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勾股定理综合难题---附答案(超好---打印版)

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CBA D E FCD练习题1 如图,圆柱的高为１0 ｃm,底面半径为2 cm.,在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处,需要爬行的最短路程是多少?２ 如图，长方体的高为3 cm,底面是边长为２ c ｍ的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点Ｃ处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案ＡＢ＝5ACB3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的Ｂ’点沿纸箱爬到Ｄ点，那么它所行的最短路线的长是_＿____＿_＿＿___。

4、如图,小红用一张长方形纸片ＡB ＣD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为８c ｍ，•长B Ｃ•为１０ｃm ．当小红折叠时,顶点D 落在B Ｃ边上的点F 处(折痕为ＡＥ).想一想,此时EC 有多长?•5.如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与A 点重合，则ＥB 的长是( ). A ．３ ﻩＢ．４ C.5 Ｄ．56.已知:如图,在△A ＢC 中，∠Ｃ=９０°,∠Ｂ=30°,AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，D=4cm. 求A Ｃ的长.7、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6，BC=８, 现将直角边A Ｃ沿直线AD 折叠,使其落在斜边A Ｂ上,且 与AE 重合，则CD 的长为8、如图，在矩形ABCD 中,,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点Ｂ与点D 重合,C 落在C '处，若21：：=BE AE ,则折 痕EF 的长为 。

BCAFE DCBAB ’C ’B ′A ′C ′D9、如图,已知：点E 是正方形ABCD 的ＢC 边上的点，现将△D ＣE 沿折痕D Ｅ向上翻折，使ＤC 落在对角线ＤＢ上，则ＥB ∶CE ＝_＿_______.１0、如图,AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45o ，把△A ＤC 沿AD 对折，点Ｃ落在C´的位置，若BC=２,则BC´＝＿________.１1．如图１，有一块直角三角形纸片,两直角边ＡC ＝6ｃｍ,BC=8ｃm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则ＣD 等于（ ) A.2cm B.３ ｃm C.4 ｃm Ｄ.5 ｃm12、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC ＝8c ｍ,现将直角边A Ｃ沿∠CAB 的角平分线AD 折叠,使它落在斜边AB 上，且与AE 重合,你能求出C Ｄ的长吗?1３、如图,在△ＡBC 中,∠B=90,AB=B Ｃ=６，把△ＡBC 进行折叠,使点A 与点D 重合，BD:DC=1：2，折痕为E Ｆ, 点E 在A Ｂ上，点F 在A Ｃ上,求EC 的长。

１4.已知,如图长方形AB ＣＤ中,ＡB=3ｃm ，ＡD=9c ｍ,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合，折痕为ＥF ，则△ＡＢE 的面积为（ ）Ａ、６c ｍ２ ﻩＢ、8ｃm 2ﻩ C 、１0cm ２ﻩﻩＤ、12ｃｍ2１５.如图,将矩形ABCD 沿ＥＦ折叠,使点D 与点B 重合，已知AB=3，AD ＝９，求BE 的长．E题5图FBC ′BACD AC图1D AEADB CE FF 第11题图CBAD16、如图,每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积。

１7、如图，已知:在ABC∆中,︒=∠90ACB,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆,试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．18．如图８,有一块塑料矩形模板ＡBCD,长为1０cｍ,宽为4cｍ,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点Ｐ落在AD边上（不与Ａ、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P:①能否使你的三角板两直角边分别通过点Ｂ与点C？若能,请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由．②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AＤ上移动，直角边ＰＨ始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与ＢC交于点E，能否使ＣE＝2cm?若能，请你求出这时AＰ的长；若不能，请你说明理由.21．①能.设AP=x米,由于BP２=16+x2，CP2=16+(1０-x）２,而在Rt△PBC中,有ＢP2+ CP2＝BC２,即１6＋x２+16＋(１0-x）2＝1０0，所以x2－１0x+16＝0，即(x-５）２=9,所以x-5=±3,所以x＝8，x＝２，即AP=8或2,②能.仿照①可求得ＡP=4．１9.如图△ABC中，BCBMACANBCACACB====︒=∠,,5,12,90则MN＝４20、※直角三角形的面积为S,斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（)（A）22d S d++(B)2d S d--(C)222d S d++（D）22d S d++图8解:设两直角边分别为,a b ，斜边为c ，则2c d =,12S ab=． 由勾股定理,得222a b c +=．所以()222222444a b a ab b c S dS+=++=+=+．所以22a b d S +=+.所以a b c ++=222d S d ++．故选（Ｃ） ２１※．在ABC ∆中，1AB AC ==,BC 边上有2００6个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.２2※.如图所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.．２３、如图,在△A ＢC 中,ＡB=AC ＝6,P 为BC 上任意一点，请用学过的知识试求ＰC ·ＰB+PA 2的值。

２4、※如图在Rt △AB Ｃ中,3,4,90==︒=∠BC AC C ,在Ｒt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。

如图所示：ABP C要求:在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长(请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5m ｎ的黑色签字笔画出正确的图形)2５．如图，A 、B 两个村子在河C Ｄ的同侧,Ａ、B 两村到河的距离分别为AC ＝１ｋm,BD=3km ，CD=３km ，现在河边ＣD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水,铺设水管的费用为２0０00元／千米,请你在CD 选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F 。

2６.已知:如图，△AB Ｃ中,∠C ＝ 90°,点Ｏ为△ＡB Ｃ的三条角平分线的交点,OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥ＡB,点Ｄ、E 、F 分别是垂足，且B Ｃ ＝ 8ｃm,CA = 6ｃm ，则点O 到三边ＡB ，A Ｃ和ＢC 的距离分别等于cm27．(8分）如图,在△ABC 中，A Ｂ=ＡC ，Ｐ为BC 上任意一点，请说明:A Ｂ2－ＡP 2=PB ×PC 。

28、如图，已知:︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P.求证: 222BC AP BP +=．C OA B DEF 第26题图 AB PC 第28题图2.6m4mPMBC A29.（本题满分６分）如图,一个牧童在小河的南4kｍ的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7kｍ处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?30. （本题满分６分)如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽２．8米,请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31．在一棵树的１0米高B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树２0只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?３2．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米,求这里的水深是多少米?AB小河东北牧童小屋33．长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了____＿_m.34.已知:如图，△A ＢＣ中，∠Ｃ＝9０°,Ｄ为AB 的中点，E 、F 分别在A Ｃ、BC 上,且DE ⊥DF ．求证：AE 2＋BF 2=EF 2.３5.已知:如图，在正方形ABC Ｄ中，F 为ＤC 的中点，Ｅ为ＣB 的四等分点且CＥ＝CB41，求证:A Ｆ⊥FE ．3６.已知△ＡBC 中,ａ2＋b 2+ｃ２＝1０a+2４b+26c －338,试判定△ABC 的形状，并说明你的理由．37．已知ａ、b 、c 是△ＡB Ｃ的三边，且a ２c ２－b ２c ２=a 4－b 4,试判断三角形的形状．３8．如图,长方体的底面边长分别为１cm 和3ｃm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?如果从点A 开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B,那么所用细线最短需要多长？39、ａ、b 为任意正数,且a ＞b ，求证:边长为２ａb 、 ａ2－b 2、a 2+b ２的三角形是直角三角形４0. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ） （A) 等边三角形 （B ） 钝角三角形ACD(C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形． 41.（１2分）如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向10０km 的Ｂ处有一台风中心，沿BC 方向以2０km/h 的速度向D 移动,已知城市A 到B Ｃ的距离ＡD ＝6０km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到Ｄ点?如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?４2.(1４分)△ＡBC 中，ＢC a =,AC b =，AB c =，若∠C=90°，如图(1)，根据勾股定理,则222c b a =+，若△ＡBC 不是直角三角形，如图(2）和图（３)，请你类比勾股定理,试猜想22b a +与2c 的关系,并证明你的结论．. 解：若△A ＢC 是锐角三角形,则有a 2+b 2＞c 2 若△ABC 是钝角三角形，∠C 为钝角，则有a ２+b 2<c 2 当△ABC 是锐角三角形时,证明：过点A 作ＡD ⊥ＣB ，垂足为D 。

设ＣＤ为x ，则有ＤＢ=a －x 根据勾股定理得 b ２-x 2＝c 2―(ａ―x) 2 即 b 2-x ２=c 2―a 2+2a ｘ―x２∴a 2+b 2＝c 2＋2a ｘ∵a>０,x>0 ∴2ax>０ ∴a ２+b 2＞ｃ2 当△A ＢC 是钝角三角形时，43.(1０分）如图,A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向３00千米的B 处,以107 千米/时的速度向北偏西6０°的BF 方向移动,距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域． (1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （２)如果Ａ市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长？4４、将一根2４ｃm 的筷子,置于底面直径为１５cm,高8ｃm 的圆柱形水杯中，如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为ｈcm ，则ｈ的取值范围是( )．A.ｈ≤１7cm B ．h ≥8cm Ｃ．１５cm ≤h ≤16c ｍ D.7cm ≤h ≤１６c ｍ4５如图，已知：，，于Ｐ. 求证：.46【变式2】已知:如图，∠Ｂ=∠D=９0°，∠A ＝60°,AB=4，CD=2。

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勾股定理的练习题(打印版)

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勾股定理的练习题（打印版）# 勾股定理练习题## 一、选择题1. 勾股定理适用于哪种形状的三角形？- A. 直角三角形- B. 等边三角形- C. 等腰三角形- D. 任意三角形2. 直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？- A. 5- B. 6- C. 7- D. 8## 二、填空题1. 如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么根据勾股定理，c的平方等于______。

2. 已知直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，另一条直角边的长度是______。

## 三、计算题1. 一个直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米，求斜边的长度。

2. 已知一个直角三角形的斜边长为10厘米，一条直角边长为6厘米，求另一条直角边的长度。

## 四、应用题1. 一个梯形的上底为3米，下底为5米，高为4米。

如果将这个梯形分成两个直角三角形，求这两个直角三角形的斜边长度。

2. 一个建筑物的高为50米，从地面到建筑物顶部的直线距离为60米。

求建筑物底部到直线投影点的水平距离。

## 五、证明题1. 证明在一个直角三角形中，斜边是最长的边。

2. 证明勾股定理在等腰直角三角形中同样适用。

注意：请在答题纸上作答，并确保书写清晰、整洁。

答案：一、选择题1. A2. A二、填空题1. a² + b²2. 12三、计算题1. 斜边长度= √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10厘米2. 另一条直角边长度= √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 =8厘米四、应用题1. 两个直角三角形的斜边长度分别为：√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5米2. 水平距离= √(60² - 50²) = √(3600 - 2500) = √1100 ≈ 33.1665米五、证明题1. 略2. 略请同学们认真审题，仔细作答，确保答案的准确性。

(完整版)勾股定理经典例题(含答案)

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经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

勾股定理中考难题(有答案详解)

勾股定理中考难题(有答案详解)

勾股定理中考难题1、如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）A ． 48B ． 60C ． 76D ． 802、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C 的坐标为（，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PC 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 23、如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）A ． 6B ． 8C ． 10D ． 124、已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 41题 2题 3题 4题 6题5、一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）A ． 5B ．C ．D ． 5或6、如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米7、如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC 大约是(结果精确到0.1m)( )A ．34.64mB ．34.6mC ．28.3mD ．17.3m8、如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为何？（ ）A ．10B ．11C ．12D ．139、如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．．的点A 处，则壁A C B第7题图虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）.10、（2013•滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．11、（2013山西，1，2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为______.12、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．13、（2013•张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．14、（2013•包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．15、（2013•巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．16、（2013•雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．17、（2013哈尔滨）在△ABC中，AB=22，BC=1，∠ ABC=450，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=900，连接CD，则线段CD的长为．18、（2013哈尔滨）如图。

勾股定理中考难题(有答案详解)

勾股定理中考难题(有答案详解)

勾股定理中考难题1、如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）A ． 48B ． 60C ． 76D ． 802、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C 的坐标为（，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PC 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 23、如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）A ． 6B ． 8C ． 10D ． 124、已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 41题 2题 3题 4题 6题5、一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）A ． 5B ．C ．D ． 5或6、如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米7、如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC 大约是(结果精确到0.1m)( )A ．34.64mB ．34.6mC ．28.3mD ．17.3m8、如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为何？（ ）A ．10B ．11C ．12D ．139、如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．．的点A 处，则壁A C B第7题图虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）.10、（2013•滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．11、（2013山西，1，2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为______.12、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．13、（2013•张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．14、（2013•包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．15、（2013•巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．16、（2013•雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．17、（2013哈尔滨）在△ABC中，AB=22，BC=1，∠ ABC=450，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=900，连接CD，则线段CD的长为．18、（2013哈尔滨）如图。