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一次函数 知识点 1．函数的概念：
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．
在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．
在某一变化过程中，有两个量，如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时称y 是x 的函数． 注意：（1）“y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值与之相对应，否则y 不是x 的函数．
（2）判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同．例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．
（3）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．
2．数学上表示函数关系的方法通常有三种：
（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．如：30S t =，2S R π=． （2）列表法：通过列表表示函数的方法．
（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
3．关于函数的关系式(解析式)的理解：
（1）函数关系式是等式．例如4y x =就是一个函数关系式． （2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．
通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．
例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数． （3）函数关系式在书写时有顺序性．
例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13
y
x -=就表示x 是y 的函数．
（4）求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．
4．自变量的取值范围：
很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如y =变量x 受到开平方运算的限制，有10x -≥即1x ≥；
当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s 与时间t 的关系式为80s t =；这里t 的实际意义影响t 的取值范围t 应该为非负数，即0t ≥． 在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： （1）整式型：一切实数
（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． （3）分式型：分母不为0． （4）复合型：不等式组
（5）应用型：实际有意义即可
5．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．
6．函数图像的位置决定两个函数的大小关系： （1）图像1y 在图像2y 的上方⇔21y y >
（2）图像1y 在图像2y 的下方⇔21y y <
（3）特别说明：图像y 在x 轴上方
⇔y
7．描点法画函数图象的步骤：（1）列表； （2）描点； （3）连线．
8．函数解析式与函数图象的关系：
（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； （2）函数图象上点的坐标满足函数解析式．
9．验证一个点是否在图像上方法：代入、求值、比较、判断
10．一次函数及其性质
知识点一：一次函数的定义
一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
知识点二：一次函数的图象及其画法
⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．
⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．
①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，
，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，
，0b k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，即直线与两坐标轴的交点．
⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图
象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．
知识点三：一次函数的性质
⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．
x
知识点四：一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号
倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴
图像的平移：b ＞0时，将直线y ＝kx 的图象向上平移b 个单位，对应解析式为：y ＝kx ＋b b ＜0时，将直线y ＝kx 的图象向下平移b 个单位，对应解析式为：y ＝kx －b
口诀：“上＋下－”
将直线y ＝kx 的图象向左平移m 个单位，对应解析式为：y ＝k （x ＋m ） 将直线y ＝kx 的图象向右平移m 个单位，对应解析式为：y ＝k （x －m ） 口诀：“左＋右－”
知识点五：用待定系数法求一次函数的解析式
⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．
⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式． 5≤x≤9．求此一次函数的解析式．
11．直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠
（3）两直线重合⇔21k k =且21b b =
（4）两直线垂直⇔121-=k k
12．一次函数与一元一次方程的关系： 直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解.求直
线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b
k
=-，直线
y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b
k
-就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标.
13．一次函数与一元一次不等式的关系：
任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
