甘肃省张掖市2014届高三第五次诊断考试数学(理)试题 Word版含答案

2025届甘肃省张掖市第二中学高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．21313-B ．21313C ．61365-D ．613653．已知i 是虚数单位，若1z ai =+，2zz =，则实数a =（ ） A ．2-或2B ．-1或1C ．1D ．24．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4B ．8C ．6D ．125．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A 26-B 26+C 62-D 62+6．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.95447．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ） A ．22-B ．1C ．0D ．2-8．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．9．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞， B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，10．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-12．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．56二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1．设集合{}21|2,|12A x x B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭，则A B = （ ）A.{}|12x x <<B.{}|12x x -<<C.1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D.{}|11x x -<<2．复数R i i a z ∈-+=)43)((，则实数a 的值是（ ） A ．43-B ．43C ．34D ．－343．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ）A.4B.6C.8D.12 4．已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则tan()πα+的值是（ ） A.43 B.34 C.43- D.34- 5．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则( )A. 121()0,()2f x f x >>-B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2f x f x <>-6．如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为（ ）A.3B. 23C. 9D.67．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在圆22450x y x +--=上,则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．223y x =±D ．324y x =±8． 2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域}0,0|),{(≥≥y x y x 内植树，第一棵树在)1,0(1A 点，第二棵树在)1,1(1B 点，第三棵树在)0,1(1C 点，第四棵树在)0,2(2C 点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第2014棵树所在的点的坐标是（ ）A.(9,44)B.(10,44)C.(10.43)D.(11,43) 9．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x m x --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）A.[]0,1B. [)+∞1，C.(],0-∞D.(][),01,-∞+∞10．执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]11．设[x]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 （ ） A. [－x] ＝ －[x]B.[2x] ＝ 2[x]C.[x ＋y]≤[x]＋[y]D.[x －y]≤[x]－[y]12．如图，在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE，且BC=1，则正三棱锥A-BCD 的体积是（ ）A ．242B ． 123C ．122D ．243第Ⅱ卷（90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x -，且()a a b ⊥-， 则实数x 等于______________.14．设实数,x y 满足约束条件220,840,0,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为8，则a+b 的最小值为_____________．15．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB ∆的面积为3,则p =_________.三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本题满分12分）设三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,)3,23(),cos ,(cos a b c n C A m -==,且n m ⊥. (Ⅰ)求角A 的大小;（Ⅱ）若AC ＝BC ，且BC 边上的中线AM 的长为7,求ABC ∆的面积.18．（本题满分12分）某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是34，23，14且各轮次通过与否相互独立． （I ）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （Ⅱ）对于（I ）中的ξ，设“函数()3sin ()2x f x x R ξπ+=∈是偶函数”为事件D ，求事件D 发生的概率．19．（本题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一动点．（1）求证： BD FG ⊥；（1）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG //平面PBD ，并说明理由． （3）如果PA=AB=2，求三棱锥B-CDF 的体积20．（本题满分12分）已知函数21()ln 2f x x a x =+. （Ⅰ）若1a =-，求函数()f x 的极值，并指出是极大值还是极小值； （Ⅱ）若1a =，求证：在区间[1,)+∞上，函数()f x 的图像在函数32()3g x x =的图像的下方.21．（本题满分12分）已知1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，右焦点2(,0)F c 到上顶点的距离为2，若26a c =. （Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）点A 是椭圆的右顶点，直线y x =与椭圆交于M 、N 两点（N 在第一象限内），又P 、Q 是此椭圆上两点，并且满足120||||NP NQ F F NP NQ ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，求证：向量PQ与AM 共线. 四、选做题：22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ACBD 内接于圆Ｏ，对角线AC 与BD 相交于M ， AC ⊥BD ，E 是DC 中点连结EM 交AB 于F ，作OH ⊥AB 于H ，求证：（1）EF ⊥AB （2）OH ＝ME23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=。

2014年甘肃省兰州市、张掖市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合P={x|x（x-3）＜0}，Q={x||x|＜2}，则P∩Q=（）A.（-2，0）B.（0，2）C.（2，3）D.（-2，3）【答案】B【解析】解：由集合P中的不等式解得：0＜x＜3，即P=（0，3）；由Q中的不等式解得：-2＜x＜2，即Q=（-2，2），则P∩Q=（0，2）．故选B求出P与Q中不等式的解集，找出两解集的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.i是虚数单位，复数=（）A.2+iB.1-2iC.1+2iD.2-i【答案】A【解析】解：复数===2+i．故选：A．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A. B. C.D.【答案】B【解析】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数．故选B．利用函数左加右减的原则，求出平移后的函数解析式，然后通过伸缩变换求出函数的解析式即可．本题是基础题，考查函数的图象的平移与图象的伸缩变换，注意先平移后伸缩时，初相不变化，考查计算能力．4.图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由图中数据，下部的正三棱柱的高是3，底面是一个正三角形，其边长为2，高为，故其体积为上部的球体直径为1，故其半径为，其体积为故组合体的体积是故选C由三视图可以看出，此几何体是一个三棱柱与一个球体组成，由图形中的数据求组合体的体积即可．本题考查由三视图还原实物图的能力，正确运用由体积公式求体积的能力，属于立体几何中的基本题型．5.设a=log32，b=log23，c=log5，则（）A.c＜b＜aB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.b＜c＜a【答案】C【解析】解：log32∈（0，1），log23＞1，＜，∴0＜a＜1，b＞1，c＜0，即c＜a＜b，故选：C．根据对数函数的图象和性质，分别计算a，b，c的取值范围，然后进行判断．本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键．6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】D【解析】解：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题．②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；可能n∥m，α∩β=l．错误的命题．③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；题目本身错误，是错误命题．④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．故选D．利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可．本题考查平面与平面的平行和垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．7.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有（）种．A.150B.300C.600D.900【答案】C【解析】解：分两步，第一步，先选四名老师，又分两类第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C52=10种不同选法第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64=15种不同选法∴不同的选法有10+15=25种第二步，四名老师去4个边远地区支教，有A44=24最后，两步方法数相乘，得，25×24=600故选C．先从8名教师中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把四名老师分配去4个边远地区支教，四名教师进行全排列即可，最后，两步方法数相乘．本题考查了排列组合的综合应用，做题时候要分清用排列还是用组合去做．8.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上，∴c==5，可得a2+b2=25…①又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=上，∴=…②，①②联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程故选：C根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a2+b2=25．由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到=，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程．本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．9.下列五个命题中正确命题的个数是（）（1）对于命题P：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢P：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；（2）m=3是直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件；（3）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08；（4）若实数x，y∈[-1，1]，则满足x2+y2≥1的概率为；（5）曲线y=x2与y=x所围成图形的面积是S=∫（x-x2）dx．A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】解：命题P：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，的否定为￢P：∀x∈R，均有x2+x+1≥0；故（1）错误；直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件为m（m+3）-6m=m （m-3）=0，即m=0或m=3，故（2）错误；若回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08，故（3）正确；若实数x，y∈[-1，1]，则满足x2+y2≥1的概率等于单位圆外的面积与边长为2的正方形面积之比，即1-，故（4）错误；曲线y=x2与y=x所围成图形的面积是S=∫（x-x2）dx，故（5）正确；故正确的命题个数为2个．故选A写出原命题的否定命题，可以判断（1）；求出与两直线互相垂直等价的m值，可以判断（2）；根据回归直线必要样本中心点，可以求出a的估计值，进而判断（3）；根据几何概型计算公式，求出概率，可判断（4）；根据积分法求面积的方法，求出两条曲线围成的图形面积，可判断（5），进而得到答案．本题以命题的真假判断为载体，考查了全（特）称命题的判断，充要条件，几何概型，积分法求面积，回归直线求法等知识点，难度不大，属于基础题．10.执行如图所示的程序框图，那么输出的S为（）A.3B.C.D.-2【答案】C【解析】解：如图所示的程序框图是当型循环结构，进行循环体之前S=3，k=1第一次循环后：S=，k=2第二次循环后：S=，k=3第三次循环后：S=-2，k=4第四次循环后：S=3，k=5…则S的值以4为周期，呈周期性变化当k=2010时，S=，满足进行循环的条件第2010次循环后，S=，k=2011，不满足进行循环的条件故输出的S值为故选：C根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，其中分析出S值变化的周期性是解答的关键．11.如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A.208B.216C.212D.220【答案】B【解析】解：∵点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，∴C n（n，n+）；依题意知，D n（，n+）；∴|A n B n|=n-（n≥2，n∈N+），∴a n=2（n-）+2（n+）=4n．∴a n+1-a n=4，又a1=4，∴数列{a n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2+a3+…+a10===216．故选：B．依题意，可求得C n（n，n+），D n（，n+）从而可求得a n=4n；继而可求得a2+a3+…+a10的值．本题考查数列的求和，求得a n=4n是关键，考查分析推理与运算能力，属于中档题．12.设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A.-1＜k≤B.≤k＜1C.k＞-1D.k＜1【答案】A【解析】解：方法一：因为：为，上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在，上有两个不等实根，即在，上有两个不等实根．∴问题可化为和y=x-k在，上有两个不同交点．对于临界直线m，应有-k≥，即k≤．对于临界直线n，，令=1，得切点P横坐标为0，∴P（0，-k），∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴-k＜1，即k＞-1．综上，-1＜k≤．方法二：因为：为，上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在，上有两个不等实根，即在，上有两个不等实根．化简方程，得x2-（2k+2）x+k2-1=0．令g（x）=x2-（2k+2）x+k2-1，则由根的分布可得＞＞，即＞＞，解得k＞-1．又，∴x≥k，∴k≤．综上，-1＜k≤，故选A．首先应根据条件将问题转化成：在，上有两个不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数和y=x-k在，上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可以化简方程，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答．本题考查的是函数的最值及其几何意义．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想以及函数与方程的思想．同时二次函数根的分布情况对本体的解答也有相当大的作用．值得同学们体会和反思．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在（+）5的展开式中的常数项为______ ．【答案】10【解析】解：（+）5的展开式的通项公式为T r+1=××令-=0，解得r=3，故展开式中的常数项为=10，故答案为10．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．14.已知x，y满足约束条件则的最小值是______ ．【答案】【解析】解：根据约束条件画出可行域，如图：z=x2+y2+表示（0，0）到可行域的距离的平方，由图形可知，点O到直线3x+4y=4的距离最小，求出距离的平方就是所求最小值，d==．∴x2+y2的最小值为：．故答案为：．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2表示点（0，0）到可行域的点的距离的平方，故只需求出点（0，0）到直线3x+4y=4的距离即可．本题主要考查了简单的线性规划的应用，以及利用几何意义求最值，属于中档题．15.如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为______ ．【答案】y2=3x．【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，而，，由直线AB：y=k（x-），代入抛物线的方程可得，k2x2-（pk2+2p）x+k2p2=0，即有，∴⇒，得y2=3x．故答案为：y2=3x．根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而，，且，⇒，可求得p的值，即求得抛物线的方程．此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．16.数列{a n}的首项为1，数列{b n}为等比数列且b n=，若b10b11=2，则a21= ______ ．【答案】1024【解析】解：由b n=，且a1=1，得．，a3=a2b2=b1b2．，a4=a3b3=b1b2b3．…a n=b1b2…b n-1．∴a21=b1b2 (20)∵数列{b n}为等比数列，∴a21=（b1b20）（b2b19）…（b10b11）=．故答案为：1024．由b n=，且a1=1，通过变形转化，把数列{a n}的项用数列{b n}中的项表示，然后利用等比数列的性质求解．本题考查了等比数列的性质，考查了数学转化思想方法，解答的关键是把数列{a n}的项用数列{b n}中的项表示，是中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，向量=（cos B，cos C），=（2a+c，b），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若b=，求a+c的范围．【答案】解：（1）∵=（cos B，cos C），=（2a+c，b），且⊥，∴cos B（2a+c）+bcos C=0，利用正弦定理化简得：cos B（2sin A+sin C）+sin B cos C=0，整理得：2cos B sin A+cos B sin C+sin B cos C=0，即2cos B sin A=-sin（B+C）=-sin A，∴cos B=-，∵0＜B＜180°，∴B=120；（2）∵b=，cos B=-，∴由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，即3=a2+c2+ac=（a+c）2-ac≥（a+c）2-（）2=（a+c）2，当且仅当a=c时取等号，∴（a+c）2≤4，即a+c≤2，又a+c＞b=，∴a+c∈（，2]．【解析】（1）由两向量的坐标，及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos B 的值，即可确定出B的度数；（2）由b及cos B的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a+c的最大值，最后利用三角形两边之和大于第三边求出a+c的范围即可．此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．18.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表．成绩分A（优秀）、B（良好）、C（及格）三种等级，设x、y 分别表示化学、物理成绩．例如：表中化学成绩为B等级的共有20+18+4=42人．已知x与y均为B等级的概率为0.18．（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求a，b的值；（Ⅲ）物理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，12≤b≤17，随机变量ξ=|a-b|，求ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）依题意，，得n=100；（Ⅱ）由，得a=14．∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17；（Ⅲ）由题意，知a+b=31，且a≥10，12≤b≤17，∴满足条件的（a，b）有：（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），共6组．∵ξ=|a-b|，∴ξ的取值为1，3，5，7.，，，．故ξ的分布列为∴．【解析】（I）由题意x与y由所给的表格可以知道化学与物理成绩均为B等级的总人数为18，设该样本总人数为n，利用古典概型随机事件的概率公式，即可求出；（II）由表格及第一问可以知道样本人数为100，而在该样本中，化学成绩的优秀得人数为7+9+a，利用古典概型随机事件的概率公式可以知道a的值；（III）由题意知a+b=31，且a≥10，12≤b≤17，所以满足条件的（a，b）有（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），共6组，利用随机变量的定义及其分布列可以求出随机变量的分布列，再由期望定义即可求解．此题重点考查了学生准确的理解题意的能力，还考查了古典概型随机事件的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列与期望的定义．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，-，），…（6分）=（1，1，0），=（0，0，a），=（，-，），取=（1，-1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=-a，z=-2，则=（a，-a，-2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…（10分）于是=（2，-2，-2），=（1，1，-2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）【解析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，-1，0），面EAC的法向量=（a，-a，-2），利用二面角P-A C-E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，-2，-2），=（1，1，-2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．20.设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且．（1）试求椭圆的方程；（2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．【答案】解：（1）由题意，|F1F2|=2c=2，A（a2，0）∵∴F2为AF1的中点∴a2=3，b2=2∴椭圆方程为…（5分）（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|==，此时|MN|=2a=2，四边形DMEN的面积．同理当MN与x轴垂直时，四边形DMEN的面积．当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=所以，|x1-x2|=，所以|DE|=|x1-x2|=，同理|MN|=…（9分）所以四边形的面积=××=令u=，则S=4-因为u=≥2，当k=±1时，u=2，S=，且S是以u为自变量的增函数，所以＜．综上可知，．故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为．…（13分）【解析】（1）由题意，|F1F2|=2c=2，A（a2，0），利用，可得F2为AF1的中点，从而可得椭圆方程；（2）分类讨论：当直线DE（或MN）与x轴垂直时，四边形DMEN的面积；当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，从而可得四边形的面积的表达式，利用换元法，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查韦达定理的运用，正确求弦长是关键．21.已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：＜＜．【答案】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=-2a-1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+ ），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+ ）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若＜，即＞时，由g'（x）＞0得x＞1或＜＜，由g'（x）＜0得＜＜，即函数g（x）在，，（1，+ ）上单调递增，在，单调递减；若＞，即＜＜时，由g'（x）＞0得＞或0＜x＜1，由g'（x）＜0得＜＜，即函数g（x）在（0，1），，上单调递增，在，单调递减；若，即时，在（0，+ ）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+ ）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+ ）单调递减；当＜＜时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在，单调递减；在，上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+ ）上单调递增，当＞时，函数g（x）在，上单调递增，在，单调递减；在（1，+ ）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证＜＜，即证＜＜，因x2-x1＞0，即证＜＜，令（t＞1），即证＜＜（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+ ）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0，即＞（t＞1）②综合①②得＜＜（t＞1），即＜＜．证法二：依题意得⇒，令h（x）=lnx-kx，则，由h'（x）=0得，当＞时，h'（x）＜0，当＜＜时，h'（x）＞0，∴h（x）在，单调递增，在，单调递减，又h（x1）=h（x2），∴＜＜，即＜＜．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+ ）单调递减，∴当x2＞x1时，＜ ⇒＜，即＜；同理，令，可证得＜．证法四：依题意得，＜＜＜＜＜＜令h（x）=x-x1lnx+x1lnx1-x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+ ）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2-x1lnx1＜x2-x1令m（x）=x-x2lnx+x2lnx2-x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2-x1＜x2lnx2-x2lnx1；所以命题得证．【解析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g （x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t＞1），即证＜＜（t＞1），令（t＞1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnx-kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：：令，同理，令，通过求导即可证明；证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=x-x1lnx+x1lnx1-x1，及令m（x）=x-x2lnx+x2lnx2-x2，通过求导得到其单调性即可证明．熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数、一题多解等是解题的关键．22.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．【答案】解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是R t△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．【解析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．23.在直角坐标系xoy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离，并求出这个点的坐标．【答案】解：（1）由，得ρ（cosθ+sinθ）=4，∴l：x+y-4=0，∵，（θ为参数），∴消去参数得，∴曲线C的普通方程为和直线l的直角坐标方程为x+y-4=0；（2）在C：上任取一点（cosθ，sinθ），则点P到直线l的距离为d==≤3，∴当sin（θ+）=-1时，d max=3，此时这个点的坐标为（，）．【解析】（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程；（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．属于中档题．24.（1）已知x、y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2；（2）若不等式|a-1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明：由x3+y3-x2y-xy2=x2（x-y）+y2（y-x）=（x-y）（x2-y2）=（x-y）2（x+y）…（3分）又x、y都是正实数，∴（x-y）2≥0，x+y＞0，∴x3+y3-x2y-xy2＞0，∴x3+y3≥x2y+xy2；…（5分）（2）解：由题意，根据柯西不等式有（++）2≤（12+12+12）[（）2+（）2+（）2]=3[3（x+y+z）+3]=3×6=18，∴++≤3…（3分）又|a-1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，∴|a-1|，∴a+1或a，∴a的取值范围是（- ，]∪[1+3，+ ）．…（5分）【解析】（1）利用作差法，因式分解，即可得到结论；（2）根据柯西不等式证明++≤3，利用|a-1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，可得|a-1|，从而可求实数a的取值范围．本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．。

2014年甘肃省兰州市、张掖市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 已知集合P={x|x(x−3)<0}，Q={x||x|<2}，则P∩Q=()A (−2, 0)B (0, 2)C (2, 3)D (−2, 3)2. i是虚数单位，复数3−i1−i=()A 2+iB 1−2iC 1+2iD 2−i3. 将函数y=sin(x+π6)(x∈R)的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A y=sin(2x+5π12)(x∈R) B y=sin(x2+5π12)(x∈R) C y=sin(x2−π12)(x∈R) D y=sin(x2+5π24)(x∈R)4. 图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A 2√3+π6 B 2√3+4π C 3√3+π6D 3√3+4π35. 设a=log32，b=log23，c=log125，则（）A c<b<aB a<c<bC c<a<bD b<c<a6. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α // β；③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n // m，且n⊄α，n⊄β，则n // α且n // β．其中正确的命题是（）A ①②B ②③C ③④D ①④7. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有（）种．A 150B 300C 600D 9008.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3, 4)，则此双曲线的方程为()A x216−y29=1 B x23−y24=1 C x29−y216=1 D x24−y23=19. 下列五个命题中正确命题的个数是（）(1)对于命题P:∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0，则￢P:∀x ∈R ，均有x 2+x +1>0； (2)m =3是直线(m +3)x +my −2=0与直线mx −6y +5=0互相垂直的充要条件； (3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4, 5)，则回归直线方程为y ̂=1.23x +0.08；(4)若实数x ，y ∈[−1, 1]，则满足x 2+y 2≥1的概率为π4；(5)曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积是S =∫ 10 (x −x 2)dx ．A 2B 3C 4D 510. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为（ ）A 3B 43 C 12 D −211. 如图，矩形A n B n ∁n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点∁n ，D n 在函数f(x)＝x +1x(x >0)的图象上．若点B n 的坐标(n, 0)(n ≥2, n ∈N +)，记矩形A n B n ∁n D n 的周长为a n ，则a 2+a 3+...+a 10＝（ ）A 208B 216C 212D 22012. 设f(x)的定义域为D ，若f(x)满足下面两个条件，则称f(x)为闭函数．①f(x)在D 内是单调函数；②存在[a, b]⊆D ，使f(x)在[a, b]上的值域为[a, b]．如果f(x)=√2x +1+k 为闭函数，那么k 的取值范围是（ ）A −1<k ≤−12 B 12≤k <1 C k >−1 D k <1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在(√x √x 3)5的展开式中的常数项为________．14. 已知x ，y 满足约束条件{x ≥03x +4y ≥4，则x 2+y 2y ≥0的最小值是________．15. 如图，过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线L 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为________．16. 数列{a n}的首项为1，数列{b n}为等比数列且b n=a n+1，若b10b11=2，则a21=________．a n三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，向量m→=(cosB, cosC)，n→=(2a+c, b)，且m→⊥n→．（1）求角B的大小；（2）若b=√3，求a+c的范围．18. 某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表．成绩分A（优秀）、B（良好）、C（及格）三种等级，设x、y分别表示化学、物理成绩．例如：表中化学成绩为B等级的共有20+18+4=42人．已知x与y均为B等级的概率为0.18．（1）求抽取的学生人数；（2）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求a，b的值；（3）物理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，12≤b≤17，随机变量ξ=|a−b|，求ξ的分布列和数学期望．19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB // CD，AB＝2AD＝2CD＝2．E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P−AC−E的余弦值为√6，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．320.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1(−1, 0)、F 2(1, 0)，直线l:x =a 2交x 轴于点A ，且AF 1→=2AF 2→．（1）试求椭圆的方程；（2）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．21. 已知函数f(x)=lnx ，g(x)=f(x)+ax 2+bx ，函数g(x)的图象在点（1, g(1)）处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；（2）若a ≥0，试讨论函数g(x)的单调性；（3）设斜率为k 的直线与函数f(x)的图象交于两点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，(x 1<x 2)，证明：1x 2<k <1x 1．四、选做题：选修4-1：几何证明选讲22. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC =90∘，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ．(1)求证：O ，B ，D ，E 四点共圆；(2)求证：2DE 2=DM ⋅AC +DM ⋅AB ．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 参数方程为{x =√3cosθy =sinθ（θ为参数），直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=2√2．（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标．选修4-5：不等式选讲24. （1）已知x、y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2；（2）若不等式|a−1|≥√3x+1+√3y+1+√3z+1对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．2014年甘肃省兰州市、张掖市高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. A3. B4. C5. C6. D7. C8. C9. A10. C11. B12. A13. 1014. 162515. y2=3x16. 102417. 解：（1）∵ m→=(cosB, cosC)，n→=(2a+c, b)，且m→⊥n→，∴ cosB(2a+c)+bcosC=0，利用正弦定理化简得：cosB(2sinA+sinC)+sinBcosC=0，整理得：2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC=0，即2cosBsinA=−sin(B+C)=−sinA，∴ cosB=−12，∵ 0<B<180∘，∴ B=120；（2）∵ b=√3，cosB=−12，∴ 由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，即3=a2+c2+ac=(a+c)2−ac≥(a+c)2−(a+c2)2=34(a+c)2，当且仅当a=c时取等号，∴ (a+c)2≤4，即a+c≤2，又a+c>b=√3，∴ a+c∈(√3, 2]．18. 解：（1）依题意，18n=0.18，得n=100；（2）由7+9+a100=0.3，得a=14．∵ 7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴ b=17；（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，12≤b≤17，∴ 满足条件的(a, b)有：(14, 17)，(15, 16)，(16, 15)，(17, 14)，(18, 13)，(19, 12)，共6组．∵ ξ=|a−b|，∴ ξ的取值为1，3，5，7.P(ξ=1)=26=13，P(ξ=3)=26=13，P(ξ=5)=16，P(ξ=7)=16．故ξ的分布列为∴ Eξ=1×13+3×13+5×16+7×16=103．19. (1)证明：如图：∵ PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ AC⊥PC，∵ AB=2，AD=CD=1,∴ AC=BC=√2，∵ AC2+BC2=AB2，∴ AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴ AC⊥平面PBC，∵ AC⊂平面EAC，∴ 平面EAC⊥平面PBC．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴，y 轴，z 轴正向， 建立空间直角坐标系，则C(0, 0, 0)，A(1, 1, 0)，B(1, −1, 0)． 设P(0, 0, a)(a >0)， 则E(12, −12, a2)，CA →=(1, 1, 0)，CP →=(0, 0, a)，CE →=(12, −12, a2)，取m →=(1, −1, 0)，则m →⋅CA →=m →⋅CP →=0， m →为面PAC 的法向量．设n →=(x, y, z)为面EAC 的法向量， 则n →⋅CA →=n →⋅CE →=0， 即{x +y =0，x −y +az =0， 取x =a ，y =−a ，z =−2， 则n →=(a, −a, −2)， 依题意，|cos <m →,n →>|=m →⋅n→|m →||n →|，=a √a 2+2=√63，则a =2．于是n →=(2, −2, −2)，PA →=(1, 1, −2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ， 则sinθ=|cos <PA →,n →>|=PA →⋅n→|PA →||n →|=√23， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为√23．20.解：（1）由题意，|F 1F 2|=2c =2，A(a 2, 0)∵ AF 1→=2AF 2→∴ F 2为AF 1的中点 ∴ a 2=3，b 2=2 ∴ 椭圆方程为x 23+y 22=1…（2）当直线DE 与x 轴垂直时，|DE|=2b 2a=4√3，此时|MN|=2a =2√3，四边形DMEN 的面积S =|DE||MN|2=4．同理当MN 与x 轴垂直时，四边形DMEN 的面积S =|DE||MN|2=4．当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE:y =k(x +1)，代入椭圆方程，消去y 得：(2+3k 2)x 2+6k 2x +(3k 2−6)=0 设D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2所以，|x 1−x 2|=4√3×√k 2+12+3k 2，所以|DE|=√k 2+1|x 1−x 2|=4√3(k 2+1)2+3k 2， 同理|MN|=4√3(1k2+1)2+3k 2…所以四边形的面积S =|DE||MN|2=12×4√3(k 2+1)2+3k 2×4√3(1k2+1)2+3k 2=24(k 2+1k 2+2)6(k 2+1k2)+13令u =k 2+1k 2，则S =4−413+6u因为u =k 2+1k 2≥2，当k =±1时，u =2，S =9625，且S 是以u 为自变量的增函数，所以9625≤S <4．综上可知，9625≤S ≤4．故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625．…21. 解：（1）依题意得g(x)=lnx +ax 2+bx ，则g′(x)=1x +2ax +b ，由函数g(x)的图象在点（1, g(1)）处的切线平行于x 轴得：g ′(1)=1+2a +b =0， ∴ b =−2a −1．（2）由（1）得g′(x)=2ax 2−(2a+1)x+1x=(2ax−1)(x−1)x．∵ 函数g(x)的定义域为(0, +∞)，∴ 当a =0时，g′(x)=−x−1x，由g ′(x)>0得0<x <1，由g ′(x)<0得x >1，即函数g(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)单调递减； 当a >0时，令g ′(x)=0得x =1或x =12a，若12a <1，即a >12时，由g ′(x)>0得x >1或0<x <12a ，由g ′(x)<0得12a <x <1， 即函数g(x)在(0,12a )，(1, +∞)上单调递增，在(12a ，1)单调递减； 若12a>1，即0<a <12时，由g ′(x)>0得x >12a或0<x <1，由g ′(x)<0得1<x <12a，即函数g(x)在(0, 1)，(12a，+∞)上单调递增，在(1,12a )单调递减； 若12a =1，即a =12时，在(0, +∞)上恒有g ′(x)≥0，即函数g(x)在(0, +∞)上单调递增，综上得：当a =0时，函数g(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)单调递减；当0<a <12时，函数g(x)在(0, 1)单调递增，在(1,12a )单调递减；在(12a ，+∞)上单调递增； 当a =12时，函数g(x)在(0, +∞)上单调递增， 当a >12时，函数g(x)在(0,12a)上单调递增，在(12a，1)单调递减；在(1, +∞)上单调递增．（3）证法一：依题意得k =y 2−y1x 2−x 1=lnx 2−lnx 1x 2−x 1，证1x 2<k <1x 1，即证1x 2<lnx 2−lnx 1x 2−x 1<1x 1，因x 2−x 1>0，即证x 2−x 1x 2<ln x2x 1<x 2−x 1x 1，令x2x 1=t(t >1)，即证1−1t <lnt <t −1(t >1)①，令ℎ(t)=lnt +1t−1(t >1)，则ℎ′(t)=1t−1t 2=t−1t 2>0，∴ ℎ(t)在(1, +∞)上单调递增，∴ ℎ(t)>ℎ(1)=0，即lnt >1−1t(t >1)②综合①②得1−1t <lnt <t −1(t >1)，即1x 2<k <1x 1．证法二：依题意得k =y 2−y1x 2−x 1=lnx 2−lnx 1x 2−x 1⇒lnx 2−kx 2=lnx 1−kx 1，令ℎ(x)=lnx −kx ，则ℎ′(x)=1x −k ，由ℎ′(x)=0得x =1k ，当x >1k 时，ℎ′(x)<0，当0<x <1k 时，ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(0,1k )单调递增，在(1k，+∞)单调递减，又ℎ(x1)=ℎ(x2)，∴ x1<1k <x2，即1x2<k<1x1．证法三：令ℎ(x)=lnx−xx1，则ℎ′(x)=1x−1x1，当x>x1时，ℎ′(x)<0，∴ 函数ℎ(x)在(x1, +∞)单调递减，∴ 当x2>x1时，ℎ(x2)<ℎ(x1)⇒lnx2−x2x1<lnx1−1，即lnx2−lnx1x2−x1<1x1；同理，令m(x)=lnx−xx2，可证得1x2<lnx2−lnx1x2−x1．证法四：依题意得k=y2−y1x2−x1=lnx2−lnx1x2−x1，1 x2<k<1x1 ⇔1x2<lnx2−lnx1x2−x1<1x1⇔x1lnx2−x1lnx1<x2−x1<x2lnx2−x2lnx1令ℎ(x)=x−x1lnx+x1lnx1−x1，则ℎ′(x)=1−x1x，当x>x1时，ℎ′(x)>0，∴ 函数ℎ(x)在(x1, +∞)单调递增，∴ 当x2>x1时，ℎ(x2)>ℎ(x1)=0，即x1lnx2−x1lnx1<x2−x1令m(x)=x−x2lnx+x2lnx2−x2，则m′(x)=1−x2x，当x<x2时，m′(x)<0，∴ 函数m(x)在(0, x2)单调递减，∴ 当x1<x2时，m(x1)>ℎ(x2)=0，即x2−x1<x2lnx2−x2lnx1；所以命题得证．22. 证明：(1)连接BE，OE，∵ AB为圆O的直径，∴ ∠AEB=90∘，得BE⊥EC，又∵ D是BC的中点，∴ ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵ OE=OB，OD=OD，∴ △ODE≅△ODB．可得∠OED=∠OBD=90∘，因此，O，B，D，E四点共圆；(2)延长DO交圆O于点H，∵ DE⊥OE，OE是半径，∴ DE为圆O的切线．可得DE2=DM⋅DH=DM⋅(DO+OH)=DM⋅DO+DM⋅OH．∵ OH=12AB，OD为△ABC的中位线，得DO=12AC，∴ DE 2=DM ⋅(12AC)+DM ⋅(12AB)， 化简得2DE 2=DM ⋅AC +DM ⋅AB ．23. 解：（1）由ρcos(θ−π4)=2√2， 得ρ(cosθ+sinθ)=4，∴ l:x +y −4=0，∵ {x =√3cosθy =sinθ，（θ为参数）， ∴ 消去参数得x 23+y 2=1，∴ 曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1和直线l 的直角坐标方程为x +y −4=0；（2）在C:{x =√3cosθy =sinθ上任取一点(√3cosθ, sinθ)， 则点P 到直线l 的距离为d =√3cosθ+sinθ−4|√2=|2sin(θ+π3)−4|√2≤3√2， ∴ 当sin(θ+π3)=−1时，d max =3√2，此时这个点的坐标为(−32,−12)．24. （1）证明：由x 3+y 3−x 2y −xy 2=x 2(x −y)+y 2(y −x)=(x −y)(x 2−y 2)=(x −y)2(x +y)…又x 、y 都是正实数，∴ (x −y)2≥0，x +y >0，∴ x 3+y 3−x 2y −xy 2>0，∴ x 3+y 3≥x 2y +xy 2；…（2）解：由题意，根据柯西不等式有(√3x +1+√3y +1+√3z +1)2≤(12+12+12)[(√3x +1)2+(√3y +1)2+(√3z +1)2]=3[3(x +y +z)+3]=3×6=18， ∴ √3x +1+√3y +1+√3z +1≤3√2…又|a −1|≥√3x +1+√3y +1+√3z +1对满足x +y +z =1的一切正实数x ，y ，z 恒成立， ∴ |a −1|≥3√2，∴ a ≥3√2+1或a ≤1−3√2，∴ a 的取值范围是(−∞,1−3√2]∪[1+3√2, +∞)．…。

2014年甘肃省某校高考数学五模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分） 1. i 是虚数单位,2i 31−i=( )A 1+iB −1+iC 1−iD −1−i2. 已知集合A ={1, 2}，B ={1, a, b}，则“a =2”是“A ⊆B”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 若函数f(x)=sinx +3cosx ，x ∈R ，则f(x)的值域是（ ） A [1, 3] B [1, 2] C [−√10,√10] D [0, √10]4. 已知函数f(x)=|lnx|，若1c >a >b >1，则f(a)，f(b)，f(c)比较大小关系正确的是（ ）A f(c)>f(b)>f(a)B f(b)>f(c)>f(a)C f(c)>f(a)>f(b)D f(b)>f(a)>f(c)5. 设z =x +y ，其中x ，y 满足{x +2y ≥0x −y ≤00≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）A −2B −3C −4D −56. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是( )A 108cm 3B 100cm 3C 92cm 3D 84cm 37. 已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y =sin(ωx +φ)(ω>0，0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A(−π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ω=2，φ=π6 B ω=2，φ=π3 C ω=12，φ=π3 D ω=12，φ=π6 8. 已知P 为双曲线C:x 29−y 216=1上的点，点M 满足|OM →|=1，且OM →⋅PM →=0，则当|PM →|取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为（ ） A 95B 125C 4D 59. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（ ） A 240种 B 300种 C 360种 D 420种10. 扇形的半径为1，圆心角90∘．点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，0E ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是（ ） A 310B 15C 25D 1211. 执行如图所示的程序框图，输出的M 的值是（ ）A 2B −1C 12 D −212. 函数y =f(x)为定义在R 上的减函数，函数y =f(x −1)的图象关于点(1, 0)对称，x ，y 满足不等式f(x 2−2x)+f(2y −y 2)≤0，M(1, 2)，N(x, y)，O 为坐标原点，则当1≤x ≤4时，OM →⋅ON →的取值范围为( )A [12, +∞]B [0, 3]C [3, 12]D [0, 12]二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知圆x 2+y 2−4x −9=0与y 轴的两个交点A ，B 都在某双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．14. 对于数列{a n }，定义数列{a n+1−a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1=1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n+1−a n =2n ，则数列{a n }的前n 项和S n =________．15. 已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是________． 16. 由曲线y =√x ，直线y =x −2及y 轴所围成的图形的面积为________．三、解答题（每小题12分，共60分）17. 已知向量a →=(sin x2, 12)，b →=(√3cos x2−sin x2, 1)，函数f(x)=a →⋅b →，△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）求f(x)的单调递增区间；（2）若f(B +C)=1，a =√3，b =1，求△ABC 的面积S ．18. 如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB =90∘，PM // BC ，PM =1，BC =2．又AC =1，∠ACB =120∘，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60∘．（1）求证：PC ⊥AC ；（2）求二面角M −AC −B 的余弦值； （3）求点B 到平面MAC 的距离．19. 今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 赞成人数4 6 9 6 3 4（1）完成被调查人员的频率分布直方图；（2）若从年龄在[15, 25)，[25, 35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1, √22)，右焦点为F 2．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为−12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)求F 2P →⋅F 2Q →的取值范围．21. 已知函数f(x)＝lnx +ax 2+bx （其中a ，b ）为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值． (Ⅰ)当a ＝1时，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)在(0, e]上的最大值为1，求a的值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号共1小题，满分10分）22. 如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD̂中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG⋅EF＝CE⋅GD；（2）求证：GFAG =EF2CE2．23. 在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为{x=2+ty=t+1（t为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2−4ρcosθ+3＝0．（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．24. 设函数f(x)=|2x+1|−|x−2|．(1)求不等式f(x)>2的解集；（2）∀x∈R，使f(x)≥t2−112t，求实数t的取值范围．2014年甘肃省某校高考数学五模试卷（理科）答案1. C2. A3. C4. C5. B6. B7. B8. B9. D10. A11. B12. D13. y29−x272=114. 2n+1−n −2 15. 16π 16. 16317. 解：（1）由题意得f(x)=a →⋅b →=sin x 2(√3cos x 2−sin x 2)+12=√3sin x 2cos x 2−sin 2x 2+12 =√32sinx −1−cosx 2+12=√32sinx +12cosx =sin(x +π6)，令2kπ−π2≤x +π6≤2kπ+π2，k ∈z ， 解得2kπ−2π3≤x ≤2kπ+π3，(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调增区间为[2kπ−2π3，2kπ+π3](k ∈Z)．（2）∵ f(B +C)=1，∴ sin(B +C +π6)=1， 又B +C ∈(0, π)，∴ B +C +π6∈(π6, 7π6)， ∴ B +C +π6=π2，B +C =π3，∴ A =2π3．由正弦定理asinA=b sinB，把a =√3，b =1代入，得到sinB =12，可得B =π6，或者B =5π6，∵ A =2π3为钝角，∴ B =5π6舍去，∴ B =π6，C =π6，所以，△ABC 的面积S =12absinC =12⋅√3⋅1⋅12=√34． 18. 解：方法1：（1）证明：∵ PC ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴ PC ⊥平面ABC ，∴ PC ⊥AC ．（2）取BC 的中点N ，连MN ．∵ PM = // CN ，∴ MN = // PC ，∴ MN ⊥平面ABC ． 作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连接MH ．由三垂线定理得AC ⊥MH ，∴ ∠MHN 为二面角M −AC −B 的平面角． ∵ 直线AM 与直线PC 所成的角为60∘， ∴ 在Rt △AMN 中，∠AMN =60∘．在△ACN 中，AN =√AC 2+CN 2−2AC ⋅CN ⋅cos120∘=√3． 在Rt △AMN 中，MN =AN ⋅cot∠AMN =√3cot60∘=1． 在Rt △NCH 中，NH =CN ⋅sin∠NCH =1×sin60∘=√32． 在Rt △MNH 中，∵ MH =√MN 2+NH 2=√72，∴ cos∠MHN =NHMH =√217． 故二面角M −AC −B 的余弦值为√217．（3）作NE ⊥MH 于E ．∵ AC ⊥平面MNH ，∴ AC ⊥NE ，∴ NE ⊥平面MAC ， ∴ 点N 到平面MAC 的距离为NE =MN⋅NH MH=√217． ∵ 点N 是线段BC 的中点，∴ 点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC 的距离的两倍为2√217． 方法2：（1）证明：∵ PC ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴ PC ⊥平面ABC ，∴ PC ⊥AC ．（2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示． 设P(0, 0, z)，则CP →=(0,0,z)．AM →=(0,1,z)−(√32,−12,0)=(−√32,32,z)． ∵ cos60∘=|cos <AM →，CP →>|=||AM →|⋅|CP →|˙|=z 2√3+z 2⋅|z|，且z >0，∴z √z 2+3=12，得z =1，∴ AM →=(−√32,32,1)． 设平面MAC 的一个法向量为n →=(x, y, 1)，则由{n →⋅CA →=0˙ 得{−√32x +32y +1=0√32x −12y =0得{x =−√33y =−1∴ n →=(−√33,−1,1)．平面ABC 的一个法向量为CP →=(0,0,1)．cos <n →，CP →>=|n →|⋅|CP|→˙=√217． 显然，二面角M −AC −B 为锐二面角，∴ 二面角M −AC −B 的余弦值为√217． （3）点B 到平面MAC 的距离d =||n →|˙|=2√217． 19. 解：（1）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1．…所以图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．… ∴ 被调查人员的频率分布直方图如右图：… （2）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3… p(ξ=0)=C 42C 52⋅C 62C 102=1575，P(ξ=1)=C 41C 62C 52C 102+C 42C 52⋅C 41C 61C 102=3475，P(ξ=2)=C 41C 52⋅C 41C 61C 102+C 42C 52⋅C 42C 102=2275，P(ξ=3)=C 41C 52⋅C 42C 102=475，…∴ ξ的分布列是：∴ ξ的数学期望Eξ=0×1575+1×3475+2×2275+3×475=65．…20. （1）∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1, √22)， ∴ {a 2−b 2=11a 2+12b 2=1，∴ a 2＝2，b 2＝1∴ 椭圆C 的方程为x 22+y 2=1⋯（2）由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x =−12，此时P(−√2,0)、Q(√2,0)， 得F 2P →⋅F 2Q →=(−√2−1, 0)⋅(√2−1, 0)＝1−2＝−1．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k(k ≠0)，M(−12,m)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)由线段AB 的中点M 的横坐标为−12，得(x 1+x 2)+2(y 1+y 2)⋅y 1−y 2x 1−x 2=0，则−1+4mk ＝0，故4mk ＝1．此时，直线PQ 斜率为k 1＝−4m ，PQ 的直线方程为y −m =−4m(x +12)．即y ＝−4mx −m ． 联立{y =−4mx −mx 22+y 2=1消去y ，整理得(32m 2+1)x 2+16m 2x +2m 2−2＝0．设P(x 3, y 3)，Q(x 4, y 4)∴ x 3+x 4=−16m 232m 2+1，x 3x 4=2m 2−232m 2+1．于是F 2P →⋅F 2Q →=(x 3−1)(x 4−1)+y 3y 4=x 3x 4−(x 3+x 4)+1+(4mx 3+m)(4mx 4+m) =(4m 2−1)(x 3+x 4)+(16m 2+1)x 3x 4+m 2+1=(1+16m 2)(2m 2−2)32m 2+1+(4m 2−1)(−16m 2)32m 2+1+1+m 2 =19m 2−132m 2+1．由于M(−12,m)在椭圆的内部，故0<m 2<78令t ＝32m 2+1，1<t <29，则F 2P →⋅F 2Q →=1932−5132t ． 又1<t <29，所以−1<F 2P →⋅F 2Q →<125232．综上，F 2P →⋅F 2Q →的取值范围为[−1, 125232)．21. （I ）因为f(x)＝lnx +ax 2+bx 所以f′(x)=1x +2ax +b ，因为函数f(x)＝lnx +ax 2+bx 在x ＝1处取得极值 f′(1)＝1+2a +b ＝0 当a ＝1时，b ＝−3，f′(x)=2x 2−3x+1x，f′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间为(0, 12)，(1, +∞) 单调递减区间为(12, 1) (II)因为f′(x)=(2ax−1)(x−1)x令f′(x)＝0，x 1＝1，x 2=12a ⋯ 因为f(x)在 x ＝1处取得极值，所以x 2=12a≠x 1＝1，当12a <0时，f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, e]上单调递减 所以f(x)在区间(0, e]上的最大值为f(1)， 令f(1)＝1，解得a ＝−2 当a >0，x 2=12a >0当12a<1时，f(x)在(0, 12a )上单调递增，(12a, 1)上单调递减，(1, e)上单调递增所以最大值1可能在x =12a或x ＝e 处取得而f(12a )＝ln 12a +a(12a )2−(2a +1)12a =ln 12a −14a <0 所以f(e)＝lne +ae 2−(2a +1)e ＝1，解得a =1e−2⋯当1≤12a <e 时，f(x)在区间(0, 1)上单调递增，(1, 12a )上单调递减，(12a , e)上单调递增 所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得 而f(1)＝ln1+a −(2a +1)<0所以f(e)＝lne +ae 2−(2a +1)e ＝1， 解得a =1e−2，与1<x 2=12a <e 矛盾 当x 2=12a ≥e 时，f(X)在区间(0, 1)上单调递增，在(1, e)单调递减，所以最大值1可能在x ＝1处取得，而f(1)＝ln1+a −(2a +1)<0，矛盾 综上所述，a =1e−2或a ＝−2．22. 连接AB ，AC ，∵ AD 为⊙M 的直径，∴ ∠ABD ＝90∘， ∴ AC 为⊙O 的直径，∴ ∠CEF ＝∠AGD ， ∵ ∠DFG ＝∠CFE ，∴ ∠ECF ＝∠GDF ， ∵ G 为弧BD 中点，∴ ∠DAG ＝∠GDF ， ∴ ∠DAG ＝∠ECF ， ∴ △CEF ∽△AGD ， ∴ CEEF =AGGD ，∴ AG ⋅EF ＝CE ⋅GD由（1）知∠DAG ＝∠GDF ， ∠G ＝∠G ，∴ △DFG ∽△ADG ， ∴ DG 2＝AG ⋅GF ， 由（2）知EF 2CE 2=GD 2AG 2，∴GF AG=EF 2CE 2．23. 由曲线C 的参数方程为{x =2+ty =t +1（t 为参数），消去参数t 得到曲线C 的普通方程为x −y −1＝0；∵ x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，曲线P 在极坐标系下的方程为ρ2−4ρcosθ+3＝0， ∴ 曲线P 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x +3＝0．曲线P 可化为(x −2)2+y 2＝1，表示圆心在(2, 0)，半径r ＝1的圆，则圆心到直线C 的距离为d =√1+1=√22， 故|AB|=2√r 2−d 2=√2．24. 解：（1）f(x)={−x −3,x <−123x −1,−12≤x <2x +3,x ≥2当x <−12，−x −3>2，x <−5，∴ x <−5 当−12≤x <2，3x −1>2，x >1，∴ 1<x <2 当x ≥2，x +3>2，x >−1，∴ x ≥2 综上所述 {x|x >1或x <−5}．(2)由(1)得f(x)min =−52，若∀x ∈R ，f(x)≥t 2−112t 恒成立，则只需f(x)min =−52≥t 2−112t ⇒2t 2−11t +5≤0⇒12≤t ≤5，综上所述12≤t ≤5．。

2014年甘肃省张掖市高考理科综合第五次诊断试题及答案解析张掖市2013-2014学年高三第五次诊断考试理科综合试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第33～40题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题目涂黑。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 S-32 Fe-56 Cu-64第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列叙述正确的是（）A．蓝藻和衣藻能通过叶绿体将CO2和H2O合成糖类等有机物B．性别受性染色体控制而与基因无关C．二倍体动物体细胞有丝分裂后期，细胞每一极均含有同源染色体D．在线粒体中，葡萄糖被彻底氧化分解，释放大量能量2．研究发现PCNA是一类只存在于增殖细胞中的阶段性表达的蛋白质，其浓度在细胞周期中呈周期性变化如图所示，下列有关叙述错误的是( )A．PCNA的合成与基因的选择性表达有关B．PCNA经核糖体合成，主要在细胞质中发挥作用C．曲线表明PCNA不可能辅助染色体平均分配到子细胞D．癌细胞PCNA含量的变化周期比正常细胞短3．下列调查活动和实验中，实验所得数值与实际数值比，肯定偏小的是（）A．标志重捕法调查池塘中鲤鱼的种群密度，部分鲤鱼身上的标记物脱落B．调查遗传病的发病率，选择在有患者的家族中进行C．调查土壤中小动物类群的丰富度，用诱虫器采集小动物时打开电灯D．样方法调查草地中的蒲公英，不统计正好在样方线上的个体4．如图为细胞中合成蛋白质的示意图，下列说法不正确的是( )A．分子①可能来自于RNAB．该过程提高了转录的效率C．最终合成的肽链②③④⑤在结构上是相同的D．①与②的彻底水解产物各不相同5．下图为体液免疫示意图，下列叙述正确的是( )A．①过程体现了细胞膜的流动性B．⑤过程主要发生在细胞质基质中C．浆细胞能特异性识别抗原，并产生抗体D．切除胸腺的个体无法完成体液免疫过程6.下列对图中有关的生物学意义描述正确的是（）A．若切断甲图中的c点，则刺激b点后，a点会兴奋，肌肉会收缩B．乙图中该遗传病一定是常染色体显性遗传病C．丙图中，对向光弯曲的植物而言，若茎背光侧为B对应的生长素浓度，则茎向光侧不可能为C对应的浓度D．丁图中若B表示5片新鲜土豆片放入等量过氧化氢溶液中的气体变化，则A表示8片新鲜土豆片放入等量过氧化氢溶液中的气体变化7. 进入2013年以来，我国中东部地区曾出现严重的雾霾天气。

甘肃省张掖市高考数学4月诊断试卷 理数学（理科）本卷分第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.1．复数20121i z 1i+=-的共轭复数是（ ）A ．1i +B ．1i --C ．1i -D ．1i -+2．已知函数()y f x =的图象与函数x 1y 2+=（x 0>）的图象关于直线y x =对称，则（ ） A ．()2f x log x 1=-（x 2>） B ．()2f x log x 1=-（x 0>） C ．()()2f x log x 1=-（x 2>）D ．()()2f x log x 1=-（x 0>）3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且10081004S 4S =+，则2012S 的值为（ ） A ．2010B ．2011C ．2012D ．20134．已知函数()()f x 2cos x ωϕ=+（0ω>且0ϕπ<≤）为奇函数，其图象与x 轴的所有交 点中最近的两交点间的距离为π，则()f x 的一个单调递增区间为 （ ）A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,π C ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[],2ππ5．在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB AA 4==，点D 是1AA 的中点，则点1A 到平面1DBC 的距离是 （ ）A BC D 6．函数()2f x x bx =+的图象在点A ()()1,f 1处的切线与直线3x y 20-+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2012S 的值为 （ ） A ．20092010 B ．20102011 C ．20112012D ．201220137．已知OAB ∆是以OB 为斜边的等腰直角三角形，若OB =()OC OA 1OB λ=+-且21λ>，则OC AB ⋅的取值范围是（ ）A ．()(),02,-∞⋃+∞B ．()(),20,-∞-⋃+∞C ．()),0-∞⋃+∞D．((),0,-∞⋃+∞8．已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC 2==，1A D 与1BC 所成的角为2π，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A．3B ．12C．5D．29．在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1 名.并且日语和俄语都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 （ ） A ．20种B ．22 种C ．24种D ．36种10．设实数x,y 满足x y 20x 2y 50y 20--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x y u xy +=的取值范围是（ ）A ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知三棱锥V ABC -中，VA =VB 4=，VC =E 为侧棱VC 上的一点，VA BE ⊥，且顶点V 在底面ABC 上的射影为底面的垂心.如果球O 是三棱锥V ABC -的外接球，则V ，A 两点的球面距离是（ ） A ．2πB ．32π C ．π D ．2π12．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f 1x 1+-=,()x 1f f x 52⎛⎫=⎪⎝⎭，且当 120x x 1≤<≤时，有()()12f x f x ≤，则2011f 2012⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．6364 B ．3132 C ．1516D ．78第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的含2x 的项的系数是 .14．若()()3sin cos cos sin 5αβαβαα---=，且β是第三象限的角，则5sin 4πβ⎛⎫+⎪⎝⎭的值 为 .15．已知抛物线2y 2px =（p 0>）的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且MF 4OF =,MFO ∆的面积为，则该抛物线的方程为 .16．已知双曲线2222x y 1a b-=（a 0,b 0>>）的左、右焦点分别为12F ,F ，P 为双曲线右支上一点，2PF 与圆222x y b +=切于点Q ，且Q 为2PF 的中点，则该双曲线的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分，每小题5分）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .且a c sin Bb c sin A sinC-=-+. （1）求角A 的大小及角B 的取值范围；（2）若a =22b c +的取值范围.18．（本题满分12分，每小题6分）某大学对该校参加某项活动的志愿者实施“社会教育实施”学分考核，该大学考核只有合格和优秀两个等次.若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙考核为优秀的概率分别为45、23，乙考核合格且丙考核优秀的概率为29.甲、乙、丙三人考核所得等次相互独立.（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；（2）记在这次考核中，甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19．（本题满分12分，每小题6分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，0ACB 90∠=,E 是棱1CC 上的动点，F 是AB 的中点，AC BC 2==，1AA 4=.（1）当E 是棱1CC 的中点时，求证：CF平面1AEB ；（2）在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是045？若存在，求出CE 的长，若不存在，请说明理由.20．（本题满分12分，每小题6分）已知{}n b 是公比大于1的等比数列，它的前n 项和为n S ， 若3S 14=，1b 8+，23b ，3b 6+ 成等差数列，且1a 1=，n n 12n 1111a b b b b -⎛⎫=⋅+++ ⎪⎝⎭（n 2≥）. （1）求n b ；（2）证明：312n 12n 111e a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中e 为自然对数的底数）.21．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）已知椭圆C ：2222x y 1a b+=的左、右焦点分别为12F ,F ，它的一条准线为x 4=，过点2F 的直线与椭圆C 交于P 、Q 两点.当PQ 与x 轴垂直时，122tan F PF 3∠=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若22PF F Q λ=⋅，求1PF Q ∆的内切圆面积最大时正实数λ的值.22．（本题满分12分，第（1）、（2）小题各3分，第（3）小题6分）已知函数()()21f x x ae 4x 2ln x 2=+-+，()()g x ax 2ln x =-（其中e 为自然对数的底 数，常数a 0≠）.（1）若对任意x 0>，()g x 1≤恒成立，求正实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当a 取最大值时，试讨论函数()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性；（3）求证：对任意的*n N ∈，不等式n 3221531lnn n n n 12824!<-+成立.张掖市2012年4月高考诊断试卷数学（理科）参考答案一、选择题： C ACCA DABCB BB二、填空题：13．240 14． 1015．2y 8x = 16三、解答题： 17．（1）由a c sin Bbc sin A sinC -=-+ 得a c b b c a c-=-+ 即222b c a bc +-= 得222b c a 1cos A 2bc 2+-==，故A 3π=.---------------------------------------------（3分）又因ABC ∆是锐角三角形，故B A 2π<+ 即B 23ππ<+得B 6π>故B 62ππ<<.-------------------------------------------------------------------------------（2分）（2）由a2R sin A=，得2R 2sin3== 依2B C 3π+=得2C B 3π=- 于是()2222b c 4sin B sin C +=+()21cos 2B 1cos 2C =-+-()42cos 2B cos 2C =-+442cos 2B cos 2B 3π⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦142cos 2B sin 2B 22⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭42cos 2B 3π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 依B 62ππ<< 得242B 333πππ<+<--------------------------------------------------（3分）知当2B 3ππ+=时，即B 3π=时，22b c +取得最大值6.当42B 33ππ+=时，即B 2π=时，22b c +取得最小值5.故所求22b c +的取值范围是(]5,6.-------------------------------------------------------（2分） 18．（1）设丙考核优秀的概率为P ，依甲、乙考核为优秀的概率分别为45、23，乙考核合格且丙考核优秀的概率为29. 可得1P 3=29，即P ＝23.---------------------------------------------------------------------（2分） 于是，甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率为11144153345-⋅⋅=.------（4分）（2）依题意 1.5,2,2.5,3ξ=()2111P 1.55345ξ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭ ()2412118P 225335345ξ⎛⎫==⋅+⋅⋅⨯= ⎪⎝⎭ ()24211220P 2.525335345ξ⎛⎫==⋅⋅⨯+⋅=⎪⎝⎭()24216P 35345ξ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭-----------------（4分） 于是ξ的分布列为E ξ=11.545⨯+8245⨯+202.545⨯+167734530⨯=-----------------------------------------（2分）19．（1）证法1 取1AB 中点M -----------------------------------------------------------------（1分）因1MFBB 且11MF BB 2=，1CE BB 且11CE BB 2=，故MF CE 且MF CE =，（3分）因而CF EM 且CF EM =因此CF 平面1AEB 。

2014年甘肃省张掖市高考数学五模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集为实数R，集合A={x|x2-1≤0}，B={x|x＜1}，则A∩（∁R B）=（）A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-1≤x＜1}C.∅D.{x|x=1}【答案】D【解析】解：由全集为R，集合B={x|x＜1}，得到∁R B={x|x≥1}，又集合A中的不等式x2-1≤0，可变为（x+1）（x-1）≤0，解得：-1≤x≤1，所以集合A={x|-1≤x≤1}，则A∩（∁R B）={x|x=1}．故选D根据全集为R，由集合B，求出集合B的补集，求出集合A中的一元二次不等式的解集即可确定出集合A，然后求出A与B补集的交集即可．此题属于以一元二次不等式为平台，考查了交集及补集的混合运算，是一道基础题．2.i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：∵复数===1-i，故此复数对应的点在第四象限，故选D．利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式，考查复数对用点所在的象限．本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，以及复数与复平面内对应点之间的关系．3.命题“∃x∈R，x2-2x=0”的否定是（）A.∀x∈R，x2-2x=0B.∃x∈R，x2-2x≠0C.∀x∈R，x2-2x≠0D.∃x∈R，x2-2x＞0【答案】C【解析】解：因为命题是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2-2x=0”的否定是∀x∈R，x2-2x≠0．故选C．利用特称命题的否定是全称命题，去判断．本题主要考查特称命题的否定，要求掌握特称命题的否定是全称命题．4.已知x=log23-log2，y=log0.5π，z=0.9-1.1，则（）A.x＜y＜zB.z＜y＜xC.y＜z＜xD.y＜x＜z【答案】D【解析】解：∵y=log0.5π＜log0.51=0，0＜=＜1，z=0.9-1.1＞0.90=1．∴y＜x＜z．故选：D．利用对数函数和指数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数和指数函数的单调性，属于基础题．5.已知两条直线a，b，两个平面α，β．给出下面四个命题：①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊂α，b⊥β，α∥β⇒a⊥b；③a⊥α，a∥b，b∥β⇒α∥β；④α∥β，a∥b，a⊥α⇒b⊥β．其中正确的命题序号为（）A.①②B.②③C.①④D.②④【答案】D【解析】解：①b可能在平面α内，故①错误；②由b⊥β，α∥β得b⊥α，又a⊂α，故a⊥b，②正确；③由a⊥α，a∥b，b∥β可得α⊥β，故③错误；④由α∥β，a⊥α得a⊥β，又a∥b，∴b⊥β，故④正确．故选：D．根据线面平行的判定定理可得①错误；根据线面垂直的判断定理与性质定理可得②正确；由a⊥α，a∥b，b∥β可得α⊥β，得③错误；根据α∥β，a⊥α得a⊥β，再根据平行线中的一条垂直于平面，另一条也垂直于平面，可得④正确．本题考查了线面垂直、平行的判定与性质，熟练掌握线面平行，线面垂直的判断定理及性质定理是关键．6.要得到函数g（x）=cos2x的图象，只需将f（x）=sin（2x+）的图象（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】B【解析】解：∵f（x）=sin（2x+）=sin[+（2x+）]=cos（2x+），∴f（x-）=cos[2（x-）+]=cos2x=g（x），即要得到函数g（x）=cos2x的图象，只需将f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位即可．故选：B．利用诱导公式可得f（x）=sin（2x+）=cos（2x+），再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，考查诱导公式的应用，属于中档题．7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由三视图知：几何体为边长为2的正方体消去一个三棱锥，消去三棱锥的高为2，底面是等腰直角三角形，直角边长为1，∴几何体的体积V=23-××1×1×2=．故选：A．几何体为边长为2的正方体消去一个三棱锥，再判断消去三棱锥的高及底面三角形的形状，求相关几何量的数据，代入正方体与棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键．8.设x、y满足约束条件，若x2+y2≥a恒成立，则实数a的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+y2，则z的几何意义为区域内的点P（x，y）到原点O距离平方的取值范围，由图象可知z的最小值为圆心O到直线x+y=1的距离的平方，∵d=，∴z，要使x2+y2≥a恒成立，则a，即实数a的最大值为，故选：A．作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，利用z的几何意义，求出z的最小值，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据条件设z=x2+y2，利用z的几何意义即可求出a的取值范围．9.已知函数在x=-1处取得极大值，记g（x）．某程序框图如图所示，若输出的结果S＞，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（）A.n≤2011？B.n≤2012？C.n＞2011？ D.n＞2012？【答案】B【解析】解：f （x）=3ax2+x，因为f（x）在x=-1处取得极大值，所以f （-1）=0，即3a-1=0，解得a=，故f （x）=x2+x，则g（x）=，g（n）=，该循环结构为当型循环结构，选项C、D显然不正确，输出的结果S=g（1）+g（2）+…+g（n）=1-+…+=，由S＞，得＞，解得n＞2011，所以n=2012时S开始大于，故判断框中可以填入的关于n的判断条件为：n≤2012？，故选B．由f（x）在x=-1处取得极大值可得f（-1）=0，由此可求得a值，则g（x）=，g（n）=，输出的结果S=g（1）+g（2）+…+g（n）=1-+…+=，令S＞可得n＞2011，即n=2012时S开始大于，结合选项可得答案．本题考查函数在某点取得极值的条件及程序框图，考查学生对题目的阅读理解能力及解决问题的能力．10.现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是（）A.20B.40C.60D.80【答案】B【解析】解：分成两类，第一类：男女男女男女．先排男生，当男生甲在最前的位置时，女生乙只能在其右侧，当男生甲不在最前的位置时，女生乙均有两种排法，另外两位男生和女生的排法都有种，所以第一类的排法总数有种．第二类：女男女男女男，与第一类类似，也有20种排法，所以满足条件的排法总数是40种．故选：B．分成两类，第一类：男女男女男女；第二类：女男女男女男，即可得出结论．本题考查排列、组合的运用及简单计数问题，一般要先处理特殊（受到限制的）元素．11.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且双曲线过点（，），则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）焦点F恰好是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，∴p=2c．∵双曲线过点（，），∴，∵p=2c，∴9a2-4b2=4c2，∴13a2=8c2，∴e=故选：A．由题设知p=2c，，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．12.定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18，若函数y=f（x）-log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】解：因为f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数令x=-1所以f（-1+2）=f（-1）-f（1），f（-1）=f（1）即f（1）=0则有，f（x+2）=f（x）f（x）是周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18=-2（x-3）2图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线∵函数y=f（x）-log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，要使函数y=f（x）-log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），如图要求g（2）＞f（2），可得就必须有log a（2+1）＞f（2）=-2，∴可得log a3＞-2，∴3＜，解得-＜a＜又a＞0，∴0＜a＜，故选A；根据定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18，画出图形，根据函数y=f（x）-log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解；此题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，此题是一道中档题；二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若-=1，则公差为______ ．【答案】3【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，则-=-==1，解得d=3故答案为：3设等差数列{a n}的公差为d，由前n项和公式结合已知可得d的方程，解方程可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．14.设a=∫（1-2x）dx，则二项式（x2+）6的常数项是______ ．【答案】240【解析】解：a=∫（1-2x）dx=（x-x2）=-2，∴二项式（x2+）6=（x2）6的通项为T r+1=×（x2）6-r×=（-2）r×x12-3r，令12-3r=0，可得r=4，∴二项式（x2+）6的展开式中的常数项为（-2）4=240，故答案为：240．先计算定积分，再写出二项式的通项，令x的指数为0，即可求得展开式中的常数项．本题考查定积分知识，考查二项展开式，考查展开式中的特殊项，属于基础题．15.点G是△ABC的重心，，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则最小值为______ ．【答案】【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴，∴=∵，∴AB×AC×COSA=-2，∴AB×AC=4．∴AG2≥故填．欲求最小值，先求其平方的最小值，这里解决向量模的问题常用的方法．平面几何与向量的交汇，是向量试题的增长点，必须充分注意到平面图形的几何性质．本题中点G是△ABC的重心，就存在．16.如果对于任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，则f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称函数f（x）为“保三角形函数”．现有下列五个函数：①f（x）=2x；②f（x）=e x；③f（x）=x2；④f（x）=；⑤f（x）=sinx．则其中是“保三角形函数”的有______ ．（写出所有正确的序号）【答案】①④【解析】解：任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，对于①，f（x）=2x，由于f（a）+f（b）=2（a+b）＞2c=f（c），所以f（x）=2x是“保三角形函数”．对于②，f（x）=e x，设a=b=2，c=3，a、b、c能构成三角形的三边因为f（a）=f（b）=e2，f（c）=e3，而f（a）+f（b）=2e2＜e3=f（c）所以f（a）、f（b）、f（c）不能构成三角形的三边，故f（x）=e x不是“保三角形函数”．对于③，f（x）=x2，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但32+32＜52，不存在三角形以32，32，52为三边长，故f（x）=x2不是“保三角形函数”．对于④，f（x）=，由a+b＞c，可得a+2+b＞c两边开方得+＞，因此函数f（x）=是“保三角形函数”．对于⑤，对于f（x）=sinx，记a=2π，b=3π，c=5π，则f（a）=f（b）=f（c）=0，不满足f（a）+f（b）＞f（c）所以f（x）=sinx，不是“保三角形函数”．故答案为：①④欲判断函数f（x）是不是“保三角形函数”，只须任给三角形，设它的三边长a、b、c 满足a+b＞c，判断f（a）、f（b）、f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．因此假设a≤c且b≤c，在各个选项中根据定义和函数对应法则加以判断，即可得到只有①④是“保三角形函数”，而其它的都可举出反例推翻．本题给出新定义，要我们判定符合定义的函数个数．着重考查了函数的图象与性质、三角形的性质等知识，属于中档题．解题时需注意要判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），且满足•=0．（Ⅰ）将y表示为x的函数f（x），并写出f（x）的对称轴及对称中心；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若f（x）≤f（）对所有x∈R恒成立，且a=4，求b+c的取值范围．【答案】解：（1）∵=（2cosx+2sinx）cosx-y=0，∴y=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，令2x+=k，得f（x）的对称轴为x=（k∈Z），令2x+=kπ，得x=，∴f（x）的对称中心为（，1）（k∈Z）；（2）∵f（x）≤f（）对所有x∈R恒成立，∴f（）=3，且A+=2k，k∈Z，∵A为三角形的内角，∴0＜A＜π，∴A=，B+C=，∵a=4，由正弦定理得，∴b+c=（sin B+sin C）=[sin B+sin（-B）]=4sin B+4cos B=8（sin B+cos B）=8sin（B+），∵B∈（0，），∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（4，8]．∴b+c的取值范围是（4，8]．【解析】（1）由平面向量数量积的坐标运算公式及三角恒等变换公式，化简函数f（x），根据函数y=sinx的对称轴和对称中心，整体代换求出f（x）的对称轴方程和对称中心；（2）由f（x）≤f（）对所有x∈R恒成立得到f（）最大且为3，从而求出A，再运用正弦定理求出b，c，运用三角恒等变换公式化简b+c为关于B的三角函数，由B的范围，求出范围即可．本题主要考查三角函数的恒等变换公式的运用，解三角形中的正弦定理的运用，考查平面向量的数量积的坐标运算，考查三角函数的性质，以及化简求范围的运算能力，这是解好题的基本能力，应掌握．18.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE．（2）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．【答案】（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）解：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），∵=（2，2，-2），=（0，1，1），∴=0+2-2=0，∴PB⊥DE．假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设=λ（0＜λ＜1），则=（2λ，2λ，-2λ），=+=（2λ，2λ，2-2λ），由=0得4λ2+4λ2-2λ（2-2λ）=0，∴λ=∈（0，1），此时PF=PB，即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF．【解析】（1）连接AC、AC交BD于O．连接EO，因底面ABCD是正方形则点O是AC的中点，根据EO是中位线则PA∥EO，而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，根据线面平行的判定定理可知PA∥平面EDB；（2）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，假设存在点F，则直线PB所在的向量与平面DEF的法向量平行，根据这个条件可得到一个方程，再根据有关知识判断方程的解的情况．本题考查直线与平面平行、考查空间想象能力和推理论证能力，考查向量知识的运用，属于中档题．19.某超市计划在春节当天从有抽奖资格的顾客中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都成等差数列的为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，6，8为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）求顾客甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（2）若顾客乙幸运地先后获得四次抽奖机会，求他得奖次数η的方差是多少？【答案】解：（1）由题意知奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240，顾客抽奖一次，基本事件总数为，∴P（ξ=30）==，P（ξ=60）==，P（ξ=240）=，P（ξ=0）=1---=．∴ξ的分布列为：Eξ==26．（2）顾客乙一次抽奖中奖的概率p=1-=，四次抽奖相互独立，∴得奖次数η～B（4，），∴Dη=4××=．【解析】（1）由题意知奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240，分别求出P（ξ=30），P （ξ=60），P（ξ=240），P（ξ=0）的值，由此能求出ξ的分布列和期望．（2）顾客乙得奖次数η～B（4，），由此能求出他得奖次数η的方差．本题考查离散型随机变量的分布列和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．20.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的短轴长为单位圆C2：x2+y2=1的直径，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆短轴的上顶点B1作直线分别与单位圆C2和椭圆C1交于A，B两点（A，B两点均在y轴的右侧），设B2为椭圆的短轴的下顶点，求∠AB2B的最大值．【答案】解：（1）由题意知b=1，又，解得a2=3，所以椭圆的方程为．…（7分）（2）由（1）得B1（0，1），B2（0，-1），设过椭圆的短轴的上顶点B1的直线的方程为y=kx+1，由于B1B2为圆的直径，所以直线B2A的斜率．把y=kx+1代入C1得，，由题意易知k＜0，且直线B2B的斜率为，所以k1，k2＞0，且k1=3k2，…（10分）又在△B2AB是直角三角形，所以∠AB2B必为锐角．因为与的方向向量分别为（1，k1），（1，k2），所以，，，又∠，从而∠…（12分）=，当且仅当时，cos∠AB2B取得最小值，由∠AB2B为锐角得∠AB2B的最大值为．…（15分）【解析】（1）利用椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的短轴长为单位圆C2：x2+y2=1的直径，且椭圆的离心率为，求出b，a，即可求椭圆的方程；（2）设过椭圆的短轴的上顶点B1的直线的方程为y=kx+1，代入C1得B的坐标，确定直线B2A的斜率、直线B2B的斜率的关系，利用向量的数量积公式，求出cos∠AB2B，利用基本不等式，即可求∠AB2B的最大值．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．21.已知函数f（x）=[ax2+（a-1）2x-a2+3a-1]e x（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在（2，3）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=0，设g（x）=+lnx-x，斜率为k的直线与曲线y=g（x）交于A（x1，y1），B（x2，y2）（其中x1＜x2）两点，证明：（x1+x2）k＞2．【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的导数f'（x）=[2ax+（a-1）2]•e x+[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]•e x =[ax2+（a2+1）x+a]•e x，当a≥0时，∵x∈（2，3），∴f'（x）＞0，∴f（x）在（2，3）上单调递增，当a＜0时，∵f（x）在（2，3）上单调递增，∴f'（x）=a（x+a）（x+）•e x≥0，①当-1＜a＜0时，解得-a≤x≤-，由题意知（2，3）⊆[-a，-]，得≤a＜0，②当a=-1时，f'（x）=-（x-1）2•e x≤0，不合题意，舍去，③当a＜-1时，解得≤x≤-a，则由题意知（2，3）⊆[-，-a]，得a≤-3，综上可得，实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[-，+∞）；（Ⅱ）a=0时，g（x）=+lnx-x=lnx-1，k=，∵x2-x1＞0，要证（x2+x1）k＞2，即证（x1+x2）＞2，即证ln-＞0（＞1），设h（x）=lnx-（x＞1），h'（x）=-=＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，∴ln-＞0（＞1）成立，即（x1+x2）k＞2成立．【解析】（Ⅰ）首先求出函数f（x）的导数f'（x），对a讨论，分a≥0，a＜0①-1＜a＜0，②a=-1，③a＜-1，分别求出单调区间，再求并集；（Ⅱ）化简a=0时的g（x），由两点的斜率公式写出k，运用分析法证（x1+x2）k＞2，注意运用对数的运算法则和同时除以x1的变形，再令，构造函数h（x）=lnx-（x＞1），求出导数，求出单调区间，运用单调性说明h（x）＞0成立即可．本题是导数在函数中的综合运用，考查应用导数求单调区间，运用单调性解决不等式问题，同时考查分类讨论的思想方法以及构造函数运用单调性灵活解决问题的能力．22.选修4-1：几何证明选讲如图，直线MN交圆O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM，交圆0于点D，过D作DE上MN于E．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线：（Ⅱ）若DE=6，AE=3，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）连结OD，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．因为∠EAD=∠OAD，所以∠ODA=∠EAD．…（2分）因为∠EAD+∠EDA=90°，所以∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD．所以DE是圆O的切线．…（4分）（Ⅱ）因为DE是圆O的切线，所以DE2=EA•EB，即62=3（3+AB），所以AB=9．…（6分）因为OD∥MN，所以O到MN的距离等于D到MN的距离，即为6；又因为O为AC的中点，C到MN的距离等于12…（8分）故△ABC的面积S=AB•BC=54．…（10分）【解析】（I）连结OD，易证∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD，从而可证DE是圆O的切线；（II）由DE是圆O的切线，可得DE2=EA•EB，而DE=6，AE=3，从而可求得AB；又O到MN的距离等于D到MN的距离等于|BC|，从而可求得△ABC的面积．本题考查综合法在证明中的应用，考查辅助线的添加，考查作图、推理与分析、运算的能力，属于中档题．23.在直角坐标系x O y中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．【答案】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．【解析】（Ⅰ）根据互化公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）设出Q点坐标，Q，，再根据点到直线的距离公式求出最小值．本题考查了极坐标方程和直角坐标系中一般方程的转化，考查了转化与化归思想，题目难度不大；另外第二问中对椭圆的参数方程也有考查，然后将问题转化成三角函数问题，即化成同一个角的三角函数并求出其最小值．24.已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x-1|+|x+1|≥（a-b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以-≤a+b+c≤所以：|a+b+c|≤；…（5分）（Ⅱ）同理，（a-b+c）2≤[12+（-1）2+12]（a2+b2+c2）=3…（7分）若不等式|x-1|+|x+1|≥（a-b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x-1|+|x+1|≥3，解集为（-∞，-]∪[，+∞）…（10分）【解析】（Ⅰ）利用柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3；（Ⅱ）同理，（a-b+c）2≤[12+（-1）2+12]（a2+b2+c2）=3，问题等价于|x-1|+|x+1|≥3．本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，正确运用柯西不等式是关键．。

2014年甘肃省张掖市高考理科数学第五次诊断试题及答案解析一、选择题1．已知全集为实数R ，集合A={}2|10x x -≤，B={}|1x x <，则()R A B ð= （ ）A ．{}|11x x -≤≤B ． {}|11x x -≤<C ．∅D ． {}|1x x = 2．设i 为虚数单位，则复数321i z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 3. 命题“2,20x R x x ∃∈-=”的否定是 ( )A ．2,20x R x x ∀∈-=B ．2,20x R x x ∃∈-≠C ．2,20x R x x ∀∈-≠D ．2,20x R x x ∃∈-> 4．已知 1.1220.5log 3log log ,0.9x y z π-=-==，则 （ ）A ．z y x <<B ．z x y <<C ．x z y <<D ．x y z <<5．已知两条直线,a b ，两个平面,αβ．给出下面四个命题：①//,////a b a b αα⇒； ②,,//a b αβαβ⊂⊥a b ⇒⊥；③,//,////a a b b αβαβ⊥⇒； ④//,//,a b a b αβαβ⊥⇒⊥．其中正确的命题序号为 （ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④6．要得到函数()cos 2g x x =的图象，只需将5()sin(2)6f x x π=+的图象( ) A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移23π个单位 D ．向右平移23π个单位 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ．323B ．322 C ．320 D ．314 8．设x 、y 满足约束条件223231x y x y x y --⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≥，若22x y a +≥恒成立，则 实数a 的最大值为（ ）A ．45B ．34C ． 12D ．569．已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S ＞2 0112 012，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ． 2011n ≤B ． 2011n >C ． 2012n ≤D ． 2012n >10．现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是 （ ）A ．20B ．40C ．60D ．8011．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且双曲线过点2232(,)a b p p ，则该双曲线的离心率是( ) A ．264 B ．104 C ．132 D ．212．定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，都有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ,若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有 三个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ． )22,0(B ． )33,0(C ． )55,0(D ．)66,0( 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分.把答案填在答题卷中的横线上)13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若191535=-S S ，则公差为 ． 14．设20(12)a x dx =-⎰，则二项式62)(xa x +的常数项是 ． 15． 已知点G 是ABC ∆的重心，AG AB AC λμ=+( λ, R ∈μ )，若0120=∠A ，2-=⋅AC AB ，则AG 的最小值是 .16．如果对于任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，则()f a ，()f b ，()f c 也是某个三角形的三边长，称函数()f x 为“保三角形函数”．现有下列五个函数：①()2f x x = ；②()x f x e = ；③2()f x x = ；④()f x =⑤()sin f x x =． 其中是“保三角形函数”的有 ．(写出所有符合条件的序号)三、解答题（本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满 分12分）已知(2cos ,1)m x x =+,(cos ,)n x y =- ,且满足0m n ⋅=(Ⅰ)将y 表示为x 的函数()f x ,并写出()f x 的对称轴及对称中心；（Ⅱ）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角A B C 、、对应的边长，若()()2A f x f ≤对所有x R ∈恒成立，且4a = 求b c +的取值范围.18．（本小题满 分12分）如图，四棱锥P ABCD - 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD CD =，E 是PC 的中点．(Ⅰ)证明PA ∥平面BDE ；（Ⅱ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？证明你的结论．19．（本小题满 分12分）某超市计划在春节当天从有抽奖资格的顾客中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都成等差数列的为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，6，8为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．(Ⅰ)求顾客甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（Ⅱ）若顾客乙幸运地先后获得四次抽奖机会，求他得奖次数η的方差是多少？ 20．（本小题满 分12分） 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为单位圆 222:1C x y+=的直径， (Ⅰ)求椭圆的方程； （Ⅱ）过椭圆短轴的上顶点1B 作直线分别与单位圆2C 和椭圆1C 交于,A B 两点（,A B 两点均在y 轴的右侧），设2B 为椭圆的短轴的下顶点，求2AB B ∠的最大值．21．（本小题满 分12分）已知函数222()[(1)31]()x f x ax a x a a e a R =+--+-∈.(Ⅰ)若函数()f x 在(2,3)上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0a =，设()()ln x f x g x x x e=+-，斜率为k 的直线与曲线()y g x =交于11(,)A x y ,22(,)B x y (其中12x x <)两点，证明：12()2x x k +>.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分,作答时请写清题号.22．（本小题满 分10分）选修4-1：几何证明选讲直线MN 交圆O 于B A ,两点，AC 是直径，AD 平分CAM ∠，交圆O 于点D ，过D 作MN DE ⊥于E（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）若3,6==AE DE ，求ABC ∆的面积.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C 1的极坐标方程为θρ22sin 12+=，直线l 的极坐标方程为θθρcos sin 24+=． （Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知1,,222=++∈c b a R c b a ，. （Ⅰ）求证：3||≤++c b a ； （Ⅱ）若不等式211()x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．4a=，由正弦定理得4sin sin sinb cA B C==，2sin()4cos 3b c B C B B B B π∴+==-=+8sin()6B π=+ …………10分顾客抽奖一次，基本事件总数为310120C =,7267567(30)12012015p ξ⨯+⨯====，………………3分20．（Ⅰ）由题知1b =，又c e a===得23a =，∴椭圆的方程为2213x y +=．……4分故ABC ∆的面积5421=⨯=BC AB S . ………………10分23．（Ⅰ）221:22C x y +=，4l x += ………………5分（Ⅱ）设),sin Q θθ，则点Q 到直线l 的距离。