关于超越方程的解法

看到这个超越方程x x = a, (a>1),有的同学可能脑袋都大了：底数和指数都是未知数，怎么解呀?其实，按照下面讲的迭代法，可以很容易的求得达到很高精确度的近似解：[说明：为编程方便，采用了与FORTRAN77一致的写法：1200 写为1.2E3,自然对数写为 log,...]两边取自然对数， x*log(x) = log(a) ,移项，x = log(a)/log(x) ,这不是很标准的迭代形式吗。

编程如下。

** xxa.for x**x=a >1,xo=ba,x,x1,yreal*8read(*,*) a,bx=bN=11 x1=xx=log(a)/log(x)y=ABS(x1-x)N=N+1IF(N.LE.1000.AND.y.GT.1.0d-8) GO TO 1WRITE(*,2) N,x,y2 format(1x,'N',I4,1x,'x=',d17.12,1x,'y',d12.7)end新建一个.txt 文件，把程序复制粘贴到里面，保存，关闭文件，改名为.for 文件，就可以在FORTRAN77中运行了；输入a,b(b是设定的初值)，按回车键，在1s内可以得到计算结果如下：1.0d6,9.0d0N 31 x=.706579673132D+01 y.8924538D-081.0d13,1.0d1N 24 x=.120329080082D+02 y.6295263D-08误差小于1d-8.说明：1] real*8代表双精度计算，理论上可以达到1.0d-15 的精度，这在一般情况就足够了。

2] 整数N的引入是为了防止迭代过程不收敛时运算无休止的进行进入死胡同。

3] x1这个变量是必须引入的，它代表了运算以前的x；4] "b" 代表初值，其选取要求不高。

4] 程序中"="的含意与通常数学公式不同，是"赋值"的意思，这一点初学者常常误会，需要认真领会。

超越方程解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：超越方程解法是数学领域中一个重要而复杂的问题，涉及到超越函数和代数方程的结合。

超越函数是指不满足任何有理方程的函数，例如指数函数、对数函数、三角函数等。

超越方程是指含有超越函数的方程，通常无法用有限次的代数运算解出其根。

解决超越方程需要运用一系列的数学方法和技巧，进行推导和化简，找到其解的近似值或特殊形式。

在数学中，解方程是一项基本的任务，从一次方程到高次方程，数学家们都提出了各种解法，例如直接代入法、配方法、求根公式等。

超越方程的解法却不那么直接和简单。

因为超越函数的性质决定了它们不会在有限的有理运算下得到解，因此需要运用更加复杂的方法来解决超越方程。

下面我们将介绍几种常用的超越方程解法。

一种常见的超越方程解法是利用级数展开法。

级数展开是将一个函数表示成无穷级数的形式，通过截断级数来近似表示原函数。

对于一些复杂的超越函数，可以通过级数展开来简化计算和解析。

当我们遇到指数函数或对数函数的方程时，可以尝试使用泰勒级数或泰勒-麦克劳林级数来将函数近似成一个无穷级数，然后通过截断级数来求解方程的近似解。

另一种常见的超越方程解法是利用变换和化简。

有些超越方程看似复杂，但通过适当的变换和化简可以得到简单的形式，从而更容易求解。

通过代换、换元、分式分解等方式，可以将原方程转化成更简单的形式，进而找到其解。

在这个过程中，需要灵活运用各种代数技巧，将原方程变形成更易处理的形式。

还有一些特殊的超越方程解法，例如利用积分和微分方程的方法。

有些超越方程可以转化成微分方程的形式，通过求解微分方程来得到原方程的解。

这种方法通常适用于一些特殊的超越方程，需要一定的数学知识和技能。

超越方程解法是一个复杂而又有趣的数学问题，需要数学家们不断探索和研究。

通过不断的实践和思考，我们可以运用各种数学方法和技巧来解决超越方程，挖掘其中的数学奥秘。

希望通过本文的介绍，读者能对超越方程解法有更深入的了解，并对数学问题更加感兴趣和热爱。

观察法解绝超越方程或不等式1， 函数e 1()ln ,A ,)y ()P Q 11f x x f x e e ==--过点（作的两条切线切点分别为，，求直线PQ 的方程解：设切线与()ln f x x =相切于点0,0()x y ，PQ 方程y kx b =+易得方程0011ln 10e x e x -+-=整理得 00011ln x e x e x --=观察易得001x x e ==或进而求得11,11k b e e==-- 2，1()2ln f x x x x=--的零点为x=1 易证1()2ln f x x x x =--在(0,)+∞上单调递增 2， 解不等式22ln 0e x x -<解：构造函数2()2ln f x e x x =-，观察可知0f =，且易证())f x ∞上单调递减，所以解集为)∞3，121()ln , g(x)=ln m e f x mx x x x x-+=--+ 若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得00()()f x g x >，求m 得取值范围 解，令22()()()2ln 2ln m e m e F x f x g x mx x mx x x x x+=-=--=--- m 《0，x 在[]1,e 上时，很容易观察()0F x <，故此时不存在0xm 〉0时22(1)2()F ()m x e x x x ++-='易观察()0F x >，()F x 在[]1,e 单调递增，max ()()0F x F e ∴=>解得241e m e >- 4，已知函数()()xf x mx n e -=+在x=1处取得极值1e - （Ⅰ）求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调区间（Ⅱ）当(,x a ∈+∞）时，(2)()2(),f x a f a f x -+>求a 得取值范围解：（Ⅰ）略，()x f x xe -=（Ⅱ）观察出22x a a x -+=则不等式可化为[]21)(2)()22x a a f f x a f a -+<-+（而这说明()f x 在(,a +∞）上是下凸的，有下凸函数的性质知x x f ≥≥∴≥可解得2,a 2''()0,5，已知函数()1,R f x x a x a =-+-∈（Ⅰ）当a=3时，解不等式()4f x ≤ （Ⅱ）当(2,1),()21x f x x a ∈->--，求a 得取值范围解：（Ⅰ）{}x 4x≤≤⎥0 （Ⅱ）观察出2x-a-1=x-a+x-1则1()(1)x a x x a x -+->-+-有含绝对值不等式的性质可知()(1)0,2x a x a x a --<∴<∴≤-。

代数方程和超越方程一、代数方程。

（一）定义。

代数方程是指由多项式组成的方程。

多项式是由变量（通常用字母表示，如x、y 等）和系数通过有限次的加、减、乘运算得到的表达式。

例如，一元一次方程ax + b = 0（a≠0），其中a和b是常数，x是变量；一元二次方程ax^2+bx + c = 0（a≠0）等都是代数方程。

（二）求解方法。

1. 一元一次方程。

- 对于方程ax + b = 0（a≠0），求解的步骤是：首先将常数项b移到等号右边，得到ax=-b，然后两边同时除以a，解得x =-(b)/(a)。

例如方程2x+3 = 0，移项得到2x=-3，解得x =-(3)/(2)。

2. 一元二次方程。

- 对于方程ax^2+bx + c = 0（a≠0），可以使用求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}来求解。

- 当b^2-4ac>0时，方程有两个不同的实数根；当b^2-4ac = 0时，方程有一个实数根（两个相同的根）；当b^2-4ac<0时，方程有两个共轭复数根。

例如方程x^2-2x - 3 = 0，其中a = 1，b=-2，c=-3，b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-3)=16>0，根据求根公式x=(2±√(16))/(2)=(2±4)/(2)，解得x_1 = 3，x_2=-1。

3. 多元一次方程组。

- 可以使用消元法来求解。

例如对于方程组2x + 3y=8 x - 2y=-3- 可以将第二个方程x - 2y=-3变形为x=2y - 3，然后将其代入第一个方程2(2y - 3)+3y = 8，展开得到4y-6 + 3y=8，即7y=14，解得y = 2。

- 再把y = 2代入x = 2y-3，得到x=1。

二、超越方程。

（一）定义。

超越方程是指包含超越函数的方程。

超越函数是指那些不满足多项式方程关系的函数，例如三角函数（sin x、cos x等）、指数函数（e^x）、对数函数（ln x）等。

【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如0109623=-+-x x x ，22ln 22+-=-x x x x 方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值点．3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况求解．【典例指引】例1．已知函数()ln f x ax x x =+在2x e -=处取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）设()()()22ln F x x x x f x =+--，其导函数为()F x '，若()F x 的图象交x 轴于两点()()12,0,,0C x D x 且12x x <，设线段CD 的中点为(),0N s ，试问s 是否为()0F x '=的根？说明理由．【思路引导】（1）先求导数，再根据()20f e -'=，解得1a =，最后列表验证（2）即研究1202x x F +⎛⎫=⎪⎝⎭'是否成立，因为121212412x x F x x x x +⎛⎫=+--⎪+⎭'⎝，利用21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=得()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-，所以()121212122ln ln 42x x x x F x x x x -+⎛⎫=- ⎪-+⎭'⎝=0，转化为()21ln 01t t t --=+．其中12x t x =，最后利用导数研究函数()()21ln 1t u t t t -=-+单调性，确定方程解的情况（2）由（1）知函数()22ln F x x x x =--．∵函数()F x 图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0C x D x ，（12x x <），∴21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=．两式相减得()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-()221F x x x-'=-．学*()1212121212122ln ln 4412x x x x F x x x x x x x x -+⎛⎫=+--=-⎪+-+⎝⎭'．下解()1212122ln ln 40x x x x x x --=-+．即()1212122ln 0x x x x x x --=+．令12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<，即()21ln 01t t t --=+．令()()21ln 1t u t t t -=-+，()()()()22211411t u t t t t t -=-=+'+．又01t <<，∴()0u t '>，∴()u t 在()0,1上是増函数，则()()10u t u <=，从而知()1212122ln ln 40x x x x x x --+<+-，故1202x x F +⎛⎫< ⎪⎝⎭'，即()0F s '=不成立．故s 不是()0F x '=的根．学*例2．设函数()21ln 2f x x ax bx =--（1）当3,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）令()()21(03)2a F x f x ax bx x x =+++<≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（3）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．【思路引导】（1）先求导数()'f x 然后在函数的定义域内解不等式()'0f x >和()()'0,'0f x f x 的区间为单调增区间，()'0f x <的区间为单调减区间；（2）先构造函数()F x 再由以其图象上任意一点()00,P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，知导函数12k ≤恒成立，再转化为200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭求解；（3）先把握()f x mx =有唯一实数解，转化为ln 1xm x=+有唯一实数解，再利用单调函数求解．【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间．例3．已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出，分两种情况讨论，分别令得增区间，令得减区间；（2），令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．试题解析：（1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；（2）依题意，，令，则，学*令，则，即在上单调递增．又，，存在唯一的，使得．当，在单调递增；当，在单调递减．，，，且当时，，又，，．学*故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为．【新题展示】1．【2019山西祁县中学上学期期末】已知函数,．若（1）求实数的值；（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（2）得到xlnx k，令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解析】所以当时，，即的值域为．所以使方程有实数解的的取值范围．2．【2019浙江台州上学期期末】设函数，R．（Ⅰ）求函数在处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值；（Ⅲ）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求出函数在处的导数后可得切线方程．（Ⅱ）参变分离后求函数的最小值可得的最大值．（Ⅲ）因为，故无零根，参变分离后考虑的图像与直线总有两个不同的交点，从而得到实数的取值范围．【解析】（Ⅰ），.且，所以在处的切线方程为.所以.（其中）所以的最大值为.（ⅰ）当时，即时，则，即在，单调递增，且当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.此时对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.（ⅱ）当时，有两个非负根，，所以在，，单调递增，单调递减，所以当时有4个交点，或有3个交点，均与题意不合，舍去.（ⅲ）当时，则有两个异号的零点，，不妨设，则在，单调递增；在，单调递减.当时，的取值范围为，当时，的取值范围为，所以当时，对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.所以有，，得.由，得，即.所以，，.故.所以.所以当或时，原方程对任意实数均有且只有两个解.3．【2019浙江杭州高级中学上学期期中】已知函数.（1）若关于的方程在内有两个不同的实数根，求实数的取值范围.（2）求证：当时，.【思路引导】（1）关于的方程在内有两个不同的实数根等价于，x与y=a有两个不同的交点；（2）要证当时，即证【解析】（2）证明：，由得在上单调递增，又,根据零点存在定理可知，存在，使得当时，，f（x）在上单调递减；当时，，f（x）在上单调递增；故.由，得到，即，，故，其中，令，，由，得到在上单调递减，故，即，综上：有当时，.【同步训练】1．已知函数()21e2xf x t x -=--（R t ∈），且()f x 的导数为()f x '．（Ⅰ）若()()2F x f x x =+是定义域内的增函数，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）若方程()()222f x f x x x +=--'有3个不同的实数根，求实数t 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）只需()0f x '≥，即()()2121e 2x t x g x ≤-=恒成立，求出()min g x 即可得结果；（Ⅱ）原方程等价于227e 2x t x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，研究函数()227e 2x h x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调性，结合图象可得结果．令()0h x '=，解得3x =-或1x =．列表得：x (),3-∞-3-()3,1-1()1,+∞()h x '+0-0+()h x 增极大值减[来源:]极小值增由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值65e 2-；当1x =时，()h x 取得极小值23e 2-．又当3x <-时，2702x x +->，2e 0x >，此时()0h x >．学*因此当3x <-时，()650,e 2h x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当31x -<<时，()2635e ,e 22h x -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；当1x >时，()23e ,2h x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，因此实数t 的取值范围是650,e 2-⎛⎫ ⎪⎝⎭．2．已知函数()322ln 3f x ax x =--的图象的一条切线为x 轴．（1）求实数a 的值；（2）令()()()g x f x f x =+'，若存在不相等的两个实数12,x x 满足()()12g x g x =，求证：121x x <．【思路引导】（1）对函数求导，由题可设切点坐标为()0,0x ，由原函数和切线的斜率为0可得方程组，解方程组得a 值；（2）由题知()32211ln 3g x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系，判断()g x 的单调性，再构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用导数判断出()G x 的单调性，最后可令1201x x <<<，利用()G x 单调性可得结论．()()(),1{,01h x x g x h x x ≥=-<<且()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()10g =，当1x >时，101x<<，学*记()()()()()1111G x g x g h x h f x f x f f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦''，记函数()y f x ='的导函数为()y f x =''，则()()()221111G x f x f x f f x x x x ⎛''''''⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎝'⎭⎭3．已知函数()()ln f x a x x =+（0a ≠），()2g x x =．（1）若()f x 的图象在1x =处的切线恰好也是()g x 图象的切线．①求实数a 的值；②若方程()f x mx =在区间1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．（2）当01a <<时，求证：对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立．【思路引导】（1）①首先求函数()f x 的图象在1x =处的切线，()1'1f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()'12f a =，又因为切点为()1,a ，所以切线方程为2y ax a =-，于是问题转化为直线2y ax a =-与函数()g x 图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程ln x x mx +=在区间1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有唯一实数解，参变量分离得ln 1x m x =+，设()ln 1x t x x =+，1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，研究()t x 的单调性、极值，转化为直线y m =与()y t x =有且只有一个交点，（2）当01a <<时，()f x 在[]1,2上单调递增，()2g x x =在[]1,2上单调递增，设1212x x ≤<≤，则()()12f x f x <，()()12g x g x <，于是问题转化为()()()()2211f x g x f x g x -<-，构造函数()()()F x f x g x =-，通过函数()F x 在[]1,2上单调递减，可以求出a的取值范围．∵()21ln 'x t x x -=，∴1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭，()'0t x >，函数单调递增，(),e +∞，()'0t x <，函数单调递减，∵11t e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11t e e=+，且(),x e ∈+∞时，()1t x >，∴[]11,11m e e ⎧⎫∈-⋃+⎨⎬⎩⎭；证明：（2）不妨设1212x x ≤<≤，则()()12f x f x <，()()12g x g x <，∴()()()()1212f x f x g x g x -<-可化为()()()()2121f x f x g x g x -<-∴()()()()2211f x g x f x g x -<-设()()()F x f x g x =-，即()()2ln F x a x x x =+-，∴()F x 在[]1,2上单调递减，∴()22'02ax a x F x +-=≤恒成立，即221x a x ≤+在[]1,2上恒成立，∵22221111124x x x =-≥+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴1a ≤，从而，当01a <<时，命题成立．4．已知函数()()ln , 2.718f x x x e == ．（1）设()()()2216g x f x x e x =+-++，①记()g x 的导函数为()g x '，求()g e '；②若方程()0g x a -=有两个不同实根，求实数a 的取值范围；（2）若在[]1,e 上存在一点0x 使()()20011m f x x ->+成立，求实数m 的取值范围．【思路引导】（1）①对()g x 进行求导，将e 代入可得()g e '的值；②对()g x 进行二次求导，判断()g x '的单调性得其符号，从而可得()g x 的单调性，结合图象的大致形状可得a 的取值范围；（2）将题意转化为00001ln 0mx m x x x +-+<，令()1ln m h x x m x x x =+-+，题意等价于()h x 在[]1,e 上的最小值小于0，对()h x进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值．（2）由题可得()2000ln 11m x x x ->+，∴000011ln m x x x x ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭，∴00001ln 0mx m x x x +-+<，令()1ln mh x x m x x x=+-+，则()h x 在[]1,e 上的最小值小于0，又()()()()211x x m h x x='+-+，1，当1m e +≥时，即1m e ≥-，()h x 在[]1,e 上递减，所以()0h e <，解得211e m e +>-；2，当11m +≤即0m ≤，()h x 在[]1,e 递增，∴()10h <解得2m <-；3，当11m e <+<，即01m e <<-，此时要求()10h m +<又()0ln 11m <+<，所以()0ln 1m m m <+<，所以()()12ln 12h m m m m +=+-+>此时()10h m +<不成立，综上2m <-或211e m e +>-．学*点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上，利用导数与0的关系得到函数的单调区间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别．5．已知函数()()233x f x x x e =-+⋅．（1）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,(2)t t ->-上为单调函数；（2）若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程()()0f x z x R -=∈在[]2,t -上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z 的取值范围．【思路引导】（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据[]2,t -为某个单调区间的子集得t 的取值范围，（2）结合三次函数图像确定t 的取值范围：当2t ≥,且t N ∈时，方程()0f x z -=在[]2,t -上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数z 的满足的条件：()(){}()(){}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-，最后解不等式可得实数z 的取值范围．只需满足()(){}()(){}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-即可．因为()()()()22132,03,1,2f f f e f e e-====，且()()()2230f t f e f ≥=>=，因而()()()()()2102f f f f f t -<<<≤，所以()()10f z f <<，即3e z <<，学*综上所述，当2t ≥,且t N ∈时，满足题意，此时实数z 的取值范围是(),3e ．6．已知函数()()21ln ,f x x ax g x x b x =+=++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线．（1）求a 的值；（2）对任意的11,x e ⎡⎤∈⎣⎦，都存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（3）已知方程()f x cx =有两个根1212,()x x x x <，若()1220g x x c ++=，求证:0b <．【思路引导】（1）对函数()f x 求导，()2112'2ax f x ax x x+=+=，设直线12y =-与函数()f x 相切与点()20000,ln (0)x x ax x +>，根据导数的几何意义可得，200200210{12ax x lnx ax +=+=-，解得01{12x a ==-，求出12a =-；（2）对任意的1[1,x ∈e ，都存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =，只需要()1f x 的值域是()2g x 值域的子集，利用导数的方法分别求()1f x 、()2g x 的值域，即可求出b 的取值范围；（3）根据题意得()()2211{f x cx f x cx ==,两式相减得，212121ln ln 2x x x x c x x -+=--，所以()()1211221121122212ln ln 2ln 1x x x x x b x x x x x x x x x ---=--=++，令12xt x =，则()0,1t ∈，则()2112ln 1t b x x t t --=-+，令()()12ln ,0,11th t t t t-=-∈+，对()h t 求导，判断()h t 的单调，证明0b <．(2)由（1）得()21ln 2f x x x =-，所以()211'x f x x x x -=-=，当(1x ∈，时，()0f x <，所以()f x在⎡⎣上单调递减，所以当(1x ∈，时，()min f x f=122e=-，()()()222min1111,'12x f x f g x x x -+==-=-+=，当[]1,4x ∈时，()'0g x >，所以()g x 在[]1,4上单调递增，所以当[]1,4x ∈时，()()()()min max 1712,44g x g b g x g b ==+==+，依题意得11,222e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦172,4b b ⎡⎤⊆++⎢⎥⎣⎦，所以1222{17142eb b +≤-+≥-，解得193422e b -≤≤--．(3)依题意得()()2211{f x cx f x cx ==,两式相减得()()()222121211ln ln 2x x x x c x x ---=-，所以212121ln ln 2x x x x c x x -+=--，方程()1220g x x c ++=可转化为7．已知函数（为自然对数的底数，），，．（1）若，，求在上的最大值的表达式；（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．【思路引导】(1)先求函数导数，根据定义域以及取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围；(3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数．试题解析：(1)时，,；①当时，，在上为增函数，此时，②当时，，在上为增函数，故在上为增函数，此时③当时，，在上为增函数，在上为减函数，若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，此时若，即时，在上为增函数，则此时，综上所述：（2），，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上恰有两个相异实根，，实数的取值范围是，8．设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．【思路引导】(1)先求函数导数,再求导函数零点,根据定义域舍去,对进行讨论,时，，单调增区间为．时,有增有减;(2)函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小,设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小．(3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知．不妨设，则，．两式相减得，即．所以．因为，点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．21。

mathcad解超越方程摘要：1.介绍Mathcad2.什么是超越方程3.Mathcad 解超越方程的方法4.举例说明如何用Mathcad 解超越方程5.总结正文：一、介绍MathcadMathcad 是一种用于数学建模和求解的软件，广泛应用于工程、科学和教育领域。

它可以处理各种类型的数学问题，包括代数、微积分、线性代数、概率论和统计学等。

Mathcad 提供了丰富的数学函数和工具，使得用户可以方便地构建和求解数学模型。

二、什么是超越方程超越方程是指不能用常规代数方法求解的方程。

这类方程通常包含无法用有理函数表示的函数，如对数、指数、三角函数等。

超越方程在实际问题中广泛存在，例如求解物体在重力场中的运动轨迹、计算流体力学中的速度场等。

三、Mathcad 解超越方程的方法Mathcad 可以通过符号计算和数值计算的方法求解超越方程。

符号计算可以处理含有符号的代数表达式，而数值计算则可以对实数和复数进行计算。

Mathcad 提供了一组专用的超越方程求解工具，如Mathematics 工具包中的函数。

四、举例说明如何用Mathcad 解超越方程假设我们要求解如下超越方程：y"" + y = sin(x)首先，打开Mathcad 软件，新建一个文档。

然后，从工具栏中选择“Mathematics”工具包，点击“Equations”按钮，添加方程。

在弹出的对话框中，输入方程y"" + y = sin(x)，并设置求解范围和求解方法。

接下来，点击“Solve”按钮求解方程。

Mathcad 将自动计算出方程的通解和特解。

最后，我们可以将解绘制成图形，以便于观察和分析。

五、总结Mathcad 作为一种强大的数学建模和求解软件，能够有效地处理超越方程这类复杂的数学问题。