三奥第十一讲 鸡兔同笼

三奥第十一讲鸡兔同笼教学目标：1、通过观察、思考、操作（画图）等多种手段，探究、理解并掌握一种或以上解决鸡兔同笼问题的方法。

2、初步感知解决鸡兔同笼问题的多种方法之间的内在联系及解决问题方法的多样性。

3、感受数学在实际生活中的作用和数学的魅力。

教学重点：掌握鸡兔同笼的基本解法以及如何假设。

教学难点：用假设法解鸡兔同笼。

教学过程：一、情境导入师：同学们，我家隔壁的一个幼儿园小朋友告诉我，有一天他们老师让他们在纸上画一些小鸡和小兔，有一个小朋友不专心画成了这样。

（课件出示）你们觉得这个小朋友画得符合老师既有小鸡又有小兔的要求吗？生：不符合，他画得全像小鸡。

（或：没有耳朵、尾巴……）师：为什么说他画的全像小鸡？（或：除了这些，你觉得图中最不符合的在什么地方？）生：全是两条腿。

师：这位同学分析得很好，他抓住了小鸡和小兔的特征，小鸡是两条腿，小兔是四条腿。

如果要按照老师的要求，小鸡和小兔都要有，该怎么改？生：给小鸡画上两条腿（变小兔）。

师：为什么是加两条腿呢？生：小鸡两条腿，小兔四条腿，相差两条。

师：能不能这样说，“鸡比兔少两条腿”，或者“兔比鸡多两条腿”？（教师板书记录。

）师：我们今天就要利用这个特点，来研究一个有趣的数学问题“鸡兔同笼”问题。

（教师板书课题。

）什么意思啊？（鸡和兔一起住在一个笼子里，一下子分不清有多少只鸡，多少只兔。

）二、画图探究师：我们再来看看图2，符合老师的要求吗？生：不符合，全画成兔了，有些应该去掉两条腿。

师：到底改几只呢？我给同学们提供一些信息：这些鸡和兔共8只，总共26条腿。

请你选择一幅进行修改。

注意两点：1、图2中想去掉的腿可以划去。

2、请把你的修改方法的说明或解释，写在下面横线上，可以用算式，也可以用文字。

（生修改，教师巡视指导。

）师：请说说你修改了哪一幅图，怎么修改的。

请你到前面来示范给大家看看。

生上台演示：我改了图1，我把5只鸡每只都添上2条腿，变成兔。

生：总共26条腿，现在只有16条，需要再画10条，10条腿共画在5只鸡上变成5只兔。

教师板书记录：26-16=10（条），10÷2=5（只）。

师：说说16是什么意思？10÷2又是什么意思？补充板书还有谁也是这样的，请你说一说？师：有没有同学对图2进行修改的？说说你的修改结果和修改方法。

生：我按要求修改后，变成5只兔，3只鸡，因为原来全是兔，共有32条腿，多了6条，每只鸡多了2条，所以是3只鸡。

师：你们同意他的说法吗？我觉得很有道理。

师：有时候，错误不但不可怕，可能启发我们，现在老师有一个类似的问题，你能用刚才修改图1、图2时用的方法来解决吗？请看题：例题1鸡兔同笼，共有10只，腿共有28条，鸡有几只？兔有几只？也是两点要求：1、想一想图1、图2哪一幅能给予你帮助？2、画完后，把你画的方法用算式在图旁边表示出来。

学生画图求解，教师巡视指导；学生展示汇报，教师课件演示。

师：请你说说你是怎么画的？生：我先全都画2条腿，还多8条，再每只加二条，加在4只上面，变成4只兔，鸡有6只。

10×2=20（条），28-20=8（条），8÷2=4（只），10-4=6（只）（学生实物投影演示，强调单位写清楚。

）师：有没有同学会画，但是不会用算式表示的？老师给你请个小助手，你说画的过程，小助手说算式，好吗？学生配合说画的过程。

师：有没有同学根据刚才图2的错误得到启发的？课件演示：先全都画4条，发现多了12条，再每只减2条，要减6只，变成鸡6只，还有4只是兔子，此处可以学生自己说，也可以想上面那样，老师画图，学生一起说算式。

10×4=40（条），40-28=12（条），小鸡：12÷2=6（只），小兔：10-6=4（只）强调单位写清楚。

15三、探究假设法。

师：刚才同学们都通过画图的方法解决了鸡有几只，兔有几只的问题。

现在来看看下面这个问题。

例题1.鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡有多少只？兔有多少只？师：先说说，这里100个头是什么意思？不画图，你能用算式解决吗？以下为可能出现的情况：（学生说解题的过程，教师根据学生述说板书计算过程：100×2=200条，316-200=116条，兔116÷2=58（只）鸡100-58=42只。

）生：如果笼子里全是鸡，那么有100×2=200条腿，而实际有316条腿，少了316-200=116条，116条腿每只2条，加上这2条的就变兔了，所以有42只兔。

（可由教师引导。

）师：你哪里来的灵感？生：我从刚才的画图法得到的。

（或：生：老师教过的。

师：有没有老师以前没教过，你现在也想师：那么还有别的方法吗？到了这种方法的？你是怎么想到的？）（学生说解题的过程，教师根据学生述说板书计算过程：100×4=400条，400-316＝84条，鸡84÷2=42只，兔100-42=58只。

）（教师板书整理。

）师：刚才我们又用到了“如果”这个词，它表示一种假设，所以像这样的方法我们也叫假设法。

（板书：假设法）练习：1. 鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。

笼子中鸡、兔各有多少只？三、探究列表法。

（学生同桌讨论后，找出解决方案，请学生汇报。

）师：你是怎么得到这个结果的？生：我猜的。

师：是一下子就猜中了吗？生：……师：所以这样的方法有一定的运气成分在内。

有没有其它办法呢？生：我是一个一个算过去的，先算鸡有18只，兔没有，腿有36条……（教师板书在表格中记录。

）师：这种方法请你给它起个名字。

生：叫“按顺序计算法”。

（教师可以提示，教师板书。

）师：这个方法不错，有顺序。

那么还有更快速的方法吗？（以下为可能出现的情况。

）生：我先算中间的，鸡有9只，兔也有9只，那么腿总共是：9×4=36（条），9×2=18（条），36+18=54（条），这样腿多了两条，我就减少一只兔，同时增加一只鸡，变成鸡有10只，兔有8只，2×10=20（条），4×8=32（条），20+32=52（条），刚好符合。

师：你为什么想到要减少一只兔，增加一只鸡呢？生：因为刚才各9只的时候，腿总共有54条，多了两条，所以要减少兔，每只兔比鸡多2条腿。

师：说得太精彩了。

同学们理解了吗？如果要给你这种方法起一个名字，你觉得叫什么方法好？生：……师：你是从中间算起的，叫“中间突破”法好吗？师：还有别的方法吗？（两头包围）生：……师：以上这些方法，我们都借助表格来完成，所以我们给它们起一个共同的名称好吗？生：表格法（列表法）。

四、选择合适的方法解决问题。

师：在数学中，由鸡兔同笼问题衍生出来的问题很多，涉及到生活中的方方面面，我们一起来看几个例子。

例题2. 30枚硬币,由2分和5分组成,共值9角9分,2分硬币有多少个？5分有多少个？分析：这里面有2分和5分的硬币两种，9角9分一共有99分。

我们可以把这30看做头数，而99分看做脚的只数。

这样我们就可以假设全部是2分，那么就应该有2×30＝60（分），实际上我们有99分，少了99-60＝39（分），39分每个2分，加上5-2＝3（分）就是5分钱的了，所以5分钱就有39÷3＝13（个）。

2×30＝60（分）99-60＝39（分）5-2＝3（分）5分：39÷3＝13（个）2分：30-13＝27（分）例3 三（1）班42个同学向2008年北京奥运会捐款。

其中12人每人捐2元，其余同学每人捐5元或10元，一共捐了229元。

求捐5元和10元的同学各有多少人？分析：这里面有捐2元、5元和10元的同学，但是捐2元的人数已经告诉我们了，那么我们就把捐2元的同学的人数以及钱数都去掉，12×2＝24（元）229-24＝205（元）42—12＝30（人）。

这时候题目就变成了一共有30个同学，有捐5元和3元的，一共捐了205元。

就可以用假设法解题。

假设所有的30名同学都捐了5元，那么一共捐了30×5＝150（元），就差205—150＝45（元），45元每个5元，再加上10—5=5（元）就是捐10元钱的同学。

45÷5＝9（人）12×2＝24（元）229-24＝205（元）42—12＝30（人）30×5＝150（元）205—150＝45（元）10—5=5（元）捐10元的：45÷5＝9（人）捐5元的：30—5＝25（人）例4小明参加数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒扣3分.刘钢得了60分，问他做对了几道题？分析：可以先让学生自己试着做，找出错误。

老师刚才发现有些同学是这样做的20×5＝100（分）100-60＝40（分）40÷（5-3）＝20（题）你们发现问题了吗？这位同学假设的是小明所有的题都做对，可是做出来却是错了20题。

但是小明得了60分，为什么呢？40应该除以什么？40分错一题扣三分，那么我们要加上多少分才能变成错的？对的5分减去还有扣掉的3分，就应该是加上5＋3＝8（分）所以小明做错的题目应该是40÷（5＋3）＝5（题）20×5＝100（分）100-60＝40（分）做错的：40÷（5＋3）＝5（题）做对的：20—5＝15（题）思考：这题是求做对了几道题，那么我们假设全部都做对简单还是假设全部都做错的简单？例题5.松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松果，平均每天采14个.问这几天中有几个雨天？分析：这时候分为雨天和晴天，这个时候我们并不知道一共采了多少天，那么我们就从每天都采的平均数求出一共采了112÷14＝8（天）然后再用假设法做。

假设全部是晴天：20×8＝160（个）160—112＝48（个）雨天：48÷（20—14）＝8（天）例6. 100个馒头100个和尚吃,大和尚每人吃3个,小和尚3人吃一个,则大和尚有多少个？小和尚有多少个？分析：这个时候就会发现如果用假设法很难解出来，这时候我们就把大和尚和小和尚和起来看，就把1个大和尚和3个小和尚分在一起，这样他们4个和尚就一共吃了1＋3＝4（个）馒头。

这100个和尚一共吃了100个馒头每一组的和尚吃4个馒头一共就有100÷4＝25（组）。

再看每一组有1个大和尚和3个小和尚，那么大和尚就有1×25＝25（人），小和尚就是3×25＝75（人）。

1＋3＝4（个）100÷4＝25（组）大和尚：1×25＝25（人）小和尚：3×25＝75（人）例题5.松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松果，平均每天采14个.问这几天中有几个雨天？分析：这时候分为雨天和晴天，这个时候我们并不知道一共采了多少天，那么我们就从每天都采的平均数求出一共采了112÷14＝8（天）然后再假设五、总结师：同一个问题，解决方法竟然这么多解决方法，可能还有更多的，数学可真是神奇啊！对于这堂课，你有什么想说的吗？（复习今天所学过的方法）板书：鸡兔同笼画图法例题1 例题2 例题3 例题4 例题5 例题6假设法分组家庭作业：见讲义。