函数的概念与性质教案

函数及其表示

题型一 求函数的定义域

求函数定义域的主要依据是：

(1)分式的分母不能为零；

(2)偶次方根的被开方式其值非负；

(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.

（4）若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集

合；

（5）若f (x )是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题

【例1】求下列函数的定义域：

(1)f (x )＝|x －2|－1log 2x －1；(2)f (x )＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4

.

【例2】（1）已知()f x 得定义域为[1,2]，求()f 2

x +1的定义域；

（2）已知()f 2x +1得定义域为[1,2]，求()f x 的定义域

【跟踪训练】(1)已知f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y ＝f ⎝

⎛⎭⎪⎫x 2－x －12的定义域； (2)已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域．

题型二 求函数的解析式

（1）待定系数法：

【例3】已知(())98f f x x =+，且()f x 是一次函数，求()f x

（2）换元法：已知(())()f g x h x =，求()f x 时，可设()g x t =，从中解出()x x t =，代入()h x 进行换元，便可求解

【例4】已知2(2)1f x x =+，求()f x 的解析式。

【例5】若x

x x f -=

1)1( 求()f x

题型三 求函数的值域

（1）二次函数在区间上的值域（最值）：

【例6】求下列函数的最大值、最小值与值域：

①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；

③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；

（2）分离常数法 【例7】（1）1

+=x x y 的值域 （2）求22321x y x +=+的值域

题型四 分段函数

分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题。

【例9】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．

A ．[－1,2]

B ．[0,2]

C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞)

【跟踪训练】 (江苏)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的

值为________．-3/4

函数的性质

一、函数的单调性

设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1

时，都有f(x 1)f(x 2)），那么就说f(x)在区间D 上是增（减）函数.区间D 称为y=f(x)

的单调增（减）区间。

函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法 (B)图象法(从图象上看升降) (C)导数法：导函数大于零为增函数，导函数小于零为减函

数。

(D)复合函数的单调性，规律：“同增异减”（E ）

1.在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ C ）

A.y=2x-1

B.y=3x 2-1

C.y=x

2 D.y=2x 2+x+1 2.设函数b x a x f +-=)12()(是（-∞，+∞）上的减函数，若a ∈R, 则 （ D ） A.21≥a B.21≤a C.21->a D.2

1

2上是增函数，在区间(]2，∞-上是减函数，则m=____16____; 4.函数f(x)=ax 2

-(5a-2)x-4在[)+∞,2上是增函数, 则a 的取值范围是____[0,2]__________. 5.根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间 ；减区间：

6、函数321

2+--=x x y 的单调增区间为 .

7、已知函数224,0()4,0

x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若2(2)()f a f a ->，则a 的取值范围是 8、)(x f 是R 上的增函数，A （0，-1），B （3,1）是其图像上的两点，则不等式|(1)|1f x +<的解集是

C

10.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围.

[0,1/2）

函数的奇偶性与周期性

一、函数的奇偶性

1．函数奇偶性的定义及简单性质.

2.若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，反之，也成立．

3．若奇函数f (x )的定义域包含0，则f (0)＝0.

4．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式．

在定义域关于原点对称的情况下，

(1)若f (x )－f (－x )＝0或f (x )f (－x )

＝1[f (－x )≠0]，则f (x )为偶函数； (2)若f (x )＋f (－x )＝0或f (x )f (－x )

＝－1[f (－x )≠0]，则f (x )为奇函数． 5．设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇．

二、函数的周期性

1．周期函数定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任意x ，使得f (x ＋T )＝f (x )恒成立，则f (x )叫

做________，T 叫做这个函数的________．

2．周期函数的性质：(1)若T 是函数f (x )的一个周期，则kT (k ∈Z ，k ≠0)也是它的一个周期；

(2)f (x ＋T )＝ f (x )常写作f ⎝⎛⎭⎫x ＋T 2＝f ⎝⎛⎭

⎫x －T 2； (3)若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；

1．下列函数为奇函数的是( )D

A ．y ＝|sin x|

B ．y ＝|x|

C ．y ＝x3＋x －1

D ．y ＝ln

1＋x 1－x

2．函数f(x)＝1x ＋x 的图象关于( )C