干预分析的ARMAX模型及应用

ARMA相关模型及其应用一、本文概述随着科技的快速发展和数据分析技术的不断进步，时间序列分析在金融、经济、工程等领域的应用日益广泛。

其中，自回归移动平均模型（ARMA模型）作为一种重要的时间序列分析工具，其理论和实践价值备受关注。

本文旨在深入探讨ARMA模型的基本理论、性质及其在实际问题中的应用，旨在为读者提供一个全面而深入的理解和应用ARMA模型的参考。

本文将简要介绍ARMA模型的基本概念、发展历程及其在时间序列分析中的地位。

随后，重点阐述ARMA模型的数学原理、参数估计方法以及模型的检验与优化。

在此基础上，本文将通过具体案例，展示ARMA模型在金融市场分析、经济预测、工程信号处理等领域的实际应用，并探讨其在实际应用中的优势与局限性。

本文旨在为研究者、学者和实践者提供一个关于ARMA模型及其应用的全面指南，帮助他们更好地理解和应用这一重要的时间序列分析工具。

通过案例分析，本文旨在为相关领域的学者和实践者提供新的思路和方法，推动ARMA模型在实际问题中的更广泛应用。

二、ARMA模型基础ARMA模型，全称为自回归移动平均模型（AutoRegressive Moving Average Model），是时间序列分析中的一种重要模型。

它结合了自回归模型（AR，AutoRegressive）和移动平均模型（MA，Moving Average）的特点，能够更全面地描述时间序列数据的动态变化特性。

ARMA模型的基本形式为ARMA(p, q)，其中p是自回归项的阶数，q是移动平均项的阶数。

模型的一般表达式为：_t = \varphi_1 _{t-1} + \varphi_2 _{t-2} + \cdots +\varphi_p _{t-p} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} +\theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q}) 其中，(_t)是时刻t的观察值，(\varphi_i)是自回归系数，(\epsilon_t)是时刻t的白噪声项，(\theta_i)是移动平均系数。

随机项 ut 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2: 一般假定
X t 均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
记 Bk 为 k 步滞后算子, 即 Bk X t X tk , 则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
实际问题中, 常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况, 这 时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性, 否则季节性会被强趋势性所掩盖, 以至判断错误.
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型, 需进 行季节差分消除序列的季节性, 差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
式【5】称为( p, q)阶的自回归移动平均模型, 记为ARMA ( p, q)
注1: 实参数 1,2 , , p 称为自回归系数, 1,2 , ,q 为移动平均系数,
都是模型的待估参数
注2: 【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3: 引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B) Xt (B)ut
【6】
在实际中, 常见的时间序列多具有某种趋势, 但很多序列 通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除, 只需考察经过差分后序列 的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上, 序列重
复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等 时间序列都具有明显的季节变化. 一般地, 月度资料的时间序列, 其季节周期为12个月；
Xt 1 v1B v2B2
ut
vjB
j
ut
j0

MA（q）的自相关函数（AC）
根据自相关函数，当k>q时，yt 与y t-k 不相关， 这种现象称为截尾，因此，当k>q时，自相关 函数为零是MA（q）的一个特征。也就是说， 可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为 零来判断MA（q）模型的阶。
MA（q）的偏自相关系数随着滞后期的增加， 呈现指数衰减，趋向于零，这称为偏自相关系 数的拖尾性。
Quick → Estimate equation 在窗口中输入因变量，自变量为AR(p)和
MA(q)，以ARMA(1,2)为例：
GDP c AR(1) MA(1) MA(2)
参考AC或PAC确定滞后期 根据回归结果选择适合的估计结果
模型结果的分析
ARMA模型估计对参数t检验其显著性水 平要求并不严格，更多的是考虑模型的 整体拟合效果。
调整可决系数、AIC和SC准则都是模型 选择的重要标准。
AIC准则和SC准则
赤池信息准则：AIC=-2L/n+2k/n，其中L 是对数似然值，n是观测值数目，k是被 估计的参数个数。AIC准则要求其取值 越小越好。
施瓦茨准则：SC=-2L/n-klnn/n，使用时 也要求SC值越小越好。
ARIMA模型
考虑ARIMA(p,d,q)模型 一个ARIMA(p,d,q)模型代表一个I(d)变量
经过d次差分后所做的AR(p)和MA(q)模 型。
结束语
谢谢大家聆听！！！
17
Yt 1Yt1 2Yt2 ... pYt p ut 1ut1 qutq
则称该序列为（p,q）阶自回归移动平均模型。 记为ARMA（p,q）
随机时间序列分析模型的识别
对于AR、MA、ARMA模型，在进行 参数估计之前，需要进行模型的识别。 识别的基本任务是找出ARMA（p,q）、 AR（p）、MA（q）模型的阶。识别 的方法是利用时间序列样本的自相关 函数和偏自相关函数。

ARMAX模型ARMAX模型或ARMA模型的参数估计模型句法米= ARMAX模型（数据，订单）米= ARMAX模型（数据，命令，'小一'，V1的,...,'伪'，钒氮）米= ARMAX模型（数据，'缺'，缺'自然美'，铌，'数控'，数控，'NK细胞'，NK细胞）论据数据iddata对象，它包含输入输出数据。

订单整数向量，使用指定的格式订单= [注：数控NK细胞钠]对于多输入系统，毒品调查科及NK是其中第i行向量元素对应的命令，并与第i个输入相关的延迟。

当数据是一个时间序列，它没有输入和一个输出，然后订单= [娜数控]提示当精制米，估计模型，设置模型命令如下：订单=美'缺'，缺'自然美'，铌，'数控'，数控，'NK细胞'，NK细胞'缺'，'注意'和'数控'是的ARMAX模型的订单。

NK细胞是延迟。

钠，铌，北卡罗来纳州和NK 细胞是相应的整型值。

'小一'，V1的,...,'伪'，钒氮物业名称和属性值对可以包括以下idmodel任何属性：'聚焦'，'InitialState'，'显示'，'MaxIter'，'性'，'LimitError'和'FixedParameter'。

见算法性能，idpoly和idmodel获得更多信息。

描述注意ARMAX模型只支持单个或多个输入的时域数据和单一输出。

对于频域数据，使用原厂。

对于多输出的情况下，使用的ARX或1状态空间模型（见N4SID辨识和PEM）。

米= ARMAX模型（数据，订单）返回与参数估计和协方差（参数不确定性）idpoly模型米。

ARMA模型基本架构及应用ARMA模型是一种经济时间序列分析方法，可以用于预测未来值的变动趋势。

ARMA模型基于两个组成部分，即自回归（AR）和移动平均（MA）。

自回归模型使用时间序列的过去值作为预测未来值的因素，而移动平均模型则使用时间序列的随机波动作为预测的基础。

Yt=c+φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+θ1εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q+εt在这个公式中，Yt表示时间序列的当前值，p表示自回归模型的阶数，q表示移动平均模型的阶数，c是一个常数，εt是一个随机扰动项。

AR部分表示时间序列变量的当前值与过去p个时间点的值之间的关系。

自回归模型常常用于表示时间序列存在的自相关性，即过去值对未来值的影响。

MA部分表示时间序列的当前值与过去q个随机波动的关系。

移动平均模型用于表示时间序列的随机性。

ARMA模型的应用非常广泛。

在经济学中，ARMA模型常用于分析股票价格、就业率、通货膨胀率等经济指标的时间序列数据。

通过建立ARMA模型，可以揭示时间序列数据中的规律和趋势，从而为决策提供有价值的信息。

ARMA模型还可以用于信号处理、气象预测、环境监测等领域。

例如，在信号处理中，ARMA模型可以用于预测随机信号的未来走势，以便进行故障检测和预防。

在气象预测中，ARMA模型可以用于预测未来一段时间内的气温、降雨量等天气指标。

除了ARMA模型，还有ARIMA模型、GARCH模型等时间序列分析方法，它们在处理特定的时间序列数据时具有一定的优势。

ARMA模型是这些方法中最简单和最基础的一种，但在实际应用中已经证明了其有效性和实用性。

总之，ARMA模型是一种用于分析时间序列数据的方法，可以用于预测未来值的变动趋势。

该模型采用了自回归和移动平均的思想，通过估计参数来确定时间序列数据中的规律和趋势。

ARMA模型在经济学、信号处理、气象预测等领域有广泛的应用，并且被证明是一种有效和实用的分析工具。

ARMA 模型属于时间序列分析中的一种，20世纪70年代，由美国统计学家金肯（JenKins ）和波克斯（Box ）提出。

对于一个平稳、零均值的时间序列}{t x ，N t ,,2,1 =，一定能对它拟合一个如下形式的随机差分方程[88]：mt m t t t n t n t t t a a a a x x x x ----------++++=θθθϕϕϕ 22112211(6-3-31)式中，t x 是时间序列}{t x 在t 时刻的元素；),,2,1(n i i =ϕ称为自回归(Autoregressive)参数；),,2,1(m j j =θ称为滑动平均(Moving Average)参数；序列}{t a 称为残差序列，当这一方程正确地揭示了时序的结构与规律时，则}{t a 应为白噪声，即),0(~2ασNID a t 。

显然，上式左边为一个n 阶差分多项式，称为n 阶自回归部分；右边为一个m 阶差分多项式，称为m 阶滑动平均部分。

上式称为n 阶自回归m 阶滑动平均模型，记为ARMA(n ，m)模型，}{t x 也称为ARMA 时序或ARMA 过程。

在式（6-3-31）中，当0=j θ时，模型中没有滑动平均部分，称为n 阶自回归模型，记为AR(n)。

其形式为：t i t i ni t a x x +=-=∑ϕ1(6-3-32)在式（6-3-31）中，当0=i ϕ时，模型中没有自回归部分，称为m 阶滑动平均模型，记为MA(m)。

其形式为：j t j mj t t a a x -=∑+=θ1（6-3-33）本文采用基于残差方差最小原则的建模，它是基于如下认识[80]：任一平稳序列总可以用一个)1,(-n n ARMA 模型来表示，而AR(n)，MA(m)以及)1)(,(-=/n m m n ARMA 都是)1,(-n n ARMA 模型的特例[89]。

其建模思想可概括为：逐渐增加模型的阶数，拟合较高阶)1,(-n n ARMA 模型，直到再增加模型的阶数而剩余残差方差2a σ不再显著减小为止。

传递形式与逆转形式
• 传递形式
xt 1 ( B )( B ) t t G j t j
j 1
• 逆转形式
t 1 ( B ) ( B ) xt
xt I j xt j
j 1
G0 1 k j Gk j j Gk j 1
• 样本自相关图 • 样本偏自相关图
ARMA模型相关性特征
模型 AR(P) MA(q) ARMA(p,q) 自相关系数 拖尾 q阶截尾 拖尾 偏自相关系数 P阶截尾 拖尾 拖尾
3.3平稳序列建模
• • • • • • 建模步骤 模型识别 参数估计 模型检验 模型优化 序列预测
建模步骤
平 稳 非 白 噪 声 序 列 计 算 样 本 相 关 系 数
ARMA模型的定义
• 具有如下结构的模型称为自回归移动平均模 型，简记为
xt 0 1 xt 1 p xt p t 1 t 1 q t q p 0， q 0 2 E ( t ) 0，Var ( t ) , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t
ˆ 都会衰减至零值附近作小值波动 ˆ k 与 kk ˆ 在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看 ˆ k 或 当 kk
作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之 后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？
样本相关系数的近似分布
• Barlett
1 ˆ k ~ N (0, ) , n n
例2.5续
• 选择合适的模型 ARMA 拟合 1950 年 —— 1998 年北京市城乡居民定期储蓄比例序列。

3
累计脉冲响应函数：
y t +j t
+
y t +j t +1
+
y t +j t +2
+
+
y t +j t +j
= j + j -1 + j -2 +
+ +1
以此衡量随机扰动因素如果出现永久性变化后，即 t，t +1， ，t +j 都变化一个单位，对yt 造成的影响和冲击。 练习：建立年度（1951~1983）数据文件，导入book1 中数据x。利用Eviews创建一个程序，尝试生成不同的yt序 列，还可尝试绘制出脉冲响应函数图： smpl @first @first series x=0 smpl @first+1 @last series x=0.7*x(-1)+0.8*nrnd（正态分布） 该程序是用一阶差分方程生成一个x序列，初始值设定 为0，扰动项设定为服从均值为0，标准差为0.8的正态分布。
可以想象，如果按一定规则的数据 生成过程生成足够多的观测序列（比如 1万次或10万次），然后再求样本均值， 应该可以得到较高精度的结果，从而尽 量捕捉真实过程的特性。
该思想与计量经济学的另一重要概 念不谋而合，即蒙特卡洛模拟。
27
（2）AR (p) 序列的自相关和偏自相关：
●φk截尾性：AR(p)为p阶截尾。
例4：季度数据文件：1979:1~1999:2，调入book8中1个数据y。 同样，输入序列名y，滞后期取20。可得自相关图：
可见：自相关程度缓慢减弱。而偏自相关相邻两项相关程度很高。
14
例5：建月度文件：1972:01~1982:12，调入book18 的y（汗衫背心零售 量），滞后期36。自相关图为： 从自相关函数看： 12、24、36很大，即相 同月份有很强季节性，无明 显趋势。 从偏自相关函数看， k=1时一样，k=2时“自”和 “偏”自相关差距很大。

干预分析模型分析报告1. 引言干预分析是一种统计方法，用于评估某个干预措施对特定结果的影响。

干预分析模型是为了帮助决策者理解干预措施的效果，并能够预测在特定条件下的干预效果。

本文将介绍干预分析模型的基本概念和方法，并以一个具体案例进行分析。

2. 数据收集在进行干预分析模型之前，我们需要收集相关的数据。

数据中应包含以下内容：•干预措施：要分析的干预措施，如调整广告投放策略、提高产品质量等。

•干预组：接受了干预措施的样本组。

•对照组：没有接受干预措施的样本组。

•结果变量：干预措施希望影响的结果变量，如销售额、用户满意度等。

•其他可能影响结果变量的控制变量，如季节、地区等。

3. 基准分析在进行干预分析之前，我们需要进行基准分析，以确定是否存在潜在的混淆因素。

混淆因素是指可能影响干预措施效果的其他变量。

常见的基准分析方法包括描述性统计分析和回归分析。

描述性统计分析包括计算均值、中位数、标准差等统计量，并绘制直方图、散点图等图表，以帮助我们对数据有一个整体的了解。

回归分析则是通过建立统计模型，控制其他可能影响结果变量的因素，来评估干预措施对结果变量的影响。

常用的回归模型包括线性回归、多项式回归等。

4. 干预分析模型在进行干预分析之前，我们需要选择合适的干预分析模型。

常用的干预分析模型包括差异分析、协变量分析和工具变量分析等。

差异分析适用于干预组和对照组之间没有明显差异的情况。

通过比较干预组和对照组的平均值差异，来评估干预措施的效果。

协变量分析适用于干预组和对照组之间存在潜在混淆因素的情况。

通过控制其他可能影响结果变量的因素，来评估干预措施的效果。

工具变量分析适用于干预措施存在内生性问题的情况。

通过利用外部的工具变量，来评估干预措施的效果。

5. 模型评估在选择了合适的干预分析模型后，我们需要对模型进行评估，以确定模型的准确性和稳定性。

常用的评估方法包括交叉验证、残差分析等。

交叉验证是利用部分数据进行模型训练，然后使用剩余数据进行模型验证的方法。

ARMA 模型（一）模型的引进AR ：011t t k t k t Y Y Y βββε--=++++ （注意：如果假设t Y 的均值为零，0β可以不写）如果序列在其均值附近波动：t 可用： 12...TT Y Y Y F Y T+++==来预测1T F +，1211 (1)T T Y Y Y F T +++++=+来预测2T F +，等等。

事实上，新的信息更能反映未来，远离现在的数据对未来的影响应该变小。

所以，按照这样一种想法，改用移动平均）。

121212111111 (11)()()TT T T T T T T T Y Y Y F Y T Y Y F Y T F Y Y F Y F T T+++++++++++==++===+-≈+- 那么，1T Y +是实际值，1T F +是上一期的预测值，所以11()T T Y F ++-是误差，即1T e +。

可见，下一期的预测值是用前一期的预测值的基础上，加上修正误差。

实际上它是跟踪数据的变化，这就是移动平均提供的一个非常好的思想！当然，也有问题，就是滞后，前后两期的误差是否一样是需要考虑的。

以此类推，继续将1T F +写成T 时刻的预测值和T 时刻的误差修正之和，如此递推下去，就可将t Y 用不同滞后期的误差项表示：即MA ：11t t t k t k Y e e e μαα--=++++ （一定平稳！）。

而ARMA 模型为：01111t t p t p t t q t q Y Y Y e e e βββαα----=+++++++对时间序列的分析的一种重要工具——自相关。

注意：移动平均可平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使长期趋势显示出来。

（二）方法性工具自相关系数只是序列逐项之间的一种简单相关，它和x 和y 之间的简单相关系数实际上是一样的。

1.自相关函数：k γ当序列t Y 完全随机时，它的自相关系数理论上为零，没有任何自相关，但是我们不可能穷尽这个总体，所以，我们只能用它的样本数据来算，当使用样本数据来算的时候可能不是零，比如说0.008、0.007或者负的0.008、0.007。

ARMAX（自回归移动平均模型）是一种时间序列预测模型，用于描述时间序列数据的特性。

它结合了自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA）的特点，通过使用过去的输入和输出数据来预测未来的输出。

ARMAX模型的辨识原理基于以下步骤：
1.差分：首先，对非平稳时间序列数据进行差分处理，使其转化为平稳序列。

这是因为自回归模型
通常用于描述平稳过程，而差分可以消除时间序列中的趋势和季节性因素，使其变为平稳序列。

2.模型定阶：确定ARMAX模型的阶数。

阶数决定了模型中自回归和滑动平均的项数。

常用的方法
包括AIC准则、BIC准则、FPE准则等，这些准则可以帮助我们选择最优的阶数。

3.参数估计：使用最小二乘法、最大似然估计等方法对ARMAX模型的参数进行估计。

这些参数描
述了模型中自回归和滑动平均的强度和滞后时间等。

4.模型检验：通过残差分析、诊断图等方法对模型的拟合效果进行检验。

如果模型的拟合效果不佳，
可能需要重新调整模型的阶数或参数。

5.预测：使用训练好的ARMAX模型对未来数据进行预测。

根据已知的输入数据和模型参数，计算
未来的输出值。

总之，ARMAX模型的辨识原理是通过对非平稳时间序列数据进行差分处理，选择合适的阶数和参数进行模型估计和检验，并使用训练好的模型进行预测。

ARMA模型介绍ARMA模型（Autoregressive Moving Average model）是时间序列分析中常用的一种模型，用于描述和预测随时间变化的数据。

ARMA模型结合了自回归（AR）和移动平均（MA）两种模型的特点，可以较好地描述时间序列数据的变化趋势。

ARMA模型的核心思想是：当前时刻的观测值可以通过历史观测值和随机误差的线性组合来表示。

具体地说，AR部分考虑了当前时刻和过去几个时刻的观测值之间的关系，而MA部分则考虑了当前时刻和过去几个时刻的随机误差之间的关系。

在AR模型中，当前时刻的观测值与过去几个时刻的观测值之间存在线性关系。

AR模型的阶数(p)表示过去几个时刻的观测值被考虑进来。

对于AR(p)模型，数学表达式如下：yt = c + φ1 * yt-1 + φ2 * yt-2 + ... + φp * yt-p + et其中，yt表示当前时刻的观测值，c表示常数项，φ1, φ2, ... ,φp表示对应的回归系数，et表示当前时刻的随机误差。

在MA模型中，当前时刻的观测值与过去几个时刻的随机误差之间存在线性关系。

MA模型的阶数(q)表示过去几个时刻的随机误差被考虑进来。

对于MA(q)模型，数学表达式如下：yt = c + et + θ1 * et-1 + θ2 * et-2 + ... + θq * et-q其中，yt表示当前时刻的观测值，c表示常数项，θ1, θ2, ... ,θq表示对应的回归系数，et表示当前时刻的随机误差。

yt = c + φ1 * yt-1 + φ2 * yt-2 + ... + φp * yt-p + et + θ1 * et-1 + θ2 * et-2 + ... + θq * et-qARMA模型可以用于时间序列的拟合和预测。

通过将模型与已有数据进行拟合，可以得到模型的参数估计值。

然后，利用这些参数估计值，可以预测未来的观测值。

ARMA模型适用于没有明显趋势和季节性的时间序列数据。

对于零均值的平稳时间序列中，给定 Xt1, ,Xtk1 ，则 Xt和Xtk 之间
的偏相关函数定义为：
偏 相 关 函 数 = E [X tX tk] =E [X tX tk]
E [X t2]E [X tk2]
2 X
注意：此时的期望指的是条件期望 。
17
AR模型偏相关函数
设 X t 为零均值的实平稳时间序列，设它满足AR(p)模型：
9
AR与MA模型的比较
自回归模型： X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p a t.
意义在于仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测 目标的影响和作用，不一定平稳。
滑动平均模型：X t a t 1 a t 1 2 a t 2 q a t q .
型。
其中， a t 是独立同分布的随机变量序列，且满足 E[at ] 0，D[at]a2 也称
白噪声序列。 为了方便表示，引进延迟算子的概念。令：
Xt1 BXt Xt2BXt-1B2Xt Xtp BpXt
则自回归模型可写为： (B)Xt at
其中： (B ) 1 1 B 2 B 2 p B p .
(B) Xt
=
(B)at
模型简记为ARMA(p, q).
显然，当q =0时，ARMA(p, q)模型就是AR (p)模型； 显然，当p =0时，ARMA(p, q)模型就是MA (q)模型；
ARMA(p, q)模型的平稳性只依赖于AR 部分； ARMA(p, q)模型的可逆性只依赖于MA 部分；
1976年，英国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkins联合出版了 《时间序列分析——预测和控制》一书，在总结前人的研究的基础上， 系统地阐述了ARMA模型的识别、估计、检验及预测的原理和方法，成 为时间序列分析的核心，故ARMA 模型也称为Box-Jenkins模型。

ARMA(p,q)模型 、 模型
X t = ϕ1 X t −1 + L + ϕ p X t − p + ε t − θ1ε t −1 − L − θ qε t −q
• ARMA(p,q)平稳性取决于 平稳性取决于AR(p)的平稳性。 的平稳性。 平稳性取决于 的平稳性 • 当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平 AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平 部分平稳时 ARMA(p,q) 稳的，否则，不是平稳的。 稳的，否则，不是平稳的。
2、MA(q)模型 MA(q)模型
X t = ε t − θ 1ε t −1 − L − θ q ε t −q E( X t ) = E(ε t ) − θ1E(ε t −1 ) −L−θq E(ε t −q ) = 0
γ 0 = Var ( X t ) = (1 + θ12 + L + θ q2 )δ ε2 γ 1 = Cov( X t , X t −1 ) = (−θ1 + θ1θ 2 + θ 2θ 3 + L + θ q −1θ q )δ ε2
自相关 1. 构成时间序列的每个序列值x1 , x2 , ,xn之间的简单相关 L 系数称为自相关，记为rk rk =
∑ ( x − x)( x
t =1 t n t =1
n−k
t +k
− x)
( xt − x) 2 ∑
式中，n是样本量，k为滞后期， x代表样本数据的算术平均值。
2.偏自相关 偏自相关是指对于时间序列xt，在给定xt −1 , xt − 2 , L, xt − k 的条件下，与之间的条件相关系数，记为φkk , r1 , k = 1 k −1 rk − ∑ φk −1, j ⋅ rk − j φkk = j =1 , k = 2,3, L k −1 1 − ∑ φk −1, j ⋅ rj j =1 式中，rk 是滞后期的自相关系数。

平稳时间序列：统计量的统计规律不随时间变化。
路漫漫其悠远
AR模型
设 为零均值的实平稳时间序列，阶数为p的自回归模型定义为：
模型简记为 型。
，是时间序列 自身回归的表达式，所以称为自回归模
其中， 是独立同分布的随机变量序列，且满足
，
白噪声序列。
也称
为了方便表示，引进延迟算子的概念。令：
则自回归模型可写为： 其中：
路漫漫其悠远
AR模型的自相关函数
阶数为q的自相关模型定义为： 根据自相关函数的定义：
令k=1,2,…, p,得自相关系数：
从上述性质可以看出，AR(q)序列的自相关系数 随着k的增大始终不为0.这 种性质称为拖尾性，并且是呈负指数衰减。
路漫漫其悠远
ARMA模型的自相关函 数
ARMA(p, q)模型的自相关系数，可以看做AR(p)模型的自相关函数和 MA(q)模型的自相关系数的混合物。
用 乘上式两边，当给定
时，取条件期望得：
因为 k>0 时， 故
，且有
显然 即为AR(p)序列的偏相关函数，同时它又是AR(p)模型的最后一个回
归系数。当k>p时，有
，也即是截尾的。
路漫漫其悠远
ARMA模型偏相关函 数
ARMA模型的偏相关函数求解方法和上述略有不同，考虑用 对 做最小方差估计来求ARMA(p, q)序列(把MA(q)看作是 p=0 的特例)
路漫漫其悠远
二、模型的识别
路漫漫其悠远
MA模型的自相关函 数
阶数为q的滑动平均模型定义为： 根据自相关函数的定义：
因为 所以自相关函数变为三项：
路漫漫其悠远
MA模型的自相关函数
对于： 分以下几种情况讨论： 1）当 k =0 时，有

（1） 在式 1 中 ， 由于自回归的滞后阶数为 p， 移动平均的滞 后阶数为 q， 所以由式 1 所生成的随机序列过程称为 阶为 （p,q） 的混合自回归移动平均过程 ， 记为 ARMA （p,
作者简介 ： 陈瑜 （1983－ ）， 女 ， 福建福安人 ， 硕士 ， 主要研究方向为区域经济学 。
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在我国的gdp构成中市域经济的发展起着重要的作用当前正值我国各地市进行十二五规划的重要时期因此深入分析十二五期间我国的市域经济发展状况对于我国的经济发展将起着重要指导作文章选择泉州市作为市域经济发展的样本因为泉州市是海峡西岸重要枢纽城市也是全国综合配套改革试点城市之一经济总量连续1年居福建省首位因此研究泉州市十二五期间gdp的统计规律性和变动趋势对于其他地方政府制定经济政策有着借鉴意义目前学者们大多采用固定资产投资工业增加值社会消费品零售额等主要经济指标对gdp进行回归预测但是这种方法需要知道解释变量的同期数值然后再利用回归模型预测gdp这种方法无形中扩大最后的预测误差而且解释变量之间的多重共线性和异方差性也会影响模型的合理性以及最后的预测精本文采用的arma模型自回归移动平均模型仅需要用到某个变量如本文的gdp自身的历史数据对数据资料要求相对较少不像回归模型需要收集大量的相关数据具有操作简便的特点而且arma模型在进行预测方面的精度也要高于其他方法因此在实际应用中很值得推广文章以泉州市197728gdp历史数据为样本通过建立arma模型进行统计分析以揭示泉州市经济变化的内在规律性并预测十二五期间的经济发展态势为了方便计算并达到较好的预测效果我们对gdp历史数据取对数数值见表1二rm模型概述arma模型是一类常用的随机时序模型斯box詹金斯jenkins创立亦称bj方法它是一种精度较高的短期时序预测方法其数学表达式为中由于自回归的滞后阶数为p移动平均的滞所生成的随机序列过程称为阶为pq的混合自回归移动平均过程记为armap四川理工学院学报社会科学版journalsichuanuniversityengineeringsocialscienceseditionapr212010泉州市gdp历史数据单位

armax模型辨识原理-回复什么是ARMA模型？ARMA模型是时间序列建模中常用的模型之一。

ARMA模型是由自回归（AR）模型和移动平均（MA）模型组成的。

自回归模型是一种基于历史观测值的线性模型，而移动平均模型则是基于白噪声的线性组合。

两者的结合可以更好地建模时间序列数据的特征和趋势。

ARMA模型的公式可以表示为：\[Y_t = c + \phi_1Y_{t-1} + \phi_2Y_{t-2} + ... + \phi_pY_{t-p} + \epsilon_t + \theta_1\epsilon_{t-1} + \theta_2\epsilon_{t-2} + ... + \theta_q\epsilon_{t-q}\]其中，\(Y_t\)是时间序列的观测值，\(c\)是常数，\(\phi_1, \phi_2, ..., \phi_p\)是自回归系数，\(\epsilon_t\)是白噪声误差项，\(\theta_1,\theta_2, ..., \theta_q\)是移动平均系数。

ARMA模型的辨识原理ARMA模型的辨识原理是指通过观测数据来估计ARMA模型的参数。

辨识原理的核心是确定AR和MA的阶数，即p和q的值。

1.首先，进行平稳性检验。

ARMA模型要求时间序列是平稳的，即均值和方差不随时间变化。

可以通过自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图形来初步判断序列的平稳性，如果ACF和PACF在远离0值时都快速下降，则序列可能是平稳的。

2.根据ACF和PACF图形，确定AR的阶数p。

AR模型的ACF图在p阶后截尾，而PACF图在p阶后为零。

因此，可以通过观察ACF和PACF图来确定AR模型的阶数。

如果ACF在滞后p时有明显的截尾，而PACF 在滞后p之后趋于零，那么AR的阶数p可以设定为p。

如果ACF和PACF 都在滞后p后快速下降或趋于零，则可以选择更高的p值。

3.确定MA的阶数q。