勾股定理综合难题附答案超好打印版

勾股定理中考难题（有答案详解）勾股定理中考难题2、如图，在平⾯直⾓坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P 为斜边OB 上的⼀个动点，则PA+PC 的最⼩值为（）3、如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找⼀点M，在直线b 上找⼀点N ，满⾜MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时4、已知：如图在△ABC ，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同⼀条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD 2+AB 2），1题 2题 3题 4题 6题 6、如图，有两颗树，⼀颗⾼10⽶，另⼀颗⾼4⽶，两树相距8⽶．⼀只鸟从⼀颗树的树梢飞到另⼀颗树的树梢，问⼩鸟⾄少飞⾏（） A ．8⽶ B ．10⽶ C ．12⽶ D ．14⽶7、如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC ⼤约是(结果精确到0.1m)( ) A ．34.64m B ．34.6m C ．28.3m D ．17.3m8、如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为何？（）A ．10B ．11C ．12D ．139、如图，圆柱形容器中，⾼为1.2m ，底⾯周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点ACB第7题图B处有⼀蚊⼦，此时⼀只壁虎正好在容器外壁．．的点A处，则壁虎捕捉蚊⼦的．．，离容器上沿0.3m与蚊⼦相对最短距离为 m（容器厚度忽略不计）.10、（2013?滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．11、（2013⼭西，1，2分）如图，在矩形纸⽚ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对⾓线BD上的点A′处，则AE的长为______.12、（2013?黄冈）已知△ABC为等边三⾓形，BD为中线，延长BC⾄E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．13、（2013?张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；⼜过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．14、（2013?包头）如图，点E是正⽅形ABCD内的⼀点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．15、（2013?巴中）若直⾓三⾓形的两直⾓边长为a、b，且满⾜，则该直⾓三⾓形的斜边长为．16、（2013?雅安）在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满⾜条件的所有点C的坐标．17、（2013哈尔滨）在△ABC中，AB=，BC=1，∠ ABC=450，以AB为⼀边作等腰直⾓三⾓形ABD，使∠ABD=900，连接CD，则线段CD的长为．18、（2013哈尔滨）如图。

257勾股定理一、探索勾股定理知识点1勾股定理定理内容：在RT △中, 勾股定理的应用：在RT △中,知两边求第三边,关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解1已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长c,则下列关于a,b,c 的关系不成立的是 A 、c2- a2=b2 B 、c2- b2=a2 C 、a2- c2=b2 D 、 a2+b2= c22在直角三角形中,∠A=90°,则下列各式中不成立的是 A 、BC2- AB2=AC2 B 、BC2- AC2=AB2 C 、AB2+AC2= BC2 D 、AC2+BC2= AB22、应用勾股定理求边长3已知在直角三角形ABC 中,AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC 的长.4在直角△中,若两直角边长为a 、b,且满足√α2−6α+9+|b −4|=0,则该直角三角形的斜边长为 ．3、利用勾股定理求面积5已知以直角△的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积为25π,16π,求另一个半圆的面积;6如图1,图中的数字代表正方形的面积,则正方形A 的面积为 ;7如图2,三角形中未知边x 与y 的长度分别是x= ,y= ;8在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,若AC ＝6,BC ＝8,则AB 的长为A 、6B 、8C 、10D 、129在直线l 上依次摆放着七个正方形如图4所示;已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________;知识点2勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等,由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导;等积法拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理;10用四个相同的直角三角形直角边为a 、b,斜边为c 按图拼法;问题：你能用两种方法表示下图的面积吗对比两种不同的表示方法,你发现了什么11用两个完全相同的直角三角形直角边为a 、b,斜边为c 按下图拼法,论证勾股定理：222c b a=+3、运用勾股定理进行计算重难点12如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高 13两棵之间的距离为8m,两棵树的高度分别为8m 、2m,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,这只小鸟至少要飞多少米基础检测1、在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,若AB ＝13,BC ＝5,则AC 的长为2、已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,若14=+ba cm,10=c cm,则Rt △ABC 的面积为A . 24cm 2 B. 36cm 2 C. 48cm 2 D. 60cm 23、若△ABC 中,∠C=90°,1若a = 5,b =12,则c = ；2若a =6,c =10,则b = ；3若a ∶b =3∶4,c =10,则a = ,b = ;4、如图,阴影部分是一个半圆,则阴影部分的面积为 ;π不取近似值5、一个直角三角形的斜边为20cm,且两直角边长度比为3 : 4,求两直角边的长;6、一个长为10m 为梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直高度为8m,梯子的顶端下滑2m 后,底端向外滑动了多少米培优突破 1、折叠问题1如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm 、BC=8cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为A、4cmB、5cmC、6cmD、10cm2 如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F 处,已知AB=8cm,BC=10cm,求线段EC的值2、运用勾股定理解决生活中的实际问题3如图,为了测得小水坑两边A点和B点之间的距离,一个观测者在C点设桩,使∠ABC=90°,并测得AC=20m,BC=16m,则A、B两点之间的距离是对少3、分类讨论已知直角△的两边,求第三边4在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,则BC的值为A、25B、7C、25或7D、不能确定5已知3, 4,a是一个三角形的三边长,若三角形为直角三角形,则2a的值是多少6在直角△ABC中,AB=15, AC=20,BC边上的高AD=12,则BC的值为多少4、利用方程解题7如图,△ABC中,∠C=90°,D是BC上的一点,已知BD=7,AB=20,AD=15, 求AC的长.8如图,已知△ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点,且AD⊥AC,求BD的长;培优训练一、选择题1．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是A、365B、1225C 、94D、3√342．若三角形ABC中,∠A：∠B：∠C=2：1：1,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则下列等式中,成立的是A．a2+b2=c2B．a2=2c2C．c2=2a2D．c2=2b2 3．如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE ⊥OB于点E．若OD=8,OP=10,则PE的长为A、5B、6C、7D、84．如图在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,DE是AB边的垂直平分线,垂足为D,交边BC于点E,连接AE,则△ACE的周长为A、16B、15C、14D、135．如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为A、1B、34C、23D、26．已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC 的长为A、21B、15C、6D、以上答案都不对7．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,已知BC=8,AC=6,则斜边AB上的高是A、10B、5C、524D、5128．如图,阴影部分是一个矩形,它的面积是A、25cmB、23cmC、24cm D、25cm9．张大爷离家出门散步,他先向正东走了30m,接着又向正南走了40m,此时他离家的距离为mA．30 B．40 C．50 D． 7010．如图在△ABC中∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=64,且BD：CD=9：7,则点D到AB边的距离为A、18B、32C、28D、2411．如图所示,是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边x＞y,下列四个说法：①x2+y2=49, ②x﹣y = 2,③2xy+4=49, ④x+y=9．其中说法正确的是A、①②B、①②③C、①②④D、①②③④二．填空题共2小题12．如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD=_____cm．13．如图,直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线L的距离分别是1和2,则正方形的边长是_________．14、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长;二、勾股定理的逆定理知识点3勾股定理的逆定理1如果△的三边α，b,c 满足关系满足,则该△为直角三角形;2△的三边α，b,c,假设c为最长边①a2+b2>c2,则该△为三角形②a2+b2<c2,则该△为三角形3勾股定理逆定理的用途典型题1下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是A. 4,5,6B. 2,3,4C. 11,12,13D. 8,15,172若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶73下面的三角形中：①△ABC中,∠C=∠A－∠B；②△ABC中,∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中,a：b：c=3：4：5；④△ABC中,三边长分别为8,15,17．其中是直角三角形的个数有个．A．1 B．2 C．3 D．44若三角形的三边之比为√22：1√2：1,则这个三角形一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C .等腰直角三角形 D. 不等边三角形5 已知a,b,c为△ABC三边,且满足（a2−b2）（a2+ b2−c2）=0则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是A．钝角三角形 B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形7若△ABC的三边长分别长a,b,c,且满足a2+b2+ c2+200=12α+16b+20c ,试判断△ABC的形状; 8△ABC的两边分别为5, 12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为 ;9求：①若三角形三条边的长分别是7, 24, 25,则这个三角形的最大内角是度;②已知三角形三边的比为1：3：2,则其最小角为;知识点4勾股数1勾股数是正整数2满足的关系条件a2+b2=c23勾股数的n倍n≠0,仍然满足a2+b2=c24常见勾股数三、勾股定理的应用1、与图形展开的有关计算注意展开方式1某楼梯的侧面视图如图3所示,其中米,,,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．2如图,在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上,求从顶点A到顶点C’的最短距离．3如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行cm4国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分．请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线．2、航海问题1一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过小时后,它们相距________海里2如图,某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上;该货船航行30分钟到达B处,此时又测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁,若继续向正东方向航行,该货船有无暗礁危险试说明理由;3如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离AD=100km.①那么台风中心经过多长时间从B点移到D点②如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险3、网格问题1如图1,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC 中,边长为无理数的边数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2如图2,正方形网格中的 △ABC, 若小方格边长为1,则△ABC 是A.、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、以上答案都不对 3如图,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 A ． 25B.C. 9D.4如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形：①使三角形的三边长分别为3、√8、√5在图甲中画一个即可；②使三角形为钝角三角形且面积为4在图乙中画一个即可．4、折叠问题1如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,将△ABC 折叠,使点B 与点A 重合,折痕为DE,则CD 等于 A. 425 B. 322C.47 D. 35 2如图所示,已知△ABC 中,∠C=90°,AB 的垂直平分线交BC 于M,交AB 于N,若AC=4,MB=2MC,求AB 的长． 3如图,在长方形ABCD 中,DC=5,在DC 边上存在一点E,沿直线AE 把△ABC 折叠,使点D 恰好在BC 边上,设此点为F,若△ABF 的面积为30,求折叠的△AED 的面积 4如图,在长方形ABCD 中,将△ABC 沿AC 对折至△AEC 位置,CE 与AD 交于点F; ①试说明：AF=FC ； ②如果AB=3,BC=4,求AF 的长5如图2所示,将长方形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 正好落在BC 边上F 点处,已知CE=3cm,AB=8cm,则图中阴影部分面积为_______．6如图,将正方形ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的点M 重合,折痕交AD 于E,交BC 于F,边AB 折叠后与BC 边交于点G;如果M 为CD 边的中点, 求证：DE ：DM ：EM=3：4：5勾股定理 参考答案一、探索勾股定理1C 2D3没有确定斜边的情况下,需要先确定斜边;6或4124根据非负数的性质,b=4和0962=+-a a ,解得a=3,根据勾股定理,斜边=55这类型题目分别以直角三角形三边所作的同类型图形,如正多边形、半圆等,均满足如图中所示S1=S2+S3,S3=9π625 710, 12 8C,斜边AB=10 94,根据全等三角形和勾股定理,S1+S2=1,S2+S3=2,S3+S4=3,S1+S2+S3+S4=1+3=4 10s =（a +b ）2=4×12ab +c 2,结论： a 2+b 2=c 211S =12(a +b )(a +b )=2×12ab +c 2结论： a 2+b 2=c 212h=9+√92+122=9+15=24 m 1310 m基础检测1、B2、A,解：(a +b)2=a 2+b 2+2ab ,解得：12ab =243、113, 28, 36, 84、72π5、12,16解：根据题意,本题中直角三角形三边关系为3: 4: 5,三边分别为3x, 4x, 5x,5x=206、作如下辅助图：BD=CE=10,AB=8,BC=2,AC=6根据勾股定理：AD=6, AE=8DE=AE-AD=8-6=2 m 培优突破1B23 cm,注意翻折构造全等,勾股定理 312 m 4C,如右图 525或7,在没有确定直角或斜边的情况下,需要讨论确定斜边;625 ,AB 一定是直角边,想想：BC 是否一定是斜边呢BC 边上的高为12,不是15,所以BC 一定是斜边712, 解：设DC=y,根据勾股定理有：AC2=AB2−(BD+y)2=AD2−y2,即202−(7+y)2=152−y2解得：y=9AC=1287, 解：作AE⊥BC与E,设BD=X则AE=12DE=16-xDC=32-x如图,根据勾股定理有：AD2=AE2+DE2=DC2−AC2即AD2=122+（16−x）2=(32−x)2−202解得：x = 7培优训练1、A,三角形的面积计算2、B3、B,4、A,5、C6、D,如右图,BC的长21或97、C 8、A 9、C 10、C11、B,充分利用完全平方公式与勾股定理的证明12、4 13、√514、连接AD, 则△BDE≌△ADF, 则△ADE ≌△CDF,则AE=CF=5,AF=BE=12,∴EF=13二、勾股定理的逆定理典型题答案1D 2C 3 D 4C5C 6C7直角三角形解：a2+b2+c2+200=12α+16b+20c（a2−12α+36）+（b2−16b+64）+c2−20c+100=0（α−6）2+（b−8）2+(c−10)2=0所以：a=6, b=8, c=108直角三角形;分析：设三边分别为a,b,c,有a+b+c=5+12+c=17+c,根据条件有：{17+c是3的倍数c为奇数12−5＜c＜12+5（三边关系）解得：c=13,所以根据勾股定理的逆定理,为Rt△9 ①90°,②30°三、勾股定理的应用1、与图形有关的计算1 2+2√32 √5354设：正方形的边长为a方案一：S=3a方案二：S=3a方案三：S=2√2a方案四：S=1+√3a ,分析：FH=√36a , BF=√33,EF=a−√33,所以：方案四最节省电线2、航海问题130 2CD=6√3,无暗礁风险3①台风中心经过16h从B点移动到D点②14h内撤离才可脱离危险3、网格问题1D2A 3B 4如图：不唯一4、折叠问题1C 283DE=X,则在直角△EFC中：FG=1,EF=X, EC=5-X,有：x2=12+(5−x)c2解得：x=135, S△AED=4①提示：角平分线+平行线,构造等腰模型②设AF=X,则x2=(4−x)2+32,解得：x=25/85306证明提示：设：DM=X, DE=y,则：正方形边长为2x,AE=2x—y,满足：x2+y2=(2x−y)2,解得：3x=4y., 则可设：y=3k,x=4x,则正方形变成为8k,则AE=5k,所以：DE:DM:EM=3K:4K:5K ,即：DE:DM:EM=3:4:5。

(完整版)《勾股定理》历年中考难题勾股定理1. 直角三角形的三边为a-b ，a ，a+b 且a 、b 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）A 、61B 、71C 、81D 、912.在平面直角坐标系中，已知点A （-4，0),B （2，0），若点C 在一次函数y=-21x+2的图象上，且△ABC 为直角三角形，则满足条件的点C 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3.如图，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2是等腰直角三角形，点P 1，P 2在函数xy 4 （x ＞0)的图象上，斜边OA 1，A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是 ( )4、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10,0)、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ____________．5、如图,EF 为正方形ABCD 的对角线，将∠A 沿DK 折叠,使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则∠DKG=_______．6、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形,以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（ ）A 、2×（22)10厘米 B 、2×(21）9厘米 C 、2×(23）10厘米 D 、2×（23）9厘米 7、在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8,则△ABC 的面积为_____________．8、如图,所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm,正方形B 的边长为5cm ，正方形C 的边长为5cm,则正方形D 的面积是_______cm 2.9、如图，直线l 上有三个正方形a,b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为___________.10、如图所示,在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于( ）A 、3B 、23C 、43D 、无法确定11、如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为（ ）A 、25B 、23C 、25+2D 、23+2。

勾股定理难题50道1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对3．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留)π4．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表：若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出Sl= （用含m 的代数式表示） 6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积AE=；则正方形EFGH的面积=．16=，19．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树米才是安全的．10．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为2cm．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC∆中BC边上的高是．∆，则ABC13．如图，在ABC∠=︒，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分∆中，90ABC别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = ．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是 ．15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 ．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于 ．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD = ．19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是cm ．（结果保留根号）20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =，6DE =，则EB = ．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为尺．23．如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．24．如图，Rt ABC∆的斜边AC为一直角边，另一直角∆的两直角边分别为1，2，以Rt ABC边为1画第二个ACD∆；在以ACD∆的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个∆；⋯，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是．ADE25．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610cm，在上盖中⨯⨯（单位：)开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：2 1.4≈．≈，3 1.7≈，5 2.2)26．如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是cm （结果用带根号和π的式子表示）．评卷人得分三．解答题（共24小题）27．已知ABC∆中，AB AC=．（1）如图1，在ADE∆中，若AD AE=，且DAE BAC∠=∠，求证：CD BE=；（2）如图2，在ADE∆中，若60DAE BAC∠=∠=︒，且CD垂直平分AE，3AD=，4CD=，求BD的长；（3）如图3，在ADE∆中，当BD垂直平分AE于H，且2BAC ADB∠=∠时，试探究2CD，2BD，2AH之间的数量关系，并证明．28．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是11(91),(91)22-+；勾是五时，股和弦的算式分别是11(251),(251)22-+．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含(n n为奇数，且3)n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m为偶数，且4)m>的代数式来表示股和弦．29．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，其一腰上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为1h 、2h ．（1）请你结合图形来证明：12h h h +=；（2）当点M 在BC 延长线上时，1h 、2h 、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线13:34l y x =+，2:33l y x =-+，若2l 上的一点M 到1l 的距离是32．求点M 的坐标．30．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ∆，连接BE ． （1）填空：ACB ∠= 度；（2）当点D 在线段AM 上（点D 不运动到点)A 时，试求出ADBE的值； （3）若8AB =，以点C 为圆心，以5为半径作C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．31．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题， 请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长 ． （1） 如图 1 ，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点1C 处；（2） 如图 2 ，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；（3） 如图 3 ，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图 4 所示， 且1120AOA ∠=︒，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发， 沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．32．在学习勾股定理时，我们学会运用图()I 验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：2()a b +，也可表示为：214()2c ab +，即221()4()2a b c ab +=+由此推出勾股定理222a b c +=，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图()(2002II 年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用()III 提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证222()2x y x xy y +=++； （3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++．33．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连接AE 、1EC ．虫乙如果沿路径1A E C --爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）34．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，设c 为最长边，当222a b c +=时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为 三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为 三角形．（2）猜想，当22a b + 2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b + 2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围． 35．一、阅读理解：在ABC ∆中，BC a =，CA b =，AB c =； （1）若C ∠为直角，则222a b c +=；（2）若C ∠为锐角，则22a b +与2c 的关系为：222a b c +> 证明：如图过A 作AD BC ⊥于D ，则BD BC CD a CD =-=- 在ABD ∆中：222AD AB BD =- 在ACD ∆中：222AD AC CD =- 2222AB BD AC CD -=-2222()c a CD b CD --=- 2222a b c a CD ∴+-= 0a >，0CD >2220a b c ∴+->，所以：222a b c +>（3）若C ∠为钝角，试推导22a b +与2c 的关系．二、探究问题：在ABC ∆中，3BC a ==，4CA b ==，AB c =；若ABC ∆是钝角三角形，求第三边c 的取值范围．36．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足422422a b c b a c +=+，试判断ABC ∆的形状．阅读下面解题过程：解：由422422a b c b a c +=+得： 442222a b a c b c -=-①2222222()()()a b a b c a b +-=-② 即222a b c +=③ABC ∴∆为Rt △． ④试问：以上解题过程是否正确：若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） 错误原因是 本题的结论应为 ．37．如图a ，90EBF ∠=︒，请按下列要求准确画图：1：在射线BE 、BF 上分别取点A 、C ，使2BC AB BC <<，连接AC 得直角ABC ∆； 2：在AB 边上取一点M ，使AM BC =，在射线CB 边上取一点N ，使CN BM =，直线AN 、CM 相交于点P ．（1）请用量角器度量APM ∠的度数为 ；（精确到1)︒ （2）请用说理的方法求出APM ∠的度数；（3）若将①中的条件“2BC AB BC <<”改为“2AB BC >”，其他条件不变，你能自己在图b 中画出图形，求出APM ∠的度数吗？38．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边BC 和AB 上的点，ABD ∆与ACD ∆的周长相等，CAE ∆与CBE ∆的周长相等．设BC a =，AC b =，AB c =． （1）求AE 和BD 的长；（2）若90BAC ∠=︒，ABC ∆的面积为S ，求证：S AE BD =．39．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）40．ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC ∆不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．41．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 ⋯ a221-231-241-251-⋯ b46 810 ⋯ c221+ 231+241+251+⋯（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数(1)n n >的代数式表示：a = ，b = ，c = ；（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．42．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算1(91)2-、1(91)2+与1(251)2-、1(251)2+，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用(n n 为奇数且3)n 的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m 为偶数且4)m >的代数式来表示他们的股和弦．43．如图，梯子AB 斜靠在墙上，90ACB ∠=︒，5AB =米，4BC =米，当点B 下滑到点B '时，点A 向左平移到点A '．设BB x '=米(04)x <<，AA y '=米． （1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 为何值时，点B 下滑的距离与点A 向左平移的距离相等？（3）请你对x 再取几个值，计算出对应的y 值，并比较对应的y 值与x 值的大小(y 值可以用精确到0.01的近似数表示，也可用无理数表示）．（4）根据第（1）~（3）题的计算，还可以结合画图、观察，推测y 与x 的大小关系及对应的x 的取值范围．44．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量90A ∠=︒，3AB m =，12BC m =，13CD m =，4DA m =，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？45．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，在图①画出一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（3）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1)s 19 4.4≈21 4.6．46．在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示，已知原设计楼梯BD 长20米，在楼梯水平长度()BC 不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30︒增大到45︒，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈47．如图，小强在江南岸选定建筑物A ，并在江北岸的B 处观察，此时，视线与江岸BE 所成的夹角是30︒，小强沿江岸BE 向东走了500m ，到C 处，再观察A ，此时视线AC 与江岸所成的夹角60ACE ∠=︒．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．48．在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 、E 是直线AB 上两点．45DCE ∠=︒ （1）当CE AB ⊥时，点D 与点A 重合，显然222DE AD BE =+（不必证明）； （2）如图，当点D 不与点A 重合时，求证：222DE AD BE =+；（3）当点D 在BA 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．49．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD AB ⊥，1AB =，2BC CD ==．求四边形ABCD 的周长和面积．50．定义： 三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形” ．数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒 （每 根长度记为 1 个单位） 中取出若干根， 首尾依次相接组成三角形， 进行探究活动 ． 小亮用 12 根火柴棒， 摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、 小颖的启发， 分别摆出三个不同的等腰“整数三角形” ． （1） 请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2） 你能否也从中取出若干根， 按下列要求摆出“整数三角形”， 如果能， 请画出示意图；如果不能， 请说明理由 ． ①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊 （既 非直角三角形， 也非等腰三角形） “整数三角形” ．勾股定理难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形【解答】解：依题意可知，1133BP BF DH==，2233CQ CG DH==，又////PB CQ DH，APB AQC AHD∴∆∆∆∽∽，A∴、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）故选：B．2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对【解答】解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得15BD=；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得6CD=．当AD在三角形的内部时，15621BC=+=；当AD在三角形的外部时，1569BC=-=．则BC的长是21或9．故选：D ．二．填空题（共24小题）3．在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 231π+ cm ．（结果保留)π【解答】解：如图所示，无弹性的丝带从A 至C ，绕了1.5圈，∴展开后 1.523AB cm ππ=⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：22229931AC AB BC cm ππ=+=+=+． 故答案为：231π+．4．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 10 cm ．【解答】解：将长方体展开，连接A 、B '，13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=． 故答案为：10．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表： 三边a 、b 、ca b c +- l S /S l345 2 12 6 1/26810 4 24 24 1 51213 4 30 30 1 81517 6 40 60 3/2121620848962⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出S l =4m（用含m 的代数式表示） 【解答】解：3452m a b c =+-=+-=时，1224S l ==； 6810512134m a b c =+-=+-=+-=时，414S l ==； 815176m a b c =+-=+-=时，3624S l ==； 1216208m a b c =+-=+-=时，824S l ==； ⋯∴我们可以猜想出4S ml =． 故答案为4m．6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为 7或25 秒．【解答】解：如图，作AD BC ⊥，交BC 于点D ， 8BC cm =，142BD CD BC cm ∴===， 223AD AB BD ∴=-=，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA AC ⊥时，22222AP PD AD PC AC =+=-，2222PD AD PC AC ∴+=-，22223(4)5 2.25PD PD PD ∴+=+-∴=， 4 2.25 1.750.25BP t ∴=-==， 7t ∴=秒，当点P 运动t 秒后有PA AB ⊥时，同理可证得 2.25PD =， 4 2.25 6.250.25BP t ∴=+==， 25t ∴=秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ③ ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．【解答】解：2222222()()()c a b a b a b -=-+∴应有2222222()()()0c a b a b a b ---+=得到22222()[()]0a b c a b --+=，22()0a b ∴-=或222[()]0c a b -+=，即a b =或222a b c +=，∴根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，三角形为等腰三角形或直角三角形．故填③，不能确定22a b -是否为0，等腰三角形或直角三角形．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 、BC 、CD 上．若正方形ABCD 的面积16=，1AE =；则正方形EFGH 的面积= 10 ．【解答】解：四边形EFGH 是正方形，EH FE ∴=，90FEH ∠=︒，90AEF AFE ∠+∠=︒，90AEF DEH ∠+∠=︒，AFE DEH ∴∠=∠，在AEF ∆和DHE ∆中， A D AFE DEH EF HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEF DHE ∴∆≅∆， AF DE ∴=，正方形ABCD 的面积为16， 4AB BC CD DE ∴====， 413AF DE AD AE ∴==-=-=，在Rt AEF ∆中，2210EF AE AF + 故正方形EFGH 的面积101010=．故答案为：10．9．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 4 米才是安全的． 【解答】解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则413BC m =-=，945AB m =-=，在Rt ABC ∆中，2222534AC AB BC =-=-=米． 即小孩至少离开这棵树4米才是安全的． 故答案为：4．10．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，那么所用细线最短需要73 cm ．【解答】解：如图所示，从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，∴展开后188AC cm cm =⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：2273AB AC BC cm =+．故答案为：73．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm ，则A 、B 、C 、D 四个小正方形的面积之和为 144 2cm ．【解答】解：如右图所示， 根据勾股定理可知，231S S S +=正方形正方形正方形， 2C D S S S +=正方形正方形正方形， 3A B S S S +=正方形正方形正方形，2112144C D A B S S S S S ∴+++===正方形正方形正方形正方形正方形．故答案是144．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC ∆，则ABC ∆中BC 边上的高是322．【解答】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B 、C 为EF 、FD 的中点，ABC AEB BFC CDA AEFD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形 11122121112222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，32=． 22112BC =+=．ABC ∴∆中BC 边上的高是3322222⨯÷=． 故答案为：322．13．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = 2 ．【解答】解：ABC ∆中，90ABC ∠=︒， 222AB BC AC ∴+=， 222BC AC AB ∴=-，21BC S =、224AB S ==，236AC S ==， 132642S S S ∴=-=-=．故答案为：2．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是103．【解答】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x =+，24S y x =+，3S x =，12331210S S S x y ∴++=+=，故31210x y +=，1043x y +=， 所以21043S x y =+=， 故答案为：103． 15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 5 米．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 圆柱高4米，底面周长1米222(13)491625x =⨯+=+= 所以，花圈长至少是5m ．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 4或25或10 ．【解答】解：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，90DAC ∠=︒，且AD AC =，224BD BA AD ∴=+=+=；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于E ． ABC ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=︒， 45DCE ∴∠=︒，又DE CE ⊥，90DEC ∴∠=︒， 45CDE ∴∠=︒，222CE DE ∴=== 在Rt BAC ∆中，222222BC +=，2222(222)(2)25BD BE DE ∴=+=++=； ③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ，90ADC ∠=︒，AD DC =，且2AC =，2sin 45222AD DC AC ∴==︒=⨯=， 又ABC ∆、ADC ∆是等腰直角三角形， 45ACB ACD ∴∠=∠=︒， 90BCD ∴∠=︒，又在Rt ABC ∆中，222222BC =+=，2222(22)(2)10BD BC CD ∴=+=+=． 故BD 的长等于4或25或10．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于27133+ ．【解答】解： 延长BA 交QR 于点M ，连接AR ，AP ．AC GC =，BC FC =，ACB GCF ∠=∠， ABC GFC ∴∆≅∆，30CGF BAC ∴∠=∠=︒，60HGQ ∴∠=︒，90HAC BAD ∠=∠=︒， 180BAC DAH ∴∠+∠=︒， 又//AD QR ，180RHA DAH ∴∠+∠=︒， 30RHA BAC ∴∠=∠=︒，60QHG ∴∠=︒，60Q QHG QGH ∴∠=∠=∠=︒， QHG ∴∆是等边三角形 ．3cos304232AC AB =︒=⨯=． 则23QH HA HG AC ====．在直角HMA ∆中，3sin 602332HM AH =︒=⨯=．cos 603AM HA =︒=． 在直角AMR ∆中，4MR AD AB ===．2334723QR ∴=++=+． 21443QP QR ∴==+． 3736PR QR==+．PQR ∴∆的周长等于27133RP QP QR ++=+．故答案为：27133+．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD =75．【解答】解：设AC x =，CD y =，由勾股定理得： 2222(5)6425x y x y ⎧++=⎨+=⎩， 消去x ，得：22(5)39y y +-=， 整理，得： 1014y =，即75y =， 故CD 的长为75． 19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 42cm ．（结果保留根号）【解答】解：将圆柱体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，224442AB cm =+=．20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =6DE =，则EB =334 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，42AB =，45A ∠=︒，24242BC ∴=⨯= 在Rt EDC ∆中，60EDC ∠=︒，6DE =，3sin 6332CE DE EDC ∴=∠=⨯= 334BE CE BC ∴=-=-．故填空答案：334-．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 20489+或40165+或4085+ m ．【解答】解：（1）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高AD 是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半10BD =， 根据勾股定理即可求得其腰长22100256289AB AD BD =++，此时三角形的周长是20489+；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况． 根据面积求得腰上的高是16；①当高在三角形的外部时，在RT ADC ∆中，2212AD AC CD =-=，从而可得32BD =，进一步根据勾股定理求得其底边是22221632165BC CD BD =+=+=，此时三角形的周长是40165+；②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得2212AD AC CD =-=，8BD AB AD =-=， 在RT CDB ∆中，22BC CD BD =+2216885+=，此时三角形的周长是4085+； 故本题答案为：20489+或40165+或4085+．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun 一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为 10.1 尺．【解答】解：设单门的宽度是x 米，根据勾股定理，得221(0.1)x x =+-， 5.05x =，则210.1x =尺．23．如图是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的点A （长的四等分点）处有一只壁虎、点B （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 85 ．。

八年级数学上第一章勾股定理综合难题1一、用面积证明勾股定理（写出每种证明方法）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

二、勾股定理的应用，A组：1．如下图1，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是 ?2、如下展开图2，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为厘米?3．如上图3，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．此时EC有？4．如上图4，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长为。

5．已知：如下图1，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．则AC的长为．6、如下图2，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为。

7、如上图3，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 。

8．如下图1，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB∶CE＝_________．9、如下图2，AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C´的位置，若BC ＝2，则BC´＝_________．10．如上图3，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上(不与A 、D 重合)，在AD 上适当移动三角板顶点P ：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由．②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，自己做出图形，能否使CE ＝2cm ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由．11、如图所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.EFBC ′BACD AC D12、如图，在△ABC 中，AB=AC=6，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识试求PC ·PB+PA 2的值。

勾股定理经典例题含答案11页勾股定理是一个基本的初等几何定理,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a²+b²=c²,若a、b、c都是正整数,（a，b，c)叫做勾股数组。

勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.“勾三，股四，弦五"是勾股定理的一个最著名的例子。

远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理,还知道许多勾股数组。

古埃及人也应用过勾股定理。

在中国，西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

类型一:勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1）已知a=6，c=10，求b，(2）已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a。

思路点拨：写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：（1）在△ABC中，∠C=90°,a=6，c=10,b=（2）在△ABC中，∠C=90°,a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°，AD=13,CD=12，BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4。

类型二：勾股定理的构造应用2、如图,已知：在中，，,. 求:BC的长。

(6) 如图(1),图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为。

3、运用勾股定理进行计算(重难点)(12)如图，一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，__________________________ 勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型(7)如图(2),三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y= 。

(8)在RtAABC 中，/ C= 90°,若AC= 6, BO 8,则AB的长为( )A、6B、8C、10(9)在直线l上依次摆放着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是D、12(如图4所示)。

1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S I S2 S3 S4= ------------------------ 。

1、对勾股定理的理解(1)已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长c,则下列关于a,b,c的关系不成立的是( )A、c2- a2=b2C、a2- c2=b2(2) 在直角三角形中，/ 立的是( )A、BC2- AB2=AC2C、AB2+AC2= BC22、应用勾股定理求边长(3) 已知在直角三角形求AC的长.B、c2- b2=a2D、a2+b2= c2A=90°,则下列各式中不成B、BC2- AC2=AB2D、AC2+BC2= AB2AB=10 cm, BC=8 cm ABC中,(4)在直角△中，若两直角边长为a、b,且满足Va- 6a +9 + |b- 4| = 0,则该直角三角形的斜边长为__________3、利用勾股定理求面积(5)已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25兀，16兀，求另一个半圆的面积。

【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。

C勾股定理评估试卷(1）一、选择题（每小题3分，共30分）1。

直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). (A ）30 (B)28 （C ）56 （D ）不能确定2。

直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm （B ）8 cm（C ）10 cm(D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）14(C)7（D ）7或254。

等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ） （A ）13 (B ）8 （C)25 (D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ )715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数， 得到的三角形是（ ）（A) 钝角三角形 (B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7。

如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是 （ ） （A ） 25 （B ） 12.5 （C) 9 （D ） 88. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是（(A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形。

9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米,AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮a 元计算,那么共需要资金（ ）.(A ）50a 元 （B ）600a 元 (C ）1200a 元 （D ）1500a 元10.如图,AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形,如果CD=17,BE=5，那么AC 的长为（ ）。

勾股定理复习1、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，那么这个三角形周长为〔 〕〔A 〕22d S d ++ 〔B 〕2d S d -- 〔C 〕222d S d ++ 〔D 〕22d S d ++2．如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km ，BD=3km ，CD=3km ，现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD 选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F 。

3.△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，假设∠C=90°，如图〔1〕，根据勾股定理，那么222c b a =+，假设△ABC 不是直角三角形，如图〔2〕和图〔3〕，请你类比勾股定理，试猜测22b a +与2c 的关系，并证明你的结论.4．如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107 千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域． 〔1〕A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； 〔2〕如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？课堂练习：1、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如下图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，那么h的取值范围是〔〕．A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm2 如图，：，，于P. 求证：.3 ：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

4．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如下图，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．解：OC＝1米(大门宽度一半)，OD＝0.8米〔卡车宽度一半〕在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝０.６米，CＨ＝０.６＋２.３＝２.９〔米〕＞２.５〔米〕．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

勾股定理1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a 2＋b 2=c 2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a 2＋b 2=c 2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC 中　∠C ＝Rt ∠a 2＋b 2=c 2⇔3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17；⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn,　m 2+n 2是一组勾股数。

②如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。

212-k 212+k ③如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。

122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K 122+⎪⎭⎫⎝⎛K ④如果a,b,c 是勾股数，那么na,　nb,　nc (n 是正整数)也是勾股数。

典型例题分析例1 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=____　依据这个图形的基本结构，可设S 1、S 2、S 3、S 4的边长为a 、b 、c 、d 则有a 2+b 2=1，c 2+d 2=3，S 1=b 2，S 2=a 2，S 3=c 2，S 4=d 2 S 1+S 2+S 3+S 4=b 2+a 2+c 2+d 2=1+3=4例2 已知线段a ，求作线段 a5分析一：a ＝＝525a 224a a +∴a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。