空间向量练习题

16一、选择题1.下列说法中不正确的是( )A. 平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B. 一个平面的所有法向量互相平行C. 如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D. 如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量2.已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A. 90°B. 60°C. 30°D. 0° 3.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ等于( ) A. 28 B. －28 C. 14 D. －144.若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 构成空间的另一个基底的向量是( )A. aB. bC. cD. a ＋b5.若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )A. a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B. a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C. a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D. a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)6.已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 45° 7.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗ +mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −nAA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则m ，n 的值分别为( ) A.11,22- B. 11,22-- C. 11,22- D. 11,228.已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A. 116B. －116C. 12D. 13 9.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝√2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为( )A. 1B. √52C. √62D. 32 10.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，则点B 到直线A 1C 的距离为( )A. 27B. 2√357C. √357D. 111.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A. 12B. √22C. 13D. 16 12.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A. 120°B. 60°C. 75°D. 90°二、填空题13.已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，点P 的坐标为__________．14.已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为__________．15.三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为________________．16.已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________．三、解答题17.若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．18.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F ＝1.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．19.如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝√2．(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．20.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且F A＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．21.如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，，点是的中点，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与底面所成的角为60°，求二面角余弦值．22. 如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ，将ADB ∆沿直线DB 折起到PDB ∆的位置（点P 不与A ，C 两点重合）.（1）求证：不论PDB ∆折起到何位置，都有BD ⊥平面PAC ；（2）当PO ⊥平面ABCD 时，点M 是线段PC 上的一个动点，若OM 与平面PBC 所成的角为30，求PM MC 的值.。

高二数学空间向量必刷的练习题在高二数学中，空间向量是一个重要而又复杂的概念，它在解决空间几何问题时起到了重要的作用。

为了帮助同学们更好地掌握和应用空间向量的知识，下面将介绍几道必刷的空间向量练习题。

练习题一：已知向量A=10A+6A+5A，向量A=A−A+3A，向量A=4A−2A+A，求向量A=(2A+5A−A)的模长。

解析：首先，计算向量A=(2A+5A−A)的具体数值。

将已知向量代入得到：A=2(10A+6A+5A)+5(A−A+3A)−(4A−2A+A)=20A+12A+10A+5A−5A+15A−4A+2A−A=21A+9A+24A然后，计算向量A的模长：|A|=sqrt((21A)^2+(9A)^2+(24A)^2)=sqrt(441A^2+81A^2+576A^2)练习题二：已知向量A=A−2A+2A，向量A=−A+4A−4A，向量A=A−6A+6A，求向量A=(A+2A−3A)的方向向量。

解析：首先，计算向量A=(A+2A−3A)的具体数值。

将已知向量代入得到：A=(A−2A+2A)+2(−A+4A−4A)−3(A−6A+6A)=A−2A+2A−2A+8A−8A−3A+18A−18A=−4A+24A−24A然后，根据向量的性质，可以知道向量A的方向与其具体数值无关，方向向量为：(−4, 24, −24)练习题三：已知三点A(1,2,3)、A(4,5,6)和A(7,8,9)，求向量AA和向量AA的数量积。

解析：首先，根据已知点的坐标，可以计算出向量AA和向量AA的具体数值：向量AA=(4−1,5−2,6−3)=(3,3,3)向量AA=(7−1,8−2,9−3)=(6,6,6)然后，计算向量AA和向量AA的数量积：AA·AA=3×6+3×6+3×6=54练习题四：已知三点A(-1,1,2)、A(2,3,4)和A(3,2,0)，求向量AA和向量AA的向量积。

高中空间向量练习题及讲解讲解### 高中空间向量练习题及讲解#### 练习题一：空间向量的坐标运算题目：设空间向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)的坐标分别为\( (1, 2, 3) \)和\( (4, -1, 2) \)，求向量\( \vec{a} + \vec{b} \)的坐标。

解答：向量加法遵循坐标的分量相加原则。

对于向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)，其坐标分别为\( (a_1, a_2, a_3) \)和\( (b_1,b_2, b_3) \)，向量和的坐标为\( (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 +b_3) \)。

将给定的向量坐标代入公式，得到：\[ \vec{a} + \vec{b} = (1 + 4, 2 - 1, 3 + 2) = (5, 1, 5) \]#### 练习题二：空间向量的模长题目：已知空间向量\( \vec{c} \)的坐标为\( (2, 3, -1) \)，求向量\( \vec{c} \)的模长。

解答：空间向量的模长可以通过以下公式计算：\[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2} \]将向量\( \vec{c} \)的坐标代入公式，得到：\[ |\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]#### 练习题三：空间向量的夹角题目：设空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的坐标分别为\( (1, 2, 1) \)和\( (2, 1, 3) \)，求向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角。

解答：空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角可以通过向量的点积来求得，公式为：\[ \cos \theta = \frac{\vec{d} \cdot \vec{e}}{|\vec{d}||\vec{e}|} \]首先计算点积：\[ \vec{d} \cdot \vec{e} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 1 \times 3 = 2 + 2 + 3 = 7 \]然后计算模长：\[ |\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6} \]\[ |\vec{e}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14} \]代入公式计算夹角的余弦值：\[ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{6} \times \sqrt{14}} \]最后，通过反余弦函数求得夹角\( \theta \)。

《空间向量》练习卷1、空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A．B．C．D．2、设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k＝（）A．2 B．－4 C．－2 D．43、设点M是Z轴上一点,且点M到A（1,0,2）与点B（1,－3,1）的距离相等,则点M的坐标是( )A．（－3,－3, 0）B．（0,0,－3）C．（0,－3,－3）D．（0,0,3）4、已知空间四面体的每条边都等于1，点分别是的中点，则等于（）A．B．C．D．5、如图，在正方体，若，则的值为（）A．3 B．1 C．－1 D．－36、的三个内角的对边分别为，已知，向量，。

若，则角的大小为（）A．B．C．D．7、在ΔABC中，已知＝(2,4,0),＝(－1,3,0)，则∠ABC大小为（）.A．45°B．90°C．120°D．135°8、已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．19、如果正方体的棱长为，那么四面体的体积是：A．B．C．D．10、已知向量a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，c=(4，-1，-3)，则向量2a-3b+4c的坐标为( )A．(16，0，-23) B．(28，0，-23) C．(16，-4，-1) D．(0，0，9)分卷II 注释一、填空题(每小题5分共25分)11、已知，则的最小值是___ ____________．12、与A(-1，2，3)，B(0，0，5)两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件为__________．13、已知，且//(),则k=__ ____.14、正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______________.15、已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .二、解答题(12+12+12+12+13+14)16、如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，且，，，为的中点.（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.17、如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. （1）求的长；（2）求cos< >的值；（3）求证：A1B⊥C1M.18、长方体中，（1）求直线所成角；（2）求直线所成角的正弦.19、在边长是2的正方体-中，分别为的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长(2)证明：平面；(3)证明: 平面.20、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC=BC=1，CC1=2，∠CAA1=，D、E分别为AA1、A1C的中点．（1）求证：A1C⊥平面ABC；（2）求平面BDE与平面ABC 所成角的余弦值．21、如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．。

高二数学空间向量的练习题在高二数学学习中，空间向量是一个重要的知识点，它与平面向量有许多相似之处，同时也具备一些特殊的性质和运算规则。

为了提高对空间向量的理解和应用能力，以下是一些空间向量的练习题，供大家进行巩固和练习。

练习题一：已知空间向量 a = 3i + 4j - 2k，b = i - 2j + 5k，c = 2i - j + 3k，求：1. a + b - c；2. |a × b|；3. ∠(a, b) 的大小。

练习题二：已知平面内的向量 u = 3i + 4j - k，v = 2i - 6j + 3k，w = -7i + 8j - k，求：1. u × v 的大小和方向；2. 建立平面向量 u, v, w 的三角形 ABC，求三角形 ABC 的面积。

练习题三：已知空间向量 a = 3i - j + 4k，b = 2i + 3j - 5k，c = ai + bj + ck，且 |c| = √27，则 a, b, c 为何种关系？练习题四：已知空间向量 d = 4i + 2j - k，e = 3i - j + k，f = 5i + 3j + 2k，求实数λ，使得 d + λe = λf。

练习题五：已知空间向量 a = 3i + 4j - k，b = 2i - j - 4k，c = 4i + 2j - 2k，d = 2i + j + 2k，求向量组 {a, b, c, d} 的线性相关性与线性无关性。

练习题六：已知空间向量 a, b, c 满足 |a| = 3，|c| = 2，且 a × b = c，则向量组 {a, b, c} 的线性相关性与线性无关性如何？练习题七：已知空间向量 a = i + j - k，b = 2i + 3j + k，c = xi + yj + zk，如果向量组 {a, b, c} 线性无关，则实数 x 和 y 的取值范围是什么？练习题八：已知空间向量 a = 2i + j + 4k，b = i + 3j + k，c = 3i - 2j + 5k，d = xi + yj + zk，且向量组 {a, b, c, d} 线性相关，则实数 x 和 y 的取值范围是什么？练习题九：已知坐标为 A(1, 2, -1)，B(-3, 5, 6)，C(2, -1, 3)，求向量 BA × BC 的大小和方向。

空间向量练习题1一、选择题：1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OM ++=B ．OM --=2C ．3121++= D ．313131++=2．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）A ．n m //B ． n m ⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能3．设向量},,{是空间一个基底，则一定可以与向量-=+=,构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．或4．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定5．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．1010二．解答题：6．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD7．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。

8．长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11A C 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求长方体的高1BB ．9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点， 求证：EF ⊥平面B 1AC_1_ A _A _B_ G_ F_ E_ A _ B_ C_ D_ A _1_ B _1 _ C _1_ D _1AC BPEF10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，求异面直线1D E 和1BC 间的距离.11．已知边长为ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥面ABC ，且2PA =，设平面α过PF 且与AE 平行，求AE 与平面α间的距离.。

高二空间向量练习题及答案空间向量是高中数学的一个重要内容，掌握空间向量的概念和运算方法对于解决几何问题有着重要的作用。

下面是一些高二空间向量的练习题及其答案，帮助大家巩固和提升空间向量的学习。

一、选择题1. 设向量a=2i-j+3k，向量b=-3i+j+2k，则a·b的值为：A. -11B. 11C. -9D. 9答案：A2. 设向量a=2i-3j+k，向量b=-i+2j-3k，则a与b的夹角为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：C3. 已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+2j-4k，则a与b的数量积等于：A. -17B. 17C. -3D. 3答案：B4. 设向量a=3i+4j-2k，向量b=i-3j+5k，则a×b的结果为：A. 23i+2j-13kB. -23i-12j+13kC. 23i-12j+13kD. -23i+2j+13k答案：C5. 向量a=3i+j+k，向量b=2i-4j-2k，求向量a与向量b的和向量c，并求c的模长。

A. 向量c=5i-3j-k，|c|=√35B. 向量c=5i-3j-k，|c|=√33C. 向量c=5i-5j-3k，|c|=√31D. 向量c=5i-3j-k，|c|=√31答案：D二、填空题1. 向量a=2i+3j-4k，向量b=5i-2j+k，求a+b的结果为________。

答案：7i+j-3k2. 向量a=2i-3j+k，向量b=-i+j+2k，求a与b的夹角的余弦值为________。

答案：-1/√143. 设向量a=3i-4j+2k，向量b=2i-3j+k，求a×b的结果为________。

答案：-5i-4j-1k4. 设向量a=-i+2j+k，d是一条过点A(1，2，3)且与向量a垂直的直线方程，则d的方程为_______。

答案：x-2y+z-3=05. 已知平行四边形的两条对角线的向量分别为a=2i-j+k和b=-3i+4j-2k，求平行四边形的面积为_______。

空间向量练习一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分)1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是() A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2)2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A． 120° B． 45° C． 150° D． 60°3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为()A． B． C． D．4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是()A．① B．② C．③ D．④5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()A． 45° B． 60° C． 90° D． 120°6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于()A．a＋b－ c B．－a＋b＋ c C．a－b＋ c D．a＋b－c7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为()A． B． C．－ D．－8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小()A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A．－ B． C．－ D．10.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ． －1,2 B ． 1，－2 C ． 1,2 D ． －1，－211.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．√23B ．√73C ．√32D ．√3712.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( ) A ．√2 B ．√3 C ． 2 D ．√2213.三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A －BD －C 的大小为( ) A ．π3 B ．2π3 C ．π3或2π3D ．π3或－π314.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,5，－2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ (3,1，z )，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A ．(407,157,−3) B ．(337,157,−3) C ．(−407,−157,−3) D ．(337,−157,−3)15.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题(共6小题，每小题4.0分,共24分)16.如图所示，已知正四面体A-BCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．17.已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．18.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________． 19.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．20.如下图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．21.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1，－4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4,2,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量；④AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .其中正确的是____________．三、解答题(共6小题，每小题11.0分,共66分) 22.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面PAD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值； (3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．23.如下图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC . (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．24.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 是棱BC ，CD 的中点，求：(1)直线DF 与B 1F 所成角的余弦值；(2)二面角C 1－EF －A 的余弦值．25.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.(1)求SA与CD所成的角；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．26.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．27.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．空间向量练习答案解析1.【答案】D【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.2.【答案】B【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.3.【答案】C【解析】设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，故当λ＝时，·取最小值，此时Q.4.【答案】C【解析】如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，故AC⊥BD.①正确．又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形．②正确．对于③，为面BCD的一个法向量，cos〈，〉＝＝＝＝－.所以AB与OA所在直线所成的角为45°，所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．又cos〈，〉＝＝＝－.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60°.故④正确．5.【答案】B【解析】不妨设AB＝BC＝AA1＝1，则＝－＝(－)，＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，·＝(－)·(＋)＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.6.【答案】B【解析】＝－＝(＋)－＝b＋c－a.7.【答案】A【解析】∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴AB1与ED1所成角的余弦值为.8.【答案】A【解析】A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.9.【答案】B【解析】不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因为＝，＝，所以||＝，||＝，·＝－，cos〈，〉＝＝－，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10.【答案】A【解析】 c ＝ma ＋nb ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得即解得11.【答案】A【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB ＝90°，所以分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系， 设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)， ∴E (a 2,a2,1)，G (a 3,a 3,13)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a 6,a 6,23)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－a,1)， ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，解得a ＝2，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(13,13,23)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－2,2)，∵GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABD 的一个法向量， 又cos 〈GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝43√63×2＝√23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为√23，故选A.12.【答案】A【解析】如下图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，a )，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则{m ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2y +2z =0,x +az =0,令z ＝－1， 得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 则由cos 60°＝m·n|m ||n |，得1√a 2+1＝12，即a ＝√2，故AD ＝√2. 13.【答案】C【解析】如图所示，当二面角A －BD －C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝π3；当二面角A －BD －C 为钝角时，它应等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3. 14.【答案】D【解析】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4， 因为BP ⊥平面ABC ，所以BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－157，于是BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(337,−157,−3).15.【答案】C【解析】因为A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．故选C. 16.【答案】 【解析】＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以cos 〈，〉＝＝＝＝.17.【答案】 B【解析】 若两向量的夹角为钝角，则a ·b ＜0，且a 与b 不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1＜0，且x ≠，解得x ＞－2，且x ≠，故选B. 18.【答案】【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)． ＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，故cos 〈，〉＝＝.19.【答案】√217【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (√32,12,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√32,12,−1)，C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则有{C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =√32x +12y −1=0,C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y −1=0.解得n ＝(√33,1,1)，则所求距离为|C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n ||＝1√13+1+1＝√217.20.【答案】(1,1,1)【解析】设PD ＝a (a ＞0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1,a2).∴DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−1,1,a2)，∵cos 〈DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，∴a 22＝a √2+a 24·√33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．21.【答案】①②③【解析】由于AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 22.【答案】因为PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，M (0,1,12)， (1)∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⊥DC ， 又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ； (2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,1,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√2，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√5，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2，∴cos 〈AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√105， 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为√105；(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－x,1－y ，－z )，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0,−12)，∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45， 可知当λ＝45时，N 点坐标为(15,1,25)，能使AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 此时，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,1,25)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,−1,25)， 由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， ∴∠ANB 为所求二面角的平面角，∵|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－45，∴cos 〈AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝－23， 故所求的二面角的余弦值为－23.23.【答案】以A 为原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为y 轴、z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，设PA ＝a ，由已知可得：A (0,0,0)，B (0，a ，0)，C (√34a,34a,0)，P (0,0，a )．(1)AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√34a,−a 4,0)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC ⊥AP ， 又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点，∴D (0,a 2,a2)，E (√38a,38a,a 2)，∴由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ， ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,a 2,a 2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√38a,38a,a 2)，∴cos ∠DAE ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√144， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为√24.(3)∵DE ∥BC ，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， 又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°，∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A －DE －P 是直二面角．24.【答案】如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0,2,0)，E (2,1,0)，F (1,2,0)，B 1(2,0,2)，C 1(2,2,2)，(1)因为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1,0)，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－2)，所以cos 〈DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝−43√5＝－4√515， 所以直线DE 与B 1F 所成角的余弦值为4√515； (2)因为C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－1，－2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1,0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 则由{n ·C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{−y −2=0,−x +y =0, 解得x ＝y ＝－2，所以n ＝(－2，－2,1)，又AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,2)是平面AEF 的一个法向量，所以cos 〈AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉＝n·AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝22×3＝13， 观察图形，可知二面角C 1－EF －A 为钝角，所以二面角C 1－EF －A 的余弦值为－13. 25.【答案】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，S (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)， CD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－1,0)， 因为cos 〈SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗|SA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝12，所以SA 与CD 所成的角为60°； (2)设平面SCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 又SC⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)，{n 1·SC⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{2y −z =0,x −y =0, 令x ＝1，则n 1＝(1,1,2)，因为BC ⊥平面SAB ，第 11 页 共 11 页 所以平面SAB 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，cos 〈n 1，n 2〉＝√66， 所以平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为√66. 26.【答案】如下图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)易得B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以B 1C 1⊥CE ；(2)B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则{m ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x −2y −z =0,−x +y −z =0, 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)，由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量，于是cos 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝m·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ||B 1C 1|＝−4√14×√2＝－2√77，从而sin 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为√217. 27.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (1,2,0)，F (0,2,2)，(1)EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，易得平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与n 的夹角为θ，则cos θ＝EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|＝25√5，∴EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为2√55； (2)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面DEF 的一个法向量为m ，则m ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，m ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 可得m ＝(2，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝√66，∴二面角F －DE －C 的余弦值为√66.。

高二数学空间向量练习题1. 已知向量AB = 3i + 4j + 2k，向量AC = -5i + 2j - 6k，求向量AB + 2AC的模长。

2. 若向量a = 2i - j + 3k，向量b = i - 3j + 2k，求向量a + b的模长。

3. 已知三角形ABC中，向量AB = i - j + 2k，向量BC = 2i + 3j - k，向量CA = 3i + j - 4k，求三角形ABC的面积。

4. 若向量a = 3i - j + 4k，向量b = 2i + 2j - k，求向量a与向量b的夹角的余弦值。

5. 已知向量a = i + 2j - 3k，向量b = 2i + j + k，向量c = 3i - j + 2k，如果向量d满足a + d = 2b - c，求向量d的坐标表示。

6. 已知平面P的法向量为向量a = i + j + k，并且过点A(1, 2, -1)。

求平面P的解析式。

7. 已知平面P通过点A(1, 2, -1)，且平面P与向量a = 2i - j + k垂直。

求平面P的解析式。

8. 已知平面P过点A(1, 2, -1)，且平面P与向量a = 2i - j + k和向量b = -i + j - 2k都垂直。

求平面P的解析式。

解答：1. 向量AB + 2AC = 3i + 4j + 2k + 2(-5i + 2j - 6k)= 3i + 4j + 2k - 10i + 4j - 12k= -7i + 8j - 10k那么向量AB + 2AC的模长为√((-7)^2 + 8^2 + (-10)^2) = √149。

2. 向量a + b = (2i - j + 3k) + (i - 3j + 2k)= 3i - 4j + 5k那么向量a + b的模长为√(3^2 + (-4)^2 + 5^2) = √50。

3. 三角形ABC的面积可以通过向量积来计算。

首先计算向量AB与向量AC的向量积：AB × AC = (i - j + 2k) × (3i + j - 4k)= ((-1)(-4) - 2(1))i - (1(3) - (-4)(-1))j + ((1)(1) - (-1)(3))k= (-2i - 7j + 4k)那么三角形ABC的面积为|AB × AC| / 2 = |(-2i - 7j + 4k)| / 2 = √(4 + 49 + 16) / 2 = √(69) / 2。

空间向量练习题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足312423AP AB AD AE =++，则P 到AB 的距离为（）A ．34B ．45C ．56D ．352．已知平面α过点()1,1,2A ，它的一个法向量为()3,0,4n =-，则下列哪个点不在平面α内（）A ．()5,5,5B ．()9,7,8C ．()–7,2,8-D ．()3,0,1--3．在四面体O －ABC 中，G 是底面△ABC 的重心，且OG＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则log 3|xyz |等于（）A ．－3B ．－1C ．1D ．34．若向量p 在空间的的一组基底{ }a b c ，，下的坐标是132( )，，，则p在基底{ }a b a b c +- ，，下的坐标是（）A ．(4 2 2)-，，B ．(2 1 2)，，C ．(2 1 2)-，，D ．132( )，，5．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M ，N 分别为BC ，11C D 的中点，则MN 的长为（）A ．2B ．3CD 6．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG是（）A ．111633OG OA OB OC =++ B ．112633OG OA OB OC =++C ．2233OG OA OB OC=++ D ．122233OG OA OB OC=++7．如图，已知四棱台的底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=，//AD BC ，111222AD AB BC DD A D ====，1DD ⊥平面ABCD ，E 是侧棱1BB 所在直线上的动点，AE与1CA 所成角的余弦值的最大值为（）A B ．10C ．10D 8．已知矩形,ABCD P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 满足12PM PC =，23PN PD = ．若MN x AB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12二、多选题9．定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a ⊗=⊗B ．()()a b a bλλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗10．（多选）在三维空间中，a b ⨯ 叫做向量a 与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯ ，()b a b ⊥⨯ ，且a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图所示）；②sin ,a b a b a b ⨯=.在正方体1111ABCD A B C D -中，已知其表面积为S ，下列结论正确的有（）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯B ．AB AD AD AB⨯=⨯C ．6S BC AC =⨯ D ．111AC A D ⨯ 与1BD 共线11．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥,1BC AB AD CD ===，2BC PA ==，记四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为,l BC 的中点为E ，则（）A ．l ∥BCB ．AB PC⊥C ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1三、填空题12．在正四面体ABCD 中，2AB =，若2AE AB AC =+ ，则AE AD ⋅=．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是正方形ABCD 和11BB C C 的中心，点P 为正方体表面上及内部的点，若点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是．14．若点B 是点()3,7,4-在xOz 平面上的射影，则OB 等于.15．已知()2,1,3a =- ，()1,4,2b =-- ，()7,5,c λ= ．若a 、b 、c三向量共面，则实数λ=．16．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =ABD △沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形1A BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得1AC BD ⊥；②在翻折过程中，三棱锥1A BCD -的体积不大于14；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°.其中所有正确结论的序号是.17．球O 为正四面体ABCD 的内切球，2AB =，MN 是球O 的直径，点P 在正四面体ABCD的表面运动，则PM PN ⋅的最大值为．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，6AD =，点Q 是侧棱PD 的中点，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，当空间四边形PMND 的周长最小时，点Q 到平面PMN 的距离为．四、解答题19．已知空间三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -．(1)求向量AB与AC 夹角θ的余弦值；(2)求向量AB在向量AC 上的投影向量a ．20．图①是直角梯形,,90ABCD AB CD D ∠=︒∥，四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且60BCE ∠=︒，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC =(1)求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；(2)在棱1DC 上是否存在点P ，使得点P 到平面1ABC 的距离为5？若存在，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值：若不存在，请说明理由．21．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 上靠近点1A 的三等分点.（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E 所成角的正弦值为37，求二面角1E D C D --的余弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．(1)求证：AB PC ⊥；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面,4,2,ABCD PA AD AB M ===是PD 中点.(1)求证：直线//PB 平面AMC ；(2)求平面ACD 和平面ACM 的夹角的余弦值.24．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △E 在母线PC 上，且AE =1CE =．(1)求证：直线//PO 平面BDE ，并求三棱锥P BDE -的体积：(2)若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离．。