高三数学(理)

理科高三数学知识点总结等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：(1)a>bb(2)a>b,b>ca>c(传递性)(3)a>ba+c>b+c(c∈R)(4)c>0时，a>bac>bcc<0时，a>bac运算性质有：(1)a>b,c>da+c>b+d。

(2)a>b>0,c>d>0ac>bd。

(3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。

(4)a>b>0>(n∈N,n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此，要正确理解和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

高中数学集合复习知识点任一A，B，记做ABAB，BA，A=BAB={|A|，且|B|}AB={|A|，或|B|}Card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)(1)命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q，则p(2)AB,A是B成立的充分条件BA,A是B成立的必要条件AB,A是B成立的充要条件1.集合元素具有①确定性;②互异性;③无序性2.集合表示方法①列举法;②描述法;③韦恩图;④数轴法(3)集合的运算①A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)②Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB(4)集合的性质n元集合的字集数：2n真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2高中数学集合知识点归纳1、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些制定的且不同的对象集合在一起就称为一个集合。

高三理科数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数y=\(\frac{1}{x}\)的图象在第一象限内是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 先递增后递减D. 先递减后递增2. 已知向量\(\vec{a}=(3,-2)\)，\(\vec{b}=(2,3)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值为（）A. -5B. 5C. 13D. -133. 已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>0，b>0，若该双曲线的渐近线方程为y=±\(\frac{b}{a}\)x，则该双曲线的离心率为（）A. \(\sqrt{2}\)B. \(\sqrt{3}\)C. \(\sqrt{5}\)D. 24. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在区间(1,2)内有零点，则零点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知等比数列{an}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）A. 63B. 77C. 84D. 1266. 已知直线l的方程为y=kx+b，若直线l过点(1,2)且与直线y=-2x 平行，则直线l的方程为（）A. y=-2x+4B. y=-2x+3C. y=2x-1D. y=2x+17. 已知函数f(x)=\(\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则该函数的值域为（）A. (0,+∞)B. (-∞,+∞)C. [0,+∞)D. R8. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若直线l与抛物线C相切，则直线l的斜率的取值范围为（）A. (-∞,0]B. (0,+∞)C. [0,+∞)D. R9. 已知椭圆E的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>b>0，若椭圆E的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则椭圆E 的短轴长为（）A. \(\sqrt{2}\)B. 1C. 2D. \(\sqrt{3}\)10. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为（）A. \(\frac{7}{20}\)B. \(\frac{7}{15}\)C. \(\frac{7}{12}\)D. \(\frac{7}{10}\)二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为\(\frac{7}{20}\)。

2023届河南省部分学校高三12月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}e x B y y a ==+（a ∈R ），若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．()3,+∞ D ．[)3,+∞【答案】D【分析】分别求出集合A 和集合B ，再由A B ⋂=∅进行求解.【详解】由已知，集合A 即函数y = 由不等式2320x x +-≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，∴{{}[]131,3A x y x x ===-≤≤=-，集合B 即函数e x y a =+的值域，因为指数函数e x y =的值域为()0,∞+，所以函数e x y a =+的值域为(),a +∞，∴{}()e ,xB y y a a ∞==+=+，∵A B ⋂=∅，∴a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D.2．已知复数z 满足(86i)512i z +=+，则z =（ ）A B ．1310C ．1714D ．1513【答案】B【分析】先由复数的运算化简z ，再计算模长.【详解】()512i (86i)11266i 5633i (86i)(86i)10050z +-++===+-，1310z === 故选：B3．已知直线12:210,:220l x y l x my --=++=，若12l l ∥，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1B ．2C D 【答案】A【分析】根据直线平行求出m ，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为12l l ∥，所以40m +=，解得4m =-，经检验符合题意；所以2:210l x y -=， 所以1l 与2l之间的距离1d ===， 故选：A4．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l 与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l 等于表高h 与天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为1θ和2θ，则()12tan θθ-=（ ） A ．1- B ．17-C ．13D ．1【答案】B【分析】根据已知条件得出12,tan tan θθ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知12tan 2,tan 3θθ==，所以()121212tan tan 231tan 1tan tan 1237θθθθθθ---===-++⨯故选：B.5．已知12,F F 是平面内两个不同的定点，P 为平面内的动点，则“12PF PF -的值为定值m ，且12m F F <”是“点P 的轨迹是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案.【详解】“12PF PF -的值为定值m ，12m F F <”，若0m =，则P 点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P 的轨迹是双曲线”，则必有12,F F 是平面内两个不同的定点，且满足1212PF PF m F F -=<，故必要性成立； 故选：B6．已知()sin 2tan 1f x x x =++，则曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．26π0x y ++-= B ．23π0x y -+-= C ．426π0x y -+-= D ．426π0x y -++=【答案】C【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，结合π34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得切线方程. 【详解】()212cos 2cos f x x x'=+，2ππ12cos 2π42cos 4f ⎛⎫'∴=+= ⎪⎝⎭， 又πππsin tan 13424f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴所求切线方程为：π324y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即426π0x y -+-=.故选：C.7．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【分析】分别表示出A 、B 坐标，利用||||OA OB =求得3a b ，即可求出离心率.【详解】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的下焦点，不妨设()0,F c -，所以过Fy c =-，所以),0B .因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y x ca y x b⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：3ab .所以离心率c e a ====. 故选：C8．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．2cos2xB π326x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C π326x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由函数周期可求出ω，又由特殊值5π()=012f 和(0)=1f ，可求得ϕ和A ，进而可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式．【详解】依题意有2π11π5π2π1212ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，得2ω=， 又5π5π()sin 2+=01212f A ϕ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以5π2+π2π,Z 12k k ϕ⨯=+∈，且π02ϕ<<，得π=6ϕ，又π(0)sin =16f A =，得=2A ，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22cos 2666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A ．9．已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（ ）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据椭圆过点求出,a b ，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解. 【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A -和(0,1)B ，所以224,1a b ==，可得223c a b - 所以1(3,0)F -，23)F ，设(,)P x y ，由题意直线AB 的方程为12xy +=-，即220x y ， 因为点P 在线段AB 上，所以(,)P x y 满足20,01x y -≤≤≤≤，则222212(,),)3(22)3PF PF x y x y x y y y ⋅=--⋅-=+-=-+-224115815()55y y y =-+=--，[0,1]y ∈，当45y =时，12min 11()5PF PF ⋅=-，当0y =时，12max ()1PF PF ⋅=， 所以12PF PF ⋅的取值范围为11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D10．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①0,()0x f x ∀><；②对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >恒成立．若(0.1)(sin0.1)sin0.1,,(tan0.1)tan0.110f a f b c f ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】A【分析】根据函数性质可知，()f x x在(0,)+∞上单调递减，又根据0,()0x f x ∀><，可构造函数()xf x ，且函数()xf x 为单调递减，又因为sin0.10.1tan0.1<<，即可得出a b c >>. 【详解】由题意可知，对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >，即()()f x f y x y> 所以函数()f x x在(0,)+∞上单调递减，即导函数2()()0xf x f x x -<'在(0,)+∞恒成立； 可得()()xf x f x '<；构造函数()()g x xf x =，则()()()2()0g x f x xf x f x ''=+<<， 所以，()()g x xf x =在(0,)+∞上单调递减；设函数()sin ,(0,1)h x x x x =-∈，则()cos 10h x x '=-<，即()h x 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0h h <=,即sin 0.10.1<； 设函数()tan ,(0,1)x x x x ϕ=-∈，则221()1tan 0cos x x xϕ'=-=-<， 即()ϕx 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0ϕϕ=<，即0.1tan 0.1<； 综上可知，sin0.10.1tan0.1<<，(sin 0.1)(0.1)(tan 0.1)g g g >> 即(0.1)(sin 0.1)sin 0.10.1(0.1)(tan 0.1)tan 0.110f f f f =>> 即得a b c >>. 故选：A.11．在四面体ABCD 中，,AB AC AB BD ⊥⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为30︒，二面角C AB D--为锐二面角，4,5,3AB AC BD ===，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．234153- B ．3C ．5D ．10【答案】C【分析】根据题意，如图，将四面体放在长方体中，为三棱锥D ABC -，过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ，结合二面角和异面直线所成的角的定义可得30DBE ︒∠=，求出DE ，利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图，在长方体中，4,5,3AB AC BD ===， 过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ， 所以DBE ∠为二面角C AB D --的所成角，为锐角，DBE ∠为异面直线AC 与BD 的所成角，所以30DBE ︒∠=，所以1322DE BD ==. 由题意知，该四面体ABCD 为三棱锥D ABC -， 由1102ABCSAC AB =⋅=， 所以该三棱锥D ABC -的体积为113105332D ABC ABCV SDE -=⋅=⨯⨯=. 故选：C.12．将曲线221:1(0)169x y C x +=≤和曲线222:1(0)49x y C x +=>合成曲线E ．斜率为k 的直线l 与E 交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．曲线E 所围成图形的面积小于36 B ．曲线E 与其对称轴仅有两个交点 C ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上 D ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 【答案】D【分析】画出曲线表示的图形，分析AB 选项；选项C ，分析当0k =时，设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y ，然后根据题意分析点P 的轨迹总在某个椭圆上即可；选项D ，结合C 的部分条件，加上中点公式，以及差点法，若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则0000(R)y k x k -∈为常数，化简分析即可解决问题. 【详解】选项A ：如图，曲线E 所围成图形在正方形PQGH 内部，由正方形PQGH 的面积为6636⨯=，所以曲线E 所围成图形的面积小于36，故A 正确； 由A 中图形可知，曲线E 关于x 轴对称，所以曲线E 与其对称轴仅有两个交点，故B 正确； 选项C ：设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y 1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 当0k =时，12120,x x y y <<=221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减的：22112202164x x x x -=⇒=- 所以222200200122222x x x x x x y y y y y -+⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎩， 又2222149x y +=，所以()22220000114992y y x x -+=⇔+= 故存在0k =，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上，C 正确选项D ： 由()00,P x y ，1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222121201649x x y y --+=即()()2212121201649y y y y x x --++=， 又12012122y y y y y k x x +=⎧⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2201212201649ky x x x x --+=， 即()222101294162x x y k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 又1202x x x +=， 所以若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上， 则0000(R)y k x k -∈为常数，即()222112012941622x x x x k k x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭--()()()()2221012121212941622x x kk x x x x k x x k x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--- ()()2222210121294162x x kk x x k x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=- ()22020112994162kk x kk x k x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-为定值， 因为分子分母12,x x 次数不同，故若上式为定值，则22020*******kk x kk x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即00990416kk kk +=+=，无解，假设不成立， 所以不存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 所以选项D 不正确； 故选：D.二、填空题13．已知向量,a b 满足||3,||1,||2a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为_______________． 【答案】π3【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】()222||242431240a b a ba b a b a b a b +=⇒+=⇒++⋅=⇒++⋅=⇒⋅=，()2222312a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-，设a b +与a b -的夹角为([0,π])θθ∈，()()22311cos 2242a b a b ab a b a bθ⋅-+--==⨯⋅-==+， 因为[0,π]θ∈， 所以π3θ=， 故答案为：π314．直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________． 【答案】2x =或43110x y +-=.【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线l 的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由22(1)9x y ++=，得圆心为(1,0)C -，半径3r =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时直线恰好与圆相切，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，则3=，22(13)9(1)k k -=+，解得43k =-，所以直线l 的方程为41(2)3y x -=--，即43110x y +-=，综上，直线l 的方程为2x =或43110x y +-=， 故答案为：2x =或43110x y +-=.15．如图，直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，D 为C 上异于A ，B 的一点，若AD BD ⊥，则点D 到直线x t =的距离与p 的比值为__________．【答案】2【分析】根据题意得到,A B 的坐标，设(002D x px ，由题意可得1AD BD k k ⋅=-，列出方程即可得到结果.【详解】因为直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，不妨设((2,,2A t pt B t pt 且D 为C 上异于A ，B 的一点，由抛物线的对称性，不妨设(002D x px则00002222AD BD px pt px ptk k -+由AD BD ⊥000022221px pt px pt-+=-化简可得()()02021p x t x t -=--，因为0x t ≠，则02p t x =-即点D 到直线x t =的距离与p 的比值为02t x p-= 故答案为:216．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()e xg x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围. 【详解】()e x f x ax '=-，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e x x g x x -'=， ∴当()(),00,1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x 图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >； 212x x ≥，212x x ∴≥； 当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2ttt t =，即2e 2e t t =，2e 2t∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===， ∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin a A c C b c B -=-． (1)求A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理可得到222a b c bc =+-，进而得到2cos 1A =，即可求出A 的大小； （2）根据三角形内角和为π，且ABC 为锐角三角形，从而可得出C 的取值范围，再将bc 转化为关于tan C 的函数即可求解．【详解】（1）由sin sin ()sin a A c C b c B -=-，则根据正弦定理有22()a c b c b -=-，即222a b c bc =+-， 又由余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得2cos 1A =， 所以在ABC 中，得π3A =；（2）由ABC 为锐角三角形，且π3A =，则有π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，即(1tan C ∈，所以根据正弦定理有π1sin sin sin 111322,2sin sin sin tan 22C C Cb Bc C C C C ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭====+∈ ⎪⎝⎭． 18．已知直线12:20,:20()l x ay l ax y a a -+=+-=∈R ，若1l 与2l 的交点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若圆22:220E x y mx ny +--=的圆心在直线y =上，且与曲线C 相交所得公共弦MN的长为m ，n 的值． 【答案】(1)224(2)x y x +=≠(2)1,m n =1,m n =-=【分析】（1）由12,l l 判断出点P 的轨迹为以AB 为直径的圆(除去点(2,0)B )，进而求其方程; （2）由圆E 的圆心的位置得m ,n 的关系,两个圆方程相减得MN 的方程,由弦长求m ,n . 【详解】（1）当0,2y x ==-故直线1:20l x ay -+=过定点(2,0)A -，直线2:l (2)0a x y -+=，当2,0x y ==，故其过定点(2,0)B ， 又110a a ⨯-⨯=,所以12l l ⊥,所以点P 的轨迹为以AB 为直径的圆， 当0a =时，两直线交点为()2,0A -，但交点P 无法与点B 重合， 故需除去点()2,0B其圆心为原点O ,半径为2r =,所以曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠； （2）由(1)知,曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠，又圆22:220E x y mx ny +--=的圆心为(,)E m n 在直线y =上,所以n =,0m ≠，两圆方程作差得两个圆的公共弦MN 的方程为224mx ny +=,即20mx -=,因为两个圆的公共弦MN 的长为原点O 到直线MN 的距离为1||d m ==,所以=解得1m =或1m =-,所以1,m n =1,mn =-=19．在正项数列{}n a 中，11a =，2n ∀≥，12113232n n a a a a n --+++=-． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b a =，221b a =-，且21ln ln 2ln n n n b b b +++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：221n n n T T T ++⋅<．【答案】(1)21n a n =- (2)证明见解析【分析】（1）由12113232n n a a a a n --+++=-可得到12121n n a n a n ++=-，根据累乘法求通项的方法，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由21ln ln 2ln n n n b b b +++=可知221n n n b b b ++⋅=，可判断数列{}n b 为等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出n T ，2210n n n T T T ++⋅<-即可求证. 【详解】（1）解：已知1211,23232n n a a a a n n --+++=≥-①， 则212312a a a -=⇒=，且11211,323212n n n a a a aa n n -+-++++=--②， -②①，得1212n n n a a an +-=-，整理得121,221n na n n a n ++=≥-， ∴3253a a =，3475a a =，，212325n n a n a n ---=-12123n n a n a n --=-，， 由累乘法可得()`2212133n n a n a n n a -=-=⇒≥， 又11a =，23a =，符合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）可知111b a ==，221312b a =-=-=，因为21ln ln 2ln n n n b b b +++=，所以221n n n b b b ++⋅=，则数列{}n b 是首项为1，公比为212b b =的等比数列， ∴()1122112n n n T -==--，()()()222121212121n n n n n n T T T ++++∴⋅---=⋅--()2222222221221n n n n n ++++=--+--+20n =-<，即221n n nT T T ++⋅<，得证.20．在边长为2的正方形ABCD 外作等边BCQ △（如图1），将BCQ △沿BC 折起到PBC 处，使得PD =E 为AB 的中点（如图2）．(1)求证：平面PDE ⊥ 平面PCD ； (2)求二面角E PD A --的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 7【分析】取BC 中点为O ，建立以O 为原点的空间直角坐标系.（1）设平面PDE 法向量为m ，平面PCD 法向量为n ， 利用0m n ⋅=可证面面垂直.（2）求得平面P AD 的法向量t ，后用向量法可求得二面角E PD A --的余弦值，后可求得正弦值. 【详解】（1）因四边形ABCD 为正方形，则DC CB ⊥.又在三角形PCD 中，2PC CD ==，22PD =222PC CD PD +=， 则DC PC ⊥.又CB ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∩CBPC C =， 则DC ⊥平面PCD .取BC 中点为O ，AD 中点为F ，连接PO ，OF . 则//,,OF CD PO BC OF BC ⊥⊥.又PO ⊂平面PCD ，则DC PO ⊥， 得FO PO ⊥.故如图建立以O 为原点，以射线OB 方向为x 轴正方向，射线FO 方向为y 轴正方向， 射线OP 方向为z 轴正方向的空间直角坐标系.则()()()()()000120100100120,,，,,，,,，,,，,,O A B C D ----， (()003110,，,,P E -.得()()(103123113,,，,,，,,PC PD PE =--=---=--， 设平面PDE 法向量为()111,,m x y z =，则11111123030PD m x y z PE m x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取(123,,m =-.设PCD 法向量为()222,,x n y z =，则2222223030PD n x y z PC n x z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()3,0,1n =-. 因330m n ⋅=-+=，则平面PDE ⊥ 平面PCD .（2）由（1）分析可知，平面PDE 法向量为()123,,m =-. 又()123,,PA =--，设平面P AD 的法向量()333,,t x y z =， 则333332230230PD t x y z PA n x y z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()032,,t =-. 则434342714334227cos ,m t m t m t⋅====++⨯+⨯⋅，又由图可知二面角E PD A --平面角α为锐角，则427cos α=， 得二面角E PD A --的正弦值4271497sin α=-=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A ，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为7||7OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程；(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上． 【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程． （2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.【详解】（1）()(),0,0,A a B b -，∴直线AB 的方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=，1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d ==， 2227(1)a b a ∴+=-，又221b a =-，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=， 设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ， 将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，12x x ∴-， 将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -1234x x x x ∴+=+，∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，由2PQ NQ MQ +=可得NM PN =，3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，∴3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上．22．已知()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，函数()()1g x x f x =+-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，()()122112x g x x g x x x λ->-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. (2)15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】（1）先求出()f x 的导数()22x x af x x'++=，根据a 的取值范围进行分类讨论即可；（2）当120x x >，时，()()122112x g x x g x x x λ->-⇔()()21212111g x g x x x x x λ->-，去绝对值后，构造函数求解即可.【详解】（1）由已知，()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）的定义域为()0,∞+，()2221a x x a f x x x x++'=++=，①当0a ≥时，0f x在区间()0,∞+上恒成立，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，则220x x a ++=，180a ∆=->，解得10x =<（舍），20x >，∴当x ⎛∈ ⎝⎭时，220x x a ++<，∴()0f x '<， ∴()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，220x x a ++>，∴0f x ，∴()f x在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， 综上所述，当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. （2）当1a =时，()()221ln ln 1g x x x x x x x =+-++=--+，()0,x ∈+∞，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠， ()()122112x g x x g x x x λ->-等价于()()1221121212x g x x g x x x x x x x λ-->， 即()()21212111g x g x x x x x λ->-， 令()()g x h x x=，()0,x ∈+∞，则()()212111h x h x x x λ->-恒成立 ()()()()2222212ln 1ln 2x x x x xg x g x x x x h x x x x ⎛⎫-----+ ⎪'---⎝⎭'===， 令()2ln 2F x x x =--，()0,x ∈+∞，则()21122x F x x x x-'=-=，令()0F x '=，解得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0F x '>，()Fx 在区间⎛ ⎝⎭单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0F x '<，()F x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，∴当()0,x ∈+∞时，()Fx的最大值为1152ln 20222F =--=--<⎝⎭， ∴当()0,x ∈+∞时，()215ln 2ln 2022F x x x =--≤--<，即()22ln 20x x h x x --'=<，∴()()g x h x x=在区间()0,∞+上单调递减，不妨设12x x <，∴1x ∀，2(0,)x ∈+∞，有()()12h x h x >，又∵1y x=在区间()0,∞+上单调递减， 1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，有1211x x >， ∴()()212111h x h x x x λ->-等价于()()121211h x x x x h λ⎛⎫->- ⎪⎝⎭， ∴()()2121h x x x h x λλ->-，设()()G x h x xλ=-，()0,x ∈+∞，则1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，()()2121h x x x h x λλ->-等价于()()12G x G x >，即()G x 在(0,)+∞上单调递减，∴()()20G x h x xλ''=+≤，∴()2x h x λ'≤-，∴()222ln 2x x x F x xλ--≤-⋅=-， ∵当()0,x ∈+∞时，()F x的最大值为15ln 222F =--⎝⎭， ∴()F x -的最小值为15ln 222+，∴15ln 222λ≤+，综上所述，满足题意的实数λ的取值范围是15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.【点睛】本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是将()()122112x g x x g x x x λ->-等价转换为()()21212111g x g x x x x x λ->-，便于构造函数；另一个是通过构造函数()()g x h x x =，借助导数判断出函数()h x 的单调性去绝对值.。

2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）．A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合A 、B ，再由集合并运算求A B ⋃. 【详解】由题设{|22}A x x =-<<，{|03}B x x =<<， 所以(2,3)A B =-. 故选：A2．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1【答案】C【分析】根据纯虚数的定义列出方程(组)求解.【详解】由已知得21010x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得1x =,故选：C3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5 【答案】C【分析】利用各组的频率之和为1，求得a 的值，判定A ；根据众数和中位数的概念判定BC ；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =，故A 正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为4050452+=，所以众数为45，故B 正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为()0.0200.010100.30.5+⨯=<，所以60不是中位数，故C 错误；由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为()0.030.02100.5+⨯=，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5，故D 正确. 故选:C4．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．1-B ．4C ．5D ．14【答案】B【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合2z x y =+的几何意义即可求出答案. 【详解】作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，直线2z x y =+化为：1122y x+z =-表示斜率为12-的一组平行线，当1122y x+z =-经过点B 有最小值，由302101x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以()2,1B ，则2z x y =+的最小值为：224z =+=.故选：B.5．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为（ ）A ．14B ．18C ．116D ．132【答案】C【分析】由已知的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运算过程，即可得解.【详解】解：执行下面的程序框图，已知S ＝1，n ＝0，m ＝12； 执行循环体S ＝12，m ＝14，n ＝1；S ＝14，m ＝18，n ＝2；S ＝18，m ＝116，n ＝3；S ＝116，m ＝132，n ＝4； 如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为116． 故选：C ．6．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bty ae-=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（ ）. A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min【答案】D【分析】依题意有8b ae -= 12a ，解得ln28b =，得到ln 28t y ae -=，再令8a y =,求解得到t 的值，减去最初的8min 即得所求． 【详解】依题意有8b ae -=12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln281ln28ln ln2,,28t b b y ae --==-∴=∴= ， 当容器中只有开始时的八分之一，则有ln2ln2881188t t ae a e --=∴=， 两边取对数得ln21ln 3ln2,2488t t -==-∴=， 所以再经过的时间为()24816min -=． 故选:D ．7．已知α满足sin()4πα+，则2tan tan 1αα=+（ ）A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-【答案】D【分析】首先化简sin()4πα+得到8sin 29α=-，接着化切为弦将2tan tan 1αα+表示成1sin 22α，代入求解即可.【详解】解：∵sin()cos )4a παα+=+，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，∴8sin 29α=-， 故222tan 12sin cos 14sin 2tan 12sin cos 29ααααααα=⨯==-++；故选：D ．【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=相切，则实数=a （ ） A ．2或3- B ．2-或3 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：因为322y x x x =-++，当1x =时3y =，又2321y x x '=-+，所以1|2x y ='=，所以曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为()321y x -=-，即210x y -+=，又222:250C x y ax a +-+-=，即()22:5C x a y -+=，即圆心(),0C a ，半径r =因为直线l 与C 相切，所以圆心到直线的距离d ==2a =或3a =-；故选：A9．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．310【答案】D【分析】根据题意，设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，进而()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.【详解】设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.故选：D.10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x=,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x = 为偶函数， 所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）; ()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃. 故选：A【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当0x > 时， 当0x < 时两种情况，因为两边同时除以x ，要考虑其正负.11．已知曲线1C ：e x y =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．e 1-BC ．1D ．e 1+【答案】A【分析】根据题中条件，得到()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，推出()2e 201ln e x x m -<+-≤；证明ln 1x x ≤-，分离参数得2e2ex m x -≥-，构造函数求出2e2ex x --的最大值，即可得出结果.【详解】因为当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，所以有：()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，()2e 201ln e x x m -∴<+-≤，21ex m ∴>+，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=， 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 因此()()10g x g ≤=，即ln 1x x ≤-显然恒成立；因为21x m e->，所以()22ln 1x m x m -≤--，即()221ln x m x m +-≤-；为使()2e21ln e x x m -+-≤恒成立，只需2e2ex x m --≤恒成立；即2e2ex m x -≥-恒成立；令()e e x f x x -=-，则()e1e x f x -=-'，由0f x解得e x <；由()0f x '<解得e x >；所以()f x 在(),e -∞上单调递增；在()e,+∞上单调递减； 所以()()max e e 1f x f ==-；e 1m ∴≥-，因此m 的最小值为e 1-.故选：A12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】在ABC 中，由余弦定理，求得BC =得到BD =证得AB AD ⊥，进而证得AB ⊥平面PAB ，得到PA AD ⊥，证得PA ⊥平面ABC ，结合球的截面圆的性质，即可求得球O 的半径.【详解】如图所示，在ABC 中，因为2AB AC ==，23BAC π∠=， 可得222212cos 22222()232BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，又因为2BD DC =，所以433BD =， 由6ABC π∠=，2AB =，可得233AD =，可得22BD AB AD =+，所以AB AD ⊥， 又由AD PB ⊥，PB AB B ⋂=且,PB AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ， 又由PA ⊂平面PAB ，所以PA AD ⊥， 又由2PAB π∠=，即PA AB ⊥，且AB AD A ⋂=，可得PA ⊥平面ABC ，设ABC 外接圆的半径为r ，则24sin BDr A==，可得2r =，即12AO =， 设三棱锥-P ABC 的外接球的半径为R ，可得22222221111()2152PA R AO OO AO =+=+=+=，即5R =. 球O 的半径为5. 故选：D.【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.二、填空题13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】()3,0-，()3,0【分析】通过标准方程确定2a 和2b ，根据,,a b c 的关系，得到焦点(),0c ±． 【详解】由题意得：225a =，216b = 由222a b c =+得：25163c =-= ∴焦点坐标为()3,0±本题正确结果：()3,0-，()3,0【点睛】本题考查了椭圆标准方程的定义和简单几何性质，属于基础题． 14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．【答案】63【分析】本题首先可根据正三棱锥正视图绘出原图，然后通过原图得出正三棱锥的侧视图，即可求出结果.【详解】如图，根据正三棱锥正视图可绘出原图，正三棱锥高为22534-=，底面边长为6，结合原图易知，ABC 即正三棱锥的侧视图，BC 为底面三角形的高， 则侧视图的面积1334632S ， 故答案为：6315．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________. 【答案】116【分析】设直线AB 、CD 的方程联立抛物线，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，应用韦达定理求12x x +、12x x 、34x x +、34x x ，根据抛物线的定义易得12(2)(2)AF BF x x ⋅=++、34(2)(2)CF DF x x ⋅=++，进而求目标式的值. 【详解】由题设，直线AB 、CD 的斜率一定存在，设AB 为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立抛物线方程，可得2222(48)40k x k x k -++=且264(1)0k ∆=+>，∴21224(2)k x x k ++=，124x x =，而1||2AF x =+，2||2BF x =+，∴2121212216(1)(2)(2)2()4k AF BF x x x x x x k +⋅=++=+++=，由CD AB ⊥，设CD 为2xy k-=，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立抛物线，可得22(84)40x k x -++=，同理有23484x x k +=+，344x x =，∴216(1)CF DF k ⋅=+，综上，222111116(1)16(1)16k AF BF CF DF k k +=+=⋅⋅++. 故答案为：116. 【点睛】关键点点睛：设直线方程联立抛物线，结合韦达定理及抛物线的定义求AF BF ⋅、CF DF ⋅，进而求目标式的值.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________． 【答案】①②④．【分析】①利用函数()()f a f b =-⇔()f x 关于点(,0)2a b+对称.即可得出答案. ②利用函数()()f a x f x -=⇔()f x 关于2ax =轴对称，再结合①即可得出答案. ③利用函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，即可求出周期的取值范围，当T 取最小值时，实数解最多.求出其实数解即可判断.④利用函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点结合①可得出81033w <≤，再结合()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时3w ≤，即可得出ω的取值范围. 【详解】①因为73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且73212423πππ+=，所以203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.①正确. ②因为5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()f x 的对称轴为255162x ππ==, 125=3244TT ππππ-==⇒.②正确. ③在一个周期内()1f x =只有一个实数解，函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥.当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[)0,2π上实数解最多为53,,662πππ共3个.③错误 ④函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，213251325632632222T T w w ππππππ-≤⇒-≤⋅<⋅<，解得81033w <≤；又因为函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥，即2233w w ππ⇒≤≥， 所以8,33w ⎛⎤∈⎥⎝⎦.④正确 故填：①②④.【点睛】本题考查三角函数曲线.属于难题.熟练掌握三角函数曲线的性质是解本题的关键.三、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC 面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2． 【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABCSac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．18．体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1:3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[]0,60范围内，且规定分数在40分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的22⨯列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别 非城镇学生城镇学生合计 优良不优良 115合计200（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？ 附参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0k2.0722.7063.841【答案】（1）填表见解析，没有；（2）34．【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，由条件可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1:3，且样本容量为200， 所以非城镇学生人数为50，城镇学生人数为150， 故城镇学生优良人数为15011535-=，又因为优良学生的人数为()0.0050.021020050+⨯⨯=，所以非城镇优良学生共为503515-=，则非城镇不优良学生人数为501535-=，代入数据计算()222001511535350.889 2.7065015050150K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关； （2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为5012004p ==， 记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()13344E X =⨯=，故成绩为“优良”人数的期望值为34．【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.19．如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=，PAC △是边长为4的等边三角形，BC =P AC B --的大小为60，点M 为P A 的中点．（1）请你判断平面P AB 垂直于平面ABC 吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （2）求CM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）3913． 【分析】（1）平面PAB ⊥平面ABC ；分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，即60PDE ∠=，进而根据勾股定理得PE ED ⊥，根据AC ⊥平面PED 得AC PE ⊥，进而可得答案；（2）根据题意，以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABC 理由如下：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=，3BC = 所以DE AC ⊥，3DE因为PAC △是边长为4的等边三角形， 所以PD AC ⊥，23PD =于是，PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，则60PDE ∠=，在PDE △中，由余弦定理，得222cos603PE PD DE PD DE =+-⋅=， 所以222=PD PE ED +， 所以PE ED ⊥．因为ED AC ⊥，PD AC ⊥，ED PD D =， 所以AC ⊥平面PED ， 所以AC PE ⊥． 又ACED D =，所以PE ⊥平面ABC因为PE ⊂平面ABC ． 所以平面PAB ⊥平面ABC ．（2）以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,23,0)B ，(4,0,0)A ，3,0)E ，3,3)P ，33)2M 332CM →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,23,0CB →=，()3,3CP →=．设平面PBC 的一个法向量为()111,,n x y z →=， 则00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111230,2330x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取13x =，则()3,0,2n →=-．所以CM 与平面PBC 所成角的正弦值sin cos,CM nθ→→===【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面所成角的求解，考查空间想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力，是中档题.本题第一问在探究过程中，先假设平面PAB⊥平面ABC，再根据逻辑关系推理论证，关键在于分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，构造辅助线.20．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>F，上顶点为A，左顶点为B，且||||10FA FB⋅=+（1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C-，()4,0D，点P在椭圆上，直线PC，PD分别与椭圆交于另一点M，N，若CP CMλ=，DP DNμ=，求证：λμ+为定值.【答案】（1）221105x y+=；（2）证明见解析.【分析】（1）先表示出,FA FB，然后计算出FA FB⋅，结合离心率公式cea=和222a b c=+求解出22,a b的值，则椭圆方程可求；（2）设出,,P M N的坐标，通过将向量共线表示为坐标关系可得到,λμ的关系式①，再通过点差法分别求得,λμ满足的关系式②和关系式③，通过将关系式②和③作差可得,λμ的关系式④，再结合关系式①可证明λμ+为定值.【详解】解：()1设(),0F c.由题意得||FA a=，||FB a c=+，ca=，222a b c=+，()||||10FA FB a a c∴⋅=+=+解得210a=，25b=.∴椭圆的方程为221105x y+=.()2设()00,P x y，()11,M x y，()22,N x y.由CP CMλ=，DP DNμ=，得()()00114,4,x y x yλ+=+，()()00224,4,x y x yμ-=-，()010141,,x xy yλλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241,,x xy yμμμ⎧-=-⎨=⎩()1284x xλμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111,105,105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01,y y λ=得()()01012110x x x x λλλ-+=-， ()01512x x λλ∴+=-+.②同理，由220022222221,105,105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02,y y μ=得()()22002110x x x x μμμ-+=-()02512x x μμ∴+=+.③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-.④ 联立①④得263λμ+=， λμ∴+为定值263. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对于向量共线的坐标表示以及点差法求解参数与坐标之间的关系，每一步都是通过构建关于,λμ的方程，结合联立方程的思想完成证明. 21．已知函数()ln a xf x bx x=+在1x =处的切线方程为1y x =-. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x kx ≤在区间()0,∞+上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【答案】（1）()ln x f x x =；（2）1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，由题意得出()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()y f x =的解析式； （2）利用参变量法得出2ln xk x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln x g x x=，利用导数求得函数()y g x =在区间()0,∞+上的最大值，即可得出实数k 的取值范围； （3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，变形得出42ln 112x x e x≤⋅，利用放缩法得出()42ln 111112221n n n e n e n n ⎛⎫≤⋅<-≥ ⎪-⎝⎭，依次得到4ln 2111222e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，()4ln 111221n n n e n n ⎛⎫<-≥ ⎪-⎝⎭，利用不等式的可加性即可证得所证不等式成立. 【详解】（1）()ln a xf x bx x =+，该函数的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x b x -'=+， 由题意可知，点()()1,1f 在直线1y x =-上，()10f ∴=， 由题意得()()1011f b f a b ⎧==⎪⎨=+'=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()ln x f x x ∴=；（2）对任意的()0,x ∈+∞，由()f x kx ≤，得ln x kx x≥，即2ln xk x ≥，令()2ln xg x x =，其中0x >，则()max k g x ≥， ()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，可得x =所以，函数()y g x =在x ()max 12g x g e==. 12k e ∴≥，因此，实数k 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，则42ln 112x x e x≤⋅， 当2n ≥时，42ln 11111221n n e n e n n ⎛⎫<⋅=- ⎪-⎝⎭， 4ln 2111222e ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，4ln 11121n n e n n ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭， 上述不等式全部相加得444ln 2ln 3ln 11112322n n e n e⎛⎫+++<-<⎪⎝⎭. 因此，对任意的2n ≥，444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，将3πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到2ρ；将3πθ=代入圆的极坐标方程，得到1ρ，再由12ρρ=-PQ ，即可得出结果.【详解】（1）因为，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：()2211x y -+=；把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y -+=，化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程； （2）设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，因为直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=，将3πθ=代入()sin ρθθ=12ρ⎫=⎪⎪⎝⎭23ρ=； 将3πθ=代入2cos ρθ=得12cos13πρ==，所以122PQ ρρ=-=．【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型. 23．设()|1||3|f x x x =+--．（1）对一切x R ∈，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知0,0,()a b f x >>最大值为M ，(2)2a b M ab +=，且224128a b +≤，求证：216a b +=． 【答案】（1）(,4]-∞-；（2）证明见解析.【分析】（1）由零点分段法可得4,1()22,134,3x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，求得()f x 的最小值后，即可得实数m 的取值范围；第 21 页 共 21 页 （2）由题意转化条件得2(2)1a b ab+=，利用基本不等式可得216a b +≤、216a b +≥，即可得证. 【详解】（1）由题意4,1()1322,134,3x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≥⎩, 所以[]min ()4f x =-，所以，实数m 的取值范围是(,4]-∞-；（2）证明：由（1）知，4M =，由(2)2a b M ab +=得2(2)1a b ab+=，224128a b +≤，所以216a b +≤≤=，当且仅当2b a =，且224128a b +=，即4a =，8b =时，等号成立；2(2)42(2)242416a b a b a b a b ab b a ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4a b b a =，且2(2)1a b ab+=，即4a =，8b =时，等号成立； 综上所述，216a b +=．【点睛】本题考查了绝对值不等式恒成立问题的解决，考查了利用基本不等式证明不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.。

高三数学试题1(理科)一、选择题1、设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．82、若集合{|3},{|33}xM y y P x y x ====-，则M P I =（ ） A {|1}x x > B {|1}y y ≥ C {|0}y y > D {|0}x x ≥3、已知命题p ：若,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若a b >，则11a b <．给出下列四个命题：①p 且q ，②p 或q ，③p 的逆否命题，④ q ⌝，其中真命题的个数为（ ）()A 1()B 2 ()C 3 ()D 44．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）.5、已知集合A ＝{(x ，y)|32y x --=1，x ，y ∈R}，B={(x ，y)|y=ax+2，x ，y ∈R}，若A ⋂B ＝∅，则a 的值为（ ）A ．a ＝1或a ＝32B ．ａ＝１或a ＝12 C ．a ＝2或a ＝3 D ．以上都不对 6、若函数)(212)(为常数a k k x f xx⋅+-=在定义域上为奇函数，则的值为k （ ）A ． 1 B. 1- C. 1± D. 07、若函数()(2)()[1,1]()||,()f x f x f x x f x x y f x +=∈-==满足且时则函数的图象与 函数||log 3x y =的图像的交点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．多于4x y 0-2 2x y 0 -2 22 xy 0 -2 22 xy 0 -2 2 2A. B. C . D.8、已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（ ）A ．12()()f x f x >B ．12()()f x f x <C ．12()()f x f x = D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定二、填空题9、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1[()]2g g =__________．10．已知函数22(),1x f x x R x =∈+，则1()()f x f x += ；11、设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .12、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。

理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。

第4讲 基本不等式[学生用书P132]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0；(2)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D.因为x <0，所以－x >0， －x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立， 所以x ＋1x ≤－2.2．若x ≥2，则x ＋4x ＋2的最小值为________．解析：设x＋2＝t，则x＋4x＋2＝t＋4t－2.又由x≥2，得t≥4，而函数y＝t＋4t－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4时，t＋4t －2取得最小值4＋44－2＝3.答案：3[学生用书P133]利用基本不等式求最值(多维探究)角度一通过拼凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】(1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x＋（4－3x）22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．(2)因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2 （5－4x）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【答案】 (1)23 (2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223B ．23 C.33D.233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎨⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.【答案】 4当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．1．(2021·湖北八校第一次联考)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选B.方法一：由题意x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝1＋y x ＋9x y ＋9≥1＋2y x ×9xy＋9＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，y x ＝9x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B.方法二：由1x ＋9y ＝1得9x ＋y －xy ＝0，即(x －1)(y －9)＝9，可知x ＞1，y ＞9，所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞9，1x ＋9y＝1，x －1＝y －9＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B. 2．(2021·贵阳市四校联考)已知a ＋b ＝2，且a ＞－1，b ＞0，则1a ＋1＋1b的最小值为( )A.23 B ．1 C.43D.32解析：选C.由a ＋b ＝2，得a ＋1＋b ＝3.因为a ＞－1，所以a ＋1＞0，所以1a ＋1＋1b ＝13(a ＋1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋b a ＋1＋a ＋1b ≥13·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2ba ＋1·a ＋1b ＝43，当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝12，b ＝32时等号成立，所以1a ＋1＋1b 的最小值为43，故选C.3．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y＋3y x 的最小值为( )A.53 B ．103 C.32 D ．3解析：选 D.由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4x x ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品() A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号，故选B.【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2021·安徽安庆大观模拟)如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的()A ．最小长度为8B ．最小长度为4 2C ．最大长度为8D ．最大长度为4 2解析：选B.设BC ＝a ，a ＞0，CD ＝b ，b ＞0，则ab ＝4，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为2a ＋b ＝2a ＋4a ≥22a ·4a ＝42，当且仅当2a ＝4a ，即a ＝2时取等号，此时长度取得最小值4 2.故选B.基本不等式的综合应用(多维探究) 角度一 与其他知识的交汇问题(2021·吉林通钢一中等三校第五次联考)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A.76 B ．712C.712＋33D.76＋33【解析】 因为CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4， 所以CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，因为P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线， 所以x 3＋y4＝1(x ＞0，y ＞0)，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33， 当且仅当x 3y ＝y 4x 时等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C. 【答案】 C角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y 的最小值为4.故选C.2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1) ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.答案：923．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞[学生用书P135]核心素养系列12 逻辑推理——利用基本不等式连续放缩求最值已知a >b >0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.【答案】 4设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab )＋1（a 2－ab ）＋1ab＋ab ≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号)．【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d 的最小值是( )A ．10B ．9C ．42D.3 3解析：选B.因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．又因为c ＋d ＝1，c >0，d >0，所以1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d ≥5＋24d c ·c d ＝9，当且仅当a ＝b ＝12，且c ＝23，d ＝13时取等号，即1abc ＋1d 的最小值为9，故选B.[学生用书P393(单独成册)][A 级 基础练]1．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1.2．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.方法一：由于a ＋b ＝ab ≤（a ＋b ）24，因此a ＋b ≥4或a ＋b ≤0(舍去)，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法二：由题意，得1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法三：由题意知a ＝b b －1(b >1)，所以a ＋b ＝b b －1＋b ＝2＋b －1＋1b －1≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B ．43 C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0， 由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2. 5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.6．(2021·四省八校第二次质量检测)已知a ＝(1，x )，b ＝(y ，1)，x ＞0，y ＞0.若a ∥b ，则xyx ＋y的最大值为( ) A.12 B ．1 C. 2D ．2解析：选 A.方法一：a ∥b ⇒xy ＝1，所以y ＝1x ，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ＝1x ＋1x≤12x ×1x ＝12(当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.方法二：a ∥b ⇒xy ＝1，又x ＞0，y ＞0，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ≤12xy＝12(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.7．(2020·高考天津卷)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．解析：依题意得12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ＝1，a ＋b 2＝8a ＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝4时取等号．因此，12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案：48．(2020·高考江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__________．解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1得x 2＝15y 2－y 25，则x 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5x 2＋y 2）＋4y 222＝254·(x 2＋y 2)2，则x 2＋y 2≥45，当且仅当5x 2＋y 2 ＝4y 2＝2，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.答案：459．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12(x ＝72舍去)时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52， 故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）取最大值，为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[B 级 综合练]11．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立， 所以m ≤12，所以m 的最大值为12. 12．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C．7 D．9解析：选C.因为x>0，y>0.且1x＋1＋1y＝12，所以x＋1＋y＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＋1y(x＋1＋y)＝2(1＋1＋yx＋1＋x＋1y)≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2yx＋1·x＋1y＝8，当且仅当yx＋1＝x＋1y，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.13．若a＋b≠0，则a2＋b2＋1（a＋b）2的最小值为________．解析：a2＋b2＋1（a＋b）2≥（a＋b）22＋1（a＋b）2≥212＝2，当且仅当a＝b＝2－34时，a2＋b2＋1（a＋b）2取得最小值 2.答案： 214．某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－2m＋1(m≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2021年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元．[C 级 提升练]15．已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a ＋b 的最小值为( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2解析：选C.由已知得，a >0，b >0，tan α＝a ，tan β＝b2，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，所以a ＝2·b 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝4b 4－b 2，所以1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b 4≥21b ·3b4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时，取等号．故1a ＋b 的最小值为 3.16．(2021·江西吉安期末)已知函数f (x )＝sin 2xsin x ＋2，则f (x ) 的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，则sin 2x ＝(t －2)2，则g (t )＝（t －2）2t ＝t ＋4t －4(1≤t ≤3)，由“对勾函数”的性质可得g (t )在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g (1)＝1，g (3)＝13，所以g (t )max ＝g (1)＝1.即f (x )的最大值为1.答案：1。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

陕西省宝鸡市2024届高三上学期高考数学（理）检测卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一．考生作答时，将所写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．1．若集合中只有一个元素，则实数（ ）{}2210A x R ax x =∈-+=a =A ．1B ．0C ．2D ．0或12．已知复数，为z 的共轭复数，则在复平面表示的点在（ ）z =z ||z z -A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．展开式中的第四项为（ ）622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．240D ．3160x3160x-240-4．函数的部分图像大致为（ ）23cos ()1x x e xf x e =-A ．B ．C ．D ．5．已知直线和圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则“”是“y x m =+224x y +=m =”的（ ）AOB △A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．在空间中，下列说法正确的是（）A ．若的两边分别与的两边平行，则AOB ∠111AO B ∠111AO B AOB∠=∠B ．若二面角的两个半平面，分别垂直于二面角的两个半平面，l αβ--αβ111l αβ--1α，则这两个二面角互补1βC ．若直线平面，直线，则l ⊥αa l ⊥//a αD ．到四面体的四个顶点A ，B ，C ，D 距离均相等的平面有且仅有7个ABCD 7．已知，则（ ）4sin 2sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．34-3445-458．三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，P ABC -PA ⊥ABC ABC △3AB =2PA =则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．8π16π323π12π9．千年宝地，一马当先．2023年10月15日7时30分，吉利银河．2023宝鸡马拉松赛在宝鸡市行政中心广场鸣枪开跑，比赛吸引了全国各地职业选手及路跑爱好者共2万人的热情参与．为确保活动顺利举行，组委会自起点开始大约每隔5公里设置一个饮水站（志愿者为选手递送饮料或饮用水，为选手提供能量补给），两个饮水站中间设置一个用水站（志愿者为选手递送湿毛巾等，协助医务工作者），共15个饮用水服务点，分别由含甲、乙在内的15支志愿者服务队负责，则甲队和乙队服务类型不同且服务点不相邻的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．215257153510．过抛物线的焦点F 作倾斜角为的直线与抛物线交于A ，B 两点，其22(0)y px p =>60︒中点A 在第一象限，则（ ）||||FA FB =A ．3B C ．2D ．411．已知函数满足：，且()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()2f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则的值可能是（ ）()6f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ωA ．17B ．21C ．25D ．2912．设，是椭圆与双曲线的1F 2F 22122:1(0)x y C a b a b +=>>22222:1x y C m n-=0m >0n >公共焦点，P 为它们的一个交点，，分别为，的离心率，若，则1e 2e 1C 2C 1223F PF π∠=的取值范围为（ ）12112e e ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．(0,2))((2,)+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．命题“任意，”为假命题，则实数a 的取值范围是__________．(1,3)x ∈4a x x≥+14．设x ，y 满足约束条件，则的最小值为__________．20220220x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩3z x y =-15．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，且ABC △2a =2cos 22b c Ac +=，则__________．2AD DB =AD BC ⋅= 16．已知函数，若且，则的最大值为2ln ,0()21,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩12x x ≠()()12f x f x =12x x-__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间，，……统计）[20,30)[30,40)[60,70)（1）根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有的把握认为99%使用“扫地机器人”与年龄有关？是否使用扫地机器人年龄是否[20,40)[40,70)（2）若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在的人中随机抽取3人做深度采访，[30,50)求这3人中年蛉在人数X 的分布列与数学期望．[30,40)附：．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0500.0100.0010k 3.8416.63510.82818．（本小题满分12分）已知四棱锥中，，，，，M 为P ABCD -PA PD =//AD BC 90ABC ∠=︒PC BC ⊥的中点．PD （1）求证：平面；//CM PAB （2）若，，求二面角的余弦值．2PA AD ==3PC ==M AC D --19．（本小题满分12分）已知数列，若，且．{}n a 11a =121n n a a +=+（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；{}1n a +{}n a （2）若，且数列的前项和为，不等式对任意的正()12n n nn a b +=21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭nS (1)3log 4a an S ->整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴上运动，且P 满足xOy ||AB =．OB =+（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设点M ，N 在曲线C 上，O 为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且OM ON 1k 2k ，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请1213k k =-MON △说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln(1)()1x m f x x m R x +=+-∈+（1）当时，求的单调区间；1m =-()f x （2）已知，求证：当时，恒成立；0x >1m ≥()0f x <（3）设，求证：当函数恰有一个零点时，该零点一定不是函数的极0m >()f x 21x my x +=+值点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请先涂题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数），直线l 的xOy 1cos sin ,cos sin x y θθθθ=++⎧⎨=-⎩θ参数方程为（其中t 为参数，），且直线l 和曲线C 交于M ，Ncos ,sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩0απ≤<两点．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 经过的定点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，若，求直线l 的普通方程．112||||PM PN +=23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知，若的解集为．()|31|||f x x x m =-+-()5f x ≤[],2n （1）求实数m ，n 的值；（2）已知a ，b ，c 均为正数，且满足，求的最小值．()8a b c n +=-221a b c a b c+++++数学（理科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分．满分60分．123456789101112DDBCBDCBBABA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．14．15．16．(,5)-∞2-83-32三、解答题：共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【详解】（1）根据所给的数据，完成列联表如下：是否使用扫地机器人年龄是否[20,40)440110[40,70)270180221000(440180110270)48.1 6.635550450710290K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故而有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关．99%（2）由条件可知：X 的所有取值有0，1，2，3，，33,5X B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，328(0)5125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭2133236(1)55125P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，，2232354(2)55125P X C ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭3327(3)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭分布列为X 0123P8125361255412527125．39()355E X =⨯=18．【详解】（1）证明：设H 为的中点，连接，，AD PH CH ，，PA PD = PH AD ∴⊥又，，，//AD BC PC BC ⊥PC AD ∴⊥又，平面，，PC PH P = AD ∴⊥PHC AD CH ∴⊥又，，四边形为矩形，90ABC ∠=︒ //AD BC ∴ABCH 且．//AD BC ∴12BC AD =设N 为的中点，连接，，则，且，PA BN MN //MN BC MN BC =四边形为平行四边形，，∴BCMN //CM BN ∴又平面，平面．BN ⊂PAB //CM ∴PAB （2）由，，2PA AD ==PH CH ==120PHC ∠=︒如图建系，则，，，，32P⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭13,24M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(0,1,0)A-)C ，，)AC ∴=33,24AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面的法向量，MAC 1(,,)n a b c =由得：1100AC n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩033024b b c +=⎨++=⎪⎩得一个法向量为，平面的一个法向量为，)13,7n =- ACD 2(0,0,1)n =．121212cos ,n n n n n n ⋅==M AC D --19．【详解】（1），，121n n a a +=+ ()1121121n n n a a a +∴+=++=+又，是首项为2，公比为2的等比数列．112a += {}1n a ∴+，．11222n n n a -∴+=⋅=21n n a =-（2），且结合（1）得，()12n n nn a b +=n b n =，211111(2)22n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭11111111111232435112n S n n n n ⎛⎫∴=-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭，1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭要使不等式对任意正整数n 恒成立，只要，即．(1)3log 4a a n S ->(1)33log 44a a-≥(1)log 1a a -≥由题意可得，解得，只需，解得，110a a a >⎧⎪≠⎨⎪->⎩01a <<1a a -≤12a ≥综上所述，实数a 的取值范围是．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．【详解】（1）设，，，，，(,)P x y ()0,0A x ()00,By ||AB = 22008x y ∴+=，，OB =+0=0y =动点P 的轨迹C 的方程．∴221124x y +=（2）依题的斜率不为0，所以设，，，MN :MN x my t =+()11,M x y ()22,N x y联立得，，221124x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22232120m y mty t +++-=0∆>得，，．224120m t -+>12223mt y y m -+=+2122123t y y m -⋅=+又因为O 到的距离，MN d =，2||MN y =-=11|||22MONS MN d t ==△又因为，，1213k k ⋅=-()()12123y y my t my t ∴=-++代入韦达定理得，化简得，()2223t m =+MON S =△综上，的面积是定值，且该定值为MON △21．【详解】（1）时，1m =-，．()ln(1)1f x x x =+-+1()1(1)11xf x x x x '=-=->-++所以，当时，，单调递增；10x -<<()0f x '>()f x 当时，，单调递减．0x >()0f x '<()f x 即的递增区间为，递减区间为．()f x (1,0)-(0,)+∞（2）因为，，0x >2()0(1)ln(1)f x x x x m <⇔++<+令，则，2()(1)ln(1)(0)g x x x x m x =++-->()ln(1)12g x x x '=++-令，则，()()h x g x ='1()201h x x '=-<+即在上单调递减，且，，()g x '(0,)+∞13ln 022g ⎛⎫'=>⎪⎝⎭(1)ln 210g '=-<即存在唯一，使，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()000ln 1120g x x x '=++-=且()()()()()222max 000000000()1ln 11211g x g x x x x m x x x m x x m==++--=+---=+--，又因为，则，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2011110g x m m <+--=-≤所以时，恒成立．即．1m ≥()0g x <()0f x <（3）由（2）知函数的零点就是函数的零点，()f x ()g x 当有唯一零点时，设为，则，()f x 0x 20010(*)x x m +--=又，即该函数的极值点为，211211x m m y x x x ++==++-++1x =代入得，此方程无解，所以原命(*))2120m +--=0=题成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号．22．【详解】（1）由，将两个方程左右两边平方后相加，1cos sin cos sin x y θθθθ-=+⎧⎨=-⎩可得曲线C 的直角坐标方程为．22(1)2x y -+=由得直线l 经过的定点P 的坐标为．cos sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(0,（2）将，代入，得cos x t α=sin y t α=+22(1)2xy -+=，(22(cos 1)sin 2t t αα-+=即，设其两根为，，()22cos 20t t αα-+=1t 2t 则，121212*********||||t t t t PM PN t t t t t t +++=+====得，即，得，经检验，cos 2αα=sin 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3πα=0∆>故直线l 的普通方程为：y =-23．【详解】（1）因为的解集为，所以，得，()5f x ≤[],2n (2)5f ≤2m =当时，，得，123x ≤≤3125x x -+-≤123x ≤≤当时，得，13x ≤13x 25x -+-≤1123x -≤≤综上解得，，，．122x -≤≤12n ∴=-2m ∴=12n =-（2）由（1）得，，12n =-()4a b c ∴+=，2212()11()2a b c a b ca b c a b c a b c a b c a b c ++++++=+=+++++++++又a ，b ，c 均为正数，，()4a b c +=所以得，2()2a b c a b c ++⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭4a b c ++≥所以，2211924a b c a b c a b c a b c ++++=+≥+++++当且时，即，取得最小值．4a b c ++=()4a b c +=2a =2b c +=94。

汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）本试卷共23小题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,0,1,2,023A B x x =-=<-<，则A B = （）A.{0,1}B.{1,0}- C.{1,0,1}- D.{0,1,2}【答案】A 【解析】【分析】将集合B 化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.【详解】将集合B 化简可得{}12B x x =-<<，则{}0,1A B = 故选:A2.已知()2i 1z +=，则复数z 的虚部为（）A.15-B.15 C.1i5- D.1i 5【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.【详解】由()2i 1z +=可得12i 21i 2i 555z -===-+，即虚部为15-.故选：A3.已知向量(2,)m λ= ，(2,4)n λ=-- ，若m与n共线且同向，则实数λ的值为（）A.2B.4C.2- D.2-或4【答案】C 【解析】【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(2,)m λ= ，(2,4)n λ=--，∵m 与n共线且同向∴(2)80λλ-+=，解得2λ=-或4λ=，当4λ=时，m与n共线且反向，舍去，故选：C ．4.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（）A.67.5πB.πC.πD.【答案】A 【解析】【分析】将两个几何体合并成一个完整的圆柱，再计算体积即可.【详解】将两个几何体可以合并成一个完整的圆柱，则体积为()21π310567.5π2V =⨯⨯⨯+=.故选：A 5.已知2tan 3α=，则sin 2cos(2)απα--=（）A.713B.1113C.73D.1713【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合二倍角公式与同角的三角函数关系，构造齐次式即可求解.【详解】2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 17sin 2cos(2)sin cos tan 113αααααααπαααα+-+---==++．故选：D.6.将数据1,3,5,7,9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A.15B.310C.25D.12【答案】C 【解析】【分析】计算出所有的随机删去两个数的方法，再求出剩下数据的平均数大于5的删去方法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】从5个数中随机删去两个数有(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9)共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1,3),(1,5),(1,7),(3,5)共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为42105P ==，故选：C7.下列说法正确的是（）A.“a b ≥”是“22am bm ≥”的充要条件B.“,4k x k π=∈Z ”是“tan 1x =”的必要不充分条件C.命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”D.“1xy=”是“lg lg 0x y +=”的充分不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A 的正误，利用正切函数的性质判断B 的正误，利用命题的否定形式判断C 的正误，利用对数的定义判断D 的正误.【详解】对A ，若22am bm ≥中，0m =时a b <也成立，故A 错；对B ，当34x π=时，tan 1x =-，故tan 1x ≠，若tan 1x =，则(41)4k x π+=，故B 对；对C ，存在量词命题的否定是1,2x x x∀∈+<R ，故C 错；对D ，若1,,xy x y =均为负数，则lg ,lg x y 无意义，故D 错.8.已知双曲线221mx y +=的一条渐近线的斜率为2，则m =（）A .－4B.4C.14-D.14【答案】A 【解析】【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出m 的值.【详解】根据221mx y +=,得到2211x y m-=-,则焦点在y轴，故渐近线为y =，2=，故4m =-.故选：A9.下列函数中，既是偶函数，又在(),0∞-上是增函数的是（）A.()22x x f x -=- B.()23f x x =- C.()2ln =-f x xD.()cos3=f x x x【答案】C 【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD 错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B 错误，C 正确即可.【详解】选项A 中，()22xxf x -=-，定义域R ，()()()2222xx x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项D 中，()cos3=f x x x ，定义域R ，()()()cos 3cos3f x x x x x f x -=--=-=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项B 中，()23f x x =-，定义域R ，()()()2233f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数，但二次函数()23f x x =-在(),0∞-上是减函数，在()0,∞+上是增函数，故不符合题意；选项C 中，()2ln =-f x x ，定义域为(),0∞-()0,+∞ ，()()2ln 2ln f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数.当()0,x ∈+∞时，()2ln f x x =-是减函数，所以由偶函数图象关于y 轴对称可知，()f x 在(),0∞-上是增函数，故符合题意.故选：C.【点睛】方法点睛：定义法判断函数()f x 奇偶性的方法：（1）确定定义域关于原点对称；（2）计算()f x -；（3）判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；若两者均不成立，则()f x 是非奇非偶函数.10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4sin()y x ωϕ=+π0,||2ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上，且图象过点π,224⎛⎫ ⎪⎝⎭，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则使得函数单调递增的区间的是（）A.ππ,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.π5π,824⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5π3π,248⎡⎤⎢⎣⎦ D.5π3π,84⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据已知得出函数的周期，求出ω，根据点的坐标，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值.然后得出函数的单调区间，即可得出答案.【详解】由已知可得，π22T =，所以πT =，2π2Tω==，()4sin 2y x ϕ=+.又图象过点π,224⎛⎫⎪⎝⎭，所以有π4sin 212ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，π1sin 122ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π2ϕ<，所以5ππ7π121212ϕ-<+<，所以ππ126ϕ+=，所以π12ϕ=，π4sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,2122k x k k -+≤+≤+∈Z 可得，7π5πππ,2424k x k k -+≤≤+∈Z ，所以，函数的单调递增区间为7π5ππ,π,2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .当1k =-时，单调递增区间为31π19π,2424⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，单调递增区间为7π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当1k =时，单调递增区间为17π29π,2424⎡⎤⎢⎣⎦；对于A 项，19ππ7π24324-<-<-，故A 项错误；对于B 项，因为7ππ5π24824-<<，故B 项正确；对于C 项，因为5π3π17π24824<<，故C 项错误；对于D 项，因为5π5π17π24824<<，故D 项错误.故选：B.11.如图，已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N .若四边形OCMN 的面积等于8，则E 的方程为（）A.22y x =B.24y x =C.23y =D.28y x=【答案】B 【解析】【分析】根据1AB k =求出M 的坐标，然后得MC 的方程，令0y =，得C 的坐标，利用直角梯形的面积求出p ，可得抛物线方程.【详解】易知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-，四边形OCMN 为直角梯形，且//FC NM .设()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)M x y ，则1212221212122122AB y y y y pk y y x x y y p p--====-+-，所以122y y p +=，所以0y p =，00322p p x y =+=，∴3,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭.所以MC 直线方程为32p y p x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭，∴令0y =，∴52p x =，∴5,02p C ⎛⎫⎪⎝⎭.所以四边形OCMN 的面积为1538222p p p ⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭，∴2p =.故抛物线E 的方程为24y x =.故选：B.12.已知函数2e ()2x k f x x kx x =+-，若1x =是()f x 在区间(0,)+∞上的唯一的极值点，则实数k 的取值范围是（）A.2e ,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.3e ,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.3e ,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】求出函数导数221()(e )x x f x kx x-'=+⨯，由题可知需使得()2e x h x kx =+在(0,)+∞上没有变号零点，因此分离参数2e x k x -=，令2e ()(0)x g x x x =>，利用导数求得其最小值，则可得2e 4k -≤，即可求得答案.【详解】由题意得2222e e e 1()()(1)(e )x x x x x xf x kx k k x kx x x x--'=+-=+-=+⨯，由题意可得1x =是函数()f x '在区间(0,)+∞上唯一变号的零点，令()2e xh x kx =+，则需满足()h x 在(0,)+∞上没有变号零点；令()2e 0xh x kx =+=，得2e x k x -=，令2e ()(0)x g x x x =>，则3(2)()e xx g x x'-=，当2x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当02x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故当2x =时()g x 取得最小值2e(2)4g =，其大致图象如图：要使()h x 没有变号零点，则需2e 4k -≤，即2e4k ≥-，即实数k 的取值范围是2e ,)4[-+∞.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间(0,)+∞上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数221()(e )xx f x kx x-'=+⨯后，需使得()2e x h x kx =+在(0,)+∞上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.【答案】4【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1rn =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则2(3)(log 3)f f -+=__________.【答案】11【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】依题意2(3)(log 3)f f -+=()2222log 32log 3log 32222log 134log 22222311++=+=+=+=.故答案为：11【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.15.已知ABC 中，=3AB ，=2AC ，60A ∠=︒，则ABC 的外接圆面积为___________.【答案】7π3【解析】【分析】利用余弦定理求解边长BC ，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】解：根据题意，由余弦定理可得2222cos 7BC AB AC AB AC A BC =+-⨯⨯=⇒=，该ABC 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理得：2221217π2πsin 333BCr r S r A===⇒=⇒==.故答案为：7π3.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】163##153【解析】【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为2464V R ππ==球，所以正三棱锥外接球半径4R =，如图所示，设外接球圆心为O ，过PO 向底面作垂线垂足为D ，(04)OD a a =≤<，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC 与P 在圆心的异侧，因为-P ABC 是正三棱锥，所以D 是ABC 的中心，所以4,OP OA AD ====，又因为23ADB π∠=，所以AB BC AC ===⨯，()2133sin 16234ABC S AB AC a π=⨯⨯⨯=-△，所以()()232116(4)41664344P ABC ABC V S PD a a a a a -=⨯⨯=⨯-⨯+=--++△，令32()41664,(04)f a a a a a =--++≤<，2()3816(34)(4)0f a a a a a =--+=--+='解得4a =-或43，当40,3a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f a '>；当4,43a ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，()0f a '<，所以()f a 在40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭递增，在4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故当43a =时，正三棱锥的体积P ABC V -最大，此时正三棱锥的高为416433a OP +=+=，故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为163.故答案为：163三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足38a =，572S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()112nn n n b a +=-+，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）31n a n =-（2）1344n n ++-【解析】【分析】（1）由等差数列前n 项和以及通项公式结合已知联立方程组，求出基本量1,a d 即可.（2）由分组求和法以及等比数列公式法即可求解.【小问1详解】设{}n a 公差为d ，依题意得()11154526228a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=⎩,解得123a d =⎧⎨=⎩,所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-，()*Nn ∈．【小问2详解】因为()112n n n n b a +=-+，()*N n ∈，所以()()()()232122143221222n n n n T a a a a a a +-=-+-+⋯+-+++⋯+()22221212332434412n n n n n n ++-=⨯+=+⨯-=+--．18.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x1234不戴头盔人数y 125010501000900（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y 与年度序号x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；（2）交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,n n i i i i i i n n i i i i x y nxyx x y y b ay bx xnx xx ====---===---∑∑∑∑()2P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k2.7063.841 5.024 6.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++【答案】（1）ˆ1101325yx =-+，775（2）能有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）先求出x 与y ，代入公式后求出ˆb ，ˆa ，得到回归直线方程；（2）代入公式求出2 4.6875K =，与3.841比较，显然有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.【小问1详解】1234542x +++==，12501050100090010504y +++==，1222151250210030003600410502ˆ11051491642n i i i n i i x y nxy b xnx ==-+++-⨯⨯===-⎛⎫-+++-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，5ˆˆ105011013252a y bx =-=+⨯=，回归直线方程为ˆ1101325yx =-+5x =时，ˆ5501325775=-+=y【小问2详解】2250(727313)10402030 4.6875 3.841K ⨯⨯-⨯=>⨯⨯=⨯，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，19.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为4的正三角形，侧棱1AA =1A 在平面ABC 上的射影为BC 边的中点O.（1）求证：平面1AOA ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角11C A B O --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】【分析】（1）先证明出BC ⊥面1AOA ，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以O 为原点，1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【小问1详解】因为ABC 是边长为4的正三角形，BC 边的中点O ，所以BC OA ⊥.因为顶点1A 在平面ABC 上的射影为O ，所以1OA ⊥平面ABC ,1OA BC ⊥.因为1OA Ì面1AOA ，OA ⊂面1AOA ，1OA OA O = ,所以BC ⊥面1AOA .所以BC ⊂面11BCC B ，所以平面1AOA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】以O 为原点，1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.因为ABC 是边长为4的正三角形，O 为BC 边的中点，所以3sin 6042OA AB =︒=⨯=.在直角三角形1OAA中，16OA ==.所以()0,0,0O ，()A ，()0,2,0B ，()0,2,0C-，()10,0,6A .所以()AB =- ,()2,0AC =-- .在三棱柱111ABC A B C -中，由11AB A B =，()10,0,6A 可求得：()12,6B -.同理求得：()12,6C --.所以()11A B =- ，()10,2,6CA = ,()10,0,6OA = .设(),,m x y z = 为平面11OA B 的一个法向量，n 为平面11CA B 的一个法向量.因为11100A B m OA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2000060y z ⎧-++=⎪⎨++=⎪⎩，不妨设1x =，则()m = .同理可求：33n ⎛=- ⎝⎭ .设θ为二面角11C A B O --的平面角，由图可知：θ为锐角，所以,239cos cos ,13m n m n m n θ===⨯ .即二面角11C A B O --.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2A ⎛ ⎪⎝⎭，点()1,0F 为椭圆C 的右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0F 作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与椭圆相交1A 、1B ，直线2l 与椭圆相交2A 、2B 两点，求四边形1212A A B B 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）169【解析】【分析】（1）根据已知条件列式求出,a b 可得椭圆C 的方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出11||A B 和22||A B ，求出S 后，根据基本不等式求出最值可得解.【小问1详解】由题意可得2222212141a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=.【小问2详解】设直线1l 的方程为()10x ty t =+≠，联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222210t y ty ++-=，22244(2)8(1)0t t t ∆=++=+>,设()111,A x y ，()122,B x y ，则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，所以11A B =====)2212tt+=+，同理可得)2222221111212t tA Btt⎫⎛⎫-+⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫-+⎪⎝⎭，则()()()()22221122222224141116||||292212212t tS A B A Bt t t t++=⋅=≥=++⎛⎫+++⎪⎝⎭，当且仅当22212t t+=+，即1t=±时取等号.所以四边形1212A AB B的面积S的最小值为169.21.已知函数()lnf x x x=，()()21f xg x xx x=-+．（1）求函数()g x的单调区间；（2）若方程()f x m=的根为1x、2x，且21x x>，求证：211ex x m->+．【答案】（1）单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间；（2）求导分析()f x的单调性，()1lnf x x'=+，推出()f x x<-，设直线y x=-与y m=的交点的横坐标为3x，则13x x m<=-，证明当1,1ex⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e1f x x<--，即可得证．【小问1详解】解：因为()lnf x x x=，()()21f xg x xx x=-+，所以()l1n2xg x xx=-+定义域为()0,∞+，()()222221212110xx xg x xx x x---+-'=--==≤，所以()g x在()0,∞+上单调递减，即()g x的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；【小问2详解】证明：()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10e x <<时()0f x '<，当1ex >时()0f x ¢>所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()min 11e e f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0f x x x =<，所以12101x x e <<<<，且10em -<<，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()f x x <-，设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则1311ln x x m x x <=-=-，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设l e 111()ln (1)(n )11e ()e 1h x x x x x x x =--=-+---，11()ln 1e (1e )m x x x=-+--，则22e 11(1)1(e )(1))e (1x m x x x x --'=-=--，当11e e 1x <<-时，()0m x '<，当11e 1x <<-时，()0m x '>，所以()m x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上增函数，又因为10e m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10m =，所以当11ex <<时，()0m x <，()0h x <，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设直线1(1)1y x e =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则241(e 1)x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系：xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足3OP OM = ，P 点的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ）求2C 的参数方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线3y x =与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，将曲线1C 、2C 的方程转化为极坐标方程后，求AB ．【答案】（Ⅰ）3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程和直角坐标方程进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：（Ⅰ）设(),P x y 由于P 点满足3OP OM = ，所以,33x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于点M 在1C 上，所以cos 31sin 3x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2C 的参数方程3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）曲线1C 的参数方程转换为极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程转换为极坐标方程为6sin ρθ=，直线3y x =转换为极坐标方程为π6θ=．所以2sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1A ρ=，同理6sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3B ρ=，故312A B AB ρρ=-=-=．【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用，其中涉及到轨迹方程的求解、极坐标中两点间的距离求解，难度一般.极坐标系中，极角相同的两点间的距离等于极径差的绝对值.[选修4－5：不等式选讲]23.设函数()|21|||,f x x x a a R=-++∈（1）当1a =时，解不等式()3f x ≥；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1x ≥或1x ≤-；（2）14a .【解析】【分析】（1）当1a =时，利用零点法进行分类，求出不等式()3f x ≥的解集；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，即min |1|()a f x - ，根据1,2a -之间的大小关系，进行分类，最后求出a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，1()211322113x f x x x x x ⎧⎪=-++⇔⎨⎪-++⎩ ，或1121123x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-⎩ 或11213x x x -⎧⎨---⎩ ，即121x x ⎧⎪⎨⎪⎩ ，或1121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩ ，或11x x -⎧⎨-⎩ ，即1x ≥或1x ≤-.（2）即min |1|()a f x - ，当12a =-时，min 1(),()|1|2f x f f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 恒成立；当12a >-时，31,1()1,2131,2x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪-+--⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-⎪⎩，可知min 11()22f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得1142a >- ；当12a <-时，131,21()1,231,x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-⎪⎪⎪=--<<-⎨⎪+--⎪⎪⎩，同理min 11()22f x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，得12a <-.综上，a 的取值范围为14a .【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了不等式存在性问题，正确的分类是解题的关键.21。