人教版中学考试数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析汇报)

半角模型（八上人教版）知识导航夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。

其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。

学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型．已知如图：1. 12=AOB 2∠∠ 2. OA OB =。

连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置， 连接F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。

模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； 夹半角模型分类： （1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2α夹α．题型一 90度夹45度例1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠B =∠C =∠D =90°，AB =BC =CD =AD ，E 在BC 上，F 在CD 上，且∠EAF =45°，求证：（1）BE +DF =EF （2）∠AEB =∠AEF ．例2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，45∠=︒．EAF（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH EF⊥于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．例3. 如图，正方形ABCD中，1AB=，以线段BC、CD上两点P、Q和方形的点A为顶点作正方形的内接等边APQ∆的边长．∆，求APQ例4.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且45EAF ∠=︒．猜测线段EF 、BE 、FD 三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论： ．（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；例5. 如图， 在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点， 且12EAF BAD ∠=∠． 求证：EF BE FD =+．例6.（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且45EAF ∠=︒，把ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，请直接写出图中所有的全等三角形；（2）在四边形ABCD中，AB AD=，90∠=∠=︒．B D①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2EAF BAD∠=∠，求证：EF BE DF=+；②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2EAF BAD∠=∠，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．例7. 已知在正方形ABCD中，45∠绕点A顺时针旋转．∠=︒，EAFEAF（1）当点E，F分别在边CB，DC上时（如图①)，线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当EAF∠绕点A旋转到如图②的位置时，线段BE，DF和EF之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想．例8. 已知如图1，四边形ABCD 是正方形，45EAF ∠=︒．（1）如图1，若点E 、F 分别在边BC 、CD 上，延长线段CB 至G ，使得BG DF =，若3BE =，2BG =，求EF 的长；（2）如图2，若点E 、F 分别在边CB 、DC 延长线上时，求证：EF DF BE =−．（3）如图3，如果四边形ABCD 不是正方形，但满足AB AD =，90BAD BCD ∠=∠=︒，45EAF ∠=︒，且7,6DF EF ==，请你直接写出BE 的长．例9. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的一点，90∠=︒，且EF交正AEF方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，当点E是BC的中点时，猜测AE与EF的关系，并说明理由．（2）如图2，当点E是边BC上任意一点时，（1）中所猜测的AE与EF的关系还成立吗？请说明理由．题型二120度夹60度例1. 已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N分别是AB、AC上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．例2. 如图，D是等边三角形ABC外一点，且满足DB DC∠=︒，M，N分BDC=，120别是AB，AC上的点，且60∠绕点D旋转时，MN，BM，CN的∠=︒，当MDNMDN关系是否发生变化？请简述理由．例3. 如图，等边ABCMDN∠=︒，其∠=︒，现有60∆的边长为2，且DB DCBDC=，120两边分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，将MDN∠绕着D点旋转，使得M，N 始终在边AB和边AC上．试判断在这一过程中，AMN∆的周长是否发生变化，若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．例4. 如图①，ABC∠=︒的等腰三角形，以D为BDC∆是顶角120∆是等边三角形，BDC顶点作60︒的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN．（1）探究：BM，MN，NC之间的关系，并加以证明；（2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC 之间的关系，在图②中画出相应的图形，并就结论说明理由．例5. 在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形∠=︒，BD DCBDC=，探究：当M、N分别在直线MDNABC外一点，且60∠=︒，120AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM DN=时，BM、NC、MN之间的数量关系；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM DN≠时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．例6. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF．例7. 在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是（2）当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个接刘海成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=2，则Q=__________（用含有L的式子表示）题型三2α夹α例1.（1）如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，说明理由．（2）在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当AB AD =，180B D ∠+∠=，12EAF BAD ∠=∠时，EF BE DF =+成立吗？请直接写出结论．例2. 如图，在四边形ABDC 中，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若∠BAC +∠BDC =180°，例3. 如图，若四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且3BE =，4DF =，12EAF BAD ∠=∠，求EF 的长度．例4.（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，若EF BE FD =+． 求证：12EAF BAD ∠=∠ （2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，试探究线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系，证明你的结论．例5. 问题背景：（1）如图①：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E ，F分别是BC，CD上的点，且60EAF∠=︒．探究图中线段BE，FE，FD之间的数量关系，请在右面横线上直接写出结论．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB AD=，180B ADC∠+∠=︒．E、F分别是BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．。

专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈）．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45EAF∠=︒，则EF，BE，DF之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求AF的长．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时， CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中， AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝，求EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B Ð、D ∠都不是直角，则当B Ð与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．且∠EAF＝128．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD 于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关∠EAF=12系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB 上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

专题03 半角模型半角模型：是指有公共顶点，锐角等于较大的角的一半，且较大的角的两边相等(不等)，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型。

主要解法：一、经典之旋转法。

二、创新之翻折法。

三、常规之补短法。

熟练掌握：正方形的10个结论。

学会变通：矩形通过截或补变成正方形。

含60°角的菱形除旋转外，还可以借助对角线，构成等边三角形，利用三边相等，构造全等。

模型总讲:如图，已知在正方形ABCD 中，∠EAF =45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。

1. BE+DF=EF ；2. △CEF 的周长等于正方形的边长的2倍。

3. S △ABE +S △ADF =S △AEF4. 点A 到MN 的距离等于正方形的边长；即AH=AD5. MN 2=MB 2+DN 2；6. 点A,M,F,D 四点共圆。

点A,B,E,N 四点共圆. 点M,E,F,N四点共圆。

点N,F,C,E,M 五点共圆。

7. 证明△AFM 和△AEN 为等腰直角三角形。

8.MN EF=√229. S △AMF =2S △AEF 10. 5组相似△HMN ∼△DFN(图9) △HMN ∼△BME(图10) △AMN ∼△BNA(图11) △AMN ∼△DMA(图12) △ AMN∽△ AFE证明如下: 结论1(图1)将△ABE 逆时针旋转90°，与△ADE'重合. 则AE=AE', ∠BAE=∠DAE’,易得 ∠EAF=∠E'AF=45° 又∵ AF=AF∴△EAF ≌ △E'AF （SAS ）(图2) ∴EF=E'F=DE'+DF ∴BE+DF=EF(结论1成立) 结论2 由结论1可得:AO HN M EBCD FAE'OEBCD F图1C △CEF =CE+CF+EF= CE+CF+BE+DF=BC+CD=2BC即△CEF 的周长等于正方形的边长的2倍。

初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3.正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD 重合，得折痕DG，使2AD=，求AG．【解析】：作GM⊥BD，垂足为M．由题意可知∠ADG=GDM，则△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2． AC=GM又易知：GM=BM．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点，10==，并且P点到CD边的距离也PA PB等于10，求正方形ABCD的面积？【解析】：过P作EF AB⊥于F交DC于E．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+．可得：222110(10)4x x =++．故6x =．216256ABCD S ==．例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？ 【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ． ∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。

半角模型已知如图：①∠2=12∠AOB；②OA=OB.OABEF123连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′4321F'FE BAO模型分析∵△OBF≌△OAF′，∴∠3=∠4，OF=OF′.∴∠2=12∠AOB，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2又∵OE是公共边，∴△OEF≌△OEF′.（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.模型实例例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN．（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ． 在△ADE 和△ABM 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BM DE B ADE AB AD∴△ADE ≌△ABM ．∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN 和△AEN 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A∴△AMN ≌△AEN ． ∴MN=EN ．∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ．（2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ． ∴S △AMN =S △AEN ．即EN AD 21MN AH 21⋅=⋅．又∵MN=EN ， ∴AH=AD ． 即AH=AB ．例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．图①图②解答（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN．（2）猜想：BM+NC=MN．证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°．又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∴∠MBD=∠NCD=90°．在△MBD与△ECD中，∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．在△MDN和△EDN中，∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS）．∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．图③例3 如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD ，E 、F 分别是BC 、CD 延 长线上的点，且∠EAF=21∠BAD ．求证：EF=BE-FD ．证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF ．在△ABG 和△ADF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF BG ADF B AD AB∴△ABG ≌△ADF （SAS ）． ∴∠BAG=∠DAF ，AG=AF ． ∴∠GAF=∠BAD ．∴∠EAF=21∠BAD=21∠GAF ． ∴∠GAE=∠EAF ． 在△AEG 和△AEF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG∴△AEG ≌△AEF （SAS ）． ∴EG=EF ．∴EF=BE-FD ．跟踪练习：1．已知，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，∠MAN=45°． 求证：MN=DN-BM ．【答案】证明：如图，在DN 上截取DE=MB ，连接AE ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°． 在△ABM 和△ADE 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE BM ABM D AB AD∴△ABM ≌△ADE ．∴AM=AE ， ∠MAB=∠EAD ． ∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN ， ∴∠DAE+∠BAN=45°． ∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN ． 在△AMN 和△AEN 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN M AN AE AM∴△ABM ≌△ADE ．∵DN-DE=EN．∴DN-BM=MN．2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图①图②【答案】解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2．证明：将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，如图①∴△ACE≌△ABE′．∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB．在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°．∴E′B2+BD2=E′D2．又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°．∴△AE′D≌△AED．∴DE=D E′．∴DE2=BD2+EC2．图①（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图②∴△AFD≌△ABD．∴FD=DB，∠AFD=∠ABD．又∵AB=AC，∴AF=AC．∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB ）=90°-（45°-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠CAE．又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE．∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°．∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°．∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2．即DE2=BD2+EC2．图②3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°．（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．图①图②图③【答案】结论：（1）AM=CN+MN；如图①图①（2）成立；证明：如图②，在AC上截取AE=CN，连接OE、OA、OC．∵O是边AC、BC垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形，∴OA=OC，∠OAE=∠OCN=30°，∠AOC=120°．又∵AE=CN，∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，∠AOE=∠CON．∴∠EON=∠AOC=120°．∵∠MON=60°，∴∠MOE=∠MON=60°．∴△MOE≌△MON．∴ME=MN．∴AM=AE+ME=CN+MN．图②（3）如图③，AM=MN-CN．图③4．如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的 点，且BE+FD=EF ．求证：∠EAF=21∠BAD ．【答案】证明：如图，把△ADF 绕点A 顺时针旋转∠DAB 的度数得到△ABG ，AD 旋转到AB ，AF 旋转到AG ，∴AG=AF ，BG=DF ，∠ABG=∠D ，∠BAG=∠DAF ． ∵∠ABC+∠D=180°， ∴∠ABC+∠ABG=180°． ∴点G 、B 、C 共线． ∵BE+FD=EF ， ∴BE+BG=GE=EF ． 在△AEG 和△AEF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧===EF EG AE AE AF AG ∴△AEG ≌△AEF ． ∴∠EAG=∠EAF ．∴∠EAB+∠BAG=∠EAF ． 又∵∠BAG=∠DAF ，∴∠EAB+∠DAF=∠EAF ． ∴∠EAF=21∠BAD ．5．如图①，已知四边形ABCD ，∠EAF 的两边分别与DC 的延长线交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，连接EF ． （1）若四边形ABCD 为正方形，当∠EAF ＝45°时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）（2）如图②，如果四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF ＝12∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．（3）在（2）中，若BC ＝4，DC ＝7，CF ＝2，求△CEF 的周长（直接写出结论）解答：（1）EF=DF-BE （2）EF=DF-BE证明：如图，在DF 上截取DM=BE ，连接AM ， ∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180° ∵D=ABE ∵AD=AB在△ADM 和△ABE 中，DM BE D ABE AD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADM ≌△ABE∴AM=AE ，∠DAM=∠BAE ∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=12∠BAD ，11∴∠DAM+∠BAF=12∠BAD ∴∠MAF=12∠BAD ∴∠EAF=∠MAF在△EAF 和△MAF 中AE AM EAF MAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△MAF∴EF=MF∵MF=DF-DM=DF-BE ，∴EF=DF-BE（3）∵EF=DF-BE∴△CEF 的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF =BC+CD+2CF=15。

中考常考几何模型专题20 半角模型倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 如图①： （1）∠2=21∠AOB ；（2）OA=OB 。

如图②：连接 FB ，将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置，连接 F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。

模型精练1．（2019秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD 中，∠B +∠ADC ＝180°，AB ＝AD ，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ，求证：EF ＝BE ﹣FD ．【点睛】在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．根据SAA 证明△ABG ≌△ADF 得到AG ＝AF ，∠BAG ＝∠DAF ，根据∠EAF =12∠BAD ，可知∠GAE ＝∠EAF ，可证明△AEG ≌△AEF ，EG ＝EF ，那么EF ＝GE ＝BE ﹣BG ＝BE ﹣DF ．【解析】证明：在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADF +∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． 在△ABG 和△ADF 中， {AB =AD∠B =∠ADF BG =DF， ∴△ABG ≌△ADF （SAS ）， ∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ．∴∠BAG +∠EAD ＝∠DAF +∠EAD ＝∠EAF =12∠BAD ． ∴∠GAE ＝∠EAF ． 在△AEG 和△AEF 中， {AG =AF∠GAE =∠EAF AE =AE， ∴△AEG ≌△AEF （SAS ）． ∴EG ＝EF ，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．2．（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N 分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．【点睛】（1）在AC上截取CD＝AN，连接OD，证明△CDO≌△ANO，根据全等三角形的性质得到OD ＝ON，∠COD＝∠AON，证明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，结合图形证明结论；（2）在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，仿照（1）的方法解答．【解析】解：（1）CM＝AN+MN，理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，∵△ABC 为等边三角形，∠BAC 与∠ACB 的角平分线交于点O ， ∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°， ∴OA ＝OC ，在△CDO 和△ANO 中， {OC =OA∠OCD =∠OAN CD =AN， ∴△CDO ≌△ANO （SAS ） ∴OD ＝ON ，∠COD ＝∠AON ， ∵∠MON ＝60°， ∴∠COD +∠AOM ＝60°， ∵∠AOC ＝120°， ∴∠DOM ＝60°， 在△DMO 和△NMO 中， {OD =ON∠DOM =∠NOM OM =OM， ∴△DMO ≌△NMO ， ∴DM ＝MN ，∴CM ＝CD +DM ＝AN +MN ； （2）补全图形如图2所示：CM ＝MN ﹣AN ，理由如下：在AC 延长线上截取CD ＝AN ，连接OD ， 在△CDO 和△ANO 中， {CD =AN∠OCD =∠OAN =150°OC =OA， ∴△CDO ≌△ANO （SAS ） ∴OD ＝ON ，∠COD ＝∠AON ， ∴∠DOM ＝∠NOM ， 在△DMO 和△NMO 中， {OD =ON∠DOM =∠NOM OM =OM， ∴△DMO ≌△NMO （SAS ） ∴MN ＝DM ，∴CM ＝DM ﹣CD ＝MN ﹣AN ．3．（2020•章丘区模拟）如图，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是射线CB 和射线DC 上的动点，且始终∠MAN ＝45°．（1）如图1，当点M 、N 分别在线段BC 、DC 上时，请直接写出线段BM 、MN 、DN 之间的数量关系； （2）如图2，当点M 、N 分别在CB 、DC 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M 、N 分别在CB 、DC 的延长线上时，若CN ＝CD ＝6，设BD 与AM 的延长线交于点P ，交AN 于Q ，直接写出AQ 、AP 的长．【点睛】（1）在MB 的延长线上，截取BE ＝DN ，连接AE ，则可证明△ABE ≌△ADN ，得到AE ＝AN ，进一步证明△AEM ≌△ANM ，得出ME ＝MN ，得出BM +DN ＝MN ；（2）在DC 上截取DF ＝BM ，连接AF ，可先证明△ABM ≌△ADF ，得出AM ＝AF ，进一步证明△MAN ≌△F AN ，可得到MN ＝NF ，从而可得到DN ﹣BM ＝MN ；（3）由已知得出DN ＝12，由勾股定理得出AN =√AD 2+DN 2=6√5，由平行线得出△ABQ ∽△NDQ ，得出BQ DQ=AQ NQ=AB DN=12，AQ AN=13，求出AQ ＝2√5；由（2）得出DN ﹣BM ＝MN ．设BM ＝x ，则MN＝12﹣x ，CM ＝6+x ，在Rt △CMN 中，由勾股定理得出方程，解方程得出BM ＝2，由勾股定理得出AM =√AB 2+BM 2=2√10，由平行线得出△PBM ∽△PDA ，得出PM PA=BM DA=13，求出PM =12AM =√10，得出AP ＝AM +PM ＝3√10．【解析】解：（1）BM +DN ＝MN ，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，{AB=AD∠ABE=∠D BE=DN，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，{AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案为：BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，则∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，{AB=AD∠ABM=∠D BM=DF，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠F AN＝45°，在△MAN和△F AN中，{AM=AF∠MAN=∠FAN AN=AN，∴△MAN≌△F AN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．（3）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，∵CN＝CD＝6，∴DN＝12，∴AN=√AD2+DN2=√62+122=6√5，∵AB∥CD，∴△ABQ ∽△NDQ ，∴BQ DQ =AQ NQ =AB DN=612=12，∴AQ AN=13，∴AQ =13AN ＝2√5； 由（2）得：DN ﹣BM ＝MN ．设BM ＝x ，则MN ＝12﹣x ，CM ＝6+x ，在Rt △CMN 中，由勾股定理得：62+（6+x ）2＝（12﹣x ）2， 解得：x ＝2， ∴BM ＝2，∴AM =√AB 2+BM 2=√62+22=2√10， ∵BC ∥AD ， ∴△PBM ∽△PDA ，∴PM PA=BM DA=26=13，∴PM =12AM =√10， ∴AP ＝AM +PM ＝3√10．4．（2019•麒麟区模拟）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH＝AB；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）【点睛】（1）由三角形全等可以证明AH＝AB，（2）延长CB至E，使BE＝DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH＝AB，（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．【解析】解：（1）如图①AH＝AB．（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE＝DN．∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，{AB=AD∠ABE=∠ADN BE=DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，在△AEM和△ANM中，{AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AEM≌△ANM．∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH．（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°．分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD．设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2（6分）解得x1＝6，x2＝﹣1．（不符合题意，舍去）∴AH＝6．5．（2019秋•东台市期末）在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°，BD ＝DC ．探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（1）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM ＝DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 BM +NC ＝MN ；此时Q L=23；（2）如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（ I ）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，探索BM 、NC 、MN 之间的数量关系如何？并给出证明．【点睛】（1）由DM ＝DN ，∠MDN ＝60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD ＝BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM+NC＝MN，此时QL=23；（2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易证得∠CDN＝∠MDN＝60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后证得∠CDN＝∠MDN＝60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC﹣BM＝MN．【解析】解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．此时QL=23．（2分）．理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，∵AB ＝AM +BM ， ∴AM ：AB ＝2：3，∴Q L=23；（2）猜想：结论仍然成立． （3分）．证明：在NC 的延长线上截取CM 1＝BM ，连接DM 1．（4分） ∵∠MBD ＝∠M 1CD ＝90°，BD ＝CD ， ∴△DBM ≌△DCM 1，∴DM ＝DM 1，∠MBD ＝∠M 1CD ，M 1C ＝BM ， ∵∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°， ∴∠M 1DN ＝∠MDN ＝60°， ∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN ＝M 1N ＝M 1C +NC ＝BM +NC ，∴△AMN 的周长为：AM +MN +AN ＝AM +BM +CN +AN ＝AB +AC ，∴Q L=23；（3）证明：在CN 上截取CM 1＝BM ，连接DM 1．（4分） 可证△DBM ≌△DCM 1， ∴DM ＝DM 1，（5分）可证∠M 1DN ＝∠MDN ＝60°， ∴△MDN ≌△M 1DN ， ∴MN ＝M 1N ，（7分）．∴NC﹣BM＝MN．（8分）．6．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE ＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【点睛】（1）DE2＝BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF＝AB，FD＝DB，∠F AD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE ≌△ACE，从而可以得到∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD ＝DF，EF＝BE．由此可以得到∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°，这样就可以解决问题．【解析】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠F AD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠F AE＝∠F AD+∠DAE＝∠F AD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠F AE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．7．（2019•夏津县二模）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结论EF＝BE+FD成立；（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF 是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．【点睛】（1）结论仍然成立．延长CB到G，使BG＝FD，根据已知条件容易证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，而∠EAF=12∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE＝∠EAF，进一步得到∠EAF＝∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立；（2）结论不成立，应为EF＝BE﹣DF，如图在CB上截取BG＝FD，由于∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，可以得到∠B＝∠ADF，再利用已知条件可以证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，而∠EAF=12∠BAD，所以得到∠EAF＝∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，再根据全等三角形的性质就可以证明EF＝EG＝EB﹣BG＝EB﹣DF．【解析】解：（1）延长CB到G，使BG＝FD，连接AG，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．（2）结论不成立，应为EF＝BE﹣DF，证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．8．（1）如图1，将∠EAF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交BC于E，交CD于F，连接EF．若∠EAF＝45°，BE、DF的长度是方程x2﹣5x+6＝0的两根，请直接写出EF的长；（2）如图2，将∠EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交CB的延长线于E，交DC的延长线于F，连接EF．若AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，∠EAF=12∠BAD，请直接写出EF与DF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的前提下，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长．①EF的长为：5；②数量关系：EF＝DF﹣BE．【点睛】（1）先证明△ABE≌△ADM，再证明△AEF≌△AMF，得到EF＝DF+BE即可；（2）先证明△ADM≌△ABE，再证明△EAF≌△MAF，即可；（3）直接计算△CEF的周长＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．【解析】（1）解：如图1，延长CD使DM＝BE，连接AM；在△ABE和△ADM中，{AB=AD∠ABE=∠ADM=90°BE=DM∴△ABE≌△ADM，∴AE＝AM，∠EAB＝∠DAM，∵∠EAF＝45°，且∠EAB＝∠DAM，∴∠BAF+∠DAM＝45°，即∠MAF＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AM，AF＝AF，∴△AEF≌△AMF，∴EF＝FM，∵FM＝DF+DM，∴EF＝DF+NB，即EF＝DF+BE；∵BE、DF的长度是方程x2﹣5x+6＝0的两根，∴BE＝2，DF＝3，∴EF＝DF+BE＝3+2＝5，（2）证明：如图2，在DF上截取DM＝BE，∵∠D+∠ABC＝∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABE，∴AD＝AB，∴△ADM≌△ABE，∴AM＝AE，∴∠DAM＝∠BAE；∵∠EAF＝∠BAE+∠BAF＝∠DAM+∠BAF＝∠BAD﹣∠F AM=12∠BAD，∴∠MAF=12∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF；∵AF是△EAF与△MAF的公共边，∴△EAF≌△MAF，∴EF＝MF；∵MF＝DF﹣DM＝DF﹣BE，∴EF＝DF﹣BE．（3）由上面的结论知：DF＝EF+BE；∵BC＝4，DC＝7，CF＝2，∴DF＝CD+CF＝9∴△CEF的周长＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．即△CEF的周长为15．①EF＝DF﹣BE＝FC+CD﹣BE＝5②和（2）方法一样，EF＝DF﹣BE．故答案为EF＝DF﹣BE．。

专题15 角含半角模型破题策略1． 等腰直角三角形角含半角如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 在BC 上且∠DAE ＝45° （1） △BAE ∽△ADE ∽△CDA（2）BD 2＋CE 2＝DE 2．45°EA BCD证明（1）易得∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠EAB ， 所以△BAE ∽△ADE ∽△CD A ．（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACF ，连结EF ．45°FEA BCD则∠EAF ＝∠EAD ＝45°，AF ＝AD ， 所以△ADE ∽△FAE （ SAS ）． 所以DE ＝ EF ．而CF ＝BD ，∠FCE ＝∠FCA ＋∠ACE ＝90°，所以BD 2＋ CE 2＝CF 2＋CE 2＝EF 2＝DE 2．方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F ，连结AF ，DF ，EF ．45°EA BCD因为∠BAD ＋∠EAC ＝∠DAF ＋∠EAF ， 又因为∠BAD ＝∠DAF ，则∠FAE ＝∠CAE ，AF ＝AB ＝AC ， 所以△FAE ∽△CAE （SAS ）． 所以EF ＝ E C ．而DF ＝BD ， ∠DFE ＝∠AFD ＋ ∠AFE ＝90°，所以BD 2＋ EC 2＝ FD 2＋ EF 2＝ DE 2． 【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且∠DAE ＝45°，则BD 2＋CE 2＝DE 2．ED可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：EADFEAD②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 在BC 上，且∠DAE ＝12∠BAC ，则以BD ，DE ，EC 为三边长的三角形有一个内角度数为180°－∠BA C ．B可以通过旋转、翻折的方法将BD ，DE ，EC 转移到一个三角形中，如图：BCEBD2． 正方形角含半角如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF ＝45°，连结EF ，则：45°图1F ABCD E图2GF E A B DC45°图3H F EABDC（1）EF ＝BE ＋DF;（2）如图2，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，则AG ＝AD ;（3）如图3，连结BD 交AE 于点H ，连结FH ． 则FH ⊥AE ．（1）如图4，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADI 证明．图4IF EAB DC则∠IAF ＝∠EAF ＝45°，AI ＝AE ， 所以△AEF ∽△AIF （SAS ），所以EF ＝IF ＝DI ＋DF ＝BE ＋DF ．（2）因为△AEF ∽△AIF ，AG ⊥EF ，AD ⊥IF ， 所以AG ＝A D ．（3）由∠HAF ＝∠HDF ＝45°可得A ，D ，F ，H 四点共圆， 从而∠AHF ＝180°－∠ADF ＝90°， 即FH ⊥AE ．【拓展】①如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边CB ，DC 的延长线上，∠EAF ＝45°，连结EF ，则EF ＝DF －BE ．F BC E可以通过旋转的方法来证明.如图:EBC DAF G②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD +∠C =180 °，点E ，F 分别在BC 、CD 上，∠EAF =12∠BAD ，连结EF ，则EF=BE+DF. ABFDCE可以通过旋转的方法来证明.如图:ABFDCE G例题讲解例1 如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°.（1） 试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系.（2） 如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB ＝AD ．∠B ＋∠D ＝180°，点E 、F 分别在BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍有EF ＝BE ＋FD .（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD .已知AB ＝AD ＝80m ，∠B ＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD ＝150°，道路BC ，CD 上分别有景点 E ，F ，且AE ⊥AD ．DF ＝40（3－1）m ．现要在E 、F 之间修一条笔直的道路，求这条道路EF 的长．（2＝1.413＝1.73）图1FA D CBE图2ABD CEF图3FCA EBD解： （1）由“正方形内含半角模型”可得EF ＝BE ＋FD ． （2）∠BAD ＝2∠EAF ，理由如下：如图4，延长CD 至点G ，使得DG ＝BE ．连结AG. 易证△ABE ≌△ADG （SAS ）. 所以AE ＝AG ，即EF ＝BE ＋DF ＝DG ＋DF ＝GF . 从而证得△AEF ≌△AGF （ SSS ）．所以∠EAF ＝∠GAF ＝12∠EAG ＝12∠BAD . 图4AD CF图5HFCGA BED（3）如图5，将△ABE 绕点A 逆时针旋转1 50°至△ADG ．连结AF ．由题意可得∠BAE ＝60°所以△ABE 和△ADG 均为等腰直角三角形. 过点A 作 AH ⊥DG 于点H ．则DH ＝12AD ＝40m ，AH ＝32 AD ＝3 m.而DF ＝4031）m. 所以∠EAF ＝∠GAF ＝45°.可得△EAF ≌△GAF （SAS ）．所以EF ＝GF ＝80m+403l ）m ≈109. 2m.例2如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM 、DN 分别平分正方形的两个外角，且满足∠MA N ＝45°．连结MC 、NC 、MN ．（1）与△ABM 相似的三角形是 ，BM DN ＝ （用含有a 的代数式表示）； （2）求∠MCN 的度数；（3）请你猜想线段BM 、DN 和MN 之间的等量关系，并证明你的结论. NADC BM解：（1）△NDA ，2a . （2）由（1）可得BM ABAD ND=， 所以BM DCBC DN=． 易证∠CBM ＝∠NDC ＝45°， 所以△BCM ∽△DNC ． 则∠BCM ＝∠DNC ，所以∠MCN =360°一∠BCD 一∠BCM 一∠DCN ＝270°－ （∠DNC +∠DCN ） ＝270°－（180°－∠DNC ） ＝135°．（3） 222BM DN MN +=，证明如下：如图，将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，连结EM. 易得AE ＝AN . ∠MAE ＝∠MAN ＝45°，∠EBM ＝90°， 所以△A ME ≌△AMN .（SAS ）. 则ME ＝MN ．在Rt △BME 中，222BM BE EM += 所以222BM DN EM +=.ENBC DAM倒3 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＋AD ，∠DAC ＝45°，E 为CD 上一点，且∠BAE ＝45°.若CD ＝4，求△ABE 的面积.图1BADCE解：如图1．过点A 作CB 的垂线，交CB 的延长线于点F .由∠DAC =45°，∠ADC ＝90°，可得AD ＝CD.所以四边形ADCF 为正方形. 从而AF ＝ FC ＝4．令BC ＝m ，则AB ＝4＋m ，BF ＝4－m ．在Rt △AFB 中，有16＋（4－m ）2一（4＋m ）2所以AB ＝5，BF ＝3．如图2．将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°至△AFG. 易证△AGH ≌△AEB ．令DE ＝n ，则CE ＝4 －n ，BE ＝BG ＝3＋n在Rt △BCE 中，有1+（4－n ）2＝（3＋n ）2，解得n ＝47. 所以BG ＝257. 从而15027ABE ABG S S AF BG ∆∆===. 图2FBADCEG进阶训练1.如图，等边△ABC 的边长为1，D 是△ABC 外一点且∠BDC ＝120°，BD ＝CD ，∠MDN ＝60°，求△AMN 的周长．NDABCM△AMN 的周长是2【提示】如图，延长AC 至点E ，使得CE ＝BM ，连结DE .先证△BMD ≌△CED ，再证△MDN ≌△EDN 即可.ENDAC BM2．如图，在正方形ABCD 中，连结BD ，E 、F 是边BC ，CD 上的点，△CEF 的周长是正方形ABCD 周长的一半，AE 、AF 分别与BD 交于M 、N ，试判断线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系，并证明．NMCDFE BA解：BM 2＋DN 2＝MN 2．【提示】由△CEF 周长是正方形ABCD 周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构造辅助线解决问题（如图1），证△AEF ≌△AGF ，得∠MAN ＝12∠BAD ＝4，然后，再由“等腰直角三角形含半角”（如图2）即可证得．H G G图2图1ABE FDCM NNMCDFE BA3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在边AB 上，DE ⊥BC 于点E ，且DE ＝BC ，点F 在边AC 上，连结BF 交DE 于点G ，若∠DBF ＝45°，DG ＝275，BE ＝3，求CF 的长． G F EDCBA解：CF ＝125． 【提示】如图，将DE 向左平移至BH ，连结HD 并延长交AC 于点I ，则四边形HBCI 为正方形．将△BHD 绕点B 顺时针旋转90°至△BCJ ，则点J 在AC 的延长线上．连结DF ，由“正方形角含半角模型”可得DF ＝DH ＋CF ，∠DFB ＝∠JFB ＝∠DGF ，所以DF ＝DG ，从而求得CF 的长．JIHABC DEF G。

专题12 几何模型（2）—半角模型【模型介绍】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。

如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。

【解题关键】旋转目标三角形法和翻折目标三角形法【典型例题】【题型一：等边直角三角形中的半角模型】【模型】如图，△BDC为等腰三角形且∠BDC=120°，M和N分别是AB和AC上的两个点，且∠MDN=60°，△ABC为等边三角形。

【结论】结论①：MN=BM+CN；证明：如下图1，延长AB到H点，并使得BH=CN，连接DH，∵△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°=∠ACD，即∠HBD=∠NCD=90°，在△HBD和△NC D中：{BH=CN∠HBD=∠NCD=90∘DB=DC∴△HBD≌△NCD(SAS)，∴DH=DN，∠HDB=∠CDN，又∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=60°，即∠BDM+∠HDB=60°，∴∠HDM=∠NDM=60°，在△HDM和△NDM中：{HD=DN∠HDM=∠NDM=60∘MD=MD∴△HDM≌△NDM(SAS)，∴MN=MH=MB+BH=MB+CN。

证明完毕！结论②：如上图1中：△AMN的周长=2倍等边△ABC的边长；或者说成：3倍△AMN的周长=2倍等边三角形的周长。

证明：由结论①知：MN=MB+CN，CΔAMN=AM+AN+MN=AM+AN+(MB+CN)=(AM+MB)+(AN+NC)=AB+AC=2AB【例】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以点D 为顶点作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上．（1）如图①，当MN//BC时，则△AMN的周长为______；（2）如图②，求证：BM+NC=MN．【答案】（1）4；（2）证明见解析【解析】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，MN //BC ，∴∠AMN =∠ABC =60°，∠ANM =∠ACB =60°∴△AMN 是等边三角形，∴AM =AN ，则BM =NC ，∵△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形，∴∠DBC =∠DCB =30°，∴∠DBM =∠DCN =90°在△BDM 和△CDN 中，{BM =CN,∠MBD =∠DCN,BD =CD,∴△BDM ≌△CDN （SAS ）∴DM =DN ，∠BDM =∠CDN ，∵∠MDN =60°，∴△DMN 是等边三角形，∠BDM ∠CDN =30°，∴NC =BM =12DM =12MN∴MN =MB +NC ，∴△AMN 的周长=AB +AC =4．（2）如图，延长AC 至点E ，使得CE =BM ，连接DE ，∵△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，∠DBC =∠DCB =30°，∴∠ABD =∠ACD =90°，∴∠DCE =90°，在△BDM 和△CDE 中，{BD =CD,∠MBD =∠ECD,BM =CE,∴△BDM ≌△CDE （SAS ），∴MD =ED ，∠MDB =∠EDC∴∠MDE=120°-∠MDB+∠EDC=120°，∵∠MDN=60°，∴∠EDN=60°，在△MDN和△EDN中，{MD=ED,∠MDN=∠NDE=60°,DN=DN,∴△NDM≌△NDE（SAS），∴MN=NE，又∵NE=NC+CE=NC+BM，∴BM+NC=MN．【练1】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．【答案】△AMN的周长为6．【解析】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CN D中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．【练2】在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝D C．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系=；是；此时QL（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．【答案】（1）BM+NC＝MN，2；3（2）结论仍然成立，详见解析；（3）NC﹣BM＝MN，详见解析【解析】（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．此时QL =23．理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴QL =23；（2）猜想：结论仍然成立．证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴QL =23；（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N．∴NC﹣BM＝MN．【题型二：等腰直角三角形中的半角模型】【模型】：如图，在△AB C中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE【结论】BD 2+CE 2=DE 2（证明与正方形中的半角模型类似）【例】如图，等腰直角三角形AB C 中，∠BAC = 90°，AB =AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN =45°．若BM = 1，CN =3，求MN 的长．【答案】√10【解析】解：如图，过点C 作CE ⊥BC ，垂足为点C ，截取CE ，使CE ＝BM ．连接AE 、EN ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝45°．∵CE ⊥BC ，∴∠ACE ＝∠B ＝45°．在△ABM 和△ACE 中{AB ＝AC∠B ＝∠ACE BM ＝CE，∴△ABM ≌△ACE （SAS ）．∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠CAE ．∵∠BAC ＝90°，∠MAN ＝45°，∴∠BAM ＋∠CAN ＝45°．于是，由∠BAM ＝∠CAE ，得∠MAN ＝∠EAN ＝45°．在△MAN 和△EAN 中{AM ＝AE∠MAN ＝∠EAN AN ＝AN，∴△MAN ≌△EAN （SAS ）．∴MN ＝EN ．在Rt △EN C 中，由勾股定理，得EN 2＝EC 2＋NC 2．∴MN 2＝BM 2＋NC 2．∵BM ＝1，CN ＝3，∴MN 2＝12＋32，∴MN ＝√10．【练1】如图，在四边形ABC D 中，AB ＝AD ，BC ＝CD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠MAN ＝∠BA D ．（1）如图1，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的反向延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．【答案】证明见解析【解答】解：（1）证明：如图，延长MB 到G ，使BG ＝DN ，连接AG ．∵∠ABG＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADN．∴AG＝AN，BG＝DN，∠1＝∠4．∠BA D．∴∠1+∠2＝∠4+∠2＝∠MAN＝12∴∠GAM＝∠MAN．又AM＝AM，∴△AMG≌△AMN．∴MG＝MN．∵MG＝BM+BG．∴MN＝BM+DN．（2）MN＝BM﹣DN．证明：如图，在BM上截取BG，使BG＝DN，连接AG．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝AB，∴△ADN≌△ABG，∴AN＝AG，∠NAD＝∠GAB，∠DAB，∴∠MAN＝∠NAD+∠BAM＝12∠BAD，∴∠MAG＝12∴∠MAN＝∠MAG，∴△MAN≌△MAG，∴MN＝MG，∴MN＝BM﹣DN．（3）MN＝DN﹣BM．【练2】已知：如图（1）在Rt△AB C中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC 上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形AB C中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立，详见解析；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．【解析】解：（1）DE2＝BD2+EC2；证明：如图，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠F AD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°∴∠BAD+∠CAE＝45°,∠F AD+∠F AE＝45°,∴∠CAE=∠F AE又AE=AE,AF=AB=AC∴△AFE≌△ACE，∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝FD2+EF2∴DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠F AD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠F AE＝∠F AD+∠DAE＝∠F AD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠F AE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DC A．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．【题型三：正方形中的半角模型】【模型】在正方形ABC D中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。

初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握．半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半． 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化．解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．【模型展示】 1）正方形半角模型条件：四边形ABCD 是正方形，∠ECF =45°；结论：①△BCE ≌△DCG ；②△CEF ≌△CGF ；③EF ＝BE ＋DF ；④ AEF 的周长=2AB ；⑤CE 、CF 分别平分∠BEF 和∠EFD．2）等腰直角三角形半角模型初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇 条件： ABC 是等腰直角三角形，∠DAE =45°；结论：①△BAD ≌△CAG ；②△DAE ≌△GAE ；③∠ECG==90°；④DE 2＝BD 2＋EC 2；例1．如图，正方形ABCD 中，45MAN ，MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．（1）当MAN 绕点A 旋转到BM DN 时（如图1），证明：2M N BM ； （2）绕点A 旋转到BM DN 时（如图2），求证：M N BM DN ；例2．如图，在Rt ABC 中，AB AC，45ABCACB ，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE ∠，若3BD ，4CE ，15ADE S ，则ABD △与AEC △的面积之和为（ ）A ．36B ．21C ．30D ．221）等边三角形半角模型（120°-60°型）初中数学 ︵ 八年级︶培优篇条件： ABC 是等边三角形， BDC 是等腰三角形，且BD =CD ，∠BDC =120°，∠EDF =60°；结论：①△BDE ≌△CDG ；②△EDF ≌△GDF ；③EF ＝BE ＋FC ；④ AEF 的周长=2AB ；⑤DE 、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC ．2）等边三角形半角模型（60°-30°型）例1．在等边△ABC 的两边AB、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°，BD ＝DC ．探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系．（1）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM ＝DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ；（2）如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇例2．如图，在等边三角形ABC中，在AC 边上取两点M 、N 使30 MBN ．若AM m ，MN x ，CN n ， 则以x 、m 、n 的为边长的三角形的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x 、m 、n 的值而定例3．如图，△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，点D 为BC 边上一点．点E 为线段CD 上一点，且CE ＝2，AB ＝DAE ＝60°，则DE 的长为___．例4．如图，已知△ABC 是边长为4的等边三角形，DBC △是顶角为120°的等腰三角形，动点E 、F 分别在边AB 、AC 上，且60EDF ，则AEF △的周长是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇条件：∠BAC=2 ，AB =AC ，∠DAE = ；结论：①△BAD ≌△CAF ；②△EAD ≌△EAF ；③∠ECF=180°-2 ．例1．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = BC = DC ，点E 、F 分别在AD 、AB 上，且12FCE BCD． （1）求证：BF EF ED ；（2）连结AC ，若80,70B DEC ，求ACF 度数．1．如图，在边长为5的正方形ABCD 内作45EAF ＝，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ．若2DF ，则BE 的长为（ ）初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇A．157B ．432．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在线段BC 、CD 上运动，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与BD 相交于点M 、N ，下列说法中：①BE +DF ＝EF ；②点A 到线段EF 的距离一定等于正方形的边长；③BE ＝2，DF ＝3，则S △AEF ＝15；④若AB ＝，BM ＝3，则MN ＝5．其中结论正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF ＝45°，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△CDM ．若AE ＝2，则MF 的长为_______．4．在等边三角形ABC 中．初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇（1）如图1，D 、E 是边BC 上两动点，且∠DAE =30°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°后，得到△ACF ，连接DF ；①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE =2，CE =5时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等边三角形ABC 的边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AE ，连接CE ，当BD =2，BC =6时，CE 的长为________．。

初中几何9大模型（1）：半角模型重要几何模型1--半角模型模型特点倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形如图①：（1）∠2=1/2∠AOB；（2）OA=OB。

如图②：连接 FB，将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。

典型例题1如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F 分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAA证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF =1/2∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．【解析】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．在△ABG和△ADF中，易证△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=1/2∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．在△AEG和△AEF中，易证△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．典型例题2问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．【分析】（1）在AC上截取CD＝AN，连接OD，证明△CDO≌△ANO，根据全等三角形的性质得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，证明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，结合图形证明结论；（2）在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，仿照（1）的方法解答．【解析】解：（1）CM＝AN+MN，理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OA＝OC，在△CDO和△ANO中，易证△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∵∠MON＝60°，∴∠COD+∠AOM＝60°，∵∠AOC＝120°，∴∠DOM＝60°，在△DMO和△NMO中，易证△DMO≌△NMO，∴DM＝MN，∴CM＝CD+DM＝AN+MN；（2）补全图形如图2所示：CM＝MN﹣AN，理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，在△CDO和△ANO中，易证△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∴∠DOM＝∠NOM，在△DMO和△NMO中，易证△DMO≌△NMO（SAS）∴MN＝DM，∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．典型例题3如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN ＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．分析典型例题4-5已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH＝AB；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）【分析】（1）由三角形全等可以证明AH＝AB，（2）延长CB至E，使BE＝DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH＝AB，（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH ＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．典型例题6（1）如图1，将∠EAF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交BC于E，交CD于F，连接EF．若∠EAF＝45°，BE、DF的长度是方程x2﹣5x+6＝0的两根，请直接写出EF的长；（2）如图2，将∠EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交CB的延长线于E，交DC的延长线于F，连接EF．若AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，∠EAF∠BAD，请直接写出EF与DF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的前提下，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长．①EF的长为：5；②数量关系：EF＝DF﹣BE．【分析】（1）先证明△ABE≌△ADM，再证明△AEF≌△AMF，得到EF＝DF+BE即可；（2）先证明△ADM≌△ABE，再证明△EAF≌△MAF，即可；（3）直接计算△CEF的周长＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．（3）由上面的结论知：DF＝EF+BE；∵BC＝4，DC＝7，CF＝2，∴DF＝CD+CF＝9∴△CEF的周长＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．即△CEF的周长为15．①EF＝DF﹣BE＝FC+CD﹣BE＝5②和（2）方法一样，EF＝DF﹣BE．故答案为EF＝DF﹣BE．。