3.3模拟方法--概率的应用 学案2 高中数学必修三北师大版

【北师大版】高中数学必修三模拟方法-概率的应用教学设计一、教学目标1．了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；2．使学生能够运用模拟方法估计概率．二、设计思路与教学建议1．教科书首先回顾：可以通过大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现．由此说明用模拟方法来估计某些随机事件发生的概率的必要性．教师可让学生回忆在第一节中所用的一些模拟方法．2．教科书通过举例说明了模拟方法估计概率在实际中的一个应用：可以求出某些不规则图形的近似面积．图1求图1中区域A的近似面积通常有两种方法．一种方法是几何的方法，比如可以通过几何作图将图中的正方形分成10×10个全等的小正方形，数出区域A中的小正方形的个数（边界处的小正方形如果有不少于一半的部分在区域A中，则认为这个小正方形在区域A中，否则不在区域A中），得出区域A的面积与正方形的面积之比，进而求出区域A的近似面积．要得到更好的估计值，可以把正方形分得更小，比如可以把正方形分成100×100个全等的小正方形，1 000×1 000个全等的小正方形等等．这种方法比较粗略，并且操作起来很麻烦.另一种方法就是概率的方法，向图1的正方形中随机地撒一粒芝麻，这个试验具有以下特点：（1）正方形有有限的度量即面积，一次试验是向正方形内随机投一点，试验的所有可能结果就是正方形内的所有点，因此有无限个．（2）正方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所投的点落在正方形中某个区域A 内的可能性与A的面积成正比，而与A在正方形中的位置、形状无关．这类随机试验的数学模型我们称为几何概型(几何概型的相关内容见备用课程资源)．在上述几何概型中，P(芝麻落在A内)=区域A的面积/正方形的面积.我们可以大量重复进行向正方形中随机撒一粒芝麻的试验，撒一把芝麻，数出落在A内的芝麻数和落在正方形内的芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)，从而求出区域A的面积的近似值．教科书中没有介绍几何概型，而是通过向图2的正方形和图3的长方形中随机地撒芝麻的试验，说明近似地有落在区域A内的芝麻数落在正方形内的芝麻数＝区域A的面积正方形的面积,再由这个式子就可求得区域A的近似面积．图2 图3 教科书在讲解时分3步进行，以帮助学生理解．第一步是向图2的正方形中撒芝麻，区域A是一个面积为大正方形的14的小正方形，由于每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的，学生容易得出大约有14的芝麻落在区域A中，因此近似的有落在区域A内的芝麻数/落在正方形内的芝麻数＝区域A的面积/正方形的面积.第二步是反过来，向图3的长方形中随机地撒芝麻，利用落在区域B中的芝麻数占整个长方形中的芝麻数的20%，得出区域B的面积近似地是整个长方形的面积的20%，这里区域域B是学生熟悉的长方形．第三步就是利用第二步的思想，来求不规则图形的近似面积?闭庋?设计易于学生接受，教师在讲课时也可按这三步进行．教学中可以根据学生的情况简单介绍一下几何概型．本章的章头图中的“投针问题”就是一个非常有名的几何概型，它是由法国数学家蒲丰提出的．在平面上画有一些平行直线,每两条相邻的平行直线之间的距离都为a,向此平面上任投一长度为b(b<a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa.大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容.可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编.北京:高等教育出版社.1990).<a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa,大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编,北京:高等教育出版社,1990).<a）的针，利用几何概型的概率计算公式，可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bΠa．大量重复向平面内投针的试验，投大量的针，数出所投的针数和与平行线相交的针数，用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率，就可求出Π的近似值．如果所投针数为n，与平行线相交的针数为m，由2bΠa≈mn，可得Π≈2bnam．关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》。

§3.3模拟方法——概率的应用教学设计一、教材内容分析《模拟方法——概率的应用》是北师大版高中教材必修三第3章第3节的内容,安排在《随机事件的概率》和《古典概型》两节之后。

本小节共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。

“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。

另外，本节内容的学习，可以帮助学生全面系统地掌握概率知识，体会抽象概括建立模型的思想方法和数形结合的思想方法，为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法。

二、学生情况分析学生之前已经学习了一般性随机事件，概率统计定义以及古典概型.而且有了一定的观察和归纳能力，几何概型的内容可以和古典概型的内容进行类比学习.但是，古典概型研究有限的事件，而几何概型研究无限事件，如何实现两者的过渡以及如何将问题实际背景转化为相应的长度，面积，体积等几何模型是有困难的，需要教师创设好的问题情境，选择好例题，帮助学生形成几何概型的概念，掌握计算方法。

三、教学目标1、过程与方法：通过自主探究、讨论交流，参与概念产生与发展的过程；经历观察、分析、类比等方法，养成逻辑推理能力；感知用图形解决概率问题的方法，渗透化归、数形结合等思想方法。

2、知识与技能：（1）了解模拟方法的基本思想，会用这种思想解决某些具体问题:如求某些不规则图形的近似面积；（2）记住几何概型的概念和特征，了解古典概型和几何概型的区别与联系；（3）掌握几何概型的计算方法和步骤，用几何概型来解决一些纯数学问题和实际生活问题。

3、情感态度与价值观：感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用；充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题；形成从有限向无限探究的意识，养成合作交流的习惯。

四、教学重点与难点重点：几何概型概念的建构和建立合理的几何概型进行简单的几何概率计算。

第三章 概率3模拟方法——概率的应用《模拟方法——概率的应用》学案设计学习目标课标描述：初步体会几何概型的意义.学习目标分解：1、学生通过试验、交流，结合对实例的分析，体会学习几何概型的必要性；2、学生通过讨论、类比，能说出古典概型和几何概型的区别和联系；3、学生通过体验，能总结几何概型的意义，并会利用几何概型概率公式求简单问题的概率.学习重点：几何概型的意义.学习难点：几何概型中随机试验结果个数的无限性理解.学习方法：试验、交流、归纳等方法的综合应用.学习过程：Ⅰ、体验与思考情境一、甲、乙二人玩转盘游戏.如图，规定当指针指向阴影区域时，甲获胜，否则乙获胜. 分析：1、所有可能的试验结果与甲获胜包含的试验结果；2、能否用古典概型公式求甲获胜的概率，为什么？情境二、长为3米的绳子，从中间随机剪开，则得到的每段绳长都不小于1米的概率是多少?归纳：以上两个问题的共同特点是什么？如何求以上两个随机事件发生的概率？ Ⅱ 总结阅读课本P135～P136，回答：什么是几何概型？其概率公式是什么？举例说明：举一个几何概型的实例.比较并探究：古典概型与几何概型的区别与联系是什么？Ⅲ 应用阅读课本P136例1.思考：若等待时间不超过20分钟，则概率是多少？（图2） （图3）（图1）例2 如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm、4cm、6cm.某人站在3m外向此板投镖，设镖击中线上或没有击中都不算，可重投.问：(Ⅰ)投中大圆的概率是多少？(Ⅱ)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(Ⅲ)投中大圆之外的概率是多少？Ⅳ、小结Ⅴ、达标检测1、如图，在三角形ABC 中，M 是BC 的中点.向三角形ABC 内随机投一粒米，则米粒落在三角形ABM 内的概率是多少？2、在边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边中点，将米粒随机撒在正方形中，若米粒落在下列3个图中阴影部分区域的概率分别是P1、P2、P3 .则其大小关系是________3、 在100ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放在显微镜下观察，则发现草履虫的概率是多少？如果取5ml 水样观察呢？4、在区间[1，3]上任意取一数，则这个数不小于1.5的概率是多少？Ⅵ、延伸你了解祖冲之对圆周率π的计算方法吗？请讲一讲.用几何概型也可以估算π的值.如图，在正方形中有一个内切圆，向正方形内撒一把豆子，只要数出落在圆内和正方形内的豆子数.就可以估算，想一想为什么？怎样估算？MC A B A B CD G EH C G E H B C F EⅦ、作业课本P142 A组1、2 .。

模拟方法-------概率的应用高一数学组一、学习目标：1、了解模拟方法的思想；2、能够区别古典概型和几何概型；3、进行简单的几何概型概率计算。

二、重点难点重点：几何概型定义理解难点：几何概型概率计算三、教学过程环节一：回顾旧知1、古典概型的特点；2、判断下列是否为古典概型：（1）从1、2、3、4四个数中任意取出两个数；（2）在数轴0到3之间任取一点。

环节二：新课探究1、投针试验（蒲丰试验）引出重要思想：模拟方法2、模拟方法对于某些无法确切知道概率的问题,常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率.用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验。

3、撒芝麻试验引出几何概型的定义4、几何概型（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型。

（2）特征：无限性、等可能性（3）公式度）长度（面积、体积、角全部结果所构成的区域积、角度）的区域长度（面积、体构成事件A P 环节三：例题精讲题型一：和长度有关的几何概型例1 在区间［20,80］内随机取一实数a ，则实数a 属于区间［50,75］的概率是( C )A 、41B 、43C 、125 D 、127 变式练习：在区间［20,80］内随机取一实数a ，则实数a 属于区间［65,90］的概率是( A )B 、41B 、43C 、125D 、127 例2 有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于81米的概率为（ 43 ）题型二：和面积有关的几何概型例3 如图，大正方形靶盘的边长为13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影部分。

短的直角边长为2，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（131 ） 例4 在平面直角坐标系xOy 中，设F 表示|x|≤2且|y|≤2的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向F 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是（16）例5 P152送报问题例6 分别在区间［1，6］，［1，4］内各任取一个实数依次为m,n ，则m ＞n 的概率是( C )A 、0.3B 、0.667C 、0.7D 、0.714例7 甲、乙两人因工作需要每天都要上网查资料，已知他们每天上网的时间都不超过2小时，则在某一天内，甲上网的时间不足乙上网的时间的一半的概率是( C )A 、21B 、31C 、41D 、32环节四：知识总结1、几何概型特点2、几何概型概率公式环节五：作业布置153页A 组：2（必做）；B 组：2（选做）。

模拟方法——概率的应用一．教学目标：1．通过试验初步体会几何概型及其基本特征；2．会把一些简单的实际问题转化为几何概型，会运用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率问题；3．通过亲身试验，感受数学不仅仅是抽象的符号，还和我们的生活密切相关。

通过试验体会辩证的唯物主义思想，和实事求是的科学作风。

二．教学重点、难点：重点: 将实际问题转化为几何概型求概率的问题难点:如何实际问题转化为几何概型求概率的问题三．教学方法与教学手段：自主探究、数学试验四．教学过程：（一、）复习巩固1．请同学们回忆下求随机事件的概率的方法有哪些呢?2．古典概型的基本特点是什么呢？（二、）创设情景，引入新课：问题1：取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？问题2：取一个边长为2a的正方形及其内图1切圆（如图1）随机地向正方形内射箭,假设射箭都能中靶,求射中圆内的概率为多少？问题3: 有一杯1 L的水,其中有1个微生物,用一个容器从这杯水中取出10ml,求容器中的水含有这个微生物的概率.归纳上述三个问题的特点，引入几何概型。

同时让学生思考古典概型的方法还能用吗？如何几何概率计算呢？进一步分析上述三个概率问题的求法。

问题1分析：剪刀落在中点的时候，显然能够得到符合要求的两段绳子，我继续剪可以么？到什么时候为止？落在中间的点有无穷多，我把这些点全取出。

总基本事件也有无穷多，古典概型的方法还能用吗？怎么处理？练习:取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？问题2分析:由于靶点随机的落在正方形内,而靶点落在圆内时,事件A发生解：记“射中圆内”为事件A，正方形的面积圆的面积=)(A P =4π 答：射中圆内的概率为4π由于问题2的可操作性，下面通过试验“用频率估计概率的方法”来研究它的概率问题。

两人一组合作试验，用扎针来模拟射箭，用针孔代替射箭的靶点。

模拟方法-概率的应用 备课资料学习导航 学习提示 1.能用模拟方法来估计随机事件的概率.2.了解模拟方法的基本思想,会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等.3.结合实例，体会概率思想在实际中的应用.[模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法. 互动学习 知识链接 1.有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向A 区域时甲获胜，当指针指向B 区域时乙获胜.其中指针指向某一处的概率相同，且A 、B 两区域把圆盘面积平分，则甲乙两人获胜的概率分别为________.2.在一个鱼缸中盛有10 L 水，里面养着10条小鱼，用一个比较大的水杯盛出1 L 水，这个水杯中用概率思想估计有________条鱼.答案：1.21和21 2.1 利用随机事件的等概率性，结合区域面积估计随机事件的概率. 模拟方法-概率的应用 课文知识点解析 全析提示1.模拟方法的基本思想.可以通过做大量的随机试验，重复试验过程，用随机事件发生的频率估计随机事件的概率.但是，人工进行试验时费时、费力，并且有时难以实现.因此常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率.其优点在于可以在短时间内完成大量的重复试验.如在第一节中我们用随机数表产生随机数来模拟抛掷硬币的试验，以及通过4人依次摸球来模拟摸奖的活动等，都属于模拟方法. 如图3—3—1所示，向正方形中随机地撒一把芝麻，假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的.由于区域A 的面积是整个正方形面积的41，因此，大约有41的芝麻落在区域A 中.比如若向正方形中随机地撒100粒芝麻，则大约有25粒落在区域A 内.因此，近似的有 A图3—3—1 正方形的面积的面积区域落在正方形内的芝麻数内的芝麻数落在区域A A .也就是说，可以通过面积的比近似地知道芝麻数的比.反之，也可以通过这种比例关系得到某些不规则图形的面积. 2.如何用模拟方法估计随机事件的概率.例如，小明家的晚报在下午5：30~6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00~7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和晚餐开始后被送到的哪一种可能性更大?（2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少? 结合实际谈了模拟方法存在的必要性，以及应用中的有效性.要点提炼前提是每粒芝麻落在每一个位置的概率相等.全析提示通过具体实例的操作，展现整个过程，体验模拟方法的应用方式.要点提炼通过时间的长短来估计，而不是用面积.这个随机现象不是古典概型，原因是可能结果由于送晚报和开始晚餐都是随机的，也就是说在规定的时间内的任何一个时刻晚报被送到的可能性相同，任何一个时刻开始晚餐的可能性也相同.就第（1）个问题来说，晚报在5：30~6：00之间送到，或晚餐在6：30~7：00之间开始，这两种情况都使得晚报的送达在晚餐开始之前，同时，在6：00~6：30之间，晚报被送达和晚餐开始的可能性相同.因此，晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更大. 关于第（2）个问题，同学们可以用转盘来模拟这种过程.具体的操作过程，同学们可以参考课本的做法去实践.我们从另一个方面来分析，把时间分成三段，在5：00~6：00之间，只可能出现晚报的送到与否，在6：00~6： 30之间两种情况都有，在6：30~7： 00之间只可能出现晚餐开始的情形，由于时间间隔都是30分钟，在第一个30分钟有一种情形，在第二个30分钟有两种情形，在第三个30分钟有一种情形.因此，估计晚报在晚餐开始前被送到的概率为65.为什么是65，不是32或43?有3个30分钟，在第二个30分钟有正反两方面的事发生，在第一和第三个30分钟虽只发生一种可能，却要认为有4种单向可能.同学们可以动手实践，用模拟方法来判断这个结果准确与否.的无限.全析提示通过动手实践，用模拟方法近似得到事件的概率.要点提炼这不是古典概型，不能用次数或可能结果简单解决.。

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3模拟方法——概率的应用教学目标:1。

通过师生共同探究，体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P(A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.2。

本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识。

教学重点：理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别。

教学方法：讲授法课时安排：1课时教学过程:一、导入新课:1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2)每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?2、在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9:00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

第三章概率3模拟方法——概率的应用一、教学目标1．了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；2．使学生能够运用模拟方法估计概率．二、设计思路与教学建议1．教科书首先回顾：可以通过大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现．由此说明用模拟方法来估计某些随机事件发生的概率的必要性．教师可让学生回忆在第一节中所用的一些模拟方法．2．教科书通过举例说明了模拟方法估计概率在实际中的一个应用：可以求出某些不规则图形的近似面积．求区域A的近似面积通常有两种方法．一种方法是几何的方法，比如可以通过几何作图将图中的正方形分成10×10个全等的小正方形，数出区域A中的小正方形的个数（边界处的小正方形如果有不少于一半的部分在区域A中，则认为这个小正方形在区域A中，否则不在区域A中），得出区域A的面积与正方形的面积之比，进而求出区域A的近似面积．要得到更好的估计值，可以把正方形分得更小，比如可以把正方形分成100×100个全等的小正方形，1 000×1 000个全等的小正方形等等．这种方法比较粗略，并且操作起来很麻烦.另一种方法就是概率的方法，向图1的正方形中随机地撒一粒芝麻，这个试验具有以下特点：（1）正方形有有限的度量即面积，一次试验是向正方形内随机投一点，试验的所有可能结果就是正方形内的所有点，因此有无限个．（2）正方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所投的点落在正方形中某个区域A内的可能性与A的面积成正比，而与A在正方形中的位置、形状无关．这类随机试验的数学模型我们称为几何概型(几何概型的相关内容见备用课程资源)．在上述几何概型中，P(芝麻落在A内)=区域A的面积/正方形的面积.我们可以大量重复进行向正方形中随机撒一粒芝麻的试验，撒一把芝麻，数出落在A内的芝麻数和落在正方形内的芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)，从而求出区域A的面积的近似值．教科书中没有介绍几何概型，而是通过向图2的正方形和图3的长方形中随机地撒芝麻的试验，说明近似地有落在区域A内的芝麻数落在正方形内的芝麻数＝区域A的面积正方形的面积,再由这个式子就可求得区域A的近似面积．图2 图3 教科书在讲解时分3步进行，以帮助学生理解．第一步是向图2的正方形中撒芝麻，区域A是一个面积为大正方形的14的小正方形，由于每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的，学生容易得出大约有14的芝麻落在区域A中，因此近似的有落在区域A内的芝麻数/落在正方形内的芝麻数＝区域A的面积/正方形的面积.第二步是反过来，向图3的长方形中随机地撒芝麻，利用落在区域B中的芝麻数占整个长方形中的芝麻数的20%，得出区域B的面积近似地是整个长方形的面积的20%，这里区域域B是学生熟悉的长方形．第三步就是利用第二步的思想，来求不规则图形的近似面积?闭庋?设计易于学生接受，教师在讲课时也可按这三步进行．教学中可以根据学生的情况简单介绍一下几何概型．本章的章头图中的“投针问题”就是一个非常有名的几何概型，它是由法国数学家蒲丰提出的．在平面上画有一些平行直线,每两条相邻的平行直线之间的距离都为a,向此平面上任投一长度为b(b<a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa.大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容.可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编.北京:高等教育出版社.1990).<a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa,大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编,北京:高等教育出版社,1990).<A）的针，利用几何概型的概率计算公式，可以求得针与任一平行直线相交的概率为2BΠA．大量重复向平面内投针的试验，投大量的针，数出所投的针数和与平行线相交的针数，用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率，就可求出Π的近似值．如果所投针数为N，与平行线相交的针数为M，由2BΠA≈MN，可得Π≈2BNAM．关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健，刘秀芳，徐承彝编?北本?：高等教育出版社??1990).【阅读理解】就我国现在的情况，很多地方还没有普及计算机（甚至还没有普及计算器）.为体现出学习背景的公平性，教科书在用随机数进行模拟时仅要求用随机数表产生随机数，计算机（计算器）产生随机数作为了解．但随着信息技术的发展，信息技术与课程内容结合是必然的趋势，因此,在教参前面的内容里，我们介绍了如何利用计算器产生随机数;在教科书的这一节，我们在阅读理解栏目里介绍了利用计算机模拟来估计不规则区域A的面积，这种计算方法称为蒙特卡洛（Monte―Carlo）方法.具体的模拟过程见备用课程资源．利用计算机完成1 000次模拟，教科书中的表格给出了部分数据．根据模拟结果，区域A的面积约为0.667，其理论值为23，二者非常地接近．教师可通过介绍，让学生了解计算机模拟的优越性．【问题提出】让学生通过自己的分析来判断随机事件发生的可能性的大小．对第（1）问，教师可以先让学生思考，作出自己的判断，再与同学交流各自的看法，并说明理由．【动手实践】让学生用转盘来进行模拟，对“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率作出估计．教师应先准备好教科书上所示的转盘，两人一组，一人转动转盘，另一人记录结果，做完50次模拟后一组内两人再交换.图4每个班级模拟的结果可能是不一样的，理论上可以算得“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为7/8，即0.875．</a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa,大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编,北京:高等教育出版社,1990).在平面上建立如图所示直角坐标系，图中直线x=6，x=7，y=5.5, y=6.5围成一个正方形区域G．设晚餐在x（6≤x≤7）时开始，晚报在y（5.5≤y≤6.5）时被送到，这个结果与平面上的点（x,y）对应．于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应．由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此,试验属于几何概型．晚报在晚餐开始之前被送到，当且仅当yg的面积/G的面积=7/8.【思考交流】教师可先让学生思考，作出自己的判断并说明理由．若晚报在下午5：45～6：45之间的任何一个时间随机地被送到，则晚报在5：45～6：00之间送到，或晚餐在6：45～7：00之间开始，都使得晚报的送达在晚餐开始之前，但相对于上面的问题来说，这个时间段变短了，因此“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率相对上面的问题来说变小了．用两个转盘去完成至少50次模拟，估计出“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率，模拟的结果与上面的结论应是吻合的．仿照前面的方法，理论上可以算得“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为23/32，这个值比7/8小．【练习】1．因为抛掷一枚硬币只有两个等可能的结果：正面朝上和反面朝上，所以，如果一个随机试验只有两个等可能的结果，就可以用抛掷一枚硬币来模拟，比如甲、乙两人抓阄决定一件奖品的归属，只有甲中奖和乙中奖这两个等可能的结果，因此可以用抛掷硬币来模拟．2．对于第一个转盘，可以在随机数表中去掉0，5，6，7，8，9，用1，2，3，4分别代表转动转盘指针指向转盘的1，2，3，4部分?痹谒婊?数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个随机数就完成一次模拟．对于第二个转盘，编号为2的部分的面积与编号为1的部分的面积之比为165∶15=11∶1．可以在随机数表中考虑相邻的两个数字，这样产生的随机数为00,01，02，…,99．在产生的两位随机数中去掉12，13，…,99，用00代表转动转盘指针指向转盘的编号为1的部分，用01，02，…,11这11个数代表转动转盘指针指向转盘的编号为2的部分．在随机数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个两位随机数就完成一次模拟．用模拟方法估计概率，每个人的模拟结果可能是互不相同的.。

模拟方法——概率的应用
1. 几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
2. 几何概型的概率公式：
P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A . 3. 几何概型的特点：
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等．
4.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；。

§3模拟方法——概率的应用1．记住几何概型的概念和特点．(重点)2．掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(重点、难点)3．了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等．(难点)[基础·初探]教材整理模拟方法与几何概型阅读教材P150～P152，完成下列问题．1．模拟方法模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．2．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G 的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．几何概型的特点与概率计算公式(1)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②每个基本事件出现的可能性相等．(2)几何概型的概率计算公式：在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(3)计算步骤：①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n和m.这是计算的难点；③利用概率公式P(A)＝mn计算．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率概型是几何概型．()(2)从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率模型是几何概型．()(3)从一个边长为4 cm的正方形ABCD内任取一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率模型是几何概型．()(4)几何概型中每个结果发生的可能性都相等．()【解析】(1)×，可能出现的结果有有限个．(2)√，可能出现的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等．(3)√，符合几何概型的特征．(4)√，由几何概型的特点可知．【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]与长度有关的几何概型(1)某公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的，乘客候车时间不超过3 min 的概率是________．(2)一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．【精彩点拨】 本题中事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件．【自主解答】 (1)法一 设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为5，记T 是线段T 1T 2上的点，且TT 2的长等于3，记等车时间不超过3 min 为事件A ，事件A (候车时间不超过3 min)发生即当点落在线段TT 2上，记D ＝T 1T 2＝5，d ＝TT 2＝3，所以P (A )＝d D ＝35.即候车时间不超过3 min 的概率为35.法二 容易判断这是一个几何概型问题，如图所示．记A 为“候车时间不超过3 min ”，以x 表示乘客来到车站的时间，那么每一个试验结果可以表示为x ，假定乘客到车站后第一辆汽车来到的时刻为t ，依据题意，乘客必在(t －5，t ]内来到车站，故D ＝{x |t －5＜x ≤t }，欲使乘客候车时间不超过3 min 必须满足t －3≤x ≤t ，所以d ＝{x |t －3≤x ≤t }，所以P (A )＝d D ＝35.(2)如图所示，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，则△ABC 的周长为3＋4＋5＝12.某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率P ＝DE ＋FG ＋MN BC ＋CA ＋AB＝3＋2＋112＝12.【答案】 (1)35 (2)12如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域长度全部试验结果构成的区域长度.[再练一题]1.如图3-3-1，A ，B 两盏路灯之间的距离是30 m ，由于光线较暗，想在其间再随意安装一盏路灯C ，求A 与C ，B 与C 之间的距离都不小于10 m 的概率．图3-3-1【解】 记E ：“A 与C ，B 与C 之间的距离都不小于10 m ”．把AB 三等分，由于中间长度为30×13＝10 m ，所以P (E )＝1030＝13.与体积有关的几何概型程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．【精彩点拨】本试验所有结果对应的几何区域为棱长是3的正方体，“安全飞行”对应的区域为棱长是1的正方体.【自主解答】依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P＝1333＝127.1．如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A所占的体积．其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.2．解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．[再练一题]2．正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，在正方体内随机取一点M，求点M落在三棱锥B′－A′BC内的概率．【解】记“点M落在三棱锥B′-A′BC内”为事件E.因为棱长为a的正方体的体积V＝a3，由正方体的性质可知V B′-A′BC＝13S B′BC·A′B′＝16a3.故P(E)＝V B′－A′BCV＝16a3a3＝16.[探究共研型]与面积有关的几何概型探究1几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？【提示】几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．探究2在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A)＝0，则A一定为不可能事件；若P(A)＝1，则A一定为必然事件，这种说法正确吗？【提示】不正确．若随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件．如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．向面积为S的矩形ABCD内任投一点P，试求△PBC的面积小于S 4的概率. 【导学号：63580041】【精彩点拨】先利用图形找到P点所在的区域，然后利用面积比求概率．【自主解答】如图所示，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于点E，当△PBC的面积等于S4时，即12BC·PF＝14BC·EF，所以PF＝12EF，过点P作GH平行于BC交AB于G，交CD于H，所以满足S△PBC＝S4的点P的轨迹是线段GH.所以满足条件“△PBC的面积小于S4”的点P应落在矩形GBCH内．设“△PBC的面积小于S4”为事件A，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝S2S＝12.所以△PBC的面积小于S4的概率是12.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值.此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可.[再练一题]3．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A)的概率是多少？【解】如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x轴表示报纸送到的时间，y轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x，y)是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A(父亲离开家前能拿到报纸)发生需x≤y，即正方形内阴影部分，事件A发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA＝12－12×12×12＝78.μn＝1, 所以P(A)＝μAμn＝78.[构建·体系]1．在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为()A．0B．0.002C．0.004 D．1【解析】由几何概型公式得：P＝2500＝0.004.【答案】 C2．在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为()A.310 B.15C.25 D.45【解析】∵25＜S＜49，∴5＜AP＜7，∴P(25＜S＜49)＝7－510＝15.【答案】 B3．如图3-3-2所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，射线OA落在∠xOT内的概率为________．图3-3-2 【解析】 记B＝{射线OA 落在∠xOT 内}，∵∠xOT ＝60°，∴P (B )＝60°360°＝16.【答案】 164．在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点M ，则|AM |＜1的概率为________．【解析】 由|AM |＜1知，点M 在以A 为圆心，1为半径的四分之一圆内，故所求概率为14π22＝116π.【答案】 116π5．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？【解】 记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到23 min 时间段内按错键，P (A )＝2330＝145.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．灰太狼和红太狼计划在某日12：00～18：00这个时间段内外出捉羊，则灰太狼和红太狼在14：00～15：00之间出发的概率为()A.12 B.13C.14 D.16【解析】P＝15－1418－12＝16.【答案】 D2．已知函数f(x)＝log2x，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为()A．1 B.12C.23 D.34【解析】欲使f(x)＝log2x≥0，则x≥1，而x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴x0∈[1,2]，由几何概型概率公式知P＝2－12－12＝23.【答案】 C3．(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图3-3-3所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()图3-3-3A.π2 B.π4C.π6 D.π8【解析】由题意AB＝2，BC＝1，可知长方形ABCD的面积S＝2×1＝2，以AB为直径的半圆的面积S1＝12×π×12＝π2.故质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝π2 2＝π4.【答案】 B4．A是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为()A.12 B.23C.32 D.14【解析】如图，当取点落在B、C两点时，弦长等于半径；当取点落在劣弧上时，弦长小于半径；当取点落在优弧上时，弦长大于半径，所以弦长超过半径的概率P＝360°－120°360°＝23.【答案】 B5．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是()A.π4 B.π10C.π20D.π40【解析】 设在[0,1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0,1]内，则有0≤a 2＋b 2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b 2在[0,1]内的点在14单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为14π1＝π4.【答案】 A 二、填空题6．函数f (x )＝x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是________．【解析】 由f (x 0)≤0得x 0－2≤0，x 0≤2，又x 0∈[－5,5]，∴x 0∈[－5,2]． 设使f (x 0)≤0为事件A ，则事件A 构成的区域长度是2－(－5)＝7，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P (A )＝710.【答案】 7107．圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长的概率是________． 【解析】 如图所示，从点A 出发的弦中，当弦的另一个端点落在劣弧上的时候，满足已知条件，当弦的另一个端点在劣弧或劣弧上的时候不能满足已知条件，又因为△ABC 是正三角形，所以弦长大于正三角形边长的概率是13.【答案】 138．(2016·邵阳高一检测)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m －54，则函数f (x )的图像与x 轴有公共点的概率等于________．【解析】 若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋m －54的图象与x 轴有公共点，则Δ＝m 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －54≥0，又m ∈[－6,9]， 得m ∈[－6，－5]或m ∈[1,9]， 故所求的概率为P ＝[(－5)－(－6)]＋(9－1)9－(－6)＝35.【答案】 35 三、解答题9．如图3-3-4所示，在边长为25 cm 的正方形中有两个腰长均为23 cm 的等腰直角三角形，现有粒子均匀散落在正方形中，粒子落在中间阴影区域的概率是多少？图3-3-4【解】 因为粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．设A ＝{粒子落在中间阴影区域}，则依题意得正方形面积为25×25＝625(cm 2)，两个等腰直角三角形的面积为2×12×23×23＝529(cm 2)，阴影区域的面积为625－529＝96(cm 2)，所以粒子落在中间阴影区域的概率为P (A )＝96625.10．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－y ). 【导学号：63580042】(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y ∈[1,6]，求满足a ·b ＞0的概率． 【解】 (1)设(x ，y )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1，则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个．∴P(A)＝336＝112.(2)用B表示事件“a·b＞0”，即x－2y＞0.试验的全部结果所构成的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，构成事件B的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y＞0}，如图所示．所以所求的概率为P(B)＝12×4×25×5＝425.[能力提升]1.如图3-3-5，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()图3-3-5A．1－2π B.12－1πC.2πD.1π【解析】 设扇形的半径为2，则其面积为π×224＝π，记由两段小圆弧围成的阴影面积为S 1，另外三段圆弧围成的阴影面积为S 2，则S 1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12＝π2－1，S 2＝π4×22－2×π2×12＋π2－1＝π2－1，故阴影部分总面积为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＝π－2，因此任取一点，此点取自阴影部分的概率为π－2π＝1－2π.【答案】 A2．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π【解析】 由题意可知棱长为1的内接正方体的体积为V 1＝1. 又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R ＝32， 球的体积V 2＝43πR 3＝3π2. 则此点落在正方体内部的概率为 V 1V 2＝13π2＝233π. 【答案】 D3.如图3-3-6，是一残缺的轻质圆形转盘，其中残缺的每小部分与完整的每小部分的角度比是3∶2，面积比是3∶4.某商家用其来与顾客进行互动游戏，中间自由转动的指针若指向残缺部分，商家赢；指针若指向完整部分，顾客赢．则顾客赢的概率为________．图3-3-6【解析】 指针在转盘上转动，只与所转过的角度有关系，且指针自由转动，指向哪一部分是随机的，因此该问题属于角度型几何概型．因其角度比为3∶2，故商家赢的概率为360°×35360°＝35，顾客赢的概率为360°×25360°＝25.【答案】 254．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎨⎧x ＋y －8≤0，x ＞0，y ＞0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．【解】 (1)因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a ＞0且2ba ≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1； 若a ＝2，则b ＝－1或1； 若a ＝3，则b ＝－1或1.所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.又∵a ，b 所取的所有可能结果为3×5＝15，所以所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a ＞0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知事件的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|a ＋b －8≤0，且a ＞0，b＞0}，构成所求事件的区域为可行域中对应的三角形部分．由⎩⎨⎧a ＋b －8＝0，b ＝a2得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83，所以所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.。