零件的体积等于圆柱的体积减去两个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式:v＝sｈ，圆锥的体积公式:ｖ=，把数据分别代入公式解答即可．【解答】解：3．14×（6÷2)２×4×2==５65．２﹣7５.３6＝489.84（立方厘米),答：这个零件的体积为４89．84立方厘米.１9.现有一块长、宽、高分别为１0厘米、8厘米、６厘米的长方体木块，把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块,这个圆柱体木块的体积为多少?(л取3)【分析】削出最大的圆柱的方法有三种情况：(1）以8厘米为底面直径,6厘米为高;（2）以6厘米为底面直径,８厘米为高;（3）以6厘米为底面直径，10厘米为高,由此利用圆柱的体积公式分别计算出它们的体积即可解答.【解答】解:(1）以８厘米为底面直径,６厘米为高，３×（8÷2)２×6=３×1６×６＝2８8（立方厘米）;（2）以6厘米为底面直径,8厘米为高;3×(6÷2)2×8=３×9×8=216（立方厘米）；（3)以6厘米为底面直径，10厘米为高,３×（6÷２）2×１０＝3×9×10=２70(立方厘米）;答:这个圆柱最大的体积是288立方厘米．20.张大爷去年用长２米宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【分析】依据经验可得:用长方形的长作底面周长,宽作高，围成的圆柱的容积最大,据此利用圆柱的体积公式即可得解．【解答】解：π××２÷[π××1]=×2÷＝÷=4.５倍;答：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的４．5倍．２1．左边正方形的边长为４,右边正方形对角线长度为6．如果按照图中的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？【分析】左边正方形旋转后交得到一个底面半径为，高为4的圆柱,根据圆柱的体积公式V=πr2ｈ即可求出这个圆柱的体积; 右边正方形旋后可得到两个底面半径为，高也为且底面重合的圆锥,根据圆锥的体积公式V＝πr２h即可求出这两个圆柱的体积;再根据比的意义求出两个旋转体的体积之比即可（要化成最简整数比).【解答】解：3.14×()2×4=3.1４×４×4＝50.２4,×3.1４×（）２××2＝×３.1４×9×3×2＝5６.５２，50．24:５６.52=8:9.答：两个旋转体的体积之比是８:９．２2.如图一个底面长3０分米,宽10分米，高12分米的长方体水池,存有四分之三池水，请问：（1）将一个高11分米，体积３3０立方分米的圆柱放入池中,水面的高度变为多少分米？（２）如果再放人一个同样的圆柱,水面高度又变成了多少分米?（3)如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米?【分析】（1）由题意知,原来容器中的水可以看成是长3０分米、宽10分米、高为12×＝９分米的长方体,现将一个高１1分米，体积３３0立方分米的圆柱放入池中,水面没有淹没,求出圆柱的底面积即330÷11＝30(平方分米）再用３0×９求出淹没部分圆柱的体积除以长方体的底面积即是水升高的高度,用水升高的高度加上９分米，(2、3）同(1)解答即可．【解答】解：(１）330÷11×12×＝30×9=270（立方分米)2７0÷（30×10)=270÷3０0=0.9(分米）９+0．9＝９.９(分米)答:水面的高度变为9．9分米.（2)330÷11×９．９=３0×9．9＝297(立方分米）2９7÷(30×１０）=0．99（分米）９.9+0．9９=１0.89（分米)答：水面高度又变成了10.８9分米．。

思维能力训练题（4）1.算出下列图形的周长。

（）厘米（）米2.一共有多少个○？看图列出算式并计算出结果。

3.下面是用小正方体堆成的图形，请你数一数，有几个看不见的小正方体？4.下面图形（）是轴对称图形，（）是中心对称图形。

【多选】5.下图由几个小正方体拼成？至少再增加几个小正方体就可以把这个图形拼成一个长方体？6.计算。

28+27-25+24-22+21-19+18-16= 13+12-11-10+9+8-7-6+5+4-3-2=7.根据对称轴补全为轴对称图形，再画出将这个轴对称图形向右平移 5 格后的图形。

8.长方形绿地的周长是 44 米，长是 14 米，请问绿地的宽是多少米？9.许多用小正方体拼成了一个如下图的模型，然后把它的表面涂上蓝色（包括与地面接触的面），这个模型中共有多少个小正方形没有被涂上颜色？10.游乐园的体育场上，小动物们正在进行跑步比赛，排在前 6 名的小动物都有奖，每位获奖小动物都比前一名少 4 颗糖。

最后猎豹获得冠军，得到了 30颗糖，狮子获得亚军，得到 26 颗糖……那么一共需要多少颗糖来发奖？11.莉莉想要用很多小方块装饰自己的房间，她把这些小方块堆到一起，然后在表面涂上好看的颜色（包含与地面接触的面），想一想，一共有多少个小正方形被涂色了？12.看图回答问题。

（1）小猪和小猴走得一样快，同时从家出发沿着道路去餐厅，谁先到达餐厅？（2）这个图形的周长是多少？【参考答案】1.【答案】100；78【解析】正方形周长=边长×4，25×4=100（厘米）长方形周长=（长+宽）×2，（26+13）×2=78（米）【讲次】第1 讲一圈有多长——巧求周长2.【答案】1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7=49(个)答：一共有 49 个○。

【解析】金字塔数列求和：中间数×中间数【讲次】第2 讲神机妙算——巧算加减法3.【答案】3×2+3×1=9（个）9-7=2（个）答：有 2 个看不见的小正方体。

小学奥数思维训练题100道及答案(完整版)题目1：有五个连续的偶数，它们的和是80，这五个偶数分别是多少？解题方法：设中间的偶数为x，则这五个连续偶数分别为x - 4，x - 2，x，x + 2，x + 4，它们的和为5x = 80，解得x = 16，所以这五个偶数分别是12、14、16、18、20。

答案：12、14、16、18、20题目2：一个长方形的周长是36 厘米，长是宽的2 倍，这个长方形的面积是多少？解题方法：设宽为x 厘米，则长为2x 厘米，周长= 2×(x + 2x) = 6x = 36，解得x = 6，长为12 厘米，面积= 12×6 = 72 平方厘米。

答案：72 平方厘米题目3：甲乙两数的和是180，甲数除以乙数的商是9，甲乙两数各是多少？解题方法：乙数= 180÷(9 + 1) = 18，甲数= 18×9 = 162。

答案：甲数162，乙数18题目4：在一个除法算式中，被除数、除数、商的和是327，商是7，被除数和除数各是多少？解题方法：除数= (327 - 7)÷(7 + 1) = 40，被除数= 40×7 = 280。

答案：被除数280，除数40题目5：小明有一些邮票，比30 张多，比40 张少，如果按5 张一组来数，剩4 张；如果按6 张一组来数，剩 1 张。

小明有多少张邮票？解题方法：5 张一组剩4 张，可能的数量为34、39 张，按6 张一组剩1 张，只有31 符合，所以小明有31 张邮票。

答案：31 张题目6：鸡兔同笼，共有25 个头，80 条腿，鸡兔各有多少只？解题方法：假设全是鸡，应有腿50 条，比实际少30 条，每把一只鸡换成一只兔，腿增加2 条，所以兔有30÷2 = 15 只，鸡有10 只。

答案：鸡10 只，兔15 只题目7：一项工程，甲单独做8 天完成，乙单独做12 天完成，两人合作几天完成？解题方法：甲每天完成1/8，乙每天完成1/12，两人合作每天完成5/24，所以合作24/5 = 4.8 天完成。

立体几何1、下面四个图形都是由六个相同的正方形组成的，其中，折叠后不能围成正方体的是______________．（填序号）2、如下图所示，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的三个正方体紧贴在一起，则所得到的立体图形的表面积是平方厘米．3、下图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形，问这个直三棱柱的体积是多少？4、有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．在水槽中放人一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么此时油层的层高是厘米。

5、圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是立方厘米。

（结果用兀表示）6、如下图所示，从正方形ABCD 上截去长方形DEFG，其中AB=1厘米，DE=21厘米，DG=31厘米，将ABCGFE 以GC 边为轴旋转一周，所得几何体的表面积是平方厘米，体积是_____________立方厘米。

（结果用兀表示）7、若长方体的三个侧面的面积分别是6，8，12，则长方体的体积是。

8、一个圆柱和一个圆锥（如下图所示），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。

请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？9、如下图所示，一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分，已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008平方厘米，则这个圆柱体木棒的侧面积是平方厘米。

（兀取3.14）10、两个同样材料做成的球A 和B，一个实心，一个空心。

A 的直径为7、重量为22，B 的直径为10.6、重量为33.3。

问：哪个球是实心球？（球的体积公式V=34πr³）11、铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示．问：该油罐车的容积是多少立方米？（兀=3.1416）（球的体积公式V=34πr³）12、某工厂原用长4米，宽1米的铁皮围成无底无顶的的正方体形状的围栏，现要将围栏容量增加27%，问：能否还用原来的铁皮围成？13、一个正方体的纸盒中，恰好能放人一个体积为6.28立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？（兀=3.14）．14、用若干个小正方体拼成下图所示的造型．其中有一个小孔分别由左至右、由上至下以及由前至后穿透整个造型．拼成此造型共需使用多少个小正方体？15、一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如下图所示，若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？（球的体积公式：V=34πr³）16、下图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内，当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为立方厘米．（取兀=3.14）17、威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径40厘米，深36厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机体积的25%，长方体外形的长为52厘米，宽50厘米．问：高是多少厘米？（兀取3.14，结果保留整数）18、有两个高度一样的水瓶，瓶子的底部被钉子分别戳了一个同样大的小洞．粗瓶子的水12分钟可以漏完，细瓶子的水8分钟可以漏完．若两个瓶子同时漏水，过了一段时间后，粗瓶子中水的高度是细瓶子中的2倍．这两个瓶子同时漏了分钟．19、世界上最早的灯塔建于公元270年，塔分三层，如下图所示，每层都高27米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱柱，上部呈正圆锥．上部的体积是底座的体积的。