时间抽样定理

时间抽样定理

This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

实验4 时间抽样定理

1、实验内容

给定连续时间信号 1. 以足够小的时间间隔，在足够长的时间内画出信号时域图形。

2. 用公式计算信号的频谱 。以足够小的频率间隔，在足够大的频率范围内，画出其

频谱图，估计信号的带宽。

3. 以抽样频率3000Hz 对x(t)抽样，得到离散时间信号x(n)，画出其图形，标明坐标轴。

1) 用DTFT 计算x(n)的频谱 ，画出频谱图形，标明坐标轴。

2) 由 1）得到原信号x(t)的频谱的估计 ，在模拟频域上考察对原信号频谱的逼近

程度，计算均方误差。

3) x(n)理想内插后得到原信号的估计，从连续时间域上考察信号的恢复程度，计算均方误差。

4. 抽样频率为800 samples/second ，重做3。

5. 对比和分析，验证时域抽样定理。

2、编程原理、思路和公式

对x （t ）进行等间隔采样，得到x （n ），T=1/fs 。采样信号的频谱函数是原模拟信号频谱的周期延拓，延拓周期是2*pi*fs 。对频带限于fc 的模拟信号，只有当fs>2fc 时，采样后频谱才不会发生频谱混叠失真。

1000()t

x t e -=()X j Ω()j X e ωˆ()X j Ω

Matlab中无法计算连续函数。但是可以让fs足够大，频谱混叠可以忽略不计，从而可以对采样序列进行傅里叶变换，这里使用之前编好的子程序dtft。

程序分别设定了3种采样频谱，10000Hz、3000Hz、800Hz分别对应题目1、3、4。采样时间区间均为。同时，画的是幅度归一化的频谱图，便于比较。

在网上查到一种内插函数的算法：理想内插运用内插公式xa（t）=x（n）g（t-nT）求和。其中g（t）=sinc（Fs*t），编程时，设定一个ti值求xa（ti），一个行向量x （n）和一个等长的由n’构成的列向量g（ti-n’T）相乘。构成一个行数与n同长而列数与t同长的矩阵，因此要把两项分别扩展成这样的序列。这只要把t右乘列向量ones （length（n）,1）,把n’T左乘行向量ones（1，length（t））即可。

设t向量长为M，n=1：N-1，就可生成t-n’T的矩阵，把它命名为TNM，则

TNM=ones（length（n）,1）-n’T*ones（1，length（t））。

3、程序脚本，并注释

4、仿真结果、图形

运行后

(均方误差结果)

运行：

5、结果分析和结论

由不同fs条件下的频谱图可以看出：当f>2000Hz时，频谱幅度的值很小。所以，Fs=3000Hz的采样序列的频谱混叠很小；而fs=800Hz时，频谱混叠较大。

以奈奎斯特采样频率Fs/2处的频谱幅度来比较其混叠，可以看出采样频率减小，混叠现象越大。

由计算出的均方误差也可以看出，采样频率越大，频率的逼近程度越大。

内插结果如图的连续曲线所示，图中的离散序列是原始模拟信号的采样真值。图和均方误差中容易看出，Fs=3000Hz的采样序列内插重构的信号误差比Fs=400Hz时小得多。可见，误差主要由频率混叠失真引起。当然，采样序列的样本较少也会引起误差增大。

另外，xa（t）的变化程度越大处误差也越大。

我自行设置内插函数g（t）的采样间隔dt为x（n）的采样间隔T的1/3，所以，误差数组xa-xo每隔两点就出现一次零。这与时域内插定理也是相符的。

6、遇到的问题、解决方法及收获

采样定理以占有带宽来换取传输质量，一直在频谱图中体现fs大时，所占的带宽也大，但是最终也没有实现。但是fs本身就是其频带宽带，也可以证明该点。

内插定理理解不透彻，导致算法理解费力，最终还是实现了预期结果。