上海市华师大二附中2018学年高一下学期期中数学试卷 含解析

2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第象限．2．（3分）=．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=．5．（3分）在△ABC中，，，则=．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第二象限．【解答】解：因为＜3＜π，所以3弧度的角终边在第二象限．故答案为：二2．（3分）=﹣．【解答】解：=cos=﹣cos=﹣，故答案为：．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=±4．【解答】解：函数f（x）=asinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．∵sin（x+θ）的最大值为1．∴函数f（x）的最大值为，即=5可得：a=±4．故答案为：±4．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=8．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，a4+a6=0，∴2×8+8d=0，解得d=﹣2．则S8=8×8﹣2×=8．故答案为：8．5．（3分）在△ABC中，，，则=．【解答】解：∵，，∴由正弦定理，可得：=，解得：sinC=，C为锐角，可得C=，∴由A+B+C=π，可得：B=，∴===．故答案为：．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，即3sinx=1+1﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或sinx=，∴x∈，故答案为：．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是12．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=3sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=3tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=3tanBtanC，可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，﹣=（﹣）2﹣，由t＞1得，﹣≤﹣＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为12．故答案为：12．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，∴α﹣β∈（﹣，），cos（α﹣β）==，又∵，可得：cos=，∴sinβ=﹣sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=﹣（﹣）×+=，∴．故选：C．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．﹣b n=1．∴b n+1∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【解答】解：（1）由tanx有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）=4tanxcosxcos（x﹣）﹣=4sinxcos（x﹣）﹣=2sinxcosx+2sin2x ﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．[﹣+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，]，[+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，﹣]，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）=﹣2，又f（﹣）=﹣1，f（）=1，∴f（x）的最大值为f（）=1．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．【解答】解：（1）当时，arctan+arctan（2﹣x）=，∴，解得x=﹣1或x=2，∴当x=﹣1时，=arccos（﹣）=π﹣arccos=；当x=2时，arccos=arccos1=0，（2）∵，∴tana==当x=4时，tana=0，当x≠4时，tana=，∵4﹣x +≥2或4﹣x +≤﹣2，∴0＜tana ≤或≤tana＜0，综上，≤tana ≤，∴a ∈．（3）由（2）知=tana在[5，15]上有两解α，β，即tana•x2+（1﹣2tana）x+2tana﹣4=0在[5，15]有两解α，β，∴α+β==2﹣，∴△=（1﹣2tana）2﹣8tana（tana﹣2）=﹣4tan2a+12tana+1＞0，解得＜tana ＜且tana≠0．①若tana＞0，则对称轴=1﹣＜1，方程在[5，15]上不可能有两解，不符合题意，舍去；②若tana＜0，令5＜1﹣＜15，解得﹣＜tana ＜﹣，又，解得tana ≤﹣，综上，＜tana ≤﹣，∴当tana=﹣时，α+β取得最大值2+17=19．第11页（共11页）。

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n }中.已知a 2=4.a 6=16.则a 4=___ ．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ．4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ．7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n13.（单选题.3分）设S k =1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k.则S k+1为（ ）A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k +12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+114.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 9015.（问答题.0分）已知关于x 的方程sin 2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）． （1）当m=1时.解此方程（2）试确定m 的取值范围.使此方程有解．16.（问答题.0分）在公差为d 的等差数列{a n }中.已知a 1=10.且a 1.2a 2+2.5a 3成等比数列． （Ⅰ）求d.a n ；（Ⅱ）若d ＜0.求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金； （2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n}中.已知a2=4.a6=16.则a4=___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：由等比数列通项公式得a2a6=a42 .由此能求出a4．【解答】：解：∵在等比数列{a n}中.a2=4.a6=16.∴ a2a6=a42 =4×16=64.且a4＞0.解得a4=8．故答案为：8．【点评】：本题考查等比数列的第4项的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．【正确答案】：[1]π+arcsin 13【解析】：先将x∈[π. 32π ].化为π-x∈[- π2，0 ].再利用诱导公式sin（π-x）=sinx.求出π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.然后计算得解．【解答】：解：因为x∈[π. 32π ].所以π-x∈[- π2，0 ].由sinx=- 13.sin（π-x）=sinx.所以sin（π-x）=- 13.即π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.所以x=π+arcsin 13.故答案为：π+arcsin 13 ．【点评】：本题考查了解三角方程.及正弦的主值区间.属简单题3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ． 【正确答案】：[1] {4，n =14n −1，n ≥2【解析】：根据数列的递推公式即可求出通项公式．【解答】：解：当n=1时.a 1=S 1=2×12+1+1=4.当n≥2时.a n =S n -S n-1=2n 2+n+1-[2（n-1）2+n-1+1]=4n-1. 当n=1时.a 1=3≠4. 故a n = {4，n =14n −1，n ≥2 .故答案为： {4，n =14n −1，n ≥2 ．【点评】：本题考查了数列的递推公式.属于基础题4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．【正确答案】：[1] 2661【解析】：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= S17T 17.代值计算可得．【解答】：解：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= 2a 92b 9 = a 1+a 17b 1+b 17 = S 17T 17 = 3×17+17×17+3 = 2661. 故答案为： 2661【点评】：本题考查等差数列的性质和求和公式.属基础题． 5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：求出数列通项公式的表达式.求出数列的和.然后求解数列的极限即可．【解答】：解： 11+2+3+⋯+n = 2n (n+1) =2（ 1n −1n+1 ）.∴ lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）= lim n→∞2（1- 12+12−13+13−14 +… +1n −1n+1 ）=lim n→∞（2- 2n+1 ）=2．故答案为：2．【点评】：本题考查数列的和.数列的极限的求法.考查计算能力．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ． 【正确答案】：[1]√5+12【解析】：根据题意.这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.结合等比数列的性质可得a 2q 2=a （a-aq ）.即q 2+q-1=0.解可得q 的值.又由aq 为正整数且aq 2＜1.设aq 这个正整数为m.则有a= mq =m× √5+12且m （√5+12 ）×（ √5−12）2＜1.解可得m 的值.变形可得a 的值.即可得答案．【解答】：解：小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列. 不妨设这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.则q ＞0. 则有a 2q 2=a （a-aq ）. 即q 2+q-1=0. 解得q=√5−12 .q= −1−√52（舍去）. 又由aq 为正整数.设aq 这个正整数为m.则a= mq =m× √5+12. 又由aq 2＜1.即m （ √5+12 ）×（ √5−12）2＜1. 解可得m ＜√5+12.又由m 为整数.则m=1.则a= mq=m× √5+12 = m q = √5+12. 故答案为： √5+12．【点评】：本题考查等比数列的性质.涉及等比中项的计算.注意分析q 的范围.属于基础题． 7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ． 【正确答案】：[1] 1955【解析】：由0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+….可得等号右边的数从0.045起为公比为0.01的无穷等比数列.运用无穷递缩等比数列的求和公式.计算可得所求值．【解答】：解：0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+… =0.3+ 0.0451−0.01 =0.3+ 45990 = 342990 = 1955 ． 故答案为： 1955．【点评】：本题考查循环小数化为分数的方法.考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（-1.0）∪（0. 18 ]【解析】：由题意 a 11−q =12 .|q|＜1.从而q=1-2a 1.进而a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+18.利用-1＜q ＜1.能求出a 2的取值范围．【解答】：解：∵无穷等比数列{a n }的各项和为 12 .∴ a 11−q =12 .|q|＜1.∴q=1-2a 1.a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+ 18 . ∵-1＜q ＜1.a 2的取值范围是（-1.0）∪（0. 18]． 故答案为：（-1.0）∪（0. 18 ]．【点评】：本题考查等比数列的第二项的取值范围的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．【正确答案】：[1] 3π4【解析】：先将两方程变形为：-θ- π4 =sinθ.-θ- π4 =arcsinθ.由y=sinθ.y=arcsinθ互为反函数.其图象关于直线y=x 对称.则方程组 {y =xy =−x −π4.由对称性及中点坐标公式可得.解的横坐标为θ1+θ22.得解．【解答】：解：由x-cosx= π4 .可化为： π4 -x=sin （x- π2 ）. x+arcsin （x- π2 ）= π4 .可化为： π4 -x=arcsin （x- π2 ）. 设θ=x - π2.则有：-θ- π4=sinθ.-θ- π4=arcsinθ. 由y=sinθ.y=arcsinθ.互为反函数. 其图象关于直线y=x 对称. 联立 {y =x y =−x −π4 .得：x=- π8 .即θ1+θ2=- π4 . 所以x 1- π2 +x 2- π2 =- π4 . 则x 1+x 2= 3π4 . 故答案为： 3π4 ．【点评】：本题考查了函数与其反函数图象关于直线y=x 对称的性质.属中档题 10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ． 【正确答案】：[1]若sp+tm=kn.s+t=k.则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*） 【解析】：利用类比推理可得【解答】：解：利用类比推理可得.对于等比数列{b n }.若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）. 故答案为：若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）【点评】：本题考查了类比推理的问题.属于基础题．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：C【解析】：由举例1.-1.1可得“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “.由等比中项概念可得：当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac “.可推出“a 、b 、c 成等比数列”.故“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac “的必要不充分条件．【解答】：解：当“a 、b 、c 成等比数列”时.不妨取“1.-1.1“.则不满足“b= √ac “. 即“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “. 当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac ”.由等比中项概念可得：“a 、b 、c 成等比数列”即“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的必要不充分条件. 故选：C ．【点评】：本题考查了等比数列的性质及充分.必要条件.属简单但易错题． 12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n【正确答案】：C【解析】：此题可采用排除法法.可取a n =（-1）n .排除A ；取a n = 1n.排除B ；取a n =b n =n.排除D 得到答案．【解答】：解：取a n =（-1）n .排除A ； 取a n = 1n .排除B ； 取a n =b n =n.排除D ． 故选：C ．【点评】：考查学生认识极限及运算的能力.以及学会采用排除法做选择题． 13.（单选题.3分）设S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .则S k+1为（ ） A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k + 12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+1【正确答案】：C【解析】：先利用S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .表示出S k+1.再进行整理即可得到结论．【解答】：解：因为S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .所以s k+1= 1(k+1)+1 + 1(k+1)+2 +…+ 12(k+1)−2 + 12(k+1)−1 + 12(k+1) =1k+1 +1k+2 +…+ 12k + 12k+1 + 12k+2 - 1k+1=s k +12k+1 - 12k+2． 故选：C ．【点评】：本题主要考查数列递推关系式.属于易错题.易错点在与整理过程中.不能清楚哪些项有.哪些项没有．14.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 90 【正确答案】：B【解析】：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ].考虑数列{a n }的周期为360.一个周期内的和.即可得到所求最小值和最大值．【解答】：解：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ]. 当n 取1到90的自然数可得： S 90=π180 + 2π180 +…+ 90π180； 当n 取91到180的自然数可得： a 91+a 92+…+a 180= 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0； 当n 取181到270的自然数可得：a 181+a 182+…+a 270=-（ π180 + 2π180 +…+ 90π180 ）； 当n 取271到360的自然数可得：a 271+a 272+…+a 360=-（ 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0）． 由{a n }的周期为360.可得S 360=0.且S180＞0.且为最大值；而S1800=S360×5=0.S2016=S216＞0.S1980=S180＞0.则故排除A.C.D．故选：B．【点评】：本题考查反正弦函数值的求法.以及数列的求和.考查分类讨论思想方法.以及运算能力和推理能力.属于中档题．15.（问答题.0分）已知关于x的方程sin2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）．（1）当m=1时.解此方程（2）试确定m的取值范围.使此方程有解．【正确答案】：【解析】：（1）由sin2x+cos2x=1.则sin2x+cosx+m=0可化为：cos2x-cosx-1-m=0.将m=1代入解一元二次方程可得解.（2）分离m与cosx.用值域法可得解.即1+m=cos2x-cosx.再用配方法求cos2x-cosx的值域即可得解．【解答】：解：（1）sin2x+cosx+m=0.所以cos2x-cosx-1-m=0.当m=1时.方程为：cos2x-cosx-2=0.所以cosx=-1或cosx=2.又cosx∈[-1.1].所以cosx=-1.又x∈[0.2π）．所以x=π.故方程的解集为：{π}（2）由（1）得.cos2x-cosx-1-m=0有解.即1+m=cos2x-cosx有解.又1+m=cos2x-cosx=（cosx- 12）2- 14.又cosx∈[-1.1].所以（cosx- 12）2- 14∈[- 14，2 ].即1+m∈[- 14，2 ].即m∈[ −54，1 ].故答案为：[ −54，1 ]【点评】：本题考查了三角函数的运算及二次函数的值域.与方程有解问题.属中档题16.（问答题.0分）在公差为d的等差数列{a n}中.已知a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列．（Ⅰ）求d.a n；（Ⅱ）若d＜0.求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列列式求出公差.则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论.得到等差数列{a n}的前11项大于等于0.后面的项小于0.所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】：解：（Ⅰ）由题意得5a3•a1=(2a2+2)2 .即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2 .整理得d2-3d-4=0．解得d=-1或d=4．当d=-1时.a n=a1+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11．当d=4时.a n=a1+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．所以a n=-n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n.因为d＜0.由（Ⅰ）得d=-1.a n=-n+11．则当n≤11时. |a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|=S n=−12n2+212n．当n≥12时.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11= 12n2−21n2+110．综上所述.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|= {−12n2+212n，n≤1112n2−212n+110，n≥12．【点评】：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念.考查了等差数列的通项公式.求和公式.考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力.是中档题．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【正确答案】：【解析】：（1）计算n=1.2.3.4.5.6.7即可得到所求结论；（2）考虑1到5年不符题意；n ＞5时.可得1500+2000[n-5-0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.结合n的特殊值.计算可得结论．【解答】：解：（1）新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5 （万元）. 可得a 1=0.a 2=150.a 3=300.a 4=450.a 5=600.a 6=2000×（1-0.6）=800.a 7=2000×（1-0.36）=1280＞1000.则第7年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）由n=5时.a 1+a 2+…+a 5=1500＜5000.可得所求n 超过5.可得1500+2000[n-5- 0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.化简可得n+3•0.6n-5＞11.5.由于3•0.6n-5随着n 的增大而减小.当n=11时.11+3•0.66＜11.5.当n=12时.12+3•0.67＞11.5.则第12年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【点评】：本题考查数列在实际问题中的运用.考查化简运算能力和推理能力.属于中档题．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得数列为等差数列.即可得到所求通项公式；（2）由条件可得a n+1+1=2（a n+1）.由等比数列的定义和通项公式、求和公式.计算可得所求；（3）由条件可得a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.结合首项成立.以及二次函数的最值.计算可得所求范围．【解答】：解：（1）λ=0.μ=1.a1=3.可得a n+1=a n+1.即有a n=3+n-1=n+2；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.可得a n+1=2a n+1.即有a n+1+1=2（a n+1）.可得a n+1=2n.即a n=2n-1.前n项和为S n=（2+4+…+2n）-n= 2(1−2n)1−2-n=2n+1-2-n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立. 可得a n+1=a n2+μa n+1.即有a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.由a1=-1.可得1-（1+μ）+1＞0.即有μ＜1；又（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24≥1- (1+μ)24.可得1- (1+μ)24＞0.可得-3＜μ＜1.综上可得μ的范围是（-3.1）．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用.考查运算能力和推理能力.属于中档题．。

上海市华师大二附中2014-20 15学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．3．（3分）已知，则sin2α=．4．（3分）已知α是锐角，则=．5．（3分）化简：=．6．（3分）若α是第三象限角，且，则=．7．（3分）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC=．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．12．（3分）设函数（x∈）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．18．（8分）设△AB C的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=解答：解：由，得sin=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力．7．（3分）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC=．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由正弦定理求出sinB的值，可得B的值，再由三角形的内角和公式求出A的值，再由S△ABC=，运算求得结果．解答：解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得 B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．∴则S△ABC==，故答案为．点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：依题意，利用正弦定理可求得AD，BD，再利用余弦定理即可求得AB．解答：解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．点评：本题考查正弦定理与余弦定理，求得AD，BD是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．考点：二阶行列式的定义；正弦函数的定义域和值域．专题：新定义；三角函数的图像与性质．分析：利用新定义，展开f（x）利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可．解答：解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈．故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．考点：余弦函数的图象；正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．解答：解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．点评：考查三角函数的图象、数形结合思想．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：利用条件化简可得2（sinφ+cosφ）=a，利用辅助角公式及角的范围，即可求实数a的取值范围．解答：解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a（sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin（）∈（2，2）故答案为：点评：本题考查三角函数的化简，考查函数与方程的综合运用，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（3分）设函数（x∈）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：将函数化简，构造新函数g（x）=（x∈），判断其为奇函数，可得g （x）max+g（x）min=0，从而可得结论．解答：解：=2+令g（x）=（x∈），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与考点：终边相同的角．专题：计算题．分析：把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断．解答：解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（2k+1）π表示π的奇数倍，（4k±1）π也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：先将条件等价于cos（A+B）＞0，从而可知C为钝角，故可判断．解答：解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选A．点评：本题以三角函数为载体，考查三角形的形状判断，关键是利用和角的余弦公式，求得C为钝角．15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx考点：指数函数与对数函数的关系．分析：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式解答：解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选B点评：本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的性质和条件判断出在上是增函数，再由f（2﹣x）=f（x）和偶函数的定义得f（x）=f（x+2），求出函数的周期，再判断出在上是增函数，根据α和β的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数f（x）的单调性进行判断．解答：解：∵偶函数f（x）在上是减函数，∴f（x）在上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（cosβ）．故选C．点评：本题以余弦函数为载体，考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将自变量进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用，可求tanA的值，再利用和角的正切公式，即可得到结论．解答：解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．点评：本题考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC 的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A 为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．解答：解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f（x）=2sinxcosx+2cos2x ﹣1化为：f（x）=2sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+）=，可求得sin（2x0+）=，继而可求得cos （2x0+）=﹣，而2x0=（2x0+）﹣，利用两角差的余弦即可求得cos2x0．解答：解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈，f（x）=2sin（2x+）在上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈，得2x0+∈．从而cos（2x0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．考点：任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用．专题：综合题．分析：（1）作出图形，结合图形由，能求出．（2）由，r=1，得=．由此能求出点B（x B，y B）的坐标；（3）法一：，由此能求出x B﹣y B的最小值．法二：由α为钝角，知x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，由此能求出x B﹣y B的最小值．解答：解：（1）如图，∵，∴．（2）由，又r=1，得=．由钝角α，知，∴．（3）法一：，又，，∴x B﹣y B的最小值为．法二：α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．点评：本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是2015届高考的常见题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）∴0＜a＜1，a＜b≤1．∴由（2）知，函数上是增函数，即，解得．若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，∴必有b=1．因此，所求实数a、b的值是．点评：本题从恒等式出发得到m，另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数，属于中档题．。

2018-2018学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（4*10=40分）1．求值arctan（cot）=．2．函数f（x）=的定义域是．3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=．4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是．5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=．6．函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是．7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为．8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是．9．已知，且，则cos（x+2y）=．10．设函数f（x）=，关于f（x）的性质，下列说法正确的是．①定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}；②值域是R；③最小正周期是π；④f（x）是奇函数；⑤f（x）在定义域上单调递增．二、选择题（4*4=16分）11．为了得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向右平移D．向左平移12．α，β∈（，π），且tanα＜cotβ，则必有（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜D．α+β＞13．下列函数中以π为周期，在（0，）上单调递减的是（）A．y=（cot1）tanx B．y=|sinx|C．y=﹣cos2x D．y=﹣tan|x|14．下列命题中错误的是（）A．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立B．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立C．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立D．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立三、解答题（8+10+12+14=44分）15．已知α，β∈（0，π），并且sin（5π﹣α）=cos（π+β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β），求α，β的值．16．若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．17．已知函数y=．（1）设变量t=sinθ+cosθ，试用t表示y=f（t），并写出t的范围；（2）求函数y=f（t）的值域．18．用a，b，c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．（1）R=2，a=2，B=45°，求AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a，b，R，其中b≤a，问a，b，R满足怎样的关系时，以a，b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a，b，R表示c．2018-2018学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（4*10=40分）1．求值arctan（cot）=．【考点】反三角函数的运用．【分析】利用特殊角的三角函数，反正切函数的定义和性质，求得arctan（cot）的值．【解答】解：arctan（cot）=arctan（）=，故答案为：．2．函数f（x）=的定义域是{x|x=2kπ，k∈z} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到cosx=1，解出即可．【解答】解：由题意得：cosx﹣1≥0，cosx≥1，∴cosx=1，∴x=2kπ，k∈Z，故答案为：{x|x=2kπ，k∈z}．3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanθ=﹣3，∴sinθ（sinθ﹣2cosθ）====，故答案为：．4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是[]．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式的形式，由已知等式可得sinx≥cosx，再由已知x的范围求得x的具体范围．【解答】解：∵===sinx﹣cosx，∴sinx≥cosx，又x∈（0，2π），∴x∈[]．故答案为：∈[]．5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=．【考点】反三角函数的运用．【分析】由题意可得arcsinx与arccosx=均为锐角，x＞0，求得cos（arcsinx﹣arccosx）的值，可得x的值．【解答】解：∵arcsinx∈（﹣，），arccosx∈（0，π），arcsinx﹣arccosx=，∴arcsinx与arccosx 均为锐角，x＞0．又cos（arcsinx﹣arccosx）=cos=，即cos（arcsinx）?cos（arccosx）+sin（arcsinx）sin（arccosx）=?x+x?=，∴?x=，∴x2（1﹣x2）=，∴x2=，或x2=，∴x=，或x=．经检验，x=不满足条件，故舍去．故答案为：．6．函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由0＜cos1＜1，得外函数y=log cos1t在定义域内单调递减，再求出内函数t=sinx的减区间，取使t大于0的部分得答案．【解答】解：令t=sinx，∵0＜cos1＜1，∴外函数y=log cos1t在定义域内单调递减，又sinx＞0，∴当x∈[）（k∈Z）时，内函数t=sinx大于0且单调递减，∴函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z），故答案为：[）（k∈Z）．7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；．【考点】三角函数线．【分析】观察知道，利用x＞0时，sinx＜x，结合余弦函数的单调性解答．【解答】解：因为sinx＜x，所以0＜θ＜，sinθ＜θ，所以cos（sinθ）＞cosθ，令x=cosθ，所以cosθ＞sin（cosθ），故答案为：cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是{ω|ω≥1或ω≤﹣}．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象特征，正弦函数的最大值，分类讨论求得ω的取值范围．【解答】解：∵关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，∴当ω＞0时，由ω？≥，ω≥1，当ω＜0时，由ω？（﹣）≥，求得ω≤﹣，故答案为：{ω|ω≥1或ω≤﹣}．9．已知，且，则cos（x+2y）=1．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】设f（u）=u3+sinu．根据题设等式可知f（x）=2a，f（2y）=﹣2a，进而根据函数的奇偶性，求得f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．进而推断出x+2y=0．进而求得cos（x+2y）=1．【解答】解：设f（u）=u3+sinu．由①式得f（x）=2a，由②式得f（2y）=﹣2a．因为f（u）在区间上是单调增函数，并且是奇函数，∴f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．∴x=﹣2y，即x+2y=0．。

2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．3．（3分）已知，则sin2α=．4．（3分）已知α是锐角，则=．5．（3分）化简：=．6．（3分）若α是第三象限角，且，则=．7．（3分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S△ABC=．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．2（cosϕ），则实数a的取值范围是．12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx 16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（s inα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为1cm2．【解答】解：∵扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，∴扇形的面积S===1cm2，故答案为：12．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．3．（3分）已知，则sin2α=﹣．【解答】解：由sin（π﹣α）=得，sinα=，因为，所以cosα=﹣=﹣=﹣，所以sin2α=2sinαcosα=2×=﹣，故答案为：﹣．=﹣2．【解答】解：=log cosα（1+）=log cosα（）=log cosα（）=﹣2故答案为：﹣2．5．（3分）化简：=﹣1．【解答】解：由题意=故答案为﹣16．（3分）若α是第三象限角，且，则=．【解答】解：由，得sin[（α+β）﹣β]=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．7．（3分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S△ABC=．【解答】解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．==，∴则S△ABC故答案为．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．【解答】解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为[﹣4，4] ．【解答】解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．【解答】解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a（sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin（）∈（2，2）故答案为：12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．【解答】解：=2+令g（x）=（x∈[﹣π，π]），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与【解答】解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（2k+1）π 表示π的奇数倍，（4k±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k ±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定【解答】解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选：A．15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx 【解答】解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选：B．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【解答】解：∵偶函数f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，∴f（x）在[2，3]上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在[0，1]上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（co sβ），故选：C．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．【解答】解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．【解答】解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈[0，]，f（x）=2sin（2x+）在[0，]上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈[，]，得2x0+∈[，]．从而cos（2x 0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．【解答】解：（1）如图，∵，∴．（2）由，又r=1，得=．由钝角α，知，∴．（3）法一：，又，，∴x B﹣y B的最小值为．法二：α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．【解答】解（1）∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．化简此式，得（m2﹣1）x2﹣（2m﹣1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），必有，解得m=1．∴．（2）当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．理由：令．易知1+x在D=（﹣1，1）上是随x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是随x 增大而减小，故在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）∴0＜a＜1，a＜b≤1．∴由（2）知，函数上是增函数，即，解得．若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，∴必有b=1．因此，所求实数a、b的值是．附赠模型一：手拉手模型—全等等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（易忘）等腰RT△条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（易忘）任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB=∠COD结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED（易忘）导角核心图形模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OA=OB，OC=OD；②∠AOB=∠COD模型二：手拉手模型—相似条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置结论：右图 △OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD ；且延长AC 交BD 于点E 必有∠BEC=∠BOA 非常重要的结论：必须会熟练证明手拉手相似（特殊情况）当∠AOB =90°时，除△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD 之外还会隐藏OCD OAOBOC OD AC BD ∠===tan ，满足BD ⊥AC ，若连接AD 、BC ，则必有 2222CD AB BC AD +=+；BD AC S ABCD ⨯=21（对角线互相垂直四边形）。

华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.3.()cos f x x x =+的值域是______.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C +=++________．10.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B.C. D.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为413.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,]42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3B.4或3C.5或6D.8或7三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．16.已知()1221*,,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1lim nn n u u →∞-.17.已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos 16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案.【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以32x =-时，arcsin 23y π⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.【答案】()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦；∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题3.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】【分析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案.【详解】()cos f x x x=+12sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.【答案】必要非充分【解析】【分析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+，当121a a ==，342a a ==时，满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；【答案】60【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．故答案为60．6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.考点：余弦定理；三角形的面积公式.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________【答案】1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()a n n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，∴19999991001log (99)199a =⋅=．故答案为1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】【分析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数，所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉当3n =时，得2381m -=，此时6m =，所以9m n +=，故答案为：9.【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C +=++________．【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B+=所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b A C B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭．故答案为2201710.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.【答案】lg 3【解析】【分析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案.【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg 3n n n n ++=+所以123n nS a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lg lg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+()13131lg lg 331n n n n⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3.【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B 【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.13.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3 B.4或3C.5或6D.8或7【答案】A 【解析】【分析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案.【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8，而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤，又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1)∠A =π3(2)AC边上的高为2【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A 437sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1limnn n u u →∞-.【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩；【解析】【分析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+，所以()32n n n S +=，当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=-所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n nn a n a a aS a +++-+-+=-.（2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a=+则()111lim lim n nn n n n n a u u na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==；当a b ¹时，11nn n nn u a ab ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==---则111n n n n nn u a b u a b ++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17.已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x 的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.【答案】（1）π或3π；（2）[arctan；（3）19；【解析】试题分析：(1) 4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22xx +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或，arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈arctan a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】【分析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【详解】（1）()()cos 3cos 2cos 2cos sin 2sin x x x x x x x=+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x=-所以原式得证.（2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos 2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos 2cos 21k x k x x k x+=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos 2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos 2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kka=-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=-()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos 2cos 2cos 22k x kx x k x+=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos7π为无理数，所以1cos,cos cos 777m m πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112coscos cos 777m m m m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos 16,7m m m N π≤≤∈不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。

2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学模拟试卷一、填空题：（每题4分）1．（4分）若且，则α的终边所在的象限为第象限．2．（4分）一个扇形的面积是1cm2，它的周长为4cm，则其中心角弧度数为．3．（4分）化简：sin（x+）+2sin（x﹣）﹣cos（﹣x）．4．（4分）若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与射线3x+4y=0（x≤0）重合，则=．5．（4分）函数的值域为．6．（4分）若α∈（0，2π），则适合的角α的集合是．7．（4分）已知△ABC的外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB （其中a，b是角A，B的对边），那么∠C的大小为．8．（4分）定义运算．例如，1*2=1，则函数f（x）=2sinx*cosx在区间[0，2π]上的单调递增区间为．9．（4分）若满足条件a=4，A=30°的△ABC有且只有两个，则边c所有可能的值域构成的集合是（用区间表示）．10．（4分）已知函数．当x∈[n，n+1），n≥﹣1，n∈Z时，用x和n表示的f（x）=．二、选择题：（每题4分）11．（4分）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=|cotx|sinx B．C．y=sin2x+cos2x D．y=tanx﹣cotx12．（4分）△ABC中，如果cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．锐角或直角三角形13．（4分）计算得（）A．B．C．D．14．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=sinx（﹣π＜x＜0）上的两个不同点，且x1＜x2，则对于下列四个不等式：①；②sinx1＜sinx2；③；④．其中正确不等式的个数是（）A．0B．1C．2D．3三、解答题：（15题10分，16题10分，17、18题各12分）．15．（10分）在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，（1）求sinB的值；（2）若b=4，且a=c，求△ABC的面积．16．（10分）设cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）．17．（12分）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C 三点进行测量．已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值．18．在半径为1，圆心角为的扇形中，求内接矩形面积的最大值．19．（12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f（x）=+的性质，并在此基础上，作出其在[﹣π，π]的草图．2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每题4分）1．（4分）若且，则α的终边所在的象限为第二象限．【解答】解：∵，，∴α的终边所在的象限为第二象限．故答案为：二．2．（4分）一个扇形的面积是1cm2，它的周长为4cm，则其中心角弧度数为2．【解答】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=4，S面积=lr=1，所以解得：r=1，l=2，所以扇形的圆心角的弧度数是α===2．故答案为：2．3．（4分）化简：sin（x+）+2sin（x﹣）﹣cos（﹣x）．【解答】解：sin（x+）+2sin（x﹣）﹣cos（﹣x）=﹣（﹣cosx+）=04．（4分）若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与射线3x+4y=0（x≤0）重合，则=．【解答】解：∵角α终边与射线3x+4y=0（x≤0）重合，∴取点P（﹣4，3），则r=|OP|==5，∴cosα=﹣，sinα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=，sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=﹣，∴=cos2αcos﹣sin2αsin=×﹣（﹣）×=，故答案为：5．（4分）函数的值域为（2，+∞）．【解答】解：∵0＜x＜，∴tanx∈（0，1），故y=tanx+cotx=tanx+≥2=2，当且仅当tanx=1时“=”成立，而tanx∈（0，1），故y＞2，故函数的值域是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．6．（4分）若α∈（0，2π），则适合的角α的集合是{α|0＜α＜π} ．【解答】解：∵==|cot﹣tan|=，适合的角α满足sinα＞0，∵α∈（0，2π），∴角α的集合是{α|0＜α＜π}．故答案为：{α|0＜α＜π}．7．（4分）已知△ABC的外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB （其中a，b是角A，B的对边），那么∠C的大小为45°．【解答】解：∵△ABC的外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB ∴2R（sin2A﹣sin2C）=×2RsinAsinB﹣2RsinBsinB∴sinAsinA﹣sinCsinC=×sinAsinB﹣sinBsinB∴sinAsinA﹣sin（A+B）2=×sinAsinB﹣sinBsinB∴sinAsinA﹣sinAsinAcosBcosB﹣sinBsinBcosAcosA﹣2sinAcosAsinBcosB=×sinAsinB﹣sinBsinB∴sinAsinA（1﹣cosBcosB）﹣sinBsinBcosAcosA﹣2sinAcosAsinBcosB=×sinAsinB ﹣sinBsiinB∴sinAsinAsinBsinB+sinBsinB（1﹣cosAcosA）﹣2sinAcosAsinBcosB=×sinAsinB∴2sinAsinB（sinAsinB﹣cosAcosB﹣）=0∴2sinAsinB[﹣cos（A+B）﹣]=0∵sinA≠0，sinB≠0，∴﹣cos（A+B）﹣=0∴cos（A+B）=﹣∴A+B=135°∴C=45°故答案为：45°．8．（4分）定义运算．例如，1*2=1，则函数f（x）=2sinx*cosx在区间[0，2π]上的单调递增区间为（0，），（π，），（）．【解答】解：函数f（x）=2sinx*cosx=，f（x）=故由正、余弦函数的图象可知，函数f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间为（0，），（π，），（）故答案为：（0，），（π，），（）．9．（4分）若满足条件a=4，A=30°的△ABC有且只有两个，则边c所有可能的值域构成的集合是（4，8）（用区间表示）．【解答】解：根据题意，在△ABC中，a=4，A=30°，则有===8，则c=8sinC，若符合题意的△ABC有且只有两个，则有＜sinC＜1，故有4＜c＜8，即c的取值范围为（4，8）；故答案为：（4，8）．10．（4分）已知函数．当x∈[n，n+1），n≥﹣1，n∈Z时，用x和n表示的f（x）=sin[（x﹣n﹣1）]π+n+1．【解答】解：x∈[n，n+1），则x﹣n﹣1∈[﹣1，0），f（x﹣n﹣1）=sin[（x﹣n ﹣1）]π，∵x≥0，f（x﹣1）=f（x）﹣1，∴f（x）﹣n﹣1=sin[（x﹣n﹣1）]π，∴f（x）=sin[（x﹣n﹣1）]π+n+1，故答案为sin[（x﹣n﹣1）]π+n+1．二、选择题：（每题4分）11．（4分）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=|cotx|sinx B．C．y=sin2x+cos2x D．y=tanx﹣cotx【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=|cotx|sinx=，其最小正周期为2π，不符合题意；对于B、y=cos（2x﹣）=sin2x，其最小正周期为=π，且为奇函数，符合题意；对于C、y=sin2x+cos2x=sin（2x+），为非奇非偶函数，不符合题意；对于D、y=tanx﹣cotx=﹣==﹣cot2x，其最小正周期为，不符合题意；故选：B．12．（4分）△ABC中，如果cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．锐角或直角三角形【解答】解：依题意可知cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）＞0，﹣cosC＞O，cosC ＜O，∴C为钝角故选：A．13．（4分）计算得（）A．B．C．D．【解答】解：=[（﹣）×]50=．故选：A．14．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=sinx（﹣π＜x＜0）上的两个不同点，且x1＜x2，则对于下列四个不等式：①；②sinx1＜sinx2；③；④．其中正确不等式的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①由于表示直线OA的斜率，表示直线OB的斜率，A在第三象限时，与原点连线斜率为正，B在第四象限时，与原点所连直线斜率为负，故①不正确；②由于函数y=sinx（﹣π＜x＜0）的单调性不确定，故由x1＜x2，不能推出①sinx1＜sinx2 ．故②sinx1＜sinx2 ，不一定成立．③由于函数y=sinx的图象在（﹣，0）上是下凹型的，而（sinx1+sinx2）表示线段AB中点的纵坐标，故有③；成立．④由题意可得﹣＜＜＜0，而函数y=sinx在（﹣，0）上是增函数，故有sin＜sin成立，故④不正确．故③正确．故选：B．三、解答题：（15题10分，16题10分，17、18题各12分）．15．（10分）在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，（1）求sinB的值；（2）若b=4，且a=c，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由正弦定理，得即sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB∴sin（B+C）=3sinAcosB∵A+B+C=180°∴sinA=3sinAcosB∵0°＜A＜180°∴cosB=∴sinB=（2）由余弦定理，cosB=，再由b=4，a=c，cosB=得c2=24=acsinB=c2sinB=8∴S△ABC16．（10分）设cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）．【解答】解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α﹣＜π，﹣＜﹣β＜．∴sin（α﹣）===，cos（﹣β）===．∴cos（）=cos[（α﹣）﹣（﹣β）]=．∴cos（α+β）=2cos2﹣1=﹣．17．（12分）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C 三点进行测量．已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值．【解答】解：如图作DM∥AC交BE于N，交CF于M．DF===10（m），DE===130（m），EF===150（m）．在△DEF中，由余弦定理的变形公式，得cos∠DEF===．18．在半径为1，圆心角为的扇形中，求内接矩形面积的最大值．【解答】解：图一，设∠COF=x，则CF=rsinx=sinx．在△OCD中，，∴CD==，∴矩形面积S=≤=．故图一矩形面积的最大值为．图二可拆分成两个，图一角是θ，图二拆分后角是，故根据图一得出的结论，可得矩形面积的最大值为，而图二时由两个这样的图形组成，∴两个则为．故图二矩形面积的最大值为．19．（12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f（x）=+的性质，并在此基础上，作出其在[﹣π，π]的草图．【解答】解：①∵∴f（x）的定义域为R；（2分）②∵，∴f（x）为偶函数；（4分）③∵f（x+π）=+=+=f（x），∴f（x）是周期为π的周期函数；（6分）④当时，f（x）=，∴当时，f（x）单调递减；当时，f（x）=，f（x）单调递增；又∵f（x）是周期为π的偶函数，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减（k∈Z）；（8分）⑤∵当时，；当时，．∴f（x）的值域为；（10分）⑥由以上性质可得：f（x）在[﹣π，π]上的图象如图所示：（12分）。

上海市华师大二附中2014-20 15学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．3．（3分）已知，则sin2α=．4．（3分）已知α是锐角，则=．5．（3分）化简：=．6．（3分）若α是第三象限角，且，则=．7．（3分）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC=．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．12．（3分）设函数（x∈）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=解答：解：由，得sin=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力．7．（3分）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC=．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由正弦定理求出sinB的值，可得B的值，再由三角形的内角和公式求出A的值，再由S△ABC=，运算求得结果．解答：解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得 B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．∴则S△ABC==，故答案为．点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：依题意，利用正弦定理可求得AD，BD，再利用余弦定理即可求得AB．解答：解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．点评：本题考查正弦定理与余弦定理，求得AD，BD是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．考点：二阶行列式的定义；正弦函数的定义域和值域．专题：新定义；三角函数的图像与性质．分析：利用新定义，展开f（x）利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可．解答：解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈．故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．考点：余弦函数的图象；正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．解答：解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．点评：考查三角函数的图象、数形结合思想．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：利用条件化简可得2（sinφ+cosφ）=a，利用辅助角公式及角的范围，即可求实数a的取值范围．解答：解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a（sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin（）∈（2，2）故答案为：点评：本题考查三角函数的化简，考查函数与方程的综合运用，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（3分）设函数（x∈）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：将函数化简，构造新函数g（x）=（x∈），判断其为奇函数，可得g （x）max+g（x）min=0，从而可得结论．解答：解：=2+令g（x）=（x∈），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与考点：终边相同的角．专题：计算题．分析：把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断．解答：解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（2k+1）π表示π的奇数倍，（4k±1）π也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：先将条件等价于cos（A+B）＞0，从而可知C为钝角，故可判断．解答：解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选A．点评：本题以三角函数为载体，考查三角形的形状判断，关键是利用和角的余弦公式，求得C为钝角．15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx考点：指数函数与对数函数的关系．分析：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式解答：解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选B点评：本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的性质和条件判断出在上是增函数，再由f（2﹣x）=f（x）和偶函数的定义得f（x）=f（x+2），求出函数的周期，再判断出在上是增函数，根据α和β的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数f（x）的单调性进行判断．解答：解：∵偶函数f（x）在上是减函数，∴f（x）在上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（cosβ）．故选C．点评：本题以余弦函数为载体，考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将自变量进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用，可求tanA的值，再利用和角的正切公式，即可得到结论．解答：解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．点评：本题考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC 的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A 为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．解答：解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f（x）=2sinxcosx+2cos2x ﹣1化为：f（x）=2sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+）=，可求得sin（2x0+）=，继而可求得cos （2x0+）=﹣，而2x0=（2x0+）﹣，利用两角差的余弦即可求得cos2x0．解答：解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈，f（x）=2sin（2x+）在上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈，得2x0+∈．从而cos（2x0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．考点：任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用．专题：综合题．分析：（1）作出图形，结合图形由，能求出．（2）由，r=1，得=．由此能求出点B（x B，y B）的坐标；（3）法一：，由此能求出x B﹣y B的最小值．法二：由α为钝角，知x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，由此能求出x B﹣y B的最小值．解答：解：（1）如图，∵，∴．（2）由，又r=1，得=．由钝角α，知，∴．（3）法一：，又，，∴x B﹣y B的最小值为．法二：α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．点评：本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是2015届高考的常见题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）∴0＜a＜1，a＜b≤1．∴由（2）知，函数上是增函数，即，解得．若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，∴必有b=1．因此，所求实数a、b的值是．点评：本题从恒等式出发得到m，另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数，属于中档题．。

华东师大二附中2015学年第二学期期中考试试卷高一数学一、填空题（4*10=40分）1.求值arctan cot 3π⎛⎫= ⎪⎝⎭_________. 2.函数()f x =____________.3.若tan 3θ=-，则()sin sin 2cos θθθ-=_____________.4.若()0,2x π∈，则使s i n c o s x x =-成立的x 的取值范围是___________.5.若arcsin arccos 6x x π-=，则x =_________. 6.函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________.7.若02πθ<<，则()()cos ,cos sin ,sin cos θθθ的大小顺序为___________. 8.若关于x 的函数sin y x ω=在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则ω的取值范围是________.9.已知,,,44x y a R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦，并有方程组33sin 2014sin 202x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩成立，则()cos 2x y +=___________.10.设函数()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；②值域是R ；③最小正周期是π； ④()f x 是奇函数；⑤()f x 在定义域上单调递增.二、选择题（4*4=16分）11.为了得到3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将3cos 2y x =的图像（ ） .A 向左平移4π .B 向右平移4π .C 向右平移8π .D 向右平移8π 12.,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且tan cot αβ<，则必有（ ） .A αβ< .B αβ> .C 32παβ+<.D 32παβ+> 13.下列函数中以π为周期，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减的是（ ） .A ()tan cot1x y = .B sin y x = .C cos 2y x =-.D t a n y x =-14.下列命题中错误的是（ ）.A 存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()c o s c o s 2f y y =成立; .B 存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()s i n s i n 2f y y =成立; .C 存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()cos cos3f y y =成立; .D 存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()sin sin3f y y =成立;三、解答题（8+10+12+14=44分）15.已知(),0,αβπ∈，并且()7s i n 52c o s 2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()()απβ-=+，求,αβ的值.16.若关于x 的方程sin 0x x a +=在()0,2π内有两个不同的实数根,αβ，求实数a 的取值范围及相应的αβ+的值.17.已知函数sin cos 2sin cos y θθθθ=++. （1）设变量sin cos t θθ=+，试用t 表示()y f t =，并写出t 的范围；（2）求函数()y f t =的值域.18.用,,a b c 分别表示ABC 的三个内角,,A B C 所对边的边长，R 表示ABC 的外接圆半径.（1）2,2,45R a B ===︒，求AB 的长；（2）在ABC 中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定三个正实数,,a b R ，其中b a ≤，问,,a b R 满足怎样的关系时，以,a b 为边长，R 为外接圆半径的ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC 存在的情况下，用,,a b R 表示c .沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。