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1.掌握复数的几何意义，即能够掌握复数与复平面内的点的对应关系，掌握向量、复数及复平面上点的坐标之间的转化关系.2.能够利用复数的几何意义解决一些较简单的题目.2 31 •复数的几何表示根据复数相等的定义，复数z^a+bi被一个有序实数对(a,b)所唯—确定，而每一个有序实数对(a,b)，在平面直角坐标系中又唯一确定一点Z(a,b)(或一个向量龙).这就是说,每一个复数，对应着平面直角坐标系中唯一的一个点(或一个向量);反过来，平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量)，也对应着唯一的一个有序实数对•这样我们通过有序实数对，可以建立复数z = a + bi和点Z(a”)(或向量旋) 之间的一一对应关系•点Z(a,b)或向量旋是复数z的几何表示(如图2 32 3【做一做】对于复平面，下列命题中是真命题的是（）A.虚数集和各个象限内的点的集合是 ----- 对应的B.实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限内的点的集合是一一对应的C.实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D.实轴上方的点的集合与虚部为正数的复数的集合是 ------ 对应的2 3解析：当虚数为纯虚数时，所对应的点位于虚轴上，不属于任何象限，因此选项A不正确;实、虚部都是负数的虚数的集合与第三象限内的点的集合是一一对应的個此选项B不正确;实部是负数的实数所对应的点位于实轴上,不属于第二、三象限，因此选项C不正确; 选项D正确. 答案：D2 3【做一做1・2】设(2a2+ 5a-3)+ (a2-2a+ 3)i(aeR)?KlJ下列命题正确的是()A.zfi勺对应点Z在第一象限B.z的对应点Z在第四象限C.z不是纯虚数D.z是虚数解析：由2a2+5a-3=(2a-l)(a+3)?得其实部可正，可负也可以是零, 而虚部a2-2a+3=(a-l)2+2>0?故z是虚数.答案：D1 32.复平面建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内必轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.X轴的单位是1 ,y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.名师点拨1.复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点. 2.复数z的几何表示为我们用向量方法解决复数问题或用复数方法解决向量问题创造了条件.1 3【做一做2】下面有关复平面的命题，其中正确的有_______ .（填序号）①实轴与虚轴无交点；②实轴上的点对应的复数为实数，虚轴上的点对应的复数为虚数;③实轴与虚轴的单位都是1 ；④实数对应的点在实轴上,纯虚数对应的点在虚轴上.解析：由于实轴与虚轴相交于原点，故①错;由于原点也在虚轴上，它与复数0对应,故②不正确;虚轴的单位为i,所以③错;④正确.答案：④1 23•复数的模、共辄复数(1)设況=a + bi(a”WR),则向量旋的长度叫做复数a + bi的模(或绝对值)，记作|a + bi\, \a + bi\ = Va2 + b2.(2)如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共辘复数•复数z的共辘复数用万表示.1 21 2【做一做3-1】复数i+2】2的共辘复数是（）A.2+1 B.2-1C.-2+1D.-2-1解析：i+2i2=-2+i?其共轨复数是2i.答案：D1 2【做一做3・2】满足条件|z| = |3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z 的轨迹是（）A.—条直线B.两条直线C.圆D.椭圆解析：||3+4i|= V32 +42 = 5•故复数z的模为5,即点Z到原点的距离等于5,因此满足条件|z|=5的点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆.答案：|c1.如何理解复数的两种几何形式?剖析：这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决（即数形结合法），增加了解决复数问题的途径.复数 z=Q+bi （a,方ER ）-向量0Z复数z= a+bi(a,b W R)对应的点的坐标是(a,b),而不是(a?bi).复数2-a+bi(a,bWR)对应的向量況是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应,因为复平面上与況相等的向量有无数个.2.复数的模、共觇复数有什么联系?咅I］析：|(1)复数2Fa+bi(a,bWR)的模用|z|表示，其公式为|z| =y/a2+b2它既是z对应的向量況的长度又是其对应的点Z(a?b)到原点的距f离.(2)复数z^a+bi(a,bWR)的共轨复数为7 = a — bi, 它们对应的点关于实轴对称•当b=0时,z=N此时z与厅对应的点是实轴上的同一个点•如果z=N可以推得z为实数•由此可得7=壬OZ为实数.|Z|2=Z*Z.题型二题型三题型四复数的几何表示【例题1】已知aeR,则尸（込2廿4）・（庄23+2）1所对应的点在第几象限?复数z所对应的点的轨迹是什么？分析：根据复数与复平面上点的对应关系知，复数z对应的点在第几象限与复数Z的实部和虚部的符号有关;求复数Z对应的点的轨迹问题，首先把z表示成为zFx+yi（x,yGR）的形式，然后寻求崔丫之间的关系，但要注意参数限定的条件.题型二题型三题型四解:,.,a2-2a+4= (a-1 )2+ 3> 0?a2-2a+2=(a-l)2+l>0,/.复数z的实部为正,虚部为负，即复数z对应的点在第四象限.% = a2-2 a + 4，严x+yi(百丫匕11)，则•y = -(a2-2a + 2).上述两式相加，得x+y=2又x=a2-2a+4=(a-l)2+3 ^3,・•・复数z对应的点的轨迹是一条射线，其方程为x+y-2=0(x$3)题型一题型三题型四共辄复数【例题2】已知x-1+yi与i-3x是共辘复数,求实数x与y的值.分析：根据共轨复数及复数相等的概念列方程组求崔y.解：因为i・3x的共轨复数为-3x・i,所以x-l+yi=-3x-i,1(",题型一题型三题型四y = -1 ・题型一题型三题型四题型一题型二题型四复数的模【例题3】已知复数ZI=V3-L Z2=-|+^L(1)求I石|及远I的值并比较大小；⑵设zWC，满足条件ZI W|z| W|zi|的点Z的集合是什么图形? 分析：根据模的定义及几何意义来求解.£(1)| 石| = I逅 + i| = J(V3)2 + 12 = 2问=-i-yi ==1 •所以I石I > I勾.题型一题型二题型四(2)由IzJ W|z| 得lW|z| W2.因为|z| 21表示圆|z|= 1上及其外部所有点组成的集合,|z| W2表示圆|z|=2上及其内部所有点组成的集合,所以符合题设条件的点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括边界)，如图.题型一题型二题型四反思复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离.计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部,再利用公式进行计算，复数的模可以比较大小.题型一题型二题型三易错辨析易错点:复数的模是实数的绝对值概念的扩充，但在求解有关问题时，不能当成实数的“绝对值”加以求解，否则易丢解、漏解，造成答案不完整或错误.题型一题型二题型三【例题4】求方程・5|x| + 6=0在复数集上解的个数.错解：・・・-5|x| + 6=0,・・・5|x|=6,即|x|=暮Ax=±|,故原方程在复数集上有两个解.错因分析：错解中将|x|看成了实数的绝对值，忽略在复数集上解方程而导致错误.正解：|设x=a+bi(a,bWR),原方程可化为2 七 =|, 即a^+b2=||,在复平面上满足此条件的点有无数个,所以原方程在复数集上有无数个解.2 3 4 51若复数a+bi(a?bGR)在复平面内对应的点在第二象限，则() A.a> 0,b< 0 B.a>O?b> 0C.a<0?b<0D.a<0,b>0答案：D1 3 4 52若复数z-3a-6i的模为顾,则实数a的值为() A・|B-|C.±|D冷 ---------------- 7解析：T (3a)2+ (-6)2=40,二a= ± 答案：|c1 2 4 53若a,b WR，2Fa+bi,我们称复数-a-bi为z的相反复数，则（）A.复平面上表示z和它的相反复数的点关于虚轴对称B.复平面上表示z的共觇复数万的点与表示z的相反复数的点关于虚轴对称C.z的共辘复数5■的相反复数是zD.z的相反复数与7不相等解析：|选项A中应为关于原点对称;选项C中因为z = a-bi f所以E 的相反复数为-a+bi,并非等于z;选项D中若z为纯虚数，则z的相反复数与壬相等.1 2 5 5答案：|B12 3 64复数夕1+itan 200°的模是—解析：|z|= V12 + tan2200°]cos20° °1答案:cos20°=vl + tan2 20°COS220°12 3 45已知GW 0# ,复数z = 2cos 0 + isin 0,则|z|的取值范围是解析：|z| = J(2COS0)2 + (sin0)2 = V4cos20 + sin20 = Vl + 3cos20,又0冷］,・••乎Wcos 0W1,・・・专W 1+3COS2&W4,故字W|z| W2.J J。
