大学物理竞赛力学辅导2016
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第31届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案页数:19
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2016年全国中学生物理竞赛内容提要(+理论)页数:11
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全国中学生物理竞赛大纲2016版页数:7
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大学物理竞赛力学辅导2016
这样可得
maCx mg sin f r maC y N mg cos J f r r
以上三式中， aCx和 aCy是圆柱体质心在 x 轴和 y 轴方 向的加速度，是圆柱体对其通过质心的几何轴转 动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑 动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时
力 学 基 本 概 念 及 补 充
力学部分主要公式：
d P （1). 牛顿第二定律 F dt d L （2). 角动量定理 M dt
对于质点,角动量 L r P 对于刚体,角动量 L J (3). 保守力与势能关系 F E p
(4). 三种势能 重力势能
aC R 纯滚动条件为 圆柱对质心的转动惯量为
F l f R JC
1 2 J C mR 2
aC
F
联立以上四式，解得
2F (R l ) aC 3mR
由此可见
R 2l f F 3R
l<r/2, f>0, 静摩擦力向后 l>r/2, f<0, 静摩擦力向前 l=r/2, f=0
Ff 1
m2 g
FN1
l
对O点 l m2 gl cos m1 g cos 2 Ff 1l cos FN1l sin 0
m1g
FN2
O Ff 2
Ff 1 1FN1
则质心在此期间经过的距离为：
1 2 12 v s v0t aC t 2 49 g
则纯滚动时质心的速率为：
2 0
v0
Ff
5 vC v0 gt v0 7
例题 质量为m、半径为r的均质球位于倾角为θ的 斜面的底端，开始时，球的质心速度为零，球相对 于质心的转动角速度为ω0，如图所示。球与斜面之 间的摩擦系数为μ，球在摩擦力作用下沿斜面向上 运动，求解球所能上升的最大高度。 解：一开始，小球与斜面间 为滑动摩擦，有一定的质心 速度；随时间增加，质心速 度变小，当滚动角速度满足 纯滚动条件 v r ， C 即转为纯滚动。因此，整个 过程分为两步求解：
01 物理竞赛辅导资料07 力学三把“金钥匙
物理竞赛辅导资料：力学三把“金钥匙”解决动力学问题，一般有三种途径：①牛顿第二定律和运动学公式(力的观点)；②动量定理和动量守恒定律(动量观点)；③动能定理、机械能守恒定律、功能关系、能的转化和守恒定律(能量观点)。
——以上这三种观点俗称求解力学问题的三把“金钥匙”。
三把“金钥匙”的合理选取：研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动状态的关系(或涉及加速度)时，一般用力的观点解决问题；研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般选用动量定理；涉及功和位移时优先考虑动能定理；若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用时，优先考虑两大守恒定律，特别是出现相对路程的则优先考虑能量守恒定律。
一般来说，用动量观点和能量观点比用力的观点解题简便，因此在解题时优先选用这两种观点；但在涉及加速度问题时就必须用力的观点。
有些问题，用到的观点不只一个，特别像高考中的一些综合题，常用动量观点和能量观点联合求解，或用动量观点与力的观点联合求解，有时甚至三种观点都采用才能求解，因此，三种观点不要绝对化。
下面通过历年高考题说明各个观点的应用。
〖典型例题透析〗力学观点与能量观点的综合〖例1〗(1991年上海高考)如图所示，长为l 的轻绳一端系于固定点O ，另一端系质量为m 的小球。
将小球从O 点正下方4l 处，以一定初速度水平向右抛出，经一定时间绳被拉直，以后小球将以O 为支点在竖直平面内摆动。
已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成600角，求：⑴小球水平抛出时的初速度v 0；⑵在绳被拉紧的瞬间，支点O 受到的冲量I ；⑶小球摆到最低点时，绳所受的拉力T 。
〖命题意图〗考查平抛运动、运动合成、冲量、机械能守恒定律及其应用、牛顿第二定律。
〖解题思路〗⑴小球在绳拉直前做平抛运动，令做平抛运动的时间为t ，则有：水平方向：lsin 600=v 0t …………①竖直方向：0260214cos l gt l =+…………② 由①、②式解得：g l t 2=，gl v 6210= ⑵在绳拉直前瞬时，小球速度的水平分量为v o ，竖直分量为gt ，如图所示。
大学物理竞赛辅导力学部分
对ｔ求导，得
2l d l 2x d x 2y d y 2cos x d y 2cos y d x
dt
dt
dt
dt
dt
将
d x u dt
,dy v dt
பைடு நூலகம்
代入上式，并应用
dl dt
0
作为求极值的条
件，则得
4
0 ux vy xv cos yu cos
xu v cos yv u cos
dm v m dv mg
dt
dt
dm kmv dt
kmv2 m dv mg dt
dv g kv2 dt
速度增加到右边为0时，加速度为0，速度不再变 化。
12
例 : 设在宇宙中有密度为 的尘埃，这些尘埃相对相对
惯性参考系是静止的，有一质量为m0的宇宙飞船以初速v0 穿过宇宙尘埃 ，由于尘埃粘贴在飞船上，致使飞船的速
1 2
kl 2
1 2
m
v2 2 max
k m1
v2max
kl m2
=0
v c max
(
m1v1 m1
m2v2 m2
)max
km2 l m1 m2
F m2
19
例：（11th,12）质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点
开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以
纸平面为代表的光滑水平面后，令质量为m 的刚性小球在此水平
求物体B相对于车厢的加速度。
(2)仅考虑B与桌面的摩擦， mA/ mB
mA
车厢具有向右的均匀a0,求物体B相对于
车厢不动时a0的取值范围。
mB a0
6
解(1) 非惯性系，惯性力
大学物理竞赛专题辅导之力学
力学基本定律 ma = F 2r d 加速度 a= 2
dt
作用力
电 磁 相 互 作 用
, mg 运动轨道椭圆、 万有引力 GMm 2 r q1q2 1 抛物线、双曲线 库仑力
4 0 r 2
洛伦兹力 弹性力
qvB
-kx
圆周运动
x A cos( t )
动静摩擦力、安培力、核力…..
能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多
力学动量、角动量、动能三大定理
ma = F dP F dt dJ d r P rF L dt dt d 1 mv 2 F dr 2
动量定理
角动量定理
动能定理 冲量定理 冲量矩定理
2 2
题目给出初始速度v0>0的限制，因此初始速度满足的 2 条件是 qRB qRB (1) 0<v Rq
0
2m
2m
(2)设质点到达最低点b处的速度大小为v,则机械能守 1 mv 2 = 1 mv 2 2mgR 恒得到 2 0 2 (2) 2
v 2 = v0 4 gR
2
2
又因为 0 q 2 ，所以上式中
qBR qBR 0 Rg cos q 2m 2m
2
因而左端
2 v1 2 Rg (1 cos q ) 0
这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是 2 2 ) ( 0 v v q 0 q 0 2 2 Rg (1 cos q ) 2 2
P F t J L
力学的守恒定律 动量、角动量、能量守恒
力学的物理模型 质点、质点组、刚体
dt
作用力
电 磁 相 互 作 用
, mg 运动轨道椭圆、 万有引力 GMm 2 r q1q2 1 抛物线、双曲线 库仑力
4 0 r 2
洛伦兹力 弹性力
qvB
-kx
圆周运动
x A cos( t )
动静摩擦力、安培力、核力…..
能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多
力学动量、角动量、动能三大定理
ma = F dP F dt dJ d r P rF L dt dt d 1 mv 2 F dr 2
动量定理
角动量定理
动能定理 冲量定理 冲量矩定理
2 2
题目给出初始速度v0>0的限制，因此初始速度满足的 2 条件是 qRB qRB (1) 0<v Rq
0
2m
2m
(2)设质点到达最低点b处的速度大小为v,则机械能守 1 mv 2 = 1 mv 2 2mgR 恒得到 2 0 2 (2) 2
v 2 = v0 4 gR
2
2
又因为 0 q 2 ，所以上式中
qBR qBR 0 Rg cos q 2m 2m
2
因而左端
2 v1 2 Rg (1 cos q ) 0
这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是 2 2 ) ( 0 v v q 0 q 0 2 2 Rg (1 cos q ) 2 2
P F t J L
力学的守恒定律 动量、角动量、能量守恒
力学的物理模型 质点、质点组、刚体
XHY---周培源大学生力学竞赛辅导( 动力学基础)
n i 1 i i C
t2 d (mv ) F mv2 mv1 F d t I 质点 t1 dt (e) d 质点系 ( m i vi ) F i dt dp x (e) Fx ( e ) p p I 2x 1x x dt dp y (e) (e) p p I Fy 2y 1y y dt (e) p2 z p1z Iz dpz (e) Fz dt
A l
O
l
C l B
F
已 知 ： OA=l ， AB=2l ， FAB 。 求 从0--90时， O 力F的功。
y
A
l
l
C
x
l B
F
• 解1：建立坐标系如图。
根据功的解析表达式，有
2 1 2 1
Fx F sin xB 3l cos dxB 3l sin d F F cos y B l sin dy B l cos d y
0
C2
• 平面运动刚体上力系的功
W12 M C d FR' d rC
1
C1
2
质点系的动能
质点系的动能
a. 平动刚体的动能
1 2 T mi vi i 2
1 1 2 2 T mi vi mvC 2 i 2
1 1 2 T mi vi J z 2 2 i 2
则rC = 常矢量；(质心位置守恒)
动量矩定理
• 动量矩 L O
M
i 1
n
O
(mi vi )
Lz M z (mi vi )
i 1
n
LO rC mvC LC
t2 d (mv ) F mv2 mv1 F d t I 质点 t1 dt (e) d 质点系 ( m i vi ) F i dt dp x (e) Fx ( e ) p p I 2x 1x x dt dp y (e) (e) p p I Fy 2y 1y y dt (e) p2 z p1z Iz dpz (e) Fz dt
A l
O
l
C l B
F
已 知 ： OA=l ， AB=2l ， FAB 。 求 从0--90时， O 力F的功。
y
A
l
l
C
x
l B
F
• 解1：建立坐标系如图。
根据功的解析表达式，有
2 1 2 1
Fx F sin xB 3l cos dxB 3l sin d F F cos y B l sin dy B l cos d y
0
C2
• 平面运动刚体上力系的功
W12 M C d FR' d rC
1
C1
2
质点系的动能
质点系的动能
a. 平动刚体的动能
1 2 T mi vi i 2
1 1 2 2 T mi vi mvC 2 i 2
1 1 2 T mi vi J z 2 2 i 2
则rC = 常矢量；(质心位置守恒)
动量矩定理
• 动量矩 L O
M
i 1
n
O
(mi vi )
Lz M z (mi vi )
i 1
n
LO rC mvC LC
(优选)大学物理竞赛辅导力学.
（优选）大学物理竞赛辅导力 学.
质点运动学
1、描述质点运动的 基本量：
1)位置矢量 r xi yj zk
r x2 2)位移 3)速度
4)加速度
y2 z2
v
r dr
dt
a
dv
dt
cos x , cos y , cos z
r rrຫໍສະໝຸດ i yj zkvxv
i v
v
yj
一 质心
有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
rc
m1r1 m2r2 miri mnrn
m1 m2 mi mn
n mi ri
i 1 n
mi
n
i 1
若取 m' mi 为质点系内各质点的质量总和
i
上式可写为
m' drc
n
dt i1
1m'rc
mi
质点系的动量定理
t2
t1
n i1
Fi外
dt
n i1
mivi2
-
n i1
miv i1
3）质点系的动量守恒定律（惯性系）
n
如 Fi 0
则
mivi 常矢量
i 1
i
n
如 Fix 0 i 1
则
mivi x 常量
i
注意：
1、动量守恒定律
只适用于惯性系。定律中的速度应 是对同一惯性系
求：v,
a
以及 轨迹方程 等。
解法：求导
若已知
r
r (t)
则
v
dr
dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
若已知 s s( t )
质点运动学
1、描述质点运动的 基本量：
1)位置矢量 r xi yj zk
r x2 2)位移 3)速度
4)加速度
y2 z2
v
r dr
dt
a
dv
dt
cos x , cos y , cos z
r rrຫໍສະໝຸດ i yj zkvxv
i v
v
yj
一 质心
有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
rc
m1r1 m2r2 miri mnrn
m1 m2 mi mn
n mi ri
i 1 n
mi
n
i 1
若取 m' mi 为质点系内各质点的质量总和
i
上式可写为
m' drc
n
dt i1
1m'rc
mi
质点系的动量定理
t2
t1
n i1
Fi外
dt
n i1
mivi2
-
n i1
miv i1
3）质点系的动量守恒定律（惯性系）
n
如 Fi 0
则
mivi 常矢量
i 1
i
n
如 Fix 0 i 1
则
mivi x 常量
i
注意：
1、动量守恒定律
只适用于惯性系。定律中的速度应 是对同一惯性系
求：v,
a
以及 轨迹方程 等。
解法：求导
若已知
r
r (t)
则
v
dr
dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
若已知 s s( t )
物理竞赛辅导_力学解题步骤PPT
F
P
0 • 【训练９】如图，某商场内电梯与水平面成 37，当 训练９ 训练 电梯匀加速向上运动时，人对电梯的压力是其体重 的 5 倍，则人对梯面的摩擦力是其重力的多少倍？
4
FN − mg = ma sin 37
0
a
37 0
Ff = ma cos 37 0
1 0 mg = ma sin 37 4
1 1 0 ∴ Ff = mg cot 37 = mg 4 3
１．研究对象的选取： 隔离法与整体法
• 当多个物体的加速度不相同时用隔离法！ • 当涉及两个物体之间作用力时用隔离法！ • 不涉及物体之间作用力和加速度相同时也 能用隔离法！ • 若能用整体法解决问题的，隔离法也能解 决．只是步骤多了一些而已！
• 【例１】如图，在光滑水平面上，有质量为Ｍ，长 例 度为Ｌ的木板．在木板上有一个质量为m的物体， 与木板之间的动摩擦因数为µ．今用一水平力Ｆ将 物体从长木板的左端拉到右端，物体的速度多大？
FA
A B
FB
• 【训练２】如图，已知 mA = 1kg ， mB = 2kg ，ＡＢ 训练２ 训练 之间的最大静摩擦力是5N，水平面光滑．用水平力 Ｆ拉Ｂ，当Ｂ的拉力大小分别为10N和20N时，Ａ Ｂ的加速度各多大？ F = (m + m )a
mA + mB ∴ F0 = f m = 15N mA
y
FT
m
x
60
0
FT sin 600 − mg sin 300 = ma
a
FT cos 60 − mg cos 30 = 0
0 0
∴ FT = 3mg
300
mg
a=g
• 【训练８】如图，位于光滑斜面上的物体Ｐ，受到 训练８ 训练 水平向右的恒定推力Ｆ作用，物体沿斜面加速下 滑．现保持Ｆ的方向不变而使其减小，则加速度： （ ） • Ａ．一定变小； • Ｂ．一定变大； • Ｃ．一定不变； • Ｄ．可能变小，可能不变，也可能变大．
大学物理竞赛辅导-力学
l. 水平轻绳跨过固定在质量为m 1的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下连接质量为m 2的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角α始终不变，试求α.21,,a a α1a .2a 1a 1m 2mα1a .2a 1a 1m 2m 解：画隔离体图，受力分析α1a 1m TT1a .2a 2m T例7. 光滑水平面上有一半径为R 的固定圆环,长为l 2的匀质细杆AB 开始时绕着C 点旋转,C 点靠在环上,且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着圆环外侧运动,直至细杆的B 端与环接触后彼此分离,已知细杆与圆环间的摩擦系数μ处处相同,试求μ的取值范围.Rl lABC 解:设初始时细杆的旋转角速度为0ω,转过θ角后角速度为ω.由于摩擦力并不作功,故细杆和圆环构成的系统机械能守恒例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为1J 和2J 开始时第一个圆盘以10ω的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度10ω1r 2r解：受力分析：1r 2r 10ω1N gm 1ffgm 22N 1o 2o 无竖直方向上的运动g m f N 11+=gm f N 22=+以O 1点为参考点，计算系统的外力矩：))((2122r r g m N M +-=0)(21≠+-=r r f例9: 质量为2m,半径为R 的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m 和2m 的物体,绳与滑轮之间的摩擦系数为μ,问μ为何值时绳与滑轮之间无相对滑动.解: 受力分析:mg1T mg22T m 2m2T 1Tββθ。
大学生物理竞赛1(力学)汇总
质心系中质点 mi 的速度: vi vi vc
三、质心运动定律
质点系的动量为 P
P
N
pi
N
midri
N
d
i 1
mi ri
i 1
i1 dt
dt
d(mrc ) m drc
dt
dt
p mvc
N
rc
mi ri
i 1
m
质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。
p mvc
mvc
vc
rcw A
l 2
w
A
vc rc P
LB
1 24
m l2w0
LB IBwB
1 wB 8 w0
反向转了
Lc
③ 再次插入O孔前后
LO IOwB
w0
wB
1 8
w0
Lo Iowo
逆时针转
m,l
A
O
B
最终稳定后，细杆AOB 绕O 孔旋转角速度的大小
w0
1 8
w0
角速度的方向：垂直纸面向外。
物理竞赛辅导 力 学 (Ⅰ)
参考资料
1. 教材 2. 大学物理学 (5册) 张三慧主编
清华大学出版社 3. 历年考题
参赛组: 非物理类A 组
补充知 识 质心
质心 ( Center of Mass)
一、质心的位置
对于N个粒子组成的系统，定义系
统的质量中心，其位矢
NN
rc
mi ri
i 1 N
mi ri
NDt ·3R = I2 w2
②
I2
1 2
m2 R2
m2 (3R)2
19 2
m2 R2
三、质心运动定律
质点系的动量为 P
P
N
pi
N
midri
N
d
i 1
mi ri
i 1
i1 dt
dt
d(mrc ) m drc
dt
dt
p mvc
N
rc
mi ri
i 1
m
质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。
p mvc
mvc
vc
rcw A
l 2
w
A
vc rc P
LB
1 24
m l2w0
LB IBwB
1 wB 8 w0
反向转了
Lc
③ 再次插入O孔前后
LO IOwB
w0
wB
1 8
w0
Lo Iowo
逆时针转
m,l
A
O
B
最终稳定后，细杆AOB 绕O 孔旋转角速度的大小
w0
1 8
w0
角速度的方向：垂直纸面向外。
物理竞赛辅导 力 学 (Ⅰ)
参考资料
1. 教材 2. 大学物理学 (5册) 张三慧主编
清华大学出版社 3. 历年考题
参赛组: 非物理类A 组
补充知 识 质心
质心 ( Center of Mass)
一、质心的位置
对于N个粒子组成的系统，定义系
统的质量中心，其位矢
NN
rc
mi ri
i 1 N
mi ri
NDt ·3R = I2 w2
②
I2
1 2
m2 R2
m2 (3R)2
19 2
m2 R2
大学物理竞赛辅导 力学部分
三、与碰撞1类似，2与1碰撞后，将完全交 换速度。因此2将静止，1将以速度 1 v0
继续运动。
5
例2，平直铁轨上停着一节质量为 M 20m 的车厢，车厢与铁轨之间摩擦可略。有若 干名学生列队前行，教员押后，每名学生 的质量统为 m。当学生与教员发现前面的 车厢时，都以相同的速度 v0 跑步，每名 学生在接近车厢时又以速度 2v0跑着上车坐下， 教员却因跑步速度没有改变而恰好未能上车。 据此可知，学生人数为多少？全过程中由教员、 学生和车厢构成的体统，其能量损失量为？
1 1 1 2 2 2 ( J J ) ( L ) Mv J 5 x L n L 0 v = 0 L 2 2 2 n 4 J Mx 2 ; x L x
所以，速度大小
v v 2 v 2 n v 5 tan vn 5
O
x
采用平行轴定理计算各自的转动惯量：
I d Ic md 2
大圆,小圆，剩余部分过O的转动惯 量I0，I1，I2；则
I1 I 2 I 0
1 2 I mR 0 2 2 1 I m R m1 R 1 1 2 2 2 13 I 2 mR 2 32
2 1 2 Ek 0 20 m 2v0 2Mv0 2 碰撞以后，体系总动能：
1 2 2 Ek 20m M v0 Mv0 2
因此，能量损失量为：
2 Ek Mv0
例3、 一质量均匀分布的柔软细绳铅 直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌 面上，如果把绳的上端放开，绳将落在 桌面上。试证明：在绳下落的过程中， 任意时刻作用于桌面的压力，等于已落 到桌面上的绳重量的三倍。
周聪华
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Ek
E p (x)
Ep
(x)
1 2
kx2
AE
B
Ek
Ep
Ep(h) mgh
Ep
o H H
重力势能
h
Ep
o
x
弹性势能
E
o Ek
Ek0
x
Ep
Ep
(r)
G
Mm r
引力势能
势能曲线的作用：
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
若：a0 a0 a0
r ，即：相对运动趋势向前， r ，即：相对运动趋势向后， r，即：无相对运动趋势，
f0 向后。
f
' 0
向前。
f0 0
2h
r 2h
r 2h
r
1 1 1
刚体平面平行运动的求解:
（1）求质心的运动。 利用质心运动定律，设质心在Oxy平面内运动，
RB
RB
A R A RG vC
G
车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系
xR
则
vc R
总结
关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。
F F ma0 a0 m
Fh I Fh
I
此时：这样看待圆柱体的运动： O点以过O’ 点为瞬心轴转动。
a rβ
(9).转动惯量
N
J (ri2mi ) J
r 2dm
dmdl dmdS
i 1
dmdV
刚体的平面平行运动
一、刚体的平面平行运动
定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保 持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平 面运动，这就叫刚体的平面平行运动。
根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度 有三个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转 动角度。
由机械能守恒定律得
mgh1 2m1m JC2rvC 2
求得
vC
2 gh
1
JC mr 2
因 J 1 mr 2 代入上式得 2
本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面 上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压 力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止 滚下，它没有初动能，只有重力势能mgh，当它滚动 下降这段高度时，全部动能是
Ek 1 2mC 2v1 2JC2
对纯粹滚动而言，vc=r ，以此代入得
Ek 1 2m1m JC2rvC 2
vC R aC R
对于平面上的滚动，上式中 v C 、a C 是圆心（通常就
是质心）的速度和加速度大小； 和 为滚动物体的角
速度和角加速度（物体在质心参考系中的角速度和角加
速度）；R 是滚动物体的圆半径。
对于曲面上的滚动，式中的a C 应理解为圆心的切向
加速度。
车轮的纯滚动
B
RA
aCx
G=mg
摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为m，半 径
为r，那么，它J对其1几m何r2的转动惯量 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和
斜面垂直而向上为y轴的方向
这样可得
m C x a m sg i n fr
mC ya Nmcgo s
Jfrr
以上三式中，aCx和aCy是圆柱体质心在x轴和y轴方
aCx gsin
而圆柱体对质心的角加速度与角速度为
0 ， 0
如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是 x，则质心所获得的速度由
v 2 2 a C xx 2 gsxi n 2 gh
求得
v 2gh
在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中， 我们看到，两者加速度之比是2/3，两者速度
之比是 2 3
A (E p2 E p1) E p
d A d Ep
d A F cos d x
Fx
d Ep dx
表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐 标的导数的负值。
(7).转动动能
1 J 2 2
vωr
(8).转动定律
M J J d
dt
M rF
因 J 1 mr 2 代入上式得 2
aCx
2gsin，
3
fr
1mgsin，
3
2gsin
3r
如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离x
，与之相应，下降的竖直距离是h=xsin ，这时质
心的速度由
v22aC xx3 4gsxin3 4gh
求得
v 4 gh 3
如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即 fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是
则有平动方程
FxmCax Fy mCay
（2）在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于 空间固定平面的轴转动。
Lz JC
（3）纯滚动约束方程。
Mz JC
vC R
aC R
例题 讨论一匀质实
y
N
心的圆柱体在斜面上 O x
的运动。
fr r
解 圆柱体所受的力共有三个： 重力G ，斜面的支承力N 和
向的加速度， 是圆柱体对其通过质心的几何轴转
动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑
动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时
maCy 0
maCy 0
解上列五个式子，得
aCx
g sin ，
1
J mr
2
g sin
1
J mr
2
r
fr m2JrJmsgin，Nmcgo s
(5). 保守力的特点
G
Mm r
Fdr 0 作功与路径无关
L
(6). 势能的定义
Aab E pa E pb
某个位置处的势能计算：If
E pb
0 ， E pa =Aa"0" =
"0"
a FC dr
从这个位置移动到势能零点处，保守力所做的功。
势能曲线
Ep (h)
E
刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相 对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。
二、滚动
主要讨论圆形物体在平面上或曲面上的滚动。通常 质心就在圆的中心。 几种滚动的形式：
有滑滚动：接触面之间有相对滑动的滚动 无滑滚动（纯滚动）：接触面之间无相对滑动的滚动。
车轮的纯滚动
对于纯滚动，除了要满足前面的两个公式以外，还 应该满足约束条件：
力学基本概念
力学部分主要公式：
（1). 牛顿第二定律
dP
F
dt
（2). 角动量定理
dL
M
dt 对于质点,角动量
LrP
对于刚体,角动量 LJ
(3). 保守力与势能关系 FEp
(4). 三种势能
重力势能 Ep mgz
弹性势能
Ep
1 2
kx2
万有引力势能 Ep
E p (x)
Ep
(x)
1 2
kx2
AE
B
Ek
Ep
Ep(h) mgh
Ep
o H H
重力势能
h
Ep
o
x
弹性势能
E
o Ek
Ek0
x
Ep
Ep
(r)
G
Mm r
引力势能
势能曲线的作用：
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
若：a0 a0 a0
r ，即：相对运动趋势向前， r ，即：相对运动趋势向后， r，即：无相对运动趋势，
f0 向后。
f
' 0
向前。
f0 0
2h
r 2h
r 2h
r
1 1 1
刚体平面平行运动的求解:
（1）求质心的运动。 利用质心运动定律，设质心在Oxy平面内运动，
RB
RB
A R A RG vC
G
车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系
xR
则
vc R
总结
关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。
F F ma0 a0 m
Fh I Fh
I
此时：这样看待圆柱体的运动： O点以过O’ 点为瞬心轴转动。
a rβ
(9).转动惯量
N
J (ri2mi ) J
r 2dm
dmdl dmdS
i 1
dmdV
刚体的平面平行运动
一、刚体的平面平行运动
定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保 持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平 面运动，这就叫刚体的平面平行运动。
根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度 有三个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转 动角度。
由机械能守恒定律得
mgh1 2m1m JC2rvC 2
求得
vC
2 gh
1
JC mr 2
因 J 1 mr 2 代入上式得 2
本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面 上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压 力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止 滚下，它没有初动能，只有重力势能mgh，当它滚动 下降这段高度时，全部动能是
Ek 1 2mC 2v1 2JC2
对纯粹滚动而言，vc=r ，以此代入得
Ek 1 2m1m JC2rvC 2
vC R aC R
对于平面上的滚动，上式中 v C 、a C 是圆心（通常就
是质心）的速度和加速度大小； 和 为滚动物体的角
速度和角加速度（物体在质心参考系中的角速度和角加
速度）；R 是滚动物体的圆半径。
对于曲面上的滚动，式中的a C 应理解为圆心的切向
加速度。
车轮的纯滚动
B
RA
aCx
G=mg
摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为m，半 径
为r，那么，它J对其1几m何r2的转动惯量 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和
斜面垂直而向上为y轴的方向
这样可得
m C x a m sg i n fr
mC ya Nmcgo s
Jfrr
以上三式中，aCx和aCy是圆柱体质心在x轴和y轴方
aCx gsin
而圆柱体对质心的角加速度与角速度为
0 ， 0
如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是 x，则质心所获得的速度由
v 2 2 a C xx 2 gsxi n 2 gh
求得
v 2gh
在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中， 我们看到，两者加速度之比是2/3，两者速度
之比是 2 3
A (E p2 E p1) E p
d A d Ep
d A F cos d x
Fx
d Ep dx
表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐 标的导数的负值。
(7).转动动能
1 J 2 2
vωr
(8).转动定律
M J J d
dt
M rF
因 J 1 mr 2 代入上式得 2
aCx
2gsin，
3
fr
1mgsin，
3
2gsin
3r
如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离x
，与之相应，下降的竖直距离是h=xsin ，这时质
心的速度由
v22aC xx3 4gsxin3 4gh
求得
v 4 gh 3
如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即 fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是
则有平动方程
FxmCax Fy mCay
（2）在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于 空间固定平面的轴转动。
Lz JC
（3）纯滚动约束方程。
Mz JC
vC R
aC R
例题 讨论一匀质实
y
N
心的圆柱体在斜面上 O x
的运动。
fr r
解 圆柱体所受的力共有三个： 重力G ，斜面的支承力N 和
向的加速度， 是圆柱体对其通过质心的几何轴转
动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑
动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时
maCy 0
maCy 0
解上列五个式子，得
aCx
g sin ，
1
J mr
2
g sin
1
J mr
2
r
fr m2JrJmsgin，Nmcgo s
(5). 保守力的特点
G
Mm r
Fdr 0 作功与路径无关
L
(6). 势能的定义
Aab E pa E pb
某个位置处的势能计算：If
E pb
0 ， E pa =Aa"0" =
"0"
a FC dr
从这个位置移动到势能零点处，保守力所做的功。
势能曲线
Ep (h)
E
刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相 对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。
二、滚动
主要讨论圆形物体在平面上或曲面上的滚动。通常 质心就在圆的中心。 几种滚动的形式：
有滑滚动：接触面之间有相对滑动的滚动 无滑滚动（纯滚动）：接触面之间无相对滑动的滚动。
车轮的纯滚动
对于纯滚动，除了要满足前面的两个公式以外，还 应该满足约束条件：
力学基本概念
力学部分主要公式：
（1). 牛顿第二定律
dP
F
dt
（2). 角动量定理
dL
M
dt 对于质点,角动量
LrP
对于刚体,角动量 LJ
(3). 保守力与势能关系 FEp
(4). 三种势能
重力势能 Ep mgz
弹性势能
Ep
1 2
kx2
万有引力势能 Ep