2012年中考复习课件第五章基本图形(第27课直线与圆) 2

①切线的性质定理：圆的切线 垂直于 经过切点的半径． ②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 ． ③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)切线的判定定理：经过半径的外端并且 垂直于 这条半径
的直线是圆的切线．
(4)三角形的内切圆：和三角形三边都 相切 的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心是 三角形三条角平分线的交点 ， 内切圆的圆心叫做三角形的 内心 ，内切圆的半径是内心 到三边的距离．
基础自测
1．(2010· 青岛)如图，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，∠B ＝
30°，BC ＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作
圆，则⊙C与AB的位置关系是( A．相离 B．相切 )
C．相交
答案
解析
D．相切或相交
B
过 C 作 CD⊥AB 于 D，∠CDB＝90° ， 1 1 ∠B＝30° ，BC＝4.∴CD＝ BC＝ ×4＝2. 2 2 由 d＝r＝2，可知⊙C 与 AB 相切．
2．圆与圆的位置关系： 设两个圆的半径为R和r(R＞r)，圆心距为d.
两圆位置 外离 外切 相交 内切 内含 图形 公共点个数 0 d与R、r的关系 d＞R＋r
1
d＝பைடு நூலகம்＋r
2
R－r＜d＜ R＋r
1
d＝R－r
0
d＜R－r
[难点正本
疑点清源]
1．与圆的位置关系 理解点与圆、直线与圆、圆与圆的三种位置关系，培养用类比方法 获取知识，用运动观点分析问题的能力． 直线与圆：两个交点⇔直线与圆相交；一个交点⇔直线与圆相切； 没有交点⇔直线与圆相离． 圆与圆：两个交点⇔圆与圆相交；一个交点⇔圆与圆相切(外切或 内切)；没有交点⇔圆与圆相离(外离或内含)． 2．分类思想在与圆相关问题中的应用 在一些没有给定图形的几何题中，由于点、线、面等几何图形位置 的不确定性，直接影响了问题的结果，这时就需要分类讨论．常见的分 类有：根据点的位置在圆内或圆外；两条平行弦在圆心的同侧或异侧； 弦所对的圆周角的顶点在优弧上或在劣弧上；相切两圆是内切或外切； 内切两圆“包含”或“被包含”；相交两圆的圆心在公共弦的同侧或异 侧， 等等．
(2)解：过点 C 作 CG⊥AB 于点 G， ∵ sin∠CBF＝ 5 5 ，∠1＝∠CBF，∴ sin∠1＝ . 5 5
∵∠AEB＝90° ，AB＝5, ∴BE＝AB· sin∠1＝ 5. ∵AB＝AC，∠AEB＝90° ∴ BC＝2BE＝2 5. ， 在 Rt△ABE 中，由勾股定理得， 5 AE＝ AB －BE ＝2 5，∴sin∠2＝ ，cos∠2＝ . 5 5
解
(1)证明：∵BC 是直径，
∴∠BDC＝90° ， ∴∠ABC＋∠DCB＝90° . ∵∠ACD＝∠ABC， ∴∠ACD＋∠DCB＝90° ， ∴BC⊥CA，∴CA 是圆的切线．
5 (2)解：在 Rt△AEC 中，tan∠AEC＝ ， 3 AC 5 3 ∴EC＝ ，EC＝ AC. 3 5 2 在 Rt△ABC 中，tan∠ABC＝ ， 3 AC 2 3 ∴BC＝ ，BC＝ AC. 3 2 ∵BC－EC＝BE＝6， 3 3 20 ∴ AC－ AC＝6，解得 AC＝ ， 2 5 3 3 20 ∴BC＝ × ＝10.即圆的直径为 10. 2 3
2 2
2
5
在 Rt△CBG 中，可求得 GC＝4，GB＝2，∴ AG＝3. ∵ GC∥BF，∴ △AGC∽△ABF. GC AG GC· AB 20 ∴ BF ＝ AB ，∴ BF＝ AG ＝ . 3
题型三
【例 3】
根据切线判定，证明直线与圆相切
(2010· 舟山) 如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于
题型四
与圆的切线相关的综合题
【例 4】(2011· 珠海)已知：如图，
锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC ＝45°；点D是上一点，过点D 的切线DE交AC的延长线于点E， 且DE∥BC.连接AD、BD、BE， AD的垂线AF与DC的延长线交于 点F. (1)求证：△ABD∽△ADE; (2)记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE，求 证：S△DAF＞S△BAE.
A 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， ∴AB＝5.由1＋4＝5，得⊙A、⊙B外切．
(3)(2011· 大理)如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，
AC＝4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径
是( A．2 ) B．7
C．2或5
D．2或8
答案
解析
D
连接BC，则有BC⊥AD，在Rt△ABC中，AC＝4，
解
(1)证明：连接 AE.∵AB 是圆 O 的直径，
∴∠AEB＝90° .∴∠1＋∠2＝90° . 1 ∵AB＝AC, ∴ ∠1＝ ∠CAB. 2 1 ∵∠CBF＝ ∠CAB， 2 ∴∠1＝∠CBF，∴ ∠CBF＋∠2＝90° . 即∠ABF＝90°. ∵ AB 是圆 O 的直径， ∴直线 BF 是圆 O 的切线．
探究提高
当已知条件中给出直线与圆有公共点时，只要证
明圆心与公共点的连线垂直于这条直线，就可以判定直线
与圆相切，连接圆心和公共点是常作的辅助线．
知能迁移 3
(2011· 舟山)如图，△ABC 中，以 BC 为直径的圆交
AB 于点 D，∠ACD＝∠ABC. (1)求证：CA 是圆的切线； 2 (2)若点 E 是 BC 上一点，已知 BE＝6，tan∠ABC＝ ， 3 5 tan∠AEC＝ ，求圆的直径． 3
答案
解析
C
在正方形 DEOF 中，
OD＝ 2DE＝2 2， 1 ∴r＝ OD＝ 2， 2 ∴AD＝ 2＋2.
3．(2011· 杭州)在平面直角坐标系xOy中，以点(－3,4)为圆心，
4为半径的圆( ) A．与 x 轴相交，与 y 轴相切 B．与 x 轴相离，与 y 轴相交 C．与 x 轴相切，与 y 轴相交 D．与 x 轴相切，与 y 轴相离 答案 解析 C 如图，点(－3,4)到x轴的距离dx＝4＝r，所以圆与
x 轴相切；点(－3,4)到 y 轴的距离 dy＝3<r，所以圆与 y 轴相交．
4．(2011· 福州)如图，以 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 切小圆于点 C，若∠AOB＝120° ， 则大圆半径 R 与小圆半径 r 之间满足( A．R＝ 3r C．R＝2r B．R＝3r D．R＝2 2r )
【例 1】 (1)如图，⊙O 的半径为 4 cm，OA⊥OB，OC⊥AB 于 C，
OB＝4 5 cm，OA＝2 5 cm，试说明 AB 是⊙O 的切线．
解
∵OA⊥OB，∴AB＝ OA2＋OB2＝ 2 52＋4 52＝10.
1 1 又∵ AB· OC＝ OA· OB＝S△AOB， 2 2 OA· OB 2 ∴OC＝ AB ＝ 5×4 10 5 ＝4.
∴∠DBC＋∠ODB＝90°，
∴∠DBC＋∠ABC＝90°.即∠DBO＝90°. ∴直线BD和⊙O相切．[5分]
(2)连接 AC，∵AB 是直径，∴∠ACB＝90° . 在 Rt△ABC 中，AB＝10，BC＝8， ∴AC＝ AB2－BC2＝6.[7 分] ∵直径 AB＝10，∴OB＝5. ∵OF⊥BC，BC＝8，∴BF＝4，OF＝3. BF OF 由△OFB∽△BFD 可得，DF＝ BF ， 16 ∴DF＝ .[9 分] 3 1 32 ∴S△DFB＝ BF· DF＝ .[10 分] 2 3
点F，且交⊙O于点E，且∠AEC＝∠ODB. (1)判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明； (2)当AB＝10，BC＝8时，求△DFB的面积．
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：(1)直线BD和⊙O相切．[1分]
证明：∵∠AEC＝∠ODB，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ODB. ∵OD⊥BC，
探究提高
根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系
作判断，d>r⇔直线与圆相离；d＝r⇔直线与圆相切；
d<r⇔直线与圆相交．
知能迁移1
(1)如图，已知在△OAB中，OA＝OB＝13，AB
＝24，⊙O的半径长为r＝5.判断直线AB与⊙O的位置关系，
并说明理由．
解 过点 O 画 OC⊥AB 于 C.
第27课
直线与圆﹑圆与圆的位置关系
基础知识
自主学习
要点梳理
1．直线和圆的位置关系： (1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离.
直线和圆 的位置 图形 公共点 个数
圆心到直线 距离d与半 径r的关系 d<r
公共点 名称
直线 名称
相交
2
交点
割线
相切
1
d＝r
切点
切线
相离
0
d>r
无
无
(2)切线的性质：
∵OA＝OB＝13， 1 ∴AC＝BC＝ AB＝12. 2 在 Rt△AOC 中， OC＝ OA2－AC2＝ 132－122＝5＝r. ∴直线 AB 与⊙O 相切．
(2)(2011· 襄阳)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4
cm，若⊙A、⊙B的半径分别为1 cm、4 cm，则⊙A、⊙B 的位置关系是( A．外切 C．相交 答案 解析 ) B．内切 D．外离
⊙O2的半径为2 cm，则O1O2的长是(
A．1 cm C．1 cm或5 cm 答案 解析 C B．5 cm
)
D．0.5 cm或2.5 cm
当⊙O1与⊙O2内切时，d＝3－2＝1 cm；当⊙O1与
⊙O2外切时，d＝3＋2＝5 cm.综上，d＝1 cm或5 cm.
题型分类
深度剖析
题型一 判断直线与圆、圆与圆的位置关系
探究提高
遇到切点，通常作的辅助线是连接圆心和切点，
这样运用切线的性质，构造出直角三角形，再进一步解