指数函数图象及性质应用

指数函数的图像是一条向上开口的曲线，通常表示为y=a^x（a>0，a≠1）。

指数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为1。

2.对于不同的指数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。

如果改变指数函数的
指数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。

3.对于相同的指数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。

对数函数的图像是一条向右开口的曲线，通常表示为y=loga(x)（a>0，a≠1）。

对数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为0。

2.对于不同的对数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。

如果改变对数函数的
底数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。

3.对于相同的对数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。

幂函数的图像可以是一条向上开口的曲线，也可以是一条向右开口的曲线，通常表示为y=x^n（n为常数）。

幂函数的性质有：
1.当n>0 时，幂函数的图像是一条向上开口的曲线。

2.当n<0 时，幂函数的图像是一条向右开口的曲线。

3.当n=0 时，幂函数的图像是一条水平直线。

4.幂函数的图像在y 轴上的截距为1。

5.对于不同的幂函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。

如果改变幂函数的指数，
则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。

6.对于相同的幂函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生伸
缩。

第2课时 指数函数的图像与性质的应用学习目标 1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质.2.能够利用指数函数的图像和性质比较大小、解不等式． 导语我们已经学习了指数函数的图像与性质，今天就探讨一下，利用这些知识去解决一些常见问题．一、指数函数图像的辨识例1 (1)已知函数f (x )＝ax ＋b 的图像如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图像可能是( )答案 B解析 由f (x )＝ax ＋b 的图像可得f (0)＝b <－1，f (1)＝a ＋b >0， 所以a >1，b <－1，故函数g (x )＝a x ＋b 为增函数，相对y ＝a x 向下平移大于1个单位，故B 符合．(2) (多选)已知实数a ，b 满足⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，给出下面几种关系，则其中可能成立的是( ) A ．0<a <b B ．0<b <a C ．a <b <0 D ．b ＝a答案 BCD解析 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像，如图所示，若⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b>1，则a <b <0； 若⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b <1，则0<b <a ； 若⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ＝1，则b ＝a ＝0.反思感悟 与指数函数相关的图像问题(1)熟记当底数a >1和0<a <1时，图像的大体形状． (2)注意图像平移问题：对于横坐标x 满足“左加右减”． (3)注意利用函数性质研究图像问题．跟踪训练1 (1)函数y ＝2x －1的图像一定不经过第________象限；若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋b 的图像不经过第一象限，则实数b 的取值范围是________． 答案 二、四 (－∞，－1]解析 当x <0时，2x <1，y <0，在第三象限， 当x >0时，2x >1，y >0，在第一象限， 且当x ＝0时，y ＝0，故y ＝2x －1的图像一定不经过第二、四象限． 若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋b 的图像不经过第一象限， 当x ∈[0，＋∞)时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋b ≤0， 又∵0<12<1，且x ∈[0，＋∞)，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是[0，＋∞)上的减函数， ∴0<⎝⎛⎭⎫12x ≤1，∴⎝⎛⎭⎫12x ＋b ≤1＋b ≤0， 解得b ≤－1.(2)已知直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －2|的图像有两个公共点，求实数a 的取值范围．解 函数y ＝|2x －2|的图像如图中实线部分所示，要使直线y ＝2a 与该图像有两个公共点，则有0<2a <2，即0<a <1，故实数a 的取值范围为(0,1)．二、利用指数函数性质比较大小 例2 比较下列各组数的大小． (1)1.52.5与1.53.2； (2)56311⎛⎫⎪⎝⎭与56833⎛⎫⎪⎝⎭； (3)1.50.3与0.81.2.解 (1)∵函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，2.5<3.2， ∴1.52.5<1.53.2.(2)指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫311x 与y ＝⎝⎛⎭⎫833x 的图像(如图)，由图知56311⎛⎫⎪⎝⎭>56833⎛⎫ ⎪⎝⎭. (3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1， 而0.81.2<0.80＝1， ∴1.50.3>0.81.2.反思感悟 比较指数式大小的3种类型及处理方法跟踪训练2 比较下列各组数的大小： (1)0.8－0.1与1.250.2；(2)1.70.3与0.93.1；(3)a 0.5与a 0.6(a >0且a ≠1)． 解 (1)∵0<0.8<1， ∴y ＝0.8x 在R 上是减函数． ∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1， 而0.8－0.2＝⎝⎛⎭⎫45－0.2＝1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2.(2)∵1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1， ∴1.70.3>0.93.1.(3)a 0.5与a 0.6可看作指数函数y ＝a x 的两个函数值． 当0<a <1时，函数y ＝a x 在R 上是减函数． ∵0.5<0.6，∴a 0.5>a 0.6.当a >1时，函数y ＝a x 在R 上是增函数． ∵0.5<0.6，∴a 0.5<a 0.6.综上所述，当0<a <1时，a 0.5>a 0.6； 当a >1时，a 0.5<a 0.6.三、利用指数函数性质解不等式 例3 (1)不等式4x <42－3x的解集是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 ∵4x <42－3x ，∴x <2－3x ，∴x <12.(2)解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0且a ≠1)．解 ①当0<a <1时， ∵a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. ②当a >1时，∵a 2x ＋1≤a x －5， ∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}； 当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}． 反思感悟 指数型不等式的解法(1)指数型不等式a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)的解法： 当a >1时，f (x )>g (x )； 当0<a <1时，f (x )<g (x )．(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a 0(a >0且a ≠1)，a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x(a >0且a ≠1)等． 跟踪训练3 (1)已知不等式13≤3x <27，则x 的取值范围为( ) A ．－12≤x <3B.12≤x <3 C ．R D ．－12≤x <13答案 A解析 由题意可得123-≤3x <33，再根据函数y ＝3x 在R 上是增函数，可得－12≤x <3.(2)已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 ∵a 2＋a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋74>1， ∴(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ⇔x >1－x ⇔x >12.∴x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞.1．知识清单：(1)指数函数图像的应用． (2)利用指数函数性质比较大小． (3)利用指数函数性质解不等式．2．方法归纳：转化与化归、分类讨论、数形结合．3．常见误区：研究y ＝a f (x )型函数，易忽视讨论a >1还是0<a <1.1．(多选)下列判断正确的是( ) A ．2.52.5>2.53 B ．0.82<0.83 C ．π2>3πD ．0.90.3>0.90.5答案 CD解析 ∵y ＝πx 是增函数，且2>3， ∴π2>3π；∵y ＝0.9x 是减函数，且0.5>0.3， ∴0.90.3>0.90.5.故C ，D 正确．2．函数y ＝a x －1a(a >0且a ≠1)的图像可能是( )答案 D解析 当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，当x ＝0时，y ＝1－1a <1且y ＝1－1a >0，故A ，B 不符合．当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，当x ＝0时，y ＝1－1a <0，故C 不符合，D 符合．3．若a 3.1>a 3(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 因为3.1>3，且a 3.1>a 3， 所以函数y ＝a x 是增函数，所以a >1. 4．不等式225x >5x＋1的解集是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析 由225x >5x ＋1得2x 2>x ＋1，解得x <－12或x >1.5．设0<a <1，则关于x 的不等式22232223x x x x a a >－＋＋－的解集为________．答案 (1，＋∞)解析 因为0<a <1，所以y ＝a x 在R 上是减函数， 又因为22232223x x x x aa>－＋＋－，所以2x 2－3x ＋2<2x 2＋2x －3，解得x >1.1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 D解析 ∵2x ＋1<1＝20，且y ＝2x 是增函数， ∴x ＋1<0，∴x <－1.2．已知函数f (x )＝(a 2－1)x ，若x >0时总有f (x )>1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<2 C ．|a |>1D ．|a |> 2答案 D解析 由题意知a 2－1>1， 解得a 2>2， 即|a |> 2.3．函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图像如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，411中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是( )A.54，3，13，411B.3，54，411，13C.411，13，3，54D.13，411，54， 3 答案 C解析 直线x ＝1与函数图像的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>411>13，所以a ，b ，c ，d 的值分别是411，13，3，54.4．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( ) A ．6 B ．1 C ．3 D.32答案 C解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 5．在下列图像中，二次函数y ＝ax 2＋bx 及指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图像只可能是( )答案 A解析 根据指数函数的定义，可知a ，b 同号且不相等，∴－b2a <0，可排除B ，D ；由选项C中二次函数的图像，可知a －b >0，a <0，∴ba >1，∴指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x 单调递增，故C 不正确，排除C ，故选A.6．函数f (x )＝3x －3(1<x ≤5)的值域是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤19，9 解析 因为1<x ≤5， 所以－2<x －3≤2.而函数y ＝3x 在(－2,2]上是增函数， 于是有19<f (x )≤32＝9，即所求函数的值域为⎝⎛⎦⎤19，9.7．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“>”连接) 答案 c >a >b解析 因为函数y ＝0.8x 是R 上的减函数， 所以a >b .又因为a ＝0.80.7<0.80＝1，c ＝1.20.8>1.20＝1， 所以c >a .故c >a >b .8．已知方程|2x －1|＝a 有两个不等实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 函数y ＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，－2x＋1，x <0，其图像如图所示．方程|2x －1|＝a 有两个不等实根等价于直线y ＝a 与y ＝|2x －1|的图像有两个交点，所以由图可知0<a <1.9．已知a－5x<a x －7(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围．解 当a >1时，∵a －5x <a x －7，∴－5x <x －7， 解得x >76；当0<a <1时，∵a －5x <a x －7，∴－5x >x －7， 解得x <76.综上所述，当a >1时，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫76，＋∞； 当0<a <1时，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，76. 10．若函数f (x )＝(k ＋3)a x ＋3－b (a >0且a ≠1)是指数函数． (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式f (2x －7)>f (4x －3)．解 (1)∵f (x )＝(k ＋3)a x ＋3－b (a >0且a ≠1)是指数函数， ∴k ＋3＝1且3－b ＝0，解得k ＝－2且b ＝3. (2)由(1)得f (x )＝a x (a >0且a ≠1)， 因为f (2x －7)>f (4x －3)，所以a 2x －7>a 4x －3.①当a >1时，f (x )＝a x 单调递增，则不等式等价于2x －7>4x －3，解得x <－2； ②当0<a <1时，f (x )＝a x 单调递减，则不等式等价于2x －7<4x －3，解得x >－2. 综上，当a >1时，原不等式的解集为{x |x <－2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x >－2}．11．已知函数f (x )＝a －x (a >0且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．a <1 D ．0<a <1答案 D解析 因为－2>－3，f (－2)>f (－3)，又f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，所以⎝⎛⎭⎫1a －2>⎝⎛⎭⎫1a －3，所以1a>1，所以0<a <1. 12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，23答案 B解析 由单调性定义，得f (x )为减函数应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1.13．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5，由于y ＝2x 在R 上是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y 1>y 3>y 2.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是() A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)答案 D解析 函数f (x )的图像如图所示，观察图像可知会有⎩⎪⎨⎪⎧2x <0，2x <x ＋1， 解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)．15．设x <0，且1<b x <a x ，则( )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b答案 B解析 ∵1<b x <a x ，x <0，∴0<a <1,0<b <1.又当x ＝－1时，1b <1a， 即b >a ，∴0<a <b <1.16．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0且a ≠1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x .(2)要使⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56. ∴只需m ≤56即可． ∴m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，56.。

指数函数的图像和性质指数函数是数学中常见的一种函数类型，它的图像和性质在数学学习中具有重要的意义。

本文将从图像和性质两个方面，对指数函数进行详细的分析和说明。

一、指数函数的图像指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。

在探究指数函数的图像时，我们可以固定底数a的值，观察指数x的变化对应的函数值y的变化。

1. 当底数a>1时，指数函数呈现增长趋势。

例如，当a=2时，指数函数y=2^x的图像是逐渐上升的曲线。

随着指数x的增大，函数值y呈现出迅速增长的特点。

这说明指数函数在底数大于1的情况下，随着指数的增加，函数值呈现指数级增长。

2. 当底数0<a<1时，指数函数呈现衰减趋势。

例如，当a=0.5时，指数函数y=0.5^x的图像是逐渐下降的曲线。

随着指数x的增大，函数值y呈现出逐渐趋近于0的特点。

这说明指数函数在底数小于1的情况下，随着指数的增加，函数值呈现指数级衰减。

3. 当底数a=1时，指数函数呈现恒定趋势。

无论指数x取任何值，函数值y始终等于1。

这说明指数函数在底数为1时，函数值不随指数的变化而变化。

通过观察指数函数的图像，我们可以发现指数函数具有明显的特点：底数大于1时，函数呈现增长趋势；底数小于1时，函数呈现衰减趋势；底数为1时，函数呈现恒定趋势。

二、指数函数的性质除了图像特点外，指数函数还具有一些重要的性质，这些性质在数学学习中有着广泛的应用。

1. 指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。

这意味着指数函数在实数范围内都有定义，并且函数值始终为正数。

2. 指数函数的性质与底数a的大小有关。

当底数a>1时，函数呈现增长趋势；当底数0<a<1时，函数呈现衰减趋势；当底数a=1时，函数值始终为1。

3. 指数函数具有幂运算的性质。

即指数函数的乘法可以转化为指数的加法，指数函数的除法可以转化为指数的减法。

例如，对于指数函数y=a^x和y=b^x，它们的乘积可以表示为y=(ab)^x，它们的商可以表示为y=(a/b)^x。