湖南衡阳中考数学试题解析版精修订

衡阳中考试题数学及答案一、选择题1. 已知x + 3 = 7，则x的值是多少？A. 3B. 4C. 6D. 7答案：C2. 若a = 2，b = -3，则a - b的值为多少？A. -1B. 1C. 5D. -5答案：D3. 如果m + n = 10，且m - n = 4，则m和n的值分别为多少？A. m = 7, n = 3B. m = 3, n = 7C. m = 8, n = 2D. m = 6, n = 4答案：A4. 已知直角三角形的两直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度是多少？A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm答案：A二、填空题1. 已知一个边长为5cm的正方形的面积是__________平方厘米。

答案：252. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，它的体积是__________立方厘米。

答案：603. 设x = 3，y = 4，则x² + y² = ________。

答案：254. 一个数加上5等于12，这个数是__________。

答案：7三、解答题1. 某商店以原价200元出售一件衣服，现在正在打折活动，折扣为20%，请问该衣服现在的售价是多少？解答：折扣为20%表示该衣服现在的价格是原价的80%。

所以，200元 * 80% = 160元。

该衣服现在的售价是160元。

2. 某图书馆有中文书籍3000本，英文书籍2000本，若要将这些书籍按照比例存放在两个书架上，并且两个书架上的书籍总数要一样多，那么每个书架应该分别放置多少中文书籍和英文书籍？解答：两个书架上的书籍总数为3000 + 2000 = 5000本。

根据比例，中文书籍占总数的3/5，即3000/5000 * 3/5 = 1800本。

同理，英文书籍占总数的2/5，即2000/5000 * 2/5 = 800本。

所以，每个书架应该分别放置1800本中文书籍和800本英文书籍。

2021 年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共12 个小题，每题 3 分，共 36分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕计算〔﹣〕1〕 +|﹣2|的结果是〔A ．﹣3B． 1C．﹣ 1D． 32．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕以下计算正确的选项是〔〕A ． a+a=2a33333527 B． b?b =2b C． a ÷a=a D．〔 a 〕 =a3．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕如下图的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，那么这个几何体的俯视图是〔〕A ．B．C．D．4．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕假设分式的值为0，那么x的值为〔〕A ． 2 或﹣ 1B． 0C． 2D．﹣ 15．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕函数y=中自变量x 的取值范围为〔〕A ． x≥0B． x≥﹣1C． x＞﹣ 1D． x≥16．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕不等式组的解集在数轴上表示为〔〕A ．B．C．D．7．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕等腰三角形的两边长分别为5 和 6，那么这个等腰三角形的周长为〔〕A ． 11B． 16C． 17D． 16 或 178．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕假设关于2有一个根为﹣1，那么另一个根为〔〕x 的方程 x +3x+a=0A ．﹣2B． 2C． 4D．﹣ 3第 1 页〔共 22 页〕A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直的四边形是正方形10．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕在今年“全国助残日〞捐款活动中，某班级第一小组7 名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数额分别是〔单位：元〕50、20、50、30、25、 50、 55，这组数据的众数和中位数分别是〔〕A ． 50 元， 30 元B． 50 元， 40 元C． 50 元， 50 元D． 55 元， 50 元11．〔3 分〕〔 2021?衡阳〕绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多10 米．设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为〔〕A ． x〔x﹣ 10〕=900 B． x〔 x+10 〕 =900C． 10〔 x+10 〕 =900D． 2[x+〔 x+10 〕]=90012．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕如图，为了测得电视塔的高度AB ，在 D 处用高为 1 米的测角仪CD，测得电视塔顶端 A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 米到达 F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为60°，那么这个电视塔的高度AB 〔单位：米〕为〔〕A ． 50B． 51C． 50+1D． 101二、填空题：本大题共8 个小题，每题 3 分，共 24 分。

数学衡阳中考试卷和答案****一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是正数？A. -2B. 0C. 3D. -5**答案：C**2. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 平行四边形B. 矩形C. 梯形D. 任意三角形**答案：B**3. 计算下列哪个表达式的结果为正数？A. \(-3 \times (-2)\)B. \(-3 \times 2\)C. \(3 \times (-2)\)D. \(-3 \times (-2) \times 3\)**答案：A**4. 哪个函数的图像是一条直线？A. \(y = x^2\)B. \(y = 2x + 3\)C. \(y = \frac{1}{x}\)D. \(y = x^3\)**答案：B**5. 下列哪个方程的解是x=2？A. \(x + 2 = 4\)B. \(x - 2 = 4\)C. \(x^2 = 4\)D. \(x^3 = 8\)**答案：A**6. 哪个分数是最简分数？A. \(\frac{6}{8}\)B. \(\frac{3}{4}\)C. \(\frac{9}{12}\)D. \(\frac{5}{7}\)**答案：D**7. 哪个角度是直角？A. 30°B. 45°C. 90°D. 120°**答案：C**8. 哪个是等腰三角形？A. 三条边长分别为3, 4, 5的三角形B. 三条边长分别为2, 2, 3的三角形C. 三条边长分别为1, 1, 2的三角形D. 三条边长分别为4, 5, 6的三角形**答案：B**9. 哪个是锐角三角形？A. 三个角分别为30°, 60°, 90°的三角形B. 三个角分别为45°, 45°, 90°的三角形C. 三个角分别为20°, 70°, 90°的三角形D. 三个角分别为50°, 60°, 70°的三角形**答案：D**10. 哪个是合数？A. 2B. 3C. 5D. 9**答案：D**二、填空题（每题3分，共30分）11. 计算 \(\sqrt{4}\) 的结果是 ________。

湖南省衡阳市2022年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.－2的绝对值是( )A.－2 B. 2C.D. 1212-2.石鼓广场供游客休息的石板凳如下图所示，它的主视图是( )3.下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A.可回收物B.其他垃圾C.有害垃圾D.厨余垃圾4.为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗.截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次，数据339000万用科学记数法可表示为的形式，则的值910a ⨯a 是()A. 0.339B. 3.39C. 33.9D. 3395.下列运算正确的是( )A. B. 235a a a +=3412a a a ⋅=C. D. ()437aa =32a a a÷=6.下列说法正确的是( )A.“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件180︒B.调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C.抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D.十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是137.的取值范围是( )a A. B. 1a >1a ≥C. D. 1a <1a ≤8.为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是( )A.38，39B.35，38C.42，39D.42，359.不等式组的解集在数轴上表示正确的是()2123x x x +≥⎧⎨<+⎩A.B.C.D.10.下列命题为假命题的是()A.对角线相等的平行四边形是矩形B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形D.有一组邻边相等的矩形是正方形11.在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕2m像的下部设计高度约是( )（结果精确到.参考数据：，，0.01m 1.414≈ 1.732≈）2.236≈A. B. C. D. 0.73m 1.24m 1.37m 1.42m12.如图，在四边形中，，，，平分.设，ABCD 90B ∠=︒6AC =AB CD ∥AC DAB ∠AB x =，则关于的函数关系用图象大致可以表示为()AD y =y xA. B.C. D.13.因式分解：_________.221x x ++=14._________.=15.计算：_________.2422a a a +=++16.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于ABC △A B 12AB 点和点，作直线交于点，连接.若，，则的周长为M N MN CB D AD 8AC =15BC =ACD △_________.17.如下左图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不6cm 120︒计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________.（结果保留）cm π18.回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如上右图，，，10m AE =30BDG ∠=︒.已知测角仪的高度为，则大雁雕塑的高度约为_________.（结果60BFG ∠=︒DA 1.5m BC m精确到.）0.1m 1.732≈本大题共8个小题，19~20题每题6分，21~24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

初中毕业升学考试（湖南衡阳卷）数学（解析版）（初三）中考真卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】﹣4的相反数是（）A．﹣ B． C．﹣4 D．4【答案】D.【解析】试题分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此可得﹣4的相反数是4．故答案选D.考点：相反数.【题文】如果分式有意义，则x的取值范围是（）A．全体实数 B．x≠1 C．x=1 D．x＞1【答案】B.【解析】试题分析：根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0．故答案选B．考点：分式有意义的条件．【题文】如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：根据平行线的性质得到∠1=∠B=50°，由三角形的内角和定理可得∠E=180°﹣∠B﹣∠1=90°，故答案选C．考点：平行线的性质.评卷人得分【题文】下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（）【答案】A．【解析】试题分析：选项A，球体的三视图都是圆，正确；选项B，圆柱的主视图和俯视图都是矩形，但左视图是一个圆形，错误；选项C，四棱柱的主视图和左视图是一个三角形，俯视图是一个四边形，错误；选项D，圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，错误．故答案选A．考点：简单几何体的三视图．【题文】下列各式中，计算正确的是（）A．3x+5y=8xy B．x3•x5=x8 C．x6÷x3=x2 D．（﹣x3）3=x6【lA．0.36×107 B．3.6×106 C．3.6×107 D．36×105【答案】B.【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数且为这个数的整数位数减1，,由于3600000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．即3600000=3.6×106．故答案选B.考点：科学记数法.【题文】要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】D.【解析】试题分析：方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好．故答案选D.考点：方差.【题文】正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C．【解析】试题分析：根据一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角可得一个外角的度数是：180°﹣150°=30°，360°÷30°=12．所以这个正多边形是正十二边形．故答案选C．考点：多边形内角与外角．【题文】随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（）A. 10（1+x）2=16.9B. 10（1+2x）=16.9C. 10（1﹣x）2=16.9D. 10（1﹣2x）=16.9【答案】A【解析】试题分析：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，故选A．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．【题文】关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4【答案】B．【解析】试题分析：已知一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，可得△=42﹣4k=0，解得k=4，故答案选B．考点：根的判别式．【题文】下列命题是假命题的是（）A．经过两点有且只有一条直线B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半C．平行四边形的对角线相等D．圆的切线垂直于经过切点的半径【答案】C．【解析】试题分析：选项A，经过两点有且只有一条直线，正确；选项B，三角形的中位线平行且等于第三边的一半，正确；选项C，平行四边形的对角线相等，错误．矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等．选项D，圆的切线垂直于经过切点的半径，正确．故答案选C．考点：命题.【题文】如图，已知A，B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（）【答案】A.【解析】试题分析：：设∠AOM=α，点P运动的速度为a，当点P从点O运动到点A的过程中，S==a2•cosα•sinα•t2，由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故答案选A．考点：函数图像.【题文】因式分解：a2+ab=．【答案】a（a+b）．【解析】试题分析：l【题文】若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．【答案】5：4．【解析】试题分析：已知△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，可得△ABC与△DEF的相似比为5：4；即可得△ABC与△DEF的周长之比为5：4．考点：相似三角形的性质.【题文】若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为．【答案】16．【解析】试题分析：设该圆锥的母线长为l，圆锥的侧面展开图为一扇形，根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长可得8π=，解得l=16，即该圆锥的母线长为16．考点：圆锥的计算.【题文】如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为．【答案】10．【解析】试题分析：n条直线最多可将平面分成S=1+1+2+3…+n=n（n+1）+1，n条直线最多可将平面分成56个部分，由此可得n（n+1）+1=56，解得x1=﹣11（不合题意舍去），x2=10．所以n的值为10．考点：一元二次方程的应用.【题文】先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．【答案】原式=2a2+2ab，当a=﹣1，b=时，原式=1．【解析】试题分析：根据平方差公式、完全平方公式展开后再合并同类项，化简后将a、b的值代入求值即可．试题解析：原式=a2﹣b2+a2+2ab+b2=2a2+2ab，当a=﹣1，b=时，原式=2×（﹣1）2+2×（﹣1）×=2﹣1=1．考点：整式的化简求值．【题文】为庆祝建党95周年，某校团委计划在“七一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲．为此提供代号为A，B，C，D四首备选曲目让学生选择，经过抽样调查，并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图．请根据图①，图②所提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为；（2）请将图②补充完整；（3）若该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？（要有解答过程）【答案】（1）20%；（2）详见解析；（3）595.【解析】试题分析：（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比；（2）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择C的人数，从而可以将图②补充完整；（3）根据条形统计图和扇形统计图可以估计全校选择此必唱歌曲的人数．试题解析：（1）由题意可得，本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为：×100%=20%．故答案为：20%；（2）由题意可得，选择C的人数有：30÷﹣36﹣30﹣44=70（人），故补全的图②如下图所示，（3）由题意可得，全校选择此必唱歌曲共有：1530×=595（人），即全校共有595名学生选择此必唱歌曲．考点：条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体．【题文】如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．【答案】详见解析.【解析】试题分析：根据已知条件可证得AD=BC，再ASA推出△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质得出即可．试题解析：证明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，∴AD=BC，在△AED和△BFC中，，∴△AED≌△BFC（ASA），∴DE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．【题文】在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．【答案】(1)详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：解（1）画树状图得：则共有16种等可能的结果；（2）∵既是中心对称又是轴对称图形的只有B、C，∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：．考点：列表法与树状图法．【题文】为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：港口运费（元/台）甲库乙库A港1420B港108（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．【答案】（1）y=﹣8x+2560，x的取值范围是30≤x≤80；（3）1920，方案为把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．【解析】试题分析：（1）设从甲仓库运x吨往A港口，根据题意得从甲仓库运往B港口的有（80﹣x）吨，从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣（80﹣x）=（x﹣30）吨，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简，即可得总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式；由题意可得x≥0，8-x≥0，x-30≥0,100-x≥0，即可得出x的取值；（2）因为所得的函数为一次函数，由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=80时，y最小，并求出最小值，写出运输方案．试题解析：（1）设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有（80﹣x）吨，从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣（80﹣x）=（x﹣30）吨，所以y=14x+20+10（80﹣x）+8（x﹣30）=﹣8x+2560，x的取值范围是30≤x≤80．（2）由（1）得y=﹣8x+2560y随x增大而减少，所以当x=80时总运费最小，当x=80时，y=﹣8×80+2560=1920，此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．考点：一次函数的应用．【题文】在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？{{28l试题解析：（1）在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，∴OC=，∵OC=×100=50∴雷达的有效探测半径r至少为50海里．（2）作AM⊥BC于M，∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，∴∠CAB=90°，∴AB=BC=30，在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，∴BM=AB=15，AM=BM=15，∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15海里．（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，∵∠HBN=∠HNB=15°，∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，∴HN=HB=2x，MH=x，∵BM=15，∴15=x+2x，x=30﹣15，∴AN=30﹣30，BN=，设B军舰速度为a海里/小时，由题意，∴a≥20．∴B军舰速度至少为20海里/小时．考点：解直角三角形的应用.【题文】在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC 三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．【答案】（1）1；（2）y=x﹣1；（3）若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2，5）或（﹣，﹣4）．【解析】试题分析：（1）由A、B、C三点坐标可知∠CBO=60°，又因为点D是△ABC的内心，所以BD平分∠CBO，然后利用锐角三角函数即可求出OD的长度；（2）根据题意可知，DF为半径，且∠DFE=90°，过点F作FG⊥y轴于点G，求得FG和OG的长度，即可求出点F的坐标，然后将E和F的坐标代入一次函数解析式中，即可求出直线EF的解析式；（3）⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，该点是△ABC的外接圆圆心，即为点D，所以DP=2，又因为点P在直线EF上，所以这样的点P共有2个，且由勾股定理可知PF=3．试题解析：（1）连接BD，∵B（，0），C（0，3），∴OB=，OC=3，∴tan∠CBO==，∴∠CBO=60°∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠CBO，∴∠DBO=30°，∴tan∠DBO=，∴OD=1，∴△ABC内切圆⊙D的半径为1；（2）连接DF，过点F作FG⊥y轴于点G，∵E（0，﹣1）∴OE=1，DE=2，∵直线EF与⊙D相切，∴∠DFE=90°，DF=1，∴sin∠DEF=，∴∠DEF=30°，∴∠GDF=60°，∴在Rt△DGF中，∠DFG=30°，∴DG=，由勾股定理可求得：GF=，∴F（，），设直线EF的解析式为：y=kx+b，∴，∴直线EF的解析式为：y=x﹣1；（3）∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，∴该点必为△ABC外接圆的圆心，由（1）可知：△ABC是等边三角形，∴△ABC外接圆的圆心为点D∴DP=2，设直线EF与x轴交于点H，∴令y=0代入y=x﹣1，∴x=，∴H（，0），∴FH=，当P在x轴上方时，过点P1作P1M⊥x轴于M，由勾股定理可求得：P1F=3，∴P1H=P1F+FH=，∵∠DEF=∠HP1M=30°，∴HM=P1H=，P1M=5，∴OM=2，∴P1（2，5），当P在x轴下方时，过点P2作P2N⊥x轴于点N，由勾股定理可求得：P2F=3，∴P2H=P2F﹣FH=，∴∠DEF=30°∴∠OHE=60°∴sin∠OHE=，∴P2N=4，令y=﹣4代入y=x﹣1，∴x=﹣，∴P2（﹣，﹣4），综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2，5）或（﹣，﹣4）．考点：圆的综合题．【题文】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数关系表达式．（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2+；（2）（1，1）；（3）当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．【解析】试题分析：（1）易得抛物线的顶点为（0，），然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p ，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F 的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，由题可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2，分三种情况（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）讨论就可解决问题．试题解析：（1）∵点B是点A关于y轴的对称点，∴抛物线的对称轴为y轴，∴抛物线的顶点为（0，），故抛物线的解析式可设为y=ax2+．∵A（﹣1，2）在抛物线y=ax2+上，∴a+=2，解得a=﹣，∴抛物线的函数关系表达式为y=﹣x2+；（2）①当点F在第一象限时，如图1，令y=0得，﹣x2+=0，解得：x1=3，x2=﹣3，∴点C的坐标为（3，0）．设直线AC的解析式为y=mx+n，则有，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+．设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．∵点F（p，p）在直线y=﹣x+上，∴﹣p+=p，解得p=1，∴点F的坐标为（1，1）．②当点F在第二象限时，同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），此时点F不在线段AC上，故舍去．综上所述：点F的坐标为（1，1）；（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，则OD=t，OE=t+1．∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．当x=t时，y=﹣t+，则N（t，﹣t+），DN=﹣t+．当x=t+1时，y=﹣（t+1）+=﹣t+1，则M（t+1，﹣t+1），ME=﹣t+1．在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣t+1）2=t2﹣t+2．在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣t+）﹣（﹣t+1）=，∴MN2=12+（）2=．①当DN=DM时，（﹣t+）2=t2﹣t+2，解得t=；②当ND=NM时，﹣t+=，解得t=3﹣；③当MN=MD时，=t2﹣t+2，解得t1=1，t2=3．∵0≤t≤2，∴t=1．综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．考点：二次函数综合题.。

2021 年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷数学一、选择题〔本大题共12个小题，每题 3分，总分值 36分。

在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合题目 要求的。

〕 01．2的倒数是【 B 】 A ．1B ． 1C ．2D．222 A 】02．以下图案中不是轴对称图形的是【A ．B ．C ．D ． 03．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。

我国新修订的?环境空气质量标准?中增加了PM 监测指标，“ PM 〞是指大气中危害健康的直径小于或等于微米的颗粒物。

微米即 米。

用科学记数法表示 为【 C 】A ． 105B ． 105C ． 106D ．10604．假设一个多边形的内角和是 900o，那么这个多边形的边数为【 C 】A ．5B ．6C ．7D ．8 05．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家。

如图描述了小明在散步过程中 离家的距离S 〔米〕与散步所用的时间 t 〔分〕之间的函数关系。

根据图象，以下信息错误的选项是【 A 】 A ．小明看报用时 8分钟 B ．公共阅报栏距小明家 200米 C ．小明离家最远的距离为 400D ．小明从出发到回家共用时16分钟 06．以下运算结果正确的选项是【 D 】 A ．x 2 x 3 x 5 B ．x 3gx 2 x 6 C ．x 5xx 5 2D ．x 3g3x9x5 x ＞ 007．不等式组1 的解集在数轴上表示为【 A 】 8 ≤0 4xA ．B ．08．以下因式分解中正确的个数为【C ．D ．】①x 32xyxxx 22y ；②x 24x 42③x 2y 2xyxy 。

x2； A ．3个 B ．2个 C ．1个 D．0个09．右图所示的图形是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，那么下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是【B 】A ．B ．C ．D ．10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12 米， 斜坡AB 的坡度i ，那么坝底AD 的长度为【 D 】A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米11．圆心角为120o ，弧长为12的扇形半径为【C 】A ．6B ．9 D C．18D．3612．以下命题是真命题的是【 】A ．四条边都相等的四边形是矩形B ．菱形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题〔本大题共 8个小题，每题3分，总分值24分。

2022年湖南省衡阳市中考数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2022•衡阳）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．D．﹣2．（3分）（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）（2022•衡阳）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．可回收物B．其他垃圾C．有害垃圾D．厨余垃圾4．（3分）（2022•衡阳）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为a×109的形式，则a的值是（）A．0.339B．3.39C．33.9D．3395．（3分）（2022•衡阳）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a3•a4＝a12C．（a3）4＝a7D．a3÷a2＝a 6．（3分）（2022•衡阳）下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是7．（3分）（2022•衡阳）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是（）A．a＞1B．a≥1C．a＜1D．a≤18．（3分）（2022•衡阳）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．38，39B．35，38C．42，39D．42，359．（3分）（2022•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）（2022•衡阳）下列命题为假命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形11．（3分）（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m12．（3分）（2022•衡阳）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝．14．（3分）（2022•衡阳）计算：＝．15．（3分）（2022•衡阳）计算：+＝．16．（3分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为．17．（3分）（2022•衡阳）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了cm．（结果保留π）18．（3分）（2022•衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为m．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.732）三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）（2022•衡阳）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．20．（6分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：AD＝AE．21．（8分）（2022•衡阳）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．22．（8分）（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？23．（8分）（2022•衡阳）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．24．（8分）（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA 的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．25．（10分）（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）（2022•衡阳）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动时间为t（秒）．（1）当点M与点B重合时，求t的值；（2）当t为何值时，△APQ与△BMF全等；（3）求S与t的函数关系式；（4）以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2≤t≤4时，求点E运动路径的长．2022年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2022•衡阳）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．D．﹣【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|＝2，故选：B．【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键．2．（3分）（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．【解答】解：从正面看，可得如下图形，故选：A．【点评】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．3．（3分）（2022•衡阳）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．可回收物B．其他垃圾C．有害垃圾D．厨余垃圾【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．（3分）（2022•衡阳）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为a×109的形式，则a的值是（）A．0.339B．3.39C．33.9D．339【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：339000万＝3390000000＝3.39×109，∴a＝3.39，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）（2022•衡阳）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a3•a4＝a12C．（a3）4＝a7D．a3÷a2＝a【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的除法判断D选项．【解答】解：A选项，a2与a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B选项，原式＝a7，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a12，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握（a m）n＝a mn是解题的关键．6．（3分）（2022•衡阳）下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是【分析】根据三角形内角和定理判断A选项；根据普查与抽样调查判断B选项；根据抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确判断C选项；根据三种信号灯持续的时间一般不相等判断D选项．【解答】解：A选项，三角形内角和为180°，故该选项符合题意；B选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；C选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；D选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，随机事件，掌握三种信号灯持续的时间一般不相等是解题的关键．7．（3分）（2022•衡阳）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是（）A．a＞1B．a≥1C．a＜1D．a≤1【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a的取值范围．【解答】解：由题意得：a﹣1≥0，∴a≥1，故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．8．（3分）（2022•衡阳）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．38，39B．35，38C．42，39D．42，35【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，39，42，42，众数为42，中位数为39，故选：C．【点评】本题考查了众数，中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．9．（3分）（2022•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．【解答】解：，解①得x≥﹣1，解②得x＜3．则表示为：故选：A．【点评】本题考查了不等式组的解法以及用数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．10．（3分）（2022•衡阳）下列命题为假命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题，符合题意；有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．11．（3分）（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．【点评】本题考查黄金分割及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程解决问题．12．（3分）（2022•衡阳）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．【分析】先证明CD＝AD＝y，过D点作DE⊥AC于点E，证明△ABC∽△AED，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．【解答】解：过D点作DE⊥AC于点E．∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，则CD＝AD＝y，即△ACD为等腰三角形，则DE垂直平分AC，∴AE＝CE＝AC＝3，∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠CAD，∠B＝∠AED＝90°，∴△ABC∽△AED，∴，∴，∴y＝，∵在△ABC中，AB＜AC，∴x＜6，故选：D．【点评】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，通过添加辅助线证明△ABC∽△AED是解本题的关键．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝（x+1）2．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，故答案为：（x+1）2．【点评】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．14．（3分）（2022•衡阳）计算：＝4．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解答】解：原式＝＝＝4．故答案为：4【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（3分）（2022•衡阳）计算：+＝2．【分析】根据同分母分式的加法计算即可．【解答】解：+＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．16．（3分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为23．【分析】根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线，得AD＝BD，进而可得△ACD 的周长．【解答】解：根据作图过程可知：MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+15＝23．故答案为：23．【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．17．（3分）（2022•衡阳）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了4πcm．（结果保留π）【分析】根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为120°的弧长即可．【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120°所对应的弧长，即＝4π，故答案为：4π．【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．18．（3分）（2022•衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为10.2m．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.732）【分析】首先证明BF＝DF＝10，在Rt△BFG中，根据三角函数定义求出BG即可解决问题．【解答】解：∵∠BFG＝60°，∠BDG＝30°，∴∠DBF＝60°﹣30°＝30°，∴∠DBF＝∠BDF，∴DF＝BF＝AE＝10，Rt△BFG中，sin∠BFG＝，∴＝，∴BG＝5＝5×1.732≈8.66，∴BC＝BG+CG＝8.66+1.5≈10.2（m）．答：大雁雕塑BC的高度约为10.2m．故答案为：10.2．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）（2022•衡阳）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a＝1，b＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a+b）（a﹣b）+b（2a+b）＝a2﹣b2+2ab+b2＝a2+2ab，将a＝1，b＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．20．（6分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：AD＝AE．【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．（8分）（2022•衡阳）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是120人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为90度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．【分析】（1）从两个统计图中可得样本中选择“B．七巧板”的有36人，占调查人数的30%，根据频率＝即可求出答案，进而补全条形统计图；（2）求出扇形C所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；（3）求出样本中参与“A．测量”所占的百分比，进而估计总体中“A．测量”的百分比，求出相应人数即可；（4）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．【解答】解：（1）调查学生总数为36÷30%＝120（人），选择“E．数学园地设计”的有120﹣30﹣30﹣36﹣6＝18（人），故答案为：120，补全统计图如下：（2）360°×＝90°，故答案为：90；（3）1200×＝300（人），答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人；（4）在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：共有20种可能出现的结果，其中恰好选中B，E这两项活动的有2种，所以恰好选中B，E这两项活动的概率为＝．【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．22．（8分）（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【分析】（1）根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进阶为y元/个，由题意可得：，解得，答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进阶为64元/个；（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进（40﹣a）个，利润为w元，由题意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，∴w随a的增大而增大，∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，∴a≤1.5（40﹣a），解得a≤24，∴当a＝24时，w取得最大值，此时w＝992，40﹣a＝16，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．23．（8分）（2022•衡阳）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．【分析】（1）把A（3，1）代入y＝可得m＝3，即得反比例函数关系式为y＝，从而B（﹣1，﹣3），将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b即可得一次函数的关系式为y ＝x﹣2；（2）在y＝x﹣2中得C（0，﹣2），设M（m，），N（n，n﹣2），而O（0，0），分三种情况：①以CO、MN为对角线时，CO、MN的中点重合，，可得M（，）或（﹣，﹣）；②以CM、ON为对角线，同理可得M（，）或（﹣，﹣）；③以CN、OM为对角线，同理可得M（2+，﹣2）或（2﹣，﹣﹣2）．【解答】解：（1）把A（3，1）代入y＝得：1＝，∴m＝3，∴反比例函数关系式为y＝；把B（﹣1，n）代入y＝得：n＝＝﹣3，∴B（﹣1，﹣3），将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的关系式为y＝x﹣2；答：反比例函数关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝x﹣2；（2）在y＝x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），设M（m，），N（n，n﹣2），而O（0，0），①以CO、MN为对角线时，CO、MN的中点重合，∴，解得或，∴M（，）或（﹣，﹣）；②以CM、ON为对角线，同理可得：，解得或，∴M（，）或（﹣，﹣）；③以CN、OM为对角线，同理可得：，解得或，∴M（2+，﹣2）或（2﹣，﹣﹣2），综上所述，M的坐标是（，）或（﹣，﹣）或（2+，﹣2）或（2﹣，﹣﹣2）．【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．24．（8分）（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA 的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；（2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：（1）直线BE与⊙O相切，理由：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，。

2022年衡阳市初中学业水平考试试卷数 学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.） 1. －2的绝对值是（ ） A. －2B. 2C.12D. 12-2. 石鼓广场供游客休息的石板凳如下图所示，它的主视图是（）A. B. C. D.3. 下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A. 可回收物B. 其他垃圾C. 有害垃圾D. 厨余垃圾4. 为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗.截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次，数据339000万用科学记数法可表示为910a ⨯的形式，则a 的值是（ ）A. 0.339B. 3.39C. 33.9D. 3395. 下列运算正确的是（ ） A. 235a a a +=B. 3412a a a ⋅=C. ()437aa =D.32a a a ÷=6. 下列说法正确的是（）A. “任意画一个三角形，其内角和为180︒”是必然事件B. 调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C. 抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D. 十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是137. a 的取值范围是（ ）A. 1a >B. 1a ≥C. 1a <D. 1a ≤8. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A. 38，39B. 35，38C. 42，39D. 42，359. 不等式组2123x x x +≥⎧⎨<+⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.10. 下列命题为假命题的是（）A. 对角线相等的平行四边形是矩形B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形D. 有一组邻边相等的矩形是正方形11. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（结果精确到0.01m . 1.414≈，1.732≈2.236≈）A. 0.73mB. 1.24mC. 1.37mD. 1.42m12. 如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，6AC =，AB CD ∥，AC 平分DAB ∠.设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.） 13. 因式分解：221x x ++=_________.14. =_________. 15. 计算：2422a a a +=++_________. 16. 如图，在ABC △中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交CB 于点D ，连接AD .若8AC =，15BC =，则ACD △的周长为_________.17. 如图，用一个半径为6cm 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120︒，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm .（结果保留π）18. 回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，10m AE =，30BDG ∠=︒，60BFG ∠=︒.已知测角仪DA 的高度为1.5m ，则大雁雕塑BC 的高度约为_________m .（结果精确到0.1m . 1.732≈）三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21~24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本小题满分6分）先化简，再求值.()()()2a b a b b a b +-++，其中1a =，2b =-. 20.（本小题满分6分）如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，且BD CE =，求证：AD AE =.21.（本小题满分8分）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是_________人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为_________度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率.22.（本题满分8分）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物.冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元.（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？23.（本小题满分8分）如图，反比例函数myx=的图象与一次函数y kx b=+的图象相交于()3,1A，()1,B n-两点.（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标. 24.（本小题8分）如图，AB 为O 的直径，过圆上一点D 作O 的切线CD 交BA 的延长线与点C ，过点O 作OE AD ∥交CD 于点E ，连接BE .（1）直线BE 与O 相切吗？并说明理由； （2）若2CA =，4CD =，求DE 的长. 25.（本小题10分）如图，已知抛物线22y x x =--交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C .（1）写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y x b =-+与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值； （3）P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使CMN △与OBC △相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.26.（本小题满分12分）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，作PM AD ⊥交直线AB 于点M ，交直线BC 于点F ，设PQM △与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P 运动时间为t （秒）.（1）当点M 与点B 重合时，求t 的值； （2）当t 为何值时，APQ △与BMF △全等； （3）求S 与t 的函数关系式；（4）以线段PQ 为边，在PQ 右侧作等边三角形PQE ，当24t ≤≤时，求点E 运动路径的长.2022年衡阳市初中学业水平考试试卷解析数 学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）∵AC 平分DAB ∠，∴BAC CAD ∠=∠，∴ACD CAD ∠=∠，则CD AD y ==，即ACD △为等腰三角形， 过D 点做DE AC ⊥于点E .则DE 垂直平分AC ，132AE CE AC ===，90AED ∠=︒， ∵BAC CAD ∠=∠，90B AED ∠=∠=︒， ∴ABC AED △∽△，∴AC ABAD AE=，∴63x y =， ∴18y x=， ∵在ABC △中，AB AC <， ∴6x <，故y 关于x 的函数图像是D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）131415 16 17 18 ()21x + 42234π10.218.【解析】∵30BDG ∠=︒且60BFG ∠=︒， ∴30DBF BFG BDG ∠=∠-∠=︒， ∴DBF BDG ∠=∠， 即10m BF DF AE ===.∴sin 608.66m BG BF ︒=⋅=≈，∴8.66 1.510.2m BC BG GC BG DA =+=+=+≈， 故答案为10.2m .三、解答题（本大题共8小题，19-20每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. 解：原式222222a b ab a b ab =-++=+， 将1a =，2b =-代入式中得： 原式()21212143=+⨯⨯-=-=-.20. 证明：∵AB AC =，∴ABC △为等腰三角形， ∴B C ∠=∠， 又∵BD CE =，∴在ABD △和ACE △中，AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS △≌△， ∴AD AE =.21. 答：（1）因为参与B 活动的人数为36人，占总人数30%，所以总人数3612030%==人，则参与E 活动的人数为：120303630618----=人； 补全统计图如下：（2）扇形C 的圆心角为：3036090120⨯︒=︒； （3）最喜爱“测量”项目的学生人数是：301200300120⨯=人；（4）列表如下：第一项 第二项AB C D E A ——ABAC AD AE B BA ——BCBD BE C CA CB ——CDCE D DA DB DC ——DEEEAEBECED——或者树状图如下：所以，选中B 、E 这两项活动的概率为：()2100%10%20BE P =⨯=选中. 22.（1）解：设冰墩墩进价为x 元，雪容融进价为y 元. 得1361551400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得7264x y =⎧⎨=⎩，∴冰墩墩进价为72元，雪容融进价为64元.（2）设冰墩墩进货a 个，雪容融进货()40a -个，设利润为w ， 得关于利润解析式()2820408800w a a a =+-=+， ∵0a >，所以利润随a 增大而增大，又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍， 得()3402a a ≤-，解得24a ≤.∴当a 取24时利润取得最大值为992.23.（1）解：将()3,1A 代入反比例函数解析式求得，3m =，即反比例函数解析式为3y x=，将A 代入反比例函数解析式中求得3n =-，即()1,3B --，将A ，B 代入y kx b =+，求得1k =，2b =-得2y x =-，综上反比例函数解析式为3y x=，一次函数解析式为2y x =-. （2）由题2OC =，且四边形OCNM 为平行四边形，且OC 固定， ∴M ，N 横坐标相同，设3,M t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),2N t t -， ∵OC MN =即()322t t--=，解得t =，∴M或(.24.（1）证明：连接OD .∵CD 为O 切线，∴90ODC ODE ∠=∠=︒，又∵OE AD ∥，∴DAO EOB ∠=∠，ADO EOD ∠=∠， 且ADO DAO ∠=∠，∴EOD EOB ∠=∠， 在ODE △与OBE △中；∵OD OB EOD EOB OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ODE OBE △≌△，∴90OBE ODE ∠=∠=︒， ∴直线BE 与O 相切.（2）设半径为r ；则：2224(2)r r +=+，得3r =；在直角三角形CBE 中，222BC BE CE +=，222(233)(4)DE DE +++=+，解得6DE =.25. 解：（1）由翻折可知：()0,2C .令220x x --=，解得：11x =-，22x =，所以，()1,0A -，()2,0B ，设图象W 的解析式为()()12y a x x =+-，代入()0,2C ，解得1a =-， 所以解析式为()2212y x x x =-++-≤≤. （2）2b =或3b =（3）如图1，当CN OB ∥时，OBC NMC △∽△，此时，()1,0P ； 如图2，当CN OB ∥时，OBC NMC △∽△，此时，N 点纵坐标为2，222x x --=，解得1x =2x =；所以P ⎫⎪⎪⎭；如图3，当90NCM ∠=︒时，OBC CMN △∽△，此时，直线CN 的解析式：2y x =+；联立方程组：222y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得11x =，21x =-（舍），所以()1P .因此，综上所述：P 点坐标为()1,0或⎫⎪⎪⎭或()1.26. 解：（1）M 与B 重合时，∵60A ∠=︒，∴122PA AB ==，∴2t =.（2）①当02t ≤≤时，∵2AM t =，∴42BM t =-，∵APQ BMF △≌△，∴AP BM =，∴42t t =-，∴43t =. ②当24t <≤， ∵2AM t =，∴24BM t =-，∵APQ BMF △≌△，∴AP BM =，∴24t t =-，∴4t =.∴4t =或43t =. （3）①当02t ≤≤时，PQ =，∴32MQ t =，∴2PQM S S ==△.②当24t <≤时，∵2BF t =-，)2MF t =-，∴22)BFM S t =-△，∴2PQM BFM S S S =-=+-△△，∴22,0224t S t ≤≤=⎪+-<≤⎪⎩.（4）连接AE .∵PQE △为正三角形，∴PE =，在Rt APE △中，tan PE PAE PA ∠=== ∴PAE ∠为定值.∴E 的运动轨迹为直线，AE ==， 当2t =时AE =，当4t =时AE = ∴E的运动路径长为=.。

2023湖南省衡阳市中考数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入500元记作500+元，则支出237元记作（ ）A. 237+元B. 237−元C. 0元D. 474−元【答案】B【解析】【分析】根据相反意义的量的意义解答即可．【详解】∵收入500元记作500+元，∴支出237元记作237−元，故选B ．【点睛】本题考查了相反意义的量，正确理解定义是解题的关键．2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）A. 1cm,2cm,3cmB. 3cm,8cm,5cmC. 4cm,5cm,10cmD. 4cm,5cm,6cm【答案】D【解析】【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．【详解】A .1cm+2cm=3cm ，不符合题意；B .3cm+5cm=8cm ，不符合题意；C .4cm+5cm=9cm 10cm <，不符合题意；D .4cm+5cm=9cm 6cm >，符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 3. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据左视图定义从左向右看得到的图形，从左面看看到壶嘴，画的全身，看不见弧把手，对各选项进行分析判断即可．【详解】A. 是从上向下看得到的图形为俯视图，故选项A不合题意；B. 是从左向右看得到的图形为左视图，故选项B符合题意；C. 是从下往上看得到的图形是仰视图，故选项C不合题意；D.是从前往后看得到的图形是主视图，故选项D 不合题意．故选择B ． 【点睛】本题考查物体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．5. 计算2312x的结果正确的是（ ）A. 6xB. 614xC. 514xD. 9x【答案】B【解析】【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果． 【详解】解：()236322112124x x x == ， 故选：B ．【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键．6. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）A. 77.35810×B. 37.35810×C. 4735810×D. 67.35810× 【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．据此可得出结果．【详解】7358万77.3581735800000=×=，故选：A ．【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定a 的值以及n 的值是本题的关键．7.．该运算法则成立的条件是（ ）A. 0,0a b >>B. 0,0a b <<C. 0,0a b ≤≤D. 0,0a b ≥≥【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得000a b ab ≥ ≥ ≥，0,0a b ∴≥≥，故选：D ．【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．8. 如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，添加下列条件，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A. AB ＝CDB. AB ∥CDC. ∠A ＝∠CD. BC ＝AD【答案】A【解析】 【分析】依据平行四边形的判定，依次分析判断即可得出结果．【详解】解：A 、当BC ∥AD ，AB ＝CD 时，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意； B 、当AB ∥CD ，BC ∥AD 时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；C 、当BC ∥AD ，�A ＝�C 时，可推出AB ∥DC ，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；D 、当BC ∥AD ，BC ＝AD 时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；故选：A ．【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要熟记平行四边形的判定方法．9. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x 只鸡，y 只兔．依题意，可列方程组为（ ）的A. 35,4294x y x y += +=B. 94,4235x y x y += +=C. 35,2494x y x y += +=D. 94,2435x y x y += +=【答案】C【解析】【分析】根据等量关系“鸡的只数+兔的只数35=”和“2×鸡的只数4+×兔的只数94=”即可列出方程组．【详解】解：设有x 只鸡，y 只兔，由题意可得：352494x y x y += +=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系．10. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为2S 甲和2S 乙，则2S 甲与2S 乙的大小关系是（ ） 测试次数 12 3 4 5 甲5 10 9 3 8 乙8 6 8 6 7A. 22S S >甲乙B. 22S S <甲乙C. 22S S =甲乙D. 无法确定 【答案】A【解析】【分析】先分别求出甲、乙的平均数，再求出甲、乙的方差即可得出答案．【详解】解：甲的平均数为51093875++++=， 甲的方差为()()()()()222222157107973787 6.85S =−+−+−+−+−= 甲， 乙的平均数为8686775++++=，乙的方差为()()()()()222222187678767770.85S =−+−+−+−+−=甲， ∵0.8 6.8<，∴22S S >甲乙．故选：A ． 【点睛】此题主要考查了平均数及方差的知识．方差的定义：一般地设n 个数据，1x ，2x ，…n x 的平均数为()121n x x x x x =++ ，则方差()()()2222121 n S x x x x x x n=−+−++− ，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．11. 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．则三角形的三个内角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（ ）A. 反证法B. 比较法C. 综合法D. 分析法 【答案】A【解析】【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答．【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．则三角形的三个内角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．以上步骤符合反证法的步骤．故推理使用的证明方法是反证法．故选：A ．【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．12. 已知0m n >>，若关于x 的方程2230x x m +−−=的解为()1212,x x x x <．关于x 的方程2230x x n +−−=的解为3434,()x x x x <．则下列结论正确的是（ ）A. 3124x x x x <<<B. 1342x x x x <<<C. 1234x x x x <<<D. 3412x x x x <<<【答案】B【解析】【分析】把12x x ，看做是直线y m =与抛物线223y x x =+−交点的横坐标，把34x x ，看做是直线y n =与抛物线223y x x =+−交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．【详解】解：如图所示，设直线y m =与抛物线223y x x =+−交于A 、B 两点，直线y n =与抛物线223y x x =+−交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +−−=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +−−=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13. 在平面直角坐标系中，点()3,2P −−所在象限是第________象限．【答案】三【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：()3,2P −−的横坐标为负数，纵坐标为负数，()3,2P ∴−−在第三象限，故答案为：三． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(,)++，第二象限(,)−+，第三象限(,)−−，第四象限(,)+−． 14. 一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是________． 【答案】14##0.25【解析】 【分析】根据公式333912=+计算即可．【详解】∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球， ∴取出红球的概率是33139124==+， 故答案为：14．【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．15. 已知5x =，则代数式2324416x x −−−的值为________． 【答案】13【解析】【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．【详解】解：原式=()()()()()34244444x x x x x +−−+−+()()31244x x x −=−+34x =+ 5x =333145493∴===++x故答案为：13【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．16. 已知关于x 的方程2200x mx +−=的一个根是4−，则它的另一个根是________．【答案】5【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得1220c x x a ⋅==−，根据该方程一个根为4−，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意可得：1,,20a b m c ===−， �1220c x x a⋅==−，�该方程一个根为4−，令14x =−， �2420x −=−，解得：25x =． 故答案：5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两根为1x ，2x ，则12c x x a ⋅=，12b x x a+=−． 17. 如图，在Rt ABC △中，90,8,6ACB AC BC ∠=°==．以点C 为圆心，r 为半径作圆，当所作的圆与斜边AB 所在的直线相切时，r 的值为________．【答案】245【解析】【分析】根据勾股定理，得10AB ，根据切线的性质，得到圆的半径等于AB 边上的高，根据直角三角形的面积不变性计算即可．【详解】∵90,8,6ACB AC BC ∠=°==，∴10AB ，根据切线的性质，得到圆的半径等于AB 边上的高，为∴1122AB r AC BC ×=×, ∴8624105AC BC r AB ××===， 故答案：245． 【点睛】本题考查了勾股定理，切线的性质，熟练掌握勾股定理，切线的性质是解题的关键． 18. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．【答案】10【解析】【分析】先求出正五边形的外角为72°，则1272∠=∠=°，进而得出36AOB ∠=°，即可求解．【详解】解：根据题意可得：�正五边形的一个外角360725°==°， �1272∠=∠=°，�18072236AOB ∠=°−°×=°，�共需要正五边形的个数3601036°=°（个）， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21~24题每题8分，25题10分，26题为12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19.计算：()321−++−×【答案】3【解析】【分析】根据求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法进行计算即可求解．【详解】解：()321−++−×322=+−3=【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法是解题的关键．20. 解不等式组：()40213x x x −≤ +< ①②【答案】24x <≤【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：()40213x x x −≤ +<①② 解不等式①得：4x ≤解不等式②得：2x >∴不等式组的解集为：24x <≤【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．21. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x 表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A ：6070x ≤<；B ：7080x ≤<；C ：8090x ≤<；D ：90100x ≤≤），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C 组中的数据为：84，84，88．九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八87 a98 60%九87 86 b c根据以上信息，解答下列问题：a________，b=________，c=________．（1）填空：=（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．【答案】（1）84，100，80%；（2）200人【解析】【分析】（1）根据中位数的定义得出a为排序后第八名学生的成绩；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的分数，即可求出b；用抽取的九年级学生的竞赛成绩中80分以上的个数除以15，即可求出c；（2）用500人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中90分以上的人数所占百分比，即可求解．【小问1详解】解：�一共抽取八年级学生15人，∴中位数是排序后的第8个数据，∵1+5=6，∴第8个数据落在C组，a=；�a第八名学生成绩，即84∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多，b=，�100∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，80分及以上的有12个，�12100%80%15c =×=；故答案为：84，100，80%；【小问2详解】解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；�该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：665002001515+×=+（人）， 答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，频率，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用，正确从统计图中获取需要数据．22. 如图，正比例函数43y x =的图象与反比例函数12(0)y x x =>的图象相交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）分别以点O 、A 为圆心，大于OA 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B 和点C ，作直线BC ，交x 轴于点D ．求线段OD 的长．【答案】（1）()3,4A（2）256OD =【解析】【分析】（1）解两个函数联立组成的方程组即可；（2）由题意可得：CD 垂直平分OA ，连接AD ，如图，根据线段垂直平分线的性质可得AD OD =，设(),0D m ，根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案．【小问1详解】解：解方程组4312y x y x = =，得121233,44x x y y ==− ==− ，�0x >，�()3,4A ；【小问2详解】解：由题意可得：CD 垂直平分OA ，连接AD ，如图，则AD OD =，设(),0D m ，则()22234m m =−+，解得256m =， �256OD =． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点、线段垂直平分线的尺规作图和性质以及两点间的距离等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼AB 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部C 处，遥控无人机旋停在点C 的正上方的点D 处，测得教学楼AB 的顶部B 处的俯角为30°，CD 长为49.6米．已知目高CE 为1.6米．（1）求教学楼AB 的高度．（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA 的方向，以/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB ．【答案】（1）教学楼AB 的高度为25.6米（2）无人机刚好离开视线EB 的时间为12秒【解析】【分析】（1）过点B 作BG DC ⊥于点G ，根据题意可得：,DC AC AB AC ⊥⊥，AC =30FDB ∠=°，通过证明四边形GCAB 为矩形，得出BG AC ==米，进而得出tan 3024DG BG =⋅°=米，最后根据线段之间的和差关系可得CG AB CD DG ==−，即可求解；（2）连接EB 并延长，交DF 于点H ，先求出24EG CG CE =−=米，进而得出BD BE =，则60BEG BDG ∠=∠=°，则tan 60DH DE =⋅°=米，即可求解．【小问1详解】解：过点B 作BG DC ⊥于点G ，根据题意可得：,DC AC AB AC ⊥⊥，AC =30FDB ∠=°，�DC AC ⊥，AB AC ⊥，BG DC ⊥，�四边形GCAB 为矩形， �BG AC ==�DF DC ⊥，BG DC ⊥，�DF BG ∥，�30DBG FDB ∠=∠=°，�tan 3024DG BG =⋅°=米，�CD 长为49.6米，�49.62425.6CG AB CD DG ==−=−=（米），答：教学楼AB 的高度为25.6米．【小问2详解】解：连接EB 并延长，交DF 于点H ，� 1.6CE =米，25.6CG =米，�24EG CG CE =−=米，�24DG EG ==米， BG DC ⊥，�BD BE =，�903060BEG BDG ∠=∠=°−°=°，48DE DG EG =+=米， �tan 60DH DE =⋅°=（米）， �无人机以/秒的速度飞行，�离开视线EB 12=（秒）， 答：无人机刚好离开视线EB 的时间为12秒．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．24. 如图，AB 是O 的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，交O 于点H ，DB 交AC 于点G ．（1）求证：AF DF =．（2）若5,sin 2AF ABD =∠=O 的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5【解析】【分析】（1）根据D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，得到 CD DA AH ==,得到ADH DAC ∠=∠即可得证．（2）根据sin AD ABD AB ∠=，设,5AD AB x =，运用勾股定理，得到BD =，结合sin DE ABD BD∠=，得到2DE x =，运用勾股定理，得到4BE x =，从而得到5,22AE x EF ED DF DE AF x==−=−=− ，Rt AEF 中，利用勾股定理计算x 即可．【小问1详解】∵D 是 AC 的中点，∴ CD DA =，∵DE AB ⊥，AB 是O 的直径，∴ DA AH =，∴ CD DA AH ==，∴ADH DAC ∠=∠，∴AF DF =．【小问2详解】∵DE AB ⊥，AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=°，∵sinADABD AB ∠=，设,5AD AB x =，∴BD=，∵sin DEABD BD ∠=，∴2DE x =，∴4BE x =，∴5,22AE x EF ED DF DE AF x==−=−=− ，在Rt AEF 中，222AF AE EF =+， ∴22255222x x =+−， 解得2x =或0x =（舍去）， ∴510AB x ==，∴O 的半径为5．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键．25. （1）[问题探究]如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ．在线段AO 上任取一点P （端点除外），连接PD PB 、．①求证：PD PB =；②将线段DP 绕点P 逆时针旋转，使点D 落在BA 的延长线上的点Q 处．当点P 在线段AO 上的位置发生变化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ 与OP 的数量关系，并说明理由．（2）[迁移探究]如图2，将正方形ABCD 换成菱形ABCD ，且60ABC ∠=°，其他条件不变．试探究AQ 与CP 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②不变化，90DPQ ∠=°，理由见解析；③AQ =，理由见解析；（2）AQ CP =，理由见解析【解析】在【分析】（1）①根据正方形的性质证明DCP BCP ≅ ，即可得到结论； ②作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点M 、N ，如图，可得PM PN =，证明四边形AMPN 是矩形，推出90MPN ∠=°，证明()Rt Rt HL DPN QPM ≅ ， 得出DPN QPM ∠=∠，进而可得结论；③作PE AO ⊥交AB 于点E ，作EF OB ⊥于点F ，如图，证明AQ BE =，BE =即可得出结论； （2）先证明PQ PB =，作∥PE BC 交AB 于点E ，EG AC ∥交BC 于点G ，如图，则四边形PEGC 是平行四边形，可得EG PC =，,APE BEG 都是等边三角形，进一步即可证得结论．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，�,45CD CB DCA BCA =∠=∠=°，�CP CP =，�DCP BCP ≅ ，�PD PB =；②DPQ ∠的大小不发生变化，90DPQ ∠=°；证明：作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点M 、N ，如图，�四边形ABCD 是正方形，�45DAC BAC ∠=∠=°，90DAB ∠=°，�四边形AMPN 是矩形，PM PN =，�90MPN ∠=°，�,PD PQ PM PN ==，�()Rt Rt HL DPN QPM ≅ ，∴DPN QPM ∠=∠，�90QPN QPM ∠+∠=°，�90QPN DPN ∠+∠=°，即90DPQ ∠=°；③AQ =；证明：作PE AO ⊥交AB 于点E ，作EF OB ⊥于点F ，如图，�四边形ABCD 是正方形， �45BAC ∠=°，90AOB ∠=°， ∴45AEP ∠=°，四边形OPEF 是矩形， �45,PAE PEA EF OP ∠=∠=°=， �PA PE =，�PD PB =，PD PQ =， �PQ PB =，作PM AE ⊥于点M ，则,QM BM AM EM ==， �AQ BE =，�90,45EFB EBF ∠=°∠=°，�sin 45EFBE ==°，�AQ =；（2）AQ CP =；证明：�四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=°， �,,AB BC AC BD DO BO =⊥=， �ABC 是等边三角形，AC 垂直平分BD ， �60,BAC PD PB ∠=°=， �PD PQ =，�PQ PB =，作∥PE BC 交AB 于点E ，EG AC ∥交BC 于点G ，如图， 则四边形PEGC 是平行四边形，60GEB BAC ∠=∠=°，60AEP ABC ∠=∠=°， �EG PC =，,APE BEG 都是等边三角形， ∴BE EG PC ==，作PM AB ⊥于点M ，则,QM MB AM EM ==， �QA BE =，�AQ CP =．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．26. 如图，已知抛物线223y ax ax =−+与x 轴交于点()1,0A −和点B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，过B 、C 两点作直线．（1）求a 的值．（2）将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度，交抛物线于B ′、C ′两点．在直线B C ′′上方的抛物线上是否存在定点D ，无论m 取何值时，都是点D 到直线B C ′′的距离最大，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点P ，使45PBC ACO ∠+∠=°，若存在，请求出直线BP 的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1a =−（2）存在31524D，，理由见详解 （3）存在点P ，直线BP 的解析式为39y x =−+或113y x =−+． 【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果；（2）设B C ′′与y 轴交于点G ，设2(,23)D t t t −++，过点D 作DE y ∥轴交B C ′′于点E ，作DF B C ′′⊥于点F ，先证明DEF 是等腰直角三角形，再表示出DE 的长度，根据二次函数的性质即可得出结果； （3）分两种情况讨论，当点P 在直线BC 下方时，与当点P 在直线BC 上方时．【小问1详解】解：抛物线223y ax ax =−+与x 轴交于点()1,0A −，得230a a ++=，解得：1a =−；【小问2详解】 解：存在31524D，，理由如下：设B C ′′与y 轴交于点G ，由（1）中结论1a =−，得抛物线的解析式为223y x x =−++，当0y =时，1213x x =−=，，即(10)(30)(03)A B C −，，，，，，OB OC =，90BOC ∠=°，即BOC 是等腰直角三角形，45BCO ∴∠=°，B C BC ′′∥ ，45BCO B GO ′∴∠=∠=°，设2(,23)D t t t −++，过点D 作DE y ∥轴交B C ′′于点E ，作DF B C ′′⊥于点F ，45DEF B GO ′∴∠=∠=°，即DEF 是等腰直角三角形，设直线BC 的解析式为y kx b =+，代入(30)(03)B C ，，，，得303k b b += = ，解得13k b =− = ，故直线BC 的解析式为3y x =−+，将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度，得直线B C ′′的解析式为3y x m =−+−，(3)E t t m ∴−+−，，2223923(3)324DE t t t m t t m t m =−++−−+−=−++=−−++ ， 当32t =时，DE 有最大值94m +，此时DF =也有最大值，31524D ，； 【小问3详解】解：存在点P ，理由如下：当点P 在直线BC 下方时，在y 轴上取点(0,1)H ，作直线BH 交抛物线于（异于点B ）点P ，由（2）中结论，得45OBC ∠=°，1,,90OH OA OB OC BOH COA ∴===∠=∠=°，()≌SAS BOH COA ∴ ，OBH ACO ∴∠=∠，45PBC ACO PBC OBH OBC ∠+∠=∠+∠=∠=°∴，设直线BP 的解析式为11y k x b =+，代入点(30)(01)B H ，，，， 得111301k b b += = ，解得11131k b =− = ，故直线BP 的解析式为113y x =−+； 当点P 在直线BC 上方时，如图，在x 轴上取点()10I ，，连接CI ，过点B 作BP CI ∥交抛物线于点P ，∴PBC BCI ∠=∠，∴190OI OA OC OC COI COA ===∠=∠=°，，，()COI COA ∴ ≌SAS ，OCI ACO ∴∠=∠，45PBC ACO BCI OCI OCB ∠+∠=∠+∠=∠=°∴，设直线CI 的解析式为22y k x b =+，代入点(10)(03)I C ，，，， 得22203k b b += = ，解得2233k b =− = ， 故设直线CI 的解析式为33y x =−+， BP CI ∥，且过点(30)B ，, 故设直线BP 的解析式为3y x n =−+， ∴033n =−×+，解得9n =，∴直线BP 的解析式为39y x =−+． 综上所述：直线BP 的解析式为39y x =−+或113y x =−+． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．。

衡阳中考数学试题及答案一、选择题1. 设函数 f（x）= |x - 4| + 2，当x ≥ 4 时，f（x）的值等于（）A. x - 2B. x + 2C. 2D. 4 - x2. 在抛物线 y = 2x^2 - 3x - 2 的图象上，点 P（a, -10）为切点，则实数 a 的值为（）A. 3B. -3C. 1D. -13. 在平面直角坐标系中，点 A（1, 3）和点 B（-2, 4）关于原点 O 的对称点记为 C，点 A 和 C 的中点记为 D，则线段 BD 的斜率为（）A. -2B. 1C. 2D. -14. 已知 x = 2^(-2t) + 2^(-t)，则当 t = 0 时，x 的值等于（）A. 0B. 0.5C. -1D. 15. 若正整数 a 和 b 满足 a^2 - b^2 = 35，则 a 的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题6. 某公司在去年全年的销售额为 600 万元，今年增长了 25%，则今年全年的销售额为 __________万元。

7. 在平面直角坐标系中，点 P(a, -2) 与点 Q(-2, b) 是关于原点 O 对称的点，则 a + b 的值为 __________。

8. 有一篮子里有红、黄、蓝三种颜色的球，红球占总数的 20%，黄球占总数的 30%，蓝球占总数的 50%。

已知篮子中一球为红色的概率是 1/3，则篮子中蓝球的数目为 __________个。

9. 一辆汽车原来是满油状态，已知全程共耗油 35 升，第一部分耗油与第二部分耗油的比值为 1:2，那么第一部分行程的长度是全程长度的 __________。

10. 若 y = kx 是函数 y = x^2 的图象上的一条弦，且弦与 x 轴的交点横坐标分别为 1 和 2，则实数 k 的值为 __________。

三、解答题11. 【解答】已知函数 f（x）= mx + 2，当 x = 3 时，f（x） = 4。