初中数学 相似三角形(2)——常考模型
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相似三角形重要模型-一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,难度大,是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法,熟练掌握基本解题模型,再遇到该类问题就信心更足了.本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1.一线三等角模型(相似模型)【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形,因为一条直线上有三个相等的角,一般就会有两个三角形的“一对角相等”,再利用平角为180°,三角形的内角和为180°,就可以得到两个三角形的另外一对角也相等,从而得到两个三角形相似.1)一线三等角模型(同侧型)(锐角型)(直角型)(钝角型)条件:如图,∠1=∠2=∠3,结论:△ACE∽△BED.2)一线三等角模型(异侧型)条件:如图,∠1=∠2=∠3,结论:△ADE∽△BEC.3)一线三等角模型(变异型)图1 图2 图3①特殊中点型:条件:如图1,若C为AB的中点,结论:△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1:条件:如图2,∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论:△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2:条件:如图3,∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论:△ABM∽△NDE∽△NCM.例1.(2023·山东东营·统考中考真题)如图,A B C为等边三角形,点D,E分别在边B C,A B上,60A D E∠=︒,若4B D D C=, 2.4D E=,则A D的长为()A.1.8B.2.4C.3D.3.2例2.(2023·湖南·统考中考真题)如图,,C A ADE D A D⊥⊥,点B是线段A D上的一点,且C B B E⊥.已知8,6,4A B A C D E===.(1)证明:A B C D E B∽△△.(2)求线段B D的长.例3.(2022·河南新乡·九年级期中)某学习小组在探究三角形相似时,发现了下面这种典型的基本图形.(1)如图1,在ABC中,∠BAC=90°,A BA C=k,直线l经过点A,BD⊥直线I,CE上直线l,垂足分别为D、E.求证:B DA E=k.(2)组员小刘想,如果三个角都不是直角,那么结论是否仍然成立呢?如图2,将(1)中的条件做以下修改:在ABC中,A BA C=k,D、A、E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问(1)中的结论还成立吗?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:如图3,在ABC中,沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG,A BA E =A CA G=12,AH是BC边上的高,延长HA交EG于点I.①求证:I是EG的中点.②直接写出线段BC与AI之间的数量关系:.例4.(2022·四川·一模)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形:(1)如图1,已知:在△ABC 中,A B A C=,D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有B D AA E CB AC α∠=∠=∠=.试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系,请证明你的结论;(2)老师鼓励学习小组继续探索相似的情形.于是,学习小组又研究以下问题:如图2,△ABC 中,(060)B C αα∠=∠=<<︒.将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上,当P 在BC 边上移动时,三角尺中30°角的一条边始终过点A ,另一条边交AC 边于点Q ,P 、Q 不与三角形顶点重合.设C P Qβ∠=.当β在许可范围内变化时,α取何值总有△ABP ∽△PCQ ?当α在许可范围内变化时,β取何值总有△ABP ∽△QCP ?(3)试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似?若可能,写出所有α、β的值(不写过程);若不可能,请说明理由.例5.(2022·山西晋中·一模)阅读材料:我们知道:一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点,过另外两个顶点分别向该直线作垂线,即可得三垂直模型”如图①,在A B C中,90A C B ∠=︒,A C B C=,分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线,垂足分别为D 、E ,我们很容易发现结论:A D C C E B△≌△.(1)探究问题:如果A CB C≠,其他条件不变,如图②,可得到结论;A D CC E B△∽△.请你说明理由.(2)学以致用:如图③,在平面直角坐标系中,直线12y x=与直线C D 交于点()2,1M ,且两直线夹角为α,且3ta n 2α=,请你求出直线C D 的解析式.(3)拓展应用:如图④,在矩形A B C D 中,3A B=,5B C=,点E为B C 边上—个动点,连接A E ,将线段A E 绕点E 顺时针旋转90︒,点A 落在点P 处,当点P 在矩形A B C D外部时,连接P C ,P D .若D P C △为直角三角形时,请你探究并直接写出B E 的长.Rt ABD中,上一动点,连接折叠得H E F,延长②B E M H E M≅;③当M2B,则正确的有(九年级校考阶段练习)已知A B C是等边三角形,E F和B D F∠,将B C E沿B则A F=P C D△;九年级校考阶段练习)如图,在A B C中,12.(2022·山东济宁·二模)情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上,分别过两锐角的顶点M,N作l的垂线,垂足分别为P,Q,(1)如图1.观察图1可知:与NQ相等的线段是______________,与N R Q∠相等的角是_____(2)问题探究直角A B C中,90B∠=︒,在AB边上任取一点D,连接CD,分别以AC,DC为边作正方形ACEF 和正方形CDGH,如图2,过E,H分别作BC所在直线的垂线,垂足分别为K,L.试探究EK与HL之间的数量关系,并证明你的结论.(3)拓展延伸:直角A B C中,90B∠=︒,在AB边上任取一点D,连接CD,分别以AC,DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH,连接EH交BC所在的直线于点T,如图3.如果A C kC E=,试探究TE与TH=,C D kC H之间的数量关系,并证明你的结论.将.A B P沿着这样的点P,使得点问题解决(3)15.(2023春·四川广安·九年级校考阶段练习)如图1和图2,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),A是x轴上的一个动点,M是线段AC的中点.把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB.过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线,两直线交于点D,直线DB交x轴于点E.设A点的横坐标为m.(1)求证:△AOC∽△BEA;(2)若m=3,则点B的坐标为;若m=﹣3,则点B的坐标为;(3)若m>0,△BCD的面积为S,则m为何值时,S=6?(4)是否存在m,使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,求此时m的值;若不存在,请说明理由.16.(2020·四川雅安·中考真题)如图,已知边长为10的正方形A B C D E、不重,是B C边上一动点(与B C 合),连结A E G,是B C延长线上的点,过点E作A E的垂线交D C G∠的角平分线于点F,若F G B G⊥.(1)求证:A B E E G FE C=,求C E F△△;(2)若2∽△的△的面积;(3)请直接写出E C为何值时,C E F面积最大.的何位置时有B E H B A E∽?B C。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一:A字型特征:DE∥BC模型结论:根据A字型相似模型,可以得出以下结论:C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二:X型特征:AC∥BD模型结论:根据X型相似模型,可以得出以下结论:AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三:旋转相似特征:成比例线,段共端点模型结论:根据旋转相似模型,可以得出以下结论:BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四:三平行模型特征:AB∥EF∥CD模型结论:根据三平行模型,可以得出以下结论:ABE∽△CDF相似模型五:半角模型特征:90度,45度;120度,60度模型结论:根据半角模型,可以得出以下结论:ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六:三角形内接矩形模型特征:矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论:根据三角形内接矩形模型,可以得出以下结论:ABC∽△EFH相似模型七:十字模型特征:正方形HDGB模型结论:根据十字模型,可以得出以下结论:若AF=BE,则AF⊥BE,且为长方形若AF⊥BE,则AF=BEBDBC平行四边形,且△GME∽△HNF,△MED≌△BFA。
下面给出几个几何问题。
1.在△ABC中,AB=AC,且有以下七个结论:①D为AC中点;②AE⊥BD;③BE:EC=2:1;④∠ADB=∠CDE;⑤∠AEB=∠CED;⑥∠BMC=135°;⑦BM:MC=2:1.求AC和CD的比值。
2.在平行四边形ABCD中,AB∥CD,线段BC,AD相交于点F,点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C,其中AF=6,DF=3,CF=2,求AE的长度。
3.在Rt△ABD中,过点D作CD⊥BD,垂足为D,连接XXX于点E,过点E作EF⊥BD于点F,若AB=15,CD=10,求4.在□ABCD中,E为BC的中点,连接AE,AC,分别交BD于M,N,求5.在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AD,BC相交于点E,过E作EF∥AB交BD于点F。
三角形全等、相似及综合应用模型题型解读|模型构建|通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式,考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。
特殊三角形的性质与判定也是考查重点,年年都会考查,最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的,且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。
直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题,也可以是各类解答题,以及融合在综合压轴题中,作为问题的几何背景进行拓展延伸。
模型01 与三角形有关的线段应用高(AD)中线(AD)角平分线(AD)中位线(DE)模型02 与三角形有关的角的应用(1)三角形的内角:(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.(2)三角形的外角:(1)三角形外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.三角形共有六个外角,其中有公共顶点的两个相等,因此共有三对.(2)三角形的外角性质:①三角形的外角和为360°.②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.(3)若研究的角比较多,要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.(4)探究角度之间的不等关系,多用外角的性质③,先从最大角开始,观察它是哪个三角形的外角.模型03 三角形全等的判定及应用(1)全等三角形的定义:全等的图形必须满足:(1)形状相同;(2)大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
初中数学三角形相似模型大总结三角形相似是初中数学里非常重要的知识点,是中考中一定会涉及的考点之一。
三角形相似的判定和应用题型千变万化,但“万变不离其宗”,常用的一共有以下8种模型。
1、8字形模型2、反8字形模型3、A字形模型4、反A字形模型5、共边反A字形模型6、剪刀反A字形模型7、一线三等角模型8、一线三垂直模型【模型总结】8种具体模型实际上可以分为三个大类,如下面表格所示:【应用提示】三角形相似的实际应用中遇到的模型基本上是属于上面8种模型的变化。
比如当三角形为直角三角形时的反A字形。
【应用举例】思路分析:通常来讲,题目中遇到线段成某个比例的已知条件,往往会和三角形相似结合起来。
因为三角形相似就能利用线段的比例。
本题中,△CEF和△EFD是对折关系,所以∠EDF=∠C=60度。
进而得到∠A=∠B=∠EDF=60度,一线三等角模型太明显不过了。
因此:△AED∽△DBF。
虽然,解题过程中还用到了设未知数解方程的代数思想,但是如果不能及时发现一线三等角模型,然利用相似比例列出2个方程,此题难度也不小。
【总结】三角形相似就意味着对应线段的比值相等,所以就能建立等式关系。
因此,题目中只要看到线段比例已知,就要首先考虑构建三角形相似来利用这个已知条件,为进一步完成解题创下基础。
口诀:线段比例若知道,三角相似解题巧。
有些同学相似三角形的判定方法明明都知道,却还是不会证三角形相似,在有些图形中甚至找不到谁和谁相似,完全无从下手。
这种情况,其中一个很大的原因就是——对相似的基本模型不熟悉。
本文就来说说相似的几种基本模型,让你能在复杂的图形中快速识别,迅速上手。
1、A字型(金字塔形)A字型分两种,一种上下平行的,一种上下不平行的。
注意两种A字型对应关系不同。
2、8字型(沙漏型)同A字型一样,8字型也有两种,一种上下平行,一种上下不平行,对应关系也不同。
3、子母型子母型相似可看作由非平行的A字型相似变化而来。
子母型相似的对应关系比较容易写错,为了避免出错可采用两种书写习惯:①仿照A字型写法,从公共点写起,△BAD∽△BCA;②按角的大小排序来写,小中大,△ABD∽△CBA.推荐第一种,更不容易错。
相似模型【相似模型一:A 字型】 特征 模型结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB CBDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD特征 模型结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C(也叫蝴蝶型相似)A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D 顺着比,交叉乘 ③ △BOC∽△DOA特征 模型 结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE② △ABD∽△ACE特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=特征模型结论ECD BAA BDC EEDCBA90度,45度; 120度,60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六:三角形内接矩形模型】 特征模型结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H G FED C BA【相似模型七:十字模型】 特征 模型 结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE ,则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中,CE ⊥BD ,则△CDE ∽△BCD ,CE CDBD BC平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中,AB =AC ,AB ⊥AC ,①D 为中点,②AE ⊥BD ,③BE :EC=2:1,④∠ADB =∠CDE ,⑤∠AEB =∠CED ,⑥∠BMC =135°,⑦2BMMC =,这七个结论中,“知二得五”【A 型,X 型,三平行模型】1.如图,在△ABC 中,EF ∥DC ,∠AFE =∠B ,AE =6,ED =3,AF =8,则AC =_________,CDBC=_________.F E DCBABCDE FA2.如图,AB ∥CD ,线段BC ,AD 相交于点F ,点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF =∠C ,其中AF =6,DF =3,CF =2,则AE =_________.3.如图,在Rt △ABD 中,过点D 作CD ⊥BD ,垂足为D ,连接BC 交AD 于点E ,过点E 作EF ⊥BD 于点F ,若AB =15,CD =10,则BF :FD =_____________.FEBCAN MEDCBA4.如图,在□ABCD 中,E 为BC 的中点,连接AE ,AC ,分别交BD 于M ,N ,则BM :DN =_____________.5.如图所示,AB ∥CD ,AD ,BC 相交于点E ,过E 作EF ∥AB 交BD 于点F .则下列结论:①△EFD ∽△ABD ;②EF BF CD BD =;③1EF EF FD BF AB CD BD BD +=+=;④111AB CD EF+=.其中正确的有___________. F EDCBA图26.在△ABC 中,AB=9,AC=6,点M 在边AB 上,且AM=3,点N 在AC 边上.当AN= 时,△AMN 与原三角形相似.7.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D 是边AB 的中点,现有一点P 位于边AC 上,使得△ADP 与△ABC 相似,则线段AP 的长为 .8.如图,已知O 是坐标原点,点A.B 分别在y x 、轴上,OA=1,OB=2,若点D 在x 轴下方,且使得△AOB 与△OAD 相似,则这样的点D 有 个.9.如图,在Rt △ACB 中,∠C=90°,AC=16cm ,BC=8cm ,动点P 从点C 出发,沿CA 方向运动;动点Q 同时从点B 出发,沿BC 方向运动,如果点P 的运动速度均为4cm/s ,Q 点的运动速度均为2cm/s ,那么运动几秒时,△ABC 与△PCQ 相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠,使点B落地边AC上,记为点B',折叠痕为EF,已知AB=AC=8,BC=10,若以点B'.F.C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图,四边形中,平分,,,为的中点.(1)求证:;(2)与有怎样的位置关系?试说明理由;(3)若,,求的值.13.如图,在中,为上一点,,,,于,连接.(1)求证:;(2)找出图中一对相似三角形,并证明.14.如图,在中,,分别是,上的点,,的平分线交于点,交于点.(1)试写出图中所有的相似三角形,并说明理由(2)若,求的值.15.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.M为AD中点,连接CM交BD于点N,且ON=1.(1)求BD的长;(2)若△DCN的面积为2,求四边形ABNM的面积.16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB= _________.19.如图所示,AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则S1:S2:S3=__________.20.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BC于点E,连接DE交OC于点F,作FG⊥BC于点G,则线段BG与GC的数量关系是___.21. 如图,已知点C 为线段AB 的中点,CD ⊥AB 且CD=AB=4,连接AD ,BE ⊥AB ,AE 是∠DAB 的平分线,与DC 相交于点F ,EH ⊥DC 于点G ,交AD 于点H ,则HG 的长为 .22.如图1,在△ABC 中,点D 、E 、Q 分别在边AB 、AC 、BC 上,且DE ∥BC ,AQ 交DE 于点P . (1)求证: ;(2)如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG 、AF ,分别交DE 于M 、N 两点.如图2,若AB =AC =1,直接写出MN 的长;如图3,求证MN 2=DM【母子型】1、已知:如图,△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,S △ABC=20,AB=10。
相似三角形第一部分 相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识(一)A 字型、反A 字型(斜A 字型)BDE(平行)BDE(不平行)(二)8字型、反8字型J OADBCAB CD(蝴蝶型)(平行) (不平行) (三)母子型BDD(四)一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景(五)一线三直角型:(六)双垂型:ADC 二、相似三角形判定的变化模型旋转型:由A字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,BE∥CD交CA延长线于E.求证:OEOAOC⋅=2.例2:已知:如图,△ABC中,点E在中线AD上, ABCDEB∠=∠.求证:(1)DADEDB⋅=2;(2)DACDCE∠=∠.例3:已知:如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,CG∥AB,BG分别交AD、AC于E、F.求证:EGEFBE⋅=2.相关练习:1、如图,已知AD为△ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线.求证:FCFBFD⋅=2.A CDEBGMF EHDCBA2、已知:AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线,∠C=90°,EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ,EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证:(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知:如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,E 是AC 上一点,CF ⊥BE 于F 。
求证:EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中,AB=AC ,高AD 与BE 交于H ,EF BC ⊥,垂足为F ,延长AD 到G ,使DG=EF ,M 是AH 的中点。
求证:∠=︒GBM 905.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各5分)已知:如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =2,AC =4,P 是斜边AB 上的一个动点,PD ⊥AB ,交边AC 于点D (点D 与点A 、C 都不重合),E 是射线DC 上一点,且∠EPD =∠A .设A 、P 两点的距离为x ,△BEP 的面积为y .(1)求证:AE =2PE ;(2)求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3)当△BEP 与△ABC 相似时,求△BEP 的面积.双垂型1、如图,在△ABC 中,∠A=60°,BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证:(1)△ABD ∽△ACE ;(2)△ADE ∽△ABC ;(3)BC=2ED2、如图,已知锐角△ABC ,AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高,△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3,DE=62,求:点B 到直线AC 的距离。
相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容,常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,是中考的常考题型。
手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型,在实际的应用和解题当中出现时,对于同学们来说,都比较困难。
而深入理解模型内涵,灵活运用相关结论可以显著提高解题效率,本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型(旋转模型)。
手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等;②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形;③第②步成立,直接从证这两个三角形相似,逆向证明到线段乘积相等;④第②步不成立,则选择替换掉线段比例式中的个别线段,之后再重复第③步。
模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义:如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变),我们称这样的图形变换为旋转相似变换,这个顶点称为旋转相似中心,所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1)手拉手相似模型(任意三角形)条件:如图,∠BAC =∠DAE =α,AD AB =AE AC=k ;结论:△ADE ∽△ABC ,△ABD ∽△ACE ;EC BD =k .2)手拉手相似模型(直角三角形)条件:如图,∠AOB =∠COD =90°,OC OA =OD OB =k (即△COD ∽△AOB );结论:△AOC ∽△BOD ;BD AC =k ,AC ⊥BD ,S ABCD =12AB ×CD .3)手拉手相似模型(等边三角形与等腰直角三角形)条件:M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点;结论:△BME ∽△CMF ;BE CF =3.条件:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形;结论:△ABD ∽△ACE .1(2023秋·福建泉州·九年级校考期末)问题背景:(1)如图①,已知△ABC ∽△ADE ,求证:△ABD ∽△ACE ;尝试应用:(2)如图②,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC =∠DAE =90°,∠ABC =∠ADE =60°,AC 与DE相交于点F ,点D 在BC 边上,DF CF=233,求AD BD 的值;拓展创新:(3)如图③,D 是△ABC 内一点,∠BAD =∠CBD =30°,∠BDC =90°,AB =4,AC =23,求AD 的长.【答案】(1)见解析;(2)AD BD =2;(3)AD =5【分析】问题背景(1)由题意得出AB AD =AC AE ,∠BAC =∠DAE ,则∠BAD =∠CAE ,可证得结论;尝试应用(2)连接EC ,证明△ABC ∽△ADE ,由(1)知△ABD ∽△ACE ,由相似三角形的性质得出AE AD =EC BD =3,∠ACE =∠ABD =∠ADE ,可证明△ADF ∽△ECF ,得出DF CF =AD CE=233,则可求出答案.拓展创新(3)过点A 作AB 的垂线,过点D 作AD 的垂线,两垂线交于点M ,连接BM ,证明△BDC ∽△MDA ,由相似三角形的性质得出BD MD =DC DA ,证明△BDM ∽△CDA ,得出BM CA =DM AD=3,求出BM =6,由勾股定理求出AM ,最后由直角三角形的性质可求出AD 的长.【详解】问题背景(1)证明:∵△ABC ∽△ADE ,∴AB AD =AC AE ,∠BAC =∠DAE ,∴∠BAD =∠CAE ,AB AC =AD AE,∴△ABD ∽△ACE ;尝试应用(2)解:如图,连接EC ,∵∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=60°,∴△ABC∽△ADE,AE=3AD由(1)知△ABD∽△ACE,∴AEAD=ECBD=3,∠ACE=∠ABD=∠ADE=60°,∴AEEC=ADBD,∵∠AFD=∠AEFC∴△ADF∽△ECF∴DFCF =ADCE∵DF CF =233∴DFCF=ADCE=233∴AD=233CE∴AE=3AD=2CE∴ADBD=AEEC=2,拓展创新(3)解:如图2,过点A作AB的垂线,过点D作AD的垂线,两垂线交于点M,连接BM,∵∠BAD=30°,∴∠DAM=60°,∴∠AMD=30°,∴∠AMD=∠DBC,又∵∠ADM=∠BDC=90°,∴△BDC∽△MDA,∴BDMD=DCDA,又∠BDC=∠ADM,∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM,即∠BDM=∠CDA,∴△BDM∽△CDA,∴BMCA=DMAD=3,∵AC=23,∴BM=23×3=6,∴AM=BM2-AB2=62-42=25,∴AD=12AM=5.【点睛】此题是相似形综合题,考查了直角三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质等知识,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.2(2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习)【模型呈现:材料阅读】如图,点B,C,E在同一直线上,点A,D在直线CE的同侧,△ABC和△CDE均为等边三角形,AE,BD 交于点F,对于上述问题,存在结论(不用证明):(1)△BCD≌△ACE(2)△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成;⋯【模型改编:问题解决】点A ,D 在直线CE 的同侧,AB =AC ,ED =EC ,∠BAC =∠DEC =50°,直线AE ,BD 交于F ,如图1:点B 在直线CE 上,①求证:△BCD ∽△ACE ; ②求∠AFB 的度数. 如图2:将△ABC 绕点C 顺时针旋转一定角度.③补全图形,则∠AFB 的度数为;④若将“∠BAC =∠DEC =50°”改为“∠BAC =∠DEC =m °”,则∠AFB 的度数为.(直接写结论)【模型拓广:问题延伸】如图3:在矩形ABCD 和矩形DEFG 中,AB =2,AD =ED =23,DG =6,连接AG ,BF ,求BF AG 的值.图1 图2 图3【答案】【模型改编:问题解决】①见解析;②65°;③图见解析,115°;④90°+m °2【模型拓广:问题延伸】233【分析】【模型改编:问题解决】①先证明△ABC ∽△EDC ,可得AC EC =BC DC,再证明∠ACE =∠BCD ,可得△BCD ∽△ACE ;②由△BCD ∽△ACE ,可得∠DBC =∠EAC ,再结合三角形的外角可得答案;③连接EA 并延长交BD 于F ,同理可得:△BCD ∽△ACE ,∠CEF =∠BDC ,再结合三角形的外角可得答案;④先求解∠CDE =∠DCE =12180°-m ° =90°-12m °,结合③的思路可得答案;【模型拓广:问题延伸】连接BD 、DF ,先证明△ADB ∽△GDF ,可得∠ADB =∠GDF ,AD DG =BD DF ,证明∠ADG =∠BDF ,可得△BDF ∽△ADG ,可得BF AG =BD AD,从而可得答案.【详解】【模型改编:问题解决】①∵AB =AC ,ED =EC ,∠BAC =∠DEC =50°,∴∠ABC =∠ACB =180°-50° ÷2=65°,∠EDC =∠ECD =180°-50° ÷2=65°,∴△ABC ∽△EDC ,∴AC EC =BC DC,∵∠ACE =180°-∠ACB =115°,∠BCD =180°-∠DCE =115°,∴∠ACE =∠BCD ,∴△BCD ∽△ACE ;②由①知,△BCD ∽△ACE ,∴∠DBC =∠EAC ,∴∠AFB =∠DBC +∠CEA =∠EAC +∠CEA =∠ACB =65°③补图如下:连接EA 并延长交BD 于F ,图2同理可得:△BCD ∽△ACE ∴∠CEF =∠BDC ,∴∠AFB =∠BDC +∠CDE +∠DEF =∠CEF +∠CDE +∠DEF =∠CED +∠CDE =50°+65°=115°,④∵∠BAC =∠DEC =m °,CE =DE ,∴∠CDE =∠DCE =12180°-m ° =90°-12m °,同理③可得∠AFB =∠CED +∠CDE =m °+90°-12m °=90°+m °2,故答案为:90°+m °2;【模型拓广:问题延伸】连接BD 、DF ,图3∵在矩形ABCD 和矩形DEFG 中,AB =2,AD =ED =FG =23,DG =6,∴AB AD =GF DG =33,又∵∠BAD =∠DGF =90°,∴△ADB ∽△GDF ,∴∠ADB =∠GDF ,AD DG=BD DF ,∵∠ADG =∠GDF +∠ADF ,∠BDF =∠ADB +∠ADF ,∴∠ADG =∠BDF ,∴△BDF ∽△ADG ,∴BF AG =BD AD,∵AD =23,AB =2,∴BD =AB 2+AD 2=4,∴BF AG =BD AD =423=233.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,相似三角形的判定与性质,熟练的证明三角形相似是解本题的关键.3(2023春·湖北黄冈·九年级专题练习)【问题呈现】△CAB 和△CDE 都是直角三角形,∠ACB =∠DCE =90°,CB =mCA ,CE =mCD ,连接AD ,BE ,探究AD ,BE 的位置关系.(1)如图1,当m =1时,直接写出AD ,BE 的位置关系:;(2)如图2,当m ≠1时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.【拓展应用】(3)当m =3,AB =47,DE =4时,将△CDE 绕点C 旋转,使A ,D ,E 三点恰好在同一直线上,求BE 的长.【答案】(1)BE ⊥AD (2)成立;理由见解析(3)BE =63或43【分析】(1)根据m =1,得出AC =BC ,DC =EC ,证明△DCA ≌△ECB ,得出∠DAC =∠CBE ,根据∠GAB +∠ABG =∠DAC +∠CAB +∠ABG ,求出∠GAB +∠ABG =90°,即可证明结论;(2)证明△DCA ∽△ECB ,得出∠DAC =∠CBE ,根据∠GAB +∠ABG =∠DAC +∠CAB +∠ABG ,求出∠GAB +∠ABG =90°,即可证明结论;(3)分两种情况,当点E 在线段AD 上时,当点D 在线段AE 上时,分别画出图形,根据勾股定理求出结果即可.【详解】(1)解:∵m =1,∴AC =BC ,DC =EC ,∵∠DCE =∠ACB =90°,∴∠DCA +∠ACE =∠ACE +∠ECB =90°,∴∠DCA =∠ECB ,∴△DCA ≌△ECB ,∴∠DAC =∠CBE ,∵∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG,=∠CBE+∠CAB+∠ABG=∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=90°,∴∠AGB=180°-90°=90°,∴BE⊥AD;故答案为:BE⊥AD.(2)解:成立;理由如下:∵∠DCE=∠ACB=90°,∴∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°,∴∠DCA=∠ECB,∵DC CE =ACBC=1m,∴△DCA∽△ECB,∴∠DAC=∠CBE,∵∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG,=∠CBE+∠CAB+∠ABG =∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=90°,∴∠AGB=180°-90°=90°,∴BE⊥AD;(3)解:当点E在线段AD上时,连接BE,如图所示:设AE=x,则AD=AE+DE=x+4,根据解析(2)可知,△DCA∽△ECB,∴BE AD =BCAC=m=3,∴BE=3AD=3x+4=3x+43,根据解析(2)可知,BE⊥AD,∴∠AEB=90°,根据勾股定理得:AE2+BE2=AB2,即x2+3x+432=472,解得:x=2或x=-8(舍去),∴此时BE=3x+43=63;当点D在线段AE上时,连接BE,如图所示:设AD=y,则AE=AD+DE=y+4,根据解析(2)可知,△DCA∽△ECB,∴BE AD =BCAC=m=3,∴BE=3AD=3y,根据解析(2)可知,BE⊥AD,∴∠AEB=90°,根据勾股定理得:AE 2+BE 2=AB 2,即y +4 2+3y 2=47 2,解得:y =4或y =-6(舍去),∴此时BE =3y =43;综上分析可知,BE =63或43.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角形内角和定理的应用,勾股定理,解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法,画出相应的图形,注意分类讨论.4(2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习)如图,已知△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =α.点D 是△ABC 所在平面内不与点A 、C 重合的任意一点,连接CD ,将线段CD 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ,连接AD 、BE .(1)如图1,当α=60°时,求证:BE =AD .(2)当α=120°时,请判断线段BE 与AD 之间的数量关系是,并仅就图2的情形说明理由.(3)当α=90°时,且BE ⊥AB 时,若AB =8,BE =2,点E 在BC 上方,求CD 的长.【答案】(1)见解析,(2)BE =3AD ,理由见解析(3)82【分析】(1)先证明△ABC 和△DCE 是等边三角形,再证明△ADC ≌△BEC ,可推出BE =AD ;(2)过A 作AH ⊥BC 与H ,先根据含30°的直角三角形的性质,等腰三角形的性质以及勾股定理可求出BC =3AC ,同理求出CE =3CD ,可得出BC EC =3AC 3DC=AC DC ,证明∠DCA =∠BCE ,然后证明△EBC ∽△DAC 即可求解;(3)过E 作EF ⊥BC 于F ,可判断△BEF 是等腰直角三角形,然后可求出EF ,BF ,CF 的长度,由(2)同理可证出△EBC ∽△DAC ,最后根据相似三角形的性质即可求解.【详解】(1)解:∵旋转,∴CD =ED ,当α=60°时,又AB =AC ,∴△ABC 和△DCE 是等边三角形,∴AC =BC ,DC =EC ,∠DCE =∠ACB =60°,∴∠ACD =∠BCE ,∴△ADC ≌△BEC ,∴AD =BE ;(2)解:BE =3AD 过A 作AH ⊥BC 与H ,∵AB =AC ,∠BAC =α=120°,∴∠ACB =30°,CH =12BC ,∴AC =2AH ,又由勾股定理得AH 2+CH 2=AC 2,∴CH =32AC ,∴BC =3AC ,同理CE =3CD ,∵DC =EC ,∠CDE =α=120°,∴∠DCE =30°=∠ACB ,∴∠DCA =∠BCE ,∵BC =3AC ,CE =3CD ,∴BC EC =3AC 3DC =AC DC ,∴△EBC ∽△DAC ,∴BE AD =BC AC =3,即BE =3AD (3)解:如图,过E 作EF ⊥BC 于F ,当α=90°时,∵AC =AB =8,∴∠ACB =45°,BC =AB 2+AC 2=2AC =82,∵BE ⊥AB ,∴∠EBF =45°=∠BEF ,∴BF =EF ,∵BE =EF 2+BF 2=2EF =2,∴EF =BF =2,∴CF =BF +BC =92,∴CE =EF 2+CF 2=241,由(2)同理可证△EBC ∽△DAC ,∴EC DC =BC AC=2,即241DC =2,∴DC =82.【点睛】本题属于三角形综合题,考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键在于正确寻找全等三角形或相似三角形.5(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题,是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律,再结合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地.(1)发现问题:如图1,在△ABC 和△AEF 中,AB =AC ,AE =AF ,∠BAC =∠EAF =30°,连接BE ,CF,延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系:,∠BDC=°;(2)类比探究:如图2,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=120°,连接BE,CF,延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数,并说明理由;(3)拓展延伸:如图3,△ABC和△AEF均为等腰直角三角形,∠BAC=∠EAF=90°,连接BE,CF,且点B,E,F在一条直线上,过点A作AM⊥BF,垂足为点M.则BF,CF,AM之间的数量关系:;(4)实践应用:正方形ABCD中,AB=2,若平面内存在点P满足∠BPD=90°,PD=1,则S△ABP=.【答案】(1)BE=CF,30(2)BE=CF,∠BDC=60°,证明见解析(3)BF=CF+2AM(4)7+74或7-74【分析】(1)根据已知得出∠BAE=∠CAF,即可证明△BAE≌△CAF,得出BE=CF,∠ABE=∠ACF,进而根据三角形的外角的性质即可求解;(2)同(1)的方法即可得证;(3)同(1)的方法证明△BAE≌△CAF SAS,根据等腰直角三角形的性质得出AM=12EF=EM=MF,即可得出结论;(4)根据题意画出图形,连接BD,以BD为直径,BD的中点为圆心作圆,以D点为圆心,1为半径作圆,两圆交于点P,P1,延长BP至M,使得PM=DP=1,证明△ADP∽△BDM,得出PA=22BM,勾股定理求得PB,进而求得BM,根据相似三角形的性质即可得出PA=221+7=2+142,勾股定理求得BQ,PQ,进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)解:∵∠BAC=∠EAF=30°,∴∠BAE=∠CAF,又∵AB=AC,AE=AF,∴△BAE≌△CAF,∴BE=CF,∠ABE=∠ACF设AC,BD交于点O,∵∠AOD=∠ACF+∠BDC=∠ABE+∠BAO∴∠BDC=∠BAO=∠BAC=30°,故答案为:BE= CF,30.(2)结论:BE=CF,∠BDC=60°;证明:∵∠BAC=∠EAF=120°,∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF,又∵AB=AC,AE=AF,∴△BAE≌△CAF∴BE=CF,∠AEB=∠AFC∵∠EAF=120°,AE=AF,∴∠AEF=∠AFE=30°,∴∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-∠AFC-30°=60°,(3)BF=CF+2AM,理由如下,∵∠BAC=∠EAF=90°,∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF,又∵△ABC和△AEF均为等腰直角三角形∴AB=AC,AE=AF,∴△BAE≌△CAF SAS,∴BE= CF,在Rt △AEF 中,AM ⊥BF ,∴AM =12EF =EM =MF ,∴BF =BE +EF =CF +2AM ;(4)解:如图所示,连接BD ,以BD 为直径,BD 的中点为圆心作圆,以D 点为圆心,1为半径作圆,两圆交于点P ,P 1,延长BP 至M ,使得PM =DP =1,则△MDP 是等腰直角三角形,∠MDP =45°∵∠CDB =45°,∴∠MDB =∠MDP +∠PDC +∠CDB =90°+∠PDC =∠ADP ,∵AD DB =12,DP DM =12,∴△ADP ∽△BDM ∴PA BM =12=22,∴PA =22BM ,∵AB =2,在Rt △DPB 中,PB =DB 2-DP 2=22 2-12=7,∴BM =BP +PM =7+1∴PA =221+7 =2+142过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ,设QB =x ,则AQ =2-x ,在Rt △APQ 中,PQ 2=AP 2-AQ 2,在Rt △PBQ 中,PQ 2=PB 2-BQ 2∴AP 2-AQ 2=PB 2-BQ 2∴2+142 2-2-x 2=7 2-x 2解得:x =7-74,则BQ =7-74,设PQ ,BD 交于点G ,则△BQG 是等腰直角三角形,∴QG =QB =7-74在Rt △DPB ,Rt △DP 1B 中,DP =DP 1DB =DB ∴Rt △DPB ≌Rt △DP 1B ∴∠PDB =∠P 1DB又PD =P 1D =1,DG =DG ∴△PGD ≌△P 1DG ∴∠PGD =∠P 1GD =45°∴∠PGP 1=90°,∴P 1G ∥AB ∴S △ABP 1=12AB ×QG =12×2×7-74=7-74,在Rt △PQB 中,PQ =PB 2-BQ 2=7 2-7-74 2=7+74∴S△ABP =12AB ×PQ =12×2×7+74=7+74,综上所述,S△ABP=7+74或7-74故答案为:7+74或7-74.【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,正方形的性质,勾股定理,直径所对的圆周角是直角,熟练运用已知模型是解题的关键.6(2023·山东济南·九年级统考期中)问题背景:一次小组合作探究课上,小明将一个正方形ABCD和等腰Rt△CEF按如图1所示的位置摆放(点B、C、E在同一条直线上),其中∠ECF=90°.小组同学进行了如下探究,请你帮助解答:初步探究(1)如图2,将等腰Rt△CEF绕点C按顺时针方向旋转,连接BF,DE.请直接写出BF与DE的关系;(2)如图3,将(1)中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成菱形ABCD和等腰△CEF,其中CE=CF,∠BCD=∠FCE,其他条件不变,求证:BF=DE;深入探究:(3)如图4,将(1)中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF,其中∠ECF=90°且CECF =CDBC=34,其它条件不变.①探索线段BF与DE的关系,说明理由;②连接DF,BE若CE=6,AB=12,直接写出DF2+BE2=.【答案】(1)BF=DE,BF⊥DE;(2)见解析;(3)①DEBF=34,DE⊥BF,见解析;②500【分析】(1)由正方形的性质,等腰直角三角形的性质,得到BC=CD,CE=CF,证明△BCF≌DCE,得到BF=DE,∠CBF=∠CDE,结合对顶角相等,即可得到BF⊥DE;(2)由菱形的性质,旋转的性质,先证明ΔBCF≌ΔDCE,即可得到结论成立;(3)①由矩形的性质,直角三角形的性质,先证明ΔBCF∽ΔDCE,得到BF与DE的数量关系,再由余角的性质证明位置关系即可;②连接BD,先求出矩形的边长,直角三角形的边长,与(1)同理先证明BF⊥DE,然后利用勾股定理,等量代换,即可得到DF2+BE2=500.【详解】解:(1)如图:∵正方形ABCD和等腰Rt△CEF中,∴BC=CD,CE=CF,∠BCD=∠ECF=90°,∴∠BCD+∠DCF=∠ECF+∠DCF,即∠BCF=∠DCE,∴△BCF≌DCE,∴BF=DE,∠CBF=∠CDE,∵∠BGC=∠DGF,∴∠BCG=∠DFG=90°∴BF⊥DE.(2)证明:如图:∵∠BCD=∠FCE,∴∠BCF=∠DCE,∵四边形ABCD为菱形∴BC=CD,又∵CE=CF∴△BCF≌△DCE(SAS),∴BF=DE;(3)①∵在矩形ABCD中,∠BCD=90°,∴∠BCD=∠FCE∴∠BCF=∠DCE,又∵CECF=CDBC=34∴△BCF∽△DCE,∴DEBF=CECF=34;∴∠CBF=∠CDE,设CD与BF交于点G∵∠BGC=∠DGF∴180°-∠CBF-∠BGC=180°-∠CDE-∠DGF,∴∠DQB=∠BCD=90°∴DE⊥BF.②如图:连接BD在矩形ABCD中,CD=AB=12,∵CE=6,6CF =12BC=34,∴CF=8,BC=16,∵△BCF∽△DCE,∴∠CBF=∠CDE,∵∠BGC=∠DGF,∴∠BCG=∠DQG=90°,∴BF⊥DE;在直角△BCD中,有BD2=BC2+CD2=162+122=400,在直角△BDQ中,BD2=BQ2+DQ2=400;在直角△CEF中,EF2=CE2+CF2=62+82=100,在直角△EFQ中,EF2=EQ2+FQ2=100;∴BQ2+DQ2+EQ2+FQ2=400+100=500;在直角△BEQ和直角△DFQ中,由勾股定理,则∵BQ2+EQ2=BE2,DQ2+FQ2=DF2,∴DF2+BE2=BQ2+DQ2+EQ2+FQ2=500;故答案为:500.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,旋转的性质,勾股定理,以及等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确的作出辅助线,找到证明三角形相似和三角形全等的条件进行解题.7(2023春·广东·九年级专题练习)已知在△ABC中,O为BC边的中点,连接AO,将△AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角),得到△EOF,连接AE,CF.(1)如图1,当∠BAC=90°且AB=AC时,则AE与CF满足的数量关系是;(2)如图2,当∠BAC =90°且AB≠AC时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;(3)如图3,延长AO到点D,使OD=OA,连接DE,当AO=CF=5,BC=6时,求DE的长.【答案】(1)AE=CF;(2)成立,证明见解析;(3)511 3【分析】(1)结论AE=CF.证明ΔAOE≅ΔCOF(SAS),可得结论.(2)结论成立.证明方法类似(1).(3)首先证明∠AED=90°,再利用相似三角形的性质求出AE,利用勾股定理求出DE即可.【详解】解:(1)结论:AE=CF.理由:如图1中,∵AB=AC,∠BAC=90°,OC=OB,∴OA=OC=OB,AO⊥BC,∵∠AOC=∠EOF=90°,∴∠AOE=∠COF,∵OA=OC,OE=OF,∴ΔAOE≅ΔCOF(SAS),∴AE=CF.(2)结论成立.理由:如图2中,∵∠BAC=90°,OC=OB,∴OA=OC=OB,∵∠AOC=∠EOF,∴∠AOE=∠COF,∵OA=OC,OE=OF,∴ΔAOE≅ΔCOF(SAS),∴AE=CF.(3)如图3中,由旋转的性质可知OE =OA ,∵OA =OD ,∴OE =OA =OD =5,∴∠AED =90°,∵OA =OE ,OC =OF ,∠AOE =∠COF ,∴OA OC =OE OF ,∴ΔAOE ∽ΔCOF ,∴AE CF =OA OC,∵CF =OA =5,∴AE 5=53,∴AE =253,∴DE =AD 2-AE 2=102-253 2=5113.【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了旋转变换,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题.课后专项训练1(2023秋·北京顺义·九年级校考期中)如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ABC =∠ADE =90°.连接BD ,CE .则BD CE的值为()A.12B.22C.2D.2【答案】B 【分析】由等腰直角三角形的性质可推出∠DAE =∠BAC =45°,AE =2AD ,AC =2AB ,从而可得出∠EAC =∠DAB ,AE AD =AC AB=2,证明△DAB ∽△EAC 即可得出结论.【详解】解:∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∴∠DAE =∠BAC =45°,AE =2AD ,AC =2AB ,∴∠EAC =∠DAB ,AE AD =AC AB =2,∴△DAB ∽△EAC ,∴BD CE =AD AE=22.故选B .【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质.掌握三角形相似的判定条件是解题关键.2(2023春·浙江金华·九年级校考期中)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,以AB ,AC 为边分别向外作正方形ABFG 和正方形ACDE ,CG 交AB 于点M ,BD 交AC 于点N .若GM CM =12,则CG BD=() A.12 B.34 C.255 D.13013【答案】D【分析】设AG =a =AB ,BC =2a ,由“AAS ”可证△ABC ≌△CHD ,可得AB =CH =a ,DH =BC =2a ,利用勾股定理分别求出CG ,BD 的长,即可求解.【详解】解:如图,过点D 作DP ⊥BC ,交AC 的延长线于点P,交BC 的延长线于点H ,∵AG ∥BF ,∴△AGM ∽△BCM ,∴AG BC =GM CM=12,∴设AG =a =AB ,BC =2a ,∴CG =GF 2+FC 2=a 2+(3a )2=10a ,∵DH ⊥BC ,AB ⊥BC ,∴∠DHC =∠ABC =∠ACD =90°,AB ∥DH ,∴∠DCH +∠ACB =90°=∠ACB +∠BAC ,∴∠DCH =∠BAC ,在△ABC 和△CHD 中,∠ABC =∠DHC ∠BAC =∠DCH AC =CD,∴△ABC ≌△CHD (AAS ),∴AB =CH =a ,DH =BC =2a ,∴BD =BH 2+DH 2=(3a )2+(2a )2=13a ,∴CG BD =10a 13a =13013.故选:D .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键.3(2023春·浙江丽水·九年级专题练习)如图,在△ABC 中,过点C 作CD ⊥AB ,垂足为点D ,过点D 分别作DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E ,F .连接EF 交线段CD 于点O ,若CO =22,CD =32,则EO ⋅FO 的值为( ).A.63B.4C.56D.6【答案】B【分析】由题意易得出∠DEC=∠DFC=90°,即说明点C,E,D,F四点共圆,得出∠DEO=∠FCO,从而易证△DOE∽△FOC,得出EOCO=DOFO.由题意可求出DO=CD-CO=2,即可求出EO⋅FO=CO⋅DO=4.【详解】解:∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°,∴点C,E,D,F四点共圆,∴∠DEF=∠FCD,即∠DEO=∠FCO.又∵∠DOE=∠FOC,∴△DOE∽△FOC,∴EOCO=DOFO,∴EO⋅FO=CO⋅DO.∵CO=22,CD=32,∴DO=CD-CO=2,∴EO⋅FO=CO⋅DO=22×2=4.故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,四点共圆的知识,圆周角定理.确定点C,E,D,F四点共圆,从而可得出证明△DOE∽△FOC的条件是解题关键.4(2022·广西梧州·统考一模)如图,在△ABC中,∠C=45°,将△ABC绕着点B逆时针方向旋转,使点C的对应点C′落在CA的延长线上,得到△A′BC′,连接AA′,交BC′于点O.下列结论:①∠AC′A′= 90°;②AA′=BC′;③∠A′BC′=∠A′AC′;④△A′OC′∽△BOA.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用旋转的性质和等腰三角形的性质推出∠AC A =90°,即可判断①的正确性;通过点A 、B、A、C 四点共圆可以判断出②③④的正确性.【详解】解:由题意可得:BC=BC ,∠C=∠A C B∵∠C=45°∴∠BC A=45°∵∠AC A =∠A C B+∠BC A∴∠AC A =90°,故①正确;∵∠BC A=∠C=45°∴∠C BC=90°∵∠ABC=∠A BC ∴∠A BA=90°∴∠A BA+∠AC A =180°,∠C AB+∠C A B=180°∴点A 、B、A、C 四点共圆∵∠AC A =90°,∠BAC ≠90°∴A A是直径,BC 不是直径∴A A≠BC ,故②错误;∵点A 、B、A、C 四点共圆∴∠A BC =∠A AC ,故③正确;∵点A 、B、A、C 四点共圆∴∠AA C =∠ABC ,∠A C B=∠A AB∴△A OC ∽△BOA,故④正确;∴正确结论的个数是3个故选C.【点睛】本题考查了图形的旋转、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理的推论以及相似的判定等知识点,灵活运用这些知识点是解题的关键.5(2023·广东深圳·校联考模拟预测)如图,已知▱ABCD ,AB =3,AD =8,将▱ABCD 绕点A 顺时针旋转得到▱AEFG ,且点G 落在对角线AC 上,延长AB 交EF 于点H ,则FH 的长为.【答案】558【分析】先利用平行四边形的性质得到CD =AB =3,BC =AD =8,∠D =∠ABC ,再根据旋转的性质得到∠DAG =∠BAE ,AE =AB =3,EF =BC =8,∠E =∠ABC ,接着证明△ADC ∽△AEH ,然后利用相似比求出EH ,从而得到FH 的长.【详解】解:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴CD =AB =3,BC =AD =8,∠D =∠ABC ,∵将▱ABCD 绕点A 顺时针旋转得到▱AEFG ,且点G 落在对角线AC 上,∴∠DAG =∠BAE ,AE =AB =3,EF =BC =8,∠E =∠ABC ,∴∠E =∠D ,∵∠DAC =∠HAE ,∴△ADC ∽△AEH ,∴AD AE =DC EH ,∴83=3EH ,∴EH =98,∴FH =EF -EH =8-98=558,故答案为:558.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,旋转、三角形相似的判定利用三角形相似比求线段的长,根据旋转的性质得到∠DAG =∠BAE ,然后根据两组对应角分别相等的两三角形相似得出AD AE=DC EH 是本题的关键.6(2022·安徽·模拟预测)如图,将边长为3的菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转到菱形AB C D 的位置,使点B 落在BC 上,B C 与CD 交于点E .若BB =1,则CE 的长为.【答案】34/0.75【分析】延长D D 交BC 的延长线于点M ,过点C 作CN ∥DM 交B C 于点N ,根据菱形的性质和旋转的性质证明△ABB ≌△ADD ≌△DCM ≌B C M ,求得C D =B C =2,CM =C M =1,再根据CN ∥DM ,得CN MC =B C B M ,CN DC=CE DE ,代入即可求解.【详解】解:如图,延长D D 交BC 的延长线于点M ,过点C 作CN ∥DN 交B C 于点N ,∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD=3,∠B=∠ADC=∠D ,AB∥CD∴∠DCM=∠B由旋转的性质得:AB =AB=3,AD =AD=3,∠BAB =∠DAD =∠MB C ,B C =D C =3,∠ADC=∠D ,∴△ABB ≌△ADD ∴DD =BB =1∴DC =D C -DD =2∵∠CDM+∠ADC=∠DAD +∠D ∴∠BAB =∠DAD =∠CDM∴△ABB ≌△DCM≌B C M,∴DM=AB =3,∠M=∠AB B∴C M=CM=3-2=1∵CN∥DM∴△B CN∽△B MC ∴CNMC =B CB M∵B C=BC-BB =2∴CN1=23∴CN=23∵CN∥DM∴△CNE∽△DC E∴CNDC =CEDE∴232=CE3-CE∴CE=34故答案为:34【点睛】本题考查菱形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,综合性较强,作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键.7(2021·湖南益阳·统考中考真题)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,tan∠ABC=32,将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB C ,连接BB ,CC ,则△CAC 与△BAB 的面积之比等于.【答案】9:4【分析】先根据正切三角函数的定义可得ACAB=32,再根据旋转的性质可得AB=AB,AC=AC ,∠BAB=∠CAC =α,从而可得ACAC =ABAB=1,然后根据相似三角形的判定可得△CAC ∼△BAB ,最后根据相似三角形的性质即可得.【详解】解:∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,tan∠ABC=32,∴ACAB=32,由旋转的性质得:AB=AB ,AC=AC ,∠BAB =∠CAC =α,∴ACAC=ABAB=1,在△CAC 和△BAB 中,ACAC=ABAB∠CAC =∠BAB,∴△CAC ∼△BAB ,∴S△CACS△BAB=ACAB2=94,即△CAC 与△BAB 的面积之比等于9:4,故答案为:9:4.【点睛】本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.8(2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习)如图,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°.(1)求证:△ACD∽△BCE;(2)若AC=3,AE=8,求AD.【答案】(1)见详解(2)AD=103 3【分析】(1)根据30°的正切值得ACBC=DCEC,即可证明相似.(2)先证明∠BAE=90°,进而求出BE=10,再根据△ACD∽△BCE得出ADBE=ACBC=DCEC=33,即可求出AD=33BE=1033.【详解】(1)∵∠ACB=∠DCE=90°∴∠ACD=∠BCE∵∠ABC=∠CED=∠CAE=30°∴tan∠ABC=ACBC =33,tan∠CED=DCEC=33∴AC BC =DCEC∴△ACD∽△BCE(2)∵由(1),△ACD∽△BCE∴ADBE =ACBC=DCEC=33∵∠ABC=∠CED=∠CAE=30°∴∠BAC=60°∴∠BAE=90°∵AC=3,∠ABC=30°∴AB=2AC=6∵AE=8∴BE=10∴AD=33BE=1033【点睛】本题考查相似三角形的判定、特殊角三角函数值及勾股定理,根据特殊角得出对应线段成比例是解题关键.9(2023·安徽滁州·九年级校考阶段练习)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P、M.求证:(1)△BAE∽△CAD;(2)MP⋅MD=MA⋅ME.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得AC=2AB,AD=2AE,∠BAE=∠CAD=135°,即可证△BAE∽△CAD;(2)由△BAE∽△CAD可得∠BEA=∠CDA,即可证△PME∽△AMD,可得MP⋅MD=MA⋅ME.【详解】(1)证明:∵等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ,∴AB =BC ,AE =DE ,∠BAC =∠DAE =45°,∴AC =2AB ,AD =2AE ,∠BAE =∠CAD =135°,∴AC AB =AD AE=2,∴△BAE ∽△CAD ,(2)∵△BAE ∽△CAD ,∴∠BEA =∠CDA ,且∠PME =∠AMD ,∴△PME ∽△AMD ,∴ME MD =MP AM,∴MP ⋅MD =MA ⋅ME .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质,勾股定理的应用,熟练运用相似三角形的判定是本题的关键.10(2023秋·湖北孝感·九年级校联考阶段练习)问题背景:如图1,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,将△CAE 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBF ,AD 的延长线交BF 于点P .问题探究:(1)当点P 在线段BF 上时,证明EP +FP =2BP .①先将问题特殊化,如图2,当CE ⊥AD 时,证明:EP +FP =2BP ;②再探究一般情形,如图1,当CE 不垂直AD 时,证明:EP +FP =2BP ;拓展探究:(2)如图3,若AD 的延长线交BF 的延长线于点P 时,直接写出一个等式,表示EP ,FP ,BP 之间的数量关系.【答案】(1)①见解析,②见解析(2)EP -FP =2PB【分析】①结论:PE +PF =2PB .根据旋转的性质△ACE ≌△BCF ,再证明四边形CEPF 是正方形,可得结论.②结论不变,如图2中,过点C 作CG ⊥AD 于点G ,过点C 作CH ⊥BF 交BF 的延长线于点H .证明△CHF ≌△CGE ,可以推出FH =EG ,再利用正方形的性质解决问题即可.(2)结论:EP -FP =2PB ,证明方法类似②.【详解】(1)①证明:∵CE ⊥AD ,∴∠AEC =∠PEC =90°,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =AB ,∵将△CAE 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBF ,∴△ACE ≌△BCF ,CF =CE ,∠ECF =90°,∠BFC =∠AEC =90°,∴∠BFC =∠ECF =∠PEC =90°,∴四边形CEPF 是矩形,∵CE =CF ,∴四边形CEPF 是正方形,∴CE =EP =FP =CF ,∠EPF =90°,∴∠BPD =90°=∠CED ,∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线,∴BD =CD =12BC ,在△CED 和△BPD 中,∴∠CED =∠BPD∠CDE =∠BDP CD =BD,∴△CED ≌△BPD (AAS ),∴CE =BP ,∴BP =EP =CE =FP ,∴EP +FP =2BP②结论成立,证明:过点C 作CG ⊥AD 于点G ,过点C 作CH ⊥BF 交BF 的延长线于点H .则∠CGE =∠CGD =∠CHF =90°.由旋转性质可知,△CBF≌△CAE,∴CF=CE,∠CFB=∠CEA,∠ACE=∠BCF,∵∠CFH=180°-∠CFB,∠CEG=180°-∠CEA,∴∠CFH=∠CEG,∴△CHF≌△CGE,∴∠FCH=∠ECG,CH=CG,FH=EG.∴∠FCH+∠BCF+∠DCG=∠ECG+∠ACF+∠DCG=90°.∴∠HCG=90°.∴四边形CGPH是正方形.∴CG=GP=PH,∴EP+FP=GP+PH=2CG.∵CD=BD,∠CGD=∠BPD=90°,∠CDG=∠BDP,∴△CDG≌△BDP.∴CG=BP.∴EP+FP=2PB.(2)解:EP-FP=2PB.理由:如下图所示,过C作CN∥BP交AP于点N,CM∥DP交BP的延长线于点M,则四边形CNPM是平行四边形,△BPD∽△BMC,∴CN=PM,CM=PN,BPBM =BDBC=12,∴BM=2BP,∴PM=BP,∵∠APB=90°,∴∠NPM=90°,∴四边形CNPM是矩形,∴∠M=∠CNE=∠CNP=90°,在△CFM和△CEN中,∠H=∠CNE=90°∠CFH=∠CEN CF=CE,∴△CFM≌△CEN(AAS),∴CM=CN,FM=EN,∴四边形CNPM是正方形,∴PM=CN=PN,∴EP-FP=PN+EN-FP=PN+FM-FP=PN +PM=2PM,∴EP-FP=2BP.【点睛】本题属于几何变换综合题,考查相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,正方形的判定和性质等知识,解题关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考压轴题.11(2022·河南·九年级专题练习)规定:有一角重合,且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”,如图,四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形.(1)问题联想:如图①,嵌套四边形ABCD,AMPN都是正方形,现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N',连接BM',DN'交于点O,则BM'与DN'的数量关系为,位置关系为;(2)类比探究:如图②,将(1)中的正方形换成菱形,∠BAD=∠MAN=60,其他条件不变,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请给出正确的结论,并说明理由;(3)拓展延伸:如图3,将(1)中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形,旋转角换成α(90°<α<180°),其他条件不变,请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系.【答案】(1)BM =DN ,BM ⊥DN ;(2)BM =DN 成立,BM ⊥DN 不成立,BM 与DN 相交,且夹角为60°.理由见解析;(3)BM =2DN ,BM ⊥DN .【分析】(1)根据SAS证明△ABM'≌△AND',进而得到BM =DN ,∠ABM'=∠ADN',再利用三角形内角和可推出∠BOD=90°,即BM ⊥DN ;(2)根据旋转和菱形的性质证明ΔABM ≌ΔADN ,再推出∠BOD=∠BAD=60°,故可求解;(3)根据旋转和矩形的性质证明ΔABM ∼ΔADN ,得到BM =2DN ,再推出∠BOD=∠BAD=90°即可求解.【详解】(1)如图设AB,DN 交于点H,,∵四边形ABCD,AMPN都是正方形,把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N',∴AB=AD,AM'=AD', ∠BAM =∠DAN =150°∴△ABM'≌△AND',∴BM =DN ,∠ABM'=∠ADN',∵∠ADN'+∠DHA+∠DAH=180°,∠ABM'+∠BHO+∠BOD=180°,又∠DHA=∠BHO∴∠BOD=∠BAD=90°,即BM ⊥DN 故答案为:BM =DN ,BM ⊥DN ;(2)BM =DN 成立,BM ⊥DN 不成立,BM 与DN 相交,且夹角为60°.理由:设AB,DN 交于点E,由旋转的性质可得∠BAM =∠DAN =150°.∵四边形ABCD,AM P N 都是菱形,∴AB=AD,AM =AN ,∴ΔABM ≌ΔADN ,∴BM =DN ,∠ABM =∠ADN .。
模型探究相似三角形考查范围广,综合性强,其模型种类多,其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解,这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型(平行)反A字型(不平行)模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型(A字型及X字型两者相结合)模型四、共边角相似模型(子母型)模型五、手拉手相似模型考点一、A 字相似模型【例1】.如图,在△ABC 中,∠A =78°,AB =4,AC =6,将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A .B .C .D .➢变式训练 【变式1-1】.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,AH ⊥BC 于点H ,与DE 交于点G .若,则= .例题精讲【变式1-2】.如图,在△ABC中,M是AC的中点,E是AB上一点,AE=AB,连接EM 并延长,交BC的延长线于D,则=__________.【变式1-3】.如图,在△ABC中,点D在边AB上,AD=9,BD=7.AC=12.△ABC的角平分线AE交CD于点F.(1)求证:△ACD∽△ABC;(2)若AF=8,求AE的长度.考点二、8字与反8字相似模型【例2】.如图,AG∥BD,AF:FB=1:2,BC:CD=2:1,求的值➢变式训练【变式2-1】.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE、FD分别交BC于点G、H,则下列结论中错误的是()A.B.C.D.【变式2-2】.如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD的中点,连接AC,BE交于点F.若△AEF的面积为2,则△ABC的面积为()A.8B.10C.12D.14【变式2-3】.如图,锐角三角形ABC中,∠A=60°,BE⊥AC于E,CD⊥AB于D,则DE:BC=.考点三、AX型相似模型(A字型及X字型两者相结合)【例3】.如图,在△ABC中,点D和E分别是边AB和AC的中点,连接DE,DC与BE交于点O,若△DOE的面积为1,则△ABC的面积为()A.6B.9C.12D.13.5➢变式训练【变式3-1】.如图,DE是△ABC的中位线,F为DE中点,连接AF并延长交BC于点G,若S△EFG=1,则S△ABC=.【变式3-2】.如图:AD∥EG∥BC,EG交DB于点F,已知AD=6,BC=8,AE=6,EF =2.(1)求EB的长;(2)求FG的长.【变式3-3】.如图,已知AB∥CD,AC与BD相交于点E,点F在线段BC上,,.(1)求证:AB∥EF;(2)求S△ABE:S△EBC:S△ECD.模型四、子母型相似模型【例4】.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且∠APB=120°,求证:(1)△ACP∽△PDB,(2)CD2=AC•BD.➢变式训练【变式4-1】.如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是()A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C.D.【变式4-2】.如图,在△ABC中,点D在AC边上,连接BD,若∠ABC+∠BDC=180°,AD=2,CD=4,则AB的长为()A.3B.4C.D.2【变式4-3】.如图,边长为4的正方形,内切圆记为圆O,P为圆O上一动点,则P A+PB 的最小值为.模型五、手拉手相似模型【例5】.如图,△ABC与△DEF均为等边三角形,O为BC、EF的中点,则AD:BE的值为.➢变式训练【变式5-1】.如图,在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE.求证:(1)△BAC∽△DAE;(2)△BAD∽△CAE.【变式5-2】.如图,点D是△ABC内一点,且∠BDC=90°,AB=2,AC=,∠BAD=∠CBD=30°,AD=.【变式5-3】.如图,在四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k为常数),则BD的长为.(用含k的式子表示)实战演练1.如图,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式中错误的是()A.=B.C.D.2.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACD=90°,AB=2,DC=3,则△ABC与△DCA的面积比为()A.2:3B.2:5C.4:9D.:3.如图,菱形ABCD中,E点在BC上,F点在CD上,G点、H点在AD上,且AE∥HC ∥GF.若AH=8,HG=5,GD=4,则下列选项中的线段,何者长度最长?()A.CF B.FD C.BE D.EC4.如图,在△ABC中,BC=6,E,F分别是AB,AC的中点,动点P在射线EF上,BP 交CE于点D,∠CBP的平分线交CE于点Q,当CQ=CE时,EP+BP的值为()A.6B.9C.12D.185.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=2,AD=2,将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C,当A′B′恰好经过点D时,△B′CD为等腰三角形,若BB′=2,则AA′等于()A.B.2C.D.6.如图,已知,△ABC中边AB上一点P,且∠ACP=∠B,AC=4,AP=2,则BP=.7.如图,在▱ABCD中,AC、BD相交于点O,点E是OA的中点,联结BE并延长交AD 于点F,如果△AEF的面积是4,那么△BCE的面积是.8.如图,在△ABC中,点G为ABC的重心,过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E,过点D作DF∥BC交AC于点F,如果DF=4,那么BE的长为.9.如图,已知Rt△ABC中,两条直角边AB=3,BC=4,将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE,并且点A落在DE边上,则sin∠ABE=.10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=6,AD平分∠BAC,交边BC于点D,过点D作CA的平行线,交边AB于点E.(1)求线段DE的长;(2)取线段AD的中点M,联结BM,交线段DE于点F,延长线段BM交边AC于点G,求的值.11.如图,在菱形ABCD中,∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F,DF交对角线AC 于点M,且∠ADE=∠CDF.(1)求证:CE=AF;(2)连接ME,若=,AF=2,求ME的长.12.[问题背景](1)如图①,已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE.[尝试应用](2)如图②,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,=,①填空:=;②求的值.13.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,AE、AF分别交BD于点M、N,连接EN、EF.(1)求证:△ABN∽△MBE;(2)求证:BM2+ND2=MN2;(3)①求△CEF的周长;②若点G、F分别是EF、CD的中点,连接NG,则NG的长为.14.问题背景如图(1),已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE;尝试应用如图(2),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,=,求的值;拓展创新如图(3),D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB =4,AC=2,直接写出AD的长.15.如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG=DE及所在直线的位置关系BG⊥DE;②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2,如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断;(2)将原题中正方形改为矩形(如图4﹣6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(a ≠b,k>0),则线段BG、线段DE的数量关系=及所在直线的位置关系BG ⊥DE;(3)在第(2)题图5中,连接DG、BE,且a=4,b=3,k=,直接写出BE2+DG2的值为.。
初中数学几何模型(六)相似三角形模型(一)相似三角形的五大模型:1、A字型与反A字型2、8字型与反8字型3、共角共边母子型相似模型(含射影定理)4、一线三等角相似模型5、旋转相似模型(二)相似拓展模型1、对角互补相似:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,点O 是AB 的中点,若∠EOF=90°,求证:OE OF=BC AC。
证明:连接OC 、EF ,∵∠ACB=90°,∠EOF=90°,∴C 、E 、O 、F 四点共圆,∴∠1=∠2; ∵点O 是AB 的中点,∴OC=OA=OB=12AB ,∴∠A=∠1,∴∠A=∠2,∵∠EOF=∠ACB=90°, ∴△EOF ∽△BCA , ∴OE OF=BC AC。
变式一:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,点O 是AB 的中点,若∠EOF=90°,EM ⊥AB ,FN ⊥AB ,垂足分别是M 、N 。
求证:AM=ON 。
证明:连接OC 、EF 。
∵∠A=∠2,∠AME=∠FOE=90°,∴△EMA ∽△EOF ,∴ME AM=OE OF,易证:△EMO ∽△ONF ,(一线三等角)∴OE OF=ME OM,∴ME AM=ME OM, ∴AM=ON 。
变式二:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,点O 是AB 的中点,若∠EOF=90°,连接EF ,探究AE 、EF 、BF 的数量关系。
(倍长类中线)2、倒数相似(三平行) 如图,AB//EF//CD ,求证:1AB+1CD=1EF。
证明:∵EF//AB ,∴EF AB=DF BD①,∵EF//CD ,∴EF CD=BFBD②,由①+②,得:EF AB +EF CD=DF BD +BF BD=DF+BF BD=BD BD =1,两边同时除以EF ,得:1AB+1CD=1EF。
3、以等腰三角形(含等边三角形)为背景的一线三等角。
重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练中考数学中《相似三角形模型及其综合题综合训练》部分主要考向分为五类:一、K型相似二、8字图相似三、A字图相似四、母子型相似五、手拉手相似相似三角形的综合题中各种相似模型的掌握是解决对应压轴题的便捷方法,所以本专题是专门针对相似三角形模型压轴题的,对提高类型的学生可以自主训练。
考向一:K型相似1.(2023•锡山区校级四模)如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=8.点P在AD上运动(点P不与点A、D重合)将△ABP沿直线翻折,使得点A落在矩形内的点M处(包括矩形边界),则AP的取值范围是,连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G,当∠ABM=2∠ADG时,AP的长是.2.(2023•福田区模拟)综合与探究在矩形ABCD的CD边上取一点E,将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上的点F处.(1)如图①,若BC=2BA,求∠CBE的度数;(2)如图②,当AB=5,且AF•FD=10时,求EF的长;(3)如图③,延长EF,与∠ABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时,请直接写出的值.3.(2023•桐柏县一模)【初步探究】(1)把矩形纸片ABCD如图①折叠,当点B的对应点B'在MN的中点时,填空:△EB'M△B'AN (“≌”或“∽”).【类比探究】(2)如图②,当点B的对应点B'为MN上的任意一点时,请判断(1)中结论是否成立?如果成立,请写出证明过程;如果不成立,请说明理由.【问题解决】(3)在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC中点,点P为线段AB上一个动点,连接EP,将△BPE沿PE折叠得到△B'PE,连接DE,DB',当△EB'D为直角三角形时,BP的长为.考向二:8字图相似1.(2023•海州区校级二模)“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多……【问题提出】(1)如图①,PC是△P AB的角平分线,求证:.小明思路:关联“平行线、等腰三角形”,过点B作BD∥P A,交PC的延长线于点D,利用“三角形相似”.小红思路:关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”,过点C分别作CD⊥P A交P A于点D,作CE⊥PB交PB于点E,利用“等面积法”.请根据小明或小红的思路,选择一种并完成证明.【理解应用】(2)如图②,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是边BC上一点.连接AD,将△ACD沿AD所在直线折叠,使点C恰好落在边AB上的E点处,落AC=1,AB=2,则DE的长为.【深度思考】(3)如图③,△ABC中,AB=6,AC=4,AD为∠BAC的角平分线.AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F,连接AF,当BD=3时,AF的长为.【拓展升华】(4)如图④,PC是△P AB的角平分线,若AC=3,BC=1,则△P AB的面积最大值是.2.(2023•衢州二模)如图1,在正方形ABCD中,点E在线段BC上,连接AE,将△ABE沿着AE折叠得到△AFE,延长EF交CD于点G.(1)求证:DG=FG;(2)如图2,当点E是BC中点时,求tan∠CGE的值;(3)如图3,当时,连接CF并延长交AB于点H,求的值.考向三:A字图相似1.(2023•宿城区一模)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处,再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处,延长CD交AC′于点M,则DM的长为.2.(2023•沙坪坝区校级模拟)如图,△ABC中,D在AB上,E在BC上,∠AED=∠ABC,F在AE上,EF=DE.(1)如图1,若CE=BD,求证:BE=CF;(2)如图2,若CE=AD,G在DE上,∠EFG=∠EFC,求证:CF=2GF;(3)如图3,若CE=AD,EF=2,∠ABC=30°,当△CEF周长最小时,请直接写出△BCF的面积.3.(2023•中山区模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+4与x轴,y轴分别交于点A、B,点P为射线AO上的一个动点,过点P作PQ⊥AB于点Q,将沿PQ翻折得到R.设△PQR与△AOB重合部分的面积为S,点P的坐标为(m,0).(1)求AR的长.(用含m的代数式表示)(2)求S关于m的函数解析式,并直接写出自变量m的取值范围.考向四:母子型相似1.(2023•樊城区模拟)【基础巩固】(1)如图1,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD=∠B.求证:AC2=AD•AB.【尝试应用】(2)如图2,在▱ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,∠BFE=∠A.若BF =6,AD=9,求CE的长.【拓展提高】(3)如图3,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是△ABC内一点,EF∥AC,AC=2EF,连接DE、DF分别交AC于M,N,∠EDF=∠BAD,DF=AE,若MN=18,求EF的值.2.(2023•润州区二模)如图1,在△ABC中,点D在边AB上,点P在边AC上,若满足∠BPD=∠BAC,则称点P是点D的“和谐点”.(1)如图2,∠BDP+∠BPC=180°.①求证:点P是点D的“和谐点”;②在边AC上还存在某一点Q(不与点P重合),使得点Q也是点D的“和谐点”,请在图2中仅用圆规作图,找出点Q的位置,并写出证明过程.(保留作图痕迹)(2)如图3,以点A为原点,AB为x轴正方向建立平面直角坐标系,已知点B(6,0),C(2,4),点P在线段AC上,且点P是点D的“和谐点”.①若AD=1,求出点P的坐标;②若满足条件的点P恰有2个,直接写出AD长的取值范围是.考向五:手拉手相似1.(2023•宝安区校级三模)【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点,且DE∥BC,则△ABC∽△ADE,把△ADE绕着A逆时针方向旋转,连接BD和CE.①如图2,找出图中的另外一组相似三角形;②若AB=4,AC=3,BD=2,则CE=;【迁移应用】在Rt△ACB中,∠BAC=90°,∠C=60°,D、E,M分别是AB、AC、BC中点,连接DE和CM.①如图3,写出CE和BD的数量关系;②如图4,把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转,当D落在AM上时,连接CD和CE,取CD中点N,连接MN,若,求MN的长.【创新应用】如图5:,BC=4,△ADE是直角三角形,∠DAE=90°,tan∠ADE=2,将△ADE绕着点A旋转,连接BE,F是BE上一点,,连接CF,请直接写出CF的取值范围.2.(2023•东港市二模)(1)问题发现:如图1,已知正方形ABCD,点E为对角线AC上一动点,将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处,得到△BEF,连接CF.填空:①=;②∠ACF的度数为;(2)类比探究:如图2,在矩形ABCD和Rt△BEF中,∠EBF=90°,∠ACB=∠EFB=60°,连接CF,请分别求出的值及∠ACF的度数;(3)拓展延伸:如图3,在(2)的条件下,将点E改为直线AC上一动点,其余条件不变,取线段EF 的中点M,连接BM,CM,若,则当△CBM是直角三角形时,请直接写出线段CF的长.3.(2023•晋中模拟)综合与实践问题情境:(1)如图1,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE.如图2,将△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转15°得到△AB'C',连接B′D,C′E,求证:B′D=C′E.深入研究:(2)①如图3,在正方形ABCD和正方形CEFG中,已知点B,C,E在同一直线上,连接DE,AF,交于点P,求AF:DE的值;②如图4,若将正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转一定角度,AF:DE的值变化吗?请说明理由.拓展应用:(3)如图5,若把正方形ABCD和正方形CEFG分别换成矩形ABCD和矩形CEFG,且AD:AB=CG:CE=k,请直接写出此时AF:DE的值.(建议用时:150分钟)1.(2023•菏泽)(1)如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE⊥DF,垂足为点G.求证:△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证:∠ADF=∠H.【类比迁移】(3)如图3,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,求CF的长.2.(2023•济南)在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E在边BC上,将射线AE绕点A逆时针旋转90°,交CD延长线于点G,以线段AE,AG为邻边作矩形AEFG.(1)如图1,连接BD,求∠BDC的度数和的值;(2)如图2,当点F在射线BD上时,求线段BE的长;(3)如图3,当EA=EC时,在平面内有一动点P,满足PE=EF,连接P A,PC,求P A+PC的最小值.3.(2023•武汉)问题提出如图(1),E是菱形ABCD边BC上一点,△AEF是等腰三角形,AE=EF,∠AEF=∠ABC=α(α≥90°),AF交CD于点G,探究∠GCF与α的数量关系.问题探究(1)先将问题特殊化,如图(2),当α=90°时,直接写出∠GCF的大小;(2)再探究一般情形,如图(1),求∠GCF与α的数量关系.问题拓展将图(1)特殊化,如图(3),当α=120°时,若,求的值.4.(2023•内蒙古)已知正方形ABCD,E是对角线AC上一点.(1)如图1,连接BE,DE.求证:△ABE≌△ADE;(2)如图2,F是DE延长线上一点,DF交AB于点G,BF⊥BE.判断△FBG的形状并说明理由;(3)在第(2)题的条件下,BE=BF=2.求的值.5.(2023•湖州)【特例感知】(1)如图1,在正方形ABCD中,点P在边AB的延长线上,连结PD,过点D作DM⊥PD,交BC的延长线于点M.求证:△DAP≌△DCM.【变式求异】(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D在边AB上,过点D作DQ⊥AB,交AC于点Q,点P在边AB的延长线上,连结PQ,过点Q作QM⊥PQ,交射线BC于点M.已知BC=8,AC=10,AD =2DB,求的值.【拓展应用】(3)如图3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点P在边AB的延长线上,点Q在边AC上(不与点A,C重合),连结PQ,以Q为顶点作∠PQM=∠PBC,∠PQM的边QM交射线BC于点M.若AC=mAB,CQ=nAC(m,n是常数),求的值(用含m,n的代数式表示).6.(2023•鞍山)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D是射线BC上的动点(不与点B,C重合),连接AD,过点D在AD左侧作DE⊥AD,使AD=kDE,连接AE,点F,G分别是AE,BD的中点,连接DF,FG,BE.(1)如图1,点D在线段BC上,且点D不是BC的中点,当α=90°,k=1时,AB与BE的位置关系是,=.(2)如图2,点D在线段BC上,当α=60°,k=时,求证:BC+CD=2FG.(3)当α=60°,k=时,直线CE与直线AB交于点N,若BC=6,CD=5,请直接写出线段CN的长.7.(2023•益阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,点D在边AC上,将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′,线段DA′交AB于点E,作A′F⊥AB于点F,与线段AC交于点G,连接FC,GB.(1)求证:△ADE≌△A′DG;(2)求证:AF•GB=AG•FC;(3)若AC=8,tan A=,当A′G平分四边形DCBE的面积时,求AD的长.8.(2023•福建)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点.AO ⊥BC于点O,交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,FD,CA的延长线相交于点M.(1)求证:△ADE∽△FMC;(2)求∠ABF的度数;(3)若N是AF的中点,如图2,求证:ND=NO.9.(2022•湖北)问题背景:一次数学综合实践活动课上,小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,已知AD是△ABC的角平分线,可证=.小慧的证明思路是:如图2,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,构造相似三角形来证明=.尝试证明:(1)请参照小慧提供的思路,利用图2证明:=;应用拓展:(2)如图3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是边BC上一点.连接AD,将△ACD沿AD所在直线折叠,点C恰好落在边AB上的E点处.①若AC=1,AB=2,求DE的长;②若BC=m,∠AED=α,求DE的长(用含m,α的式子表示).10.(2022•宁波)【基础巩固】(1)如图1,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,DE∥BC,BF=CF,AF交DE于点G,求证:DG=EG.【尝试应用】(2)如图2,在(1)的条件下,连结CD,CG.若CG⊥DE,CD=6,AE=3,求的值.【拓展提高】(3)如图3,在▱ABCD中,∠ADC=45°,AC与BD交于点O,E为AO上一点,EG∥BD交AD于点G,EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10,求BF的长.11.(2023•广州)如图,AC是菱形ABCD的对角线.(1)尺规作图:将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点B旋转后的对应点为D(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)所作的图中,连接BD,CE.①求证:△ABD~△ACE;②若tan∠BAC=,求cos∠DCE的值.。
专题19相似三角形重要模型之(双)A 字型与(双)8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容,常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,是中考的常考题型。
本专题重点讲解相似三角形的(双)A 字模型和(双)8(X )字模型.A 字型和8(X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型,有的是直接作平行线,有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线),这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1.“A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形(通常只有一个公共顶点)的两个三角形有一个“公共角”(是对应角),再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例,就可以判定这两个三角形相似.图1图2图31)“A ”字模型条件:如图1,DE ∥BC ;结论:△ADE ∽△ABC ⇔AD AB =AE AC =DE BC .2)反“A ”字模型条件:如图2,∠AE D =∠B ;结论:△ADE ∽△ACB ⇔AD AC =AE AB =DE BC .3)同向双“A ”字模型条件:如图3,EF ∥BC ;结论:△AEF ∽△ABC ,△AEG ∽△ABD ,△AGF ∽△ADC ⇔EG FG AG BD CD AD∵四边形ABCD 是菱形,8BD ,∴AB ∵1242ABCD S AC BD 菱形,∴6AC ∵BE BF CG AH ,∴AE CF 【答案】(1)见解析(2)AF FG 【分析】(1)证明AE AB例3.(2022·山东东营·中考真题)如图,在ABC 中,点F 、G 在BC 上,点E 、H 分别在AB 、AC 上,四边形EFGH 是矩形,2,EH EF AD 是ABC 的高.8,6BC AD ,那么EH 的长为____________.【答案】245##4.8例4.(2022·浙江宁波·中考真题)(1)如图1,在ABC 中,D ,E ,F 分别为,,AB AC BC 上的点,,,DE BC BF CF AF ∥交DE 于点G ,求证:DG EG .(2)如图2,在(1)的条件下,连接,CD CG .若,6,3 CG DE CD AE ,求DE BC的值.(3)如图3,在ABCD 中,45, ADC AC 与BD 交于点O ,E 为AO 上一点,EG BD ∥交AD 于点G , EF EG 交BC 于点F .若40, EGF FG 平分,10 EFC FG ,求BF 的长.【答案】(1)证明见详解(2)13(3)5 【分析】(1)利用∥DE BC ,证明,ADG ABF AEG ACF △△△△ ,利用相似比即可证明此问;(2)由(1)得DG EG ,CG DE ,得出DCE 是等腰三角形,利用三角形相似即可求出DE BC 的值;(3)遵循第(1)、(2)小问的思路,延长GE 交AB 于点M ,连接FM ,作MN BC ,垂足为N .构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形,求出BN 、FN 的值,即可得出BF 的长.(1)解:∵DE BC ∥,∴,ADG ABF AEG ACF △△△△ ,∴, DG AG EG AG BF AF CF AF ,∴DG EG BF CF.∵BF CF ,∴DG EG .(2)解:由(1)得DG EG ,∵CG DE ,∴6CE CD .∵3AE ,∴9AC AE CE .∵DE BC ∥,∴ADE ABC .∴13DE AE BC AC .(3)解:如图,延长GE 交AB 于点M ,连接FM ,作MN BC ,垂足为N .在ABCD 中,,45 BO DO ABC ADC .∵EG BD ∥,∴由(1)得 ME GE ,∵ EF EG ,∴10 FM FG ,∴ EFM EFG .∵40 EGF ,∴40EMF ,∴50EFG .∵FG 平分EFC ,∴50 EFG CFG ,∴18030 BFM EFM EFG CFG .∴.在Rt FMN 中,sin 305,cos30 MN FM FN FM∵45, MBN MN BN ,∴5 BN MN ,∴5 BF BN FN 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识,遵循构第(1)、(2)小问的思路,构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键.例5.(2023•安庆一模)如图,在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、CA 上,且DE ∥CA ,DF ∥AB .(1)若点D 是边BC 的中点,且BE =CF ,求证:DE =DF ;(2)若AD ⊥BC 于D ,且BD =CD ,求证:四边形AEDF 是菱形;(3)若AE =AF =1,求+的值.【分析】(1)根据中点和平行两个条件可得中点,从而可得DE 是△ABC 的中位线,进而可得DE =FC ,同理可得DF =BE ,即可解答;(2)根据已知易证四边形AEDF 是平行四边形,再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD =∠CAD ,然后利用平行线的性质可得∠EDA =∠CAD ,从而可得∠BAD =∠EDA ,进而可得EA =ED ,即可解答;(3)根据A 字模型相似三角形可知△BED ∽△BAC ,△CDF ∽△CBA ,从而可得=,=,然后把两个式子相加进行计算,即可解答.【解答】(1)证明:∵点D 是边BC 的中点,DE ∥CA ,∴点E 是AB 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE =AC ,∵点D 是边BC 的中点,DF ∥AB ,∴点F 是AC 的中点,∴FC =AC ,∴DE =FC ,同理可得:DF =BE ,∵BE =FC ,∴DE =DF ;(2)证明:∵DE ∥CA ,DF ∥AB ,∴四边形AEDF 是平行四边形,∵AD ⊥BC ,BD =CD ,∴AD 是BC 的垂直平分线,∴AB =AC ,∴∠BAD =∠CAD ,∵DE ∥AC ,∴∠EDA =∠CAD ,∴∠BAD =∠EDA ,∴EA =ED ,∴四边形AEDF 是菱形;(3)∵DE ∥CA ,∴∠EDB =∠C ,∵∠B =∠B ,∴△BED ∽△BAC ,∴=,∵DF ∥AB ,∴∠B =∠FDC ,∵∠C =∠C ,∴△CDF ∽△CBA ,∴=,∴+=+==1,∵四边形AEDF 是平行四边形,∴DE =AF ,DF =AE ,∵AE =AF =1,∴DE =DF =1,∴+=1,∴+的值为1.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,分式的化简求值,菱形的判定与性质,熟练掌握菱形的判定与性质,以及A 字模型相似三角形的关键.模型2.“X ”字模型(“8”模型)【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”,再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似.图1图2图3图41)“8”字模型条件:如图1,AB ∥CD ;结论:△AOB ∽△COD ⇔AB CD =OA OC =OB OD.2)反“8”字模型条件:如图2,∠A =∠D ;结论:△AOB ∽△DOC ⇔AB CD =OA OD =OB OC.3)平行双“8”字模型条件:如图3,AB ∥CD ;结论:AE BE AB DF CF CD4)斜双“8”字模型条件:如图4,∠1=∠2;结论:△AOD ∽△BOC ,△AOB ∽△DOC ⇔∠3=∠4.例1.(2022·辽宁·中考真题)如图,在正方形ABCD 中,E 为AD 的中点,连接BE 交AC 于点F .若6AB ,则AEF 的面积为___________.【答案】3【分析】由正方形的性质可知1113222AE AD AB BC,//AD BC ,则有AEF CBF ∽△△,然后可得12EF AE BF BC ,进而问题可求解.【详解】解:∵四边形ABCD 是正方形,6AB ,∴6AD BC AB ,//AD BC ,∴AEF CBF ∽△△,∴EF AE BF BC ,∵E 为AD 的中点,∴1113222AE AD AB BC,∴12EF AE BF BC ,192ABE S AE AB ,∴13EF BE ,∴133AEF ABE S S ;故答案为3.【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定,熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.例2.(2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习)如图,,AB CD AE FD ∥∥,AE ,FD 分别交BC 于点G ,H ,则下列结论中错误的是()A .DH CH FH BHB .GE CG DF CBC .AF HG CE CGD .=FH BF AG FA例3.(2021·上海·中考真题)如图,在梯形ABCD 中,//,90,,AD BC ABC AD CD O 是对角线AC 的中点,联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E .(1)当点E 在边CD 上时,①求证:DAC OBC ∽;②若BE CD ,求AD BC的值;(2)若2,3DE OE ,求CD 的长.例4.(2022·贵州铜仁·中考真题)如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,记COD △的面积为1S ,AOB 的面积为2S .(1)问题解决:如图①,若AB //CD ,求证:12 S OC OD S OA OB(2)探索推广:如图②,若AB 与CD 不平行,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展应用:如图③,在OA 上取一点E ,使OE OC ,过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ,点H 为AB 的中点,OH 交EF 于点G ,且2 OG GH ,若56OE OA ,求12S S 值.【答案】(1)见解析;(2)(1)中的结论成立,理由见解析:(3)2554【分析】(1)如图所示,过点D 作AE ⊥AC 于E ,过点B 作BF ⊥AC 于F ,求出sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠,∠,然后根据三角形面积公式求解即可;(2)同(1)求解即可;(3)如图所示,过点A 作AM EF ∥交OB 于M ,取BM 中点N ,连接HN ,先证明△OEF ≌△OCD ,得到OD =OF ,证明△OEF ∽△OAM ,得到5==6OF OE OM OA ,设55OE OC m OF OD n ,,则66OA m OM n ,,证明△OGF ∽△OHN ,推出31522n ON OF ,32n BN MN ON OM ,则9OB ON BN n ,由(2)结论求解即可.【详解】解:(1)如图所示,过点D 作AE ⊥AC 于E ,过点B 作BF ⊥AC 于F ,∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠,∠,∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE △∠,211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF △∠,∵∠DOE =∠BOF ,∴sin sin DOE BOF ;∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OB OA OB BOF ∠∠;(2)(1)中的结论成立,理由如下:如图所示,过点D 作AE ⊥AC 于E ,过点B 作BF ⊥AC 于F ,∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠,∠,∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE △∠,211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF △∠,∵∠DOE =∠BOF ,∴sin sin DOE BOF ;∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OB OA OB BOF ∠∠;(3)如图所示,过点A 作AM EF ∥交OB 于M ,取BM 中点N ,连接HN ,∵EF CD ∥,∴∠ODC =∠OFE ,∠OCD =∠OEF ,又∵OE =OC ,∴△OEF ≌△OCD (AAS ),∴OD =OF ,∵EF AM ∥,∴△OEF ∽△OAM ,∴5==6OF OE OM OA ,设55OE OC m OF OD n ,,则66OA m OM n ,,∵H 是AB 的中点,N 是BM 的中点,∴HN 是△ABM 的中位线,∴HN AM EF ∥∥,∴△OGF ∽△OHN ,∴OG OF OH ON ,∵OG =2GH ,∴23OG OH ,∴2=3OG OF OH ON ,∴31522n ON OF ,32n BN MN ON OM ,∴9OB ON BN n ,由(2)可知125525=6954S OC OD m n S OA OB m n .【点睛】本题主要考查了解直角三角形,相似三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,三角形中位线定理,正确作出辅助线是解题的关键.模型3.“AX ”字模型(“A 8”模型)【模型解读与图示】图1图2图31)一“A ”一“8”模型条件:如图1,DE ∥BC ;结论:△ADE ∽△ABC ,△DEF ∽△CBF ⇔AD AE DE DF FE AB AC BC FC BF 2)两“A ”一“8”模型条件:如图2,DE ∥AF ∥BC ;结论:111BC DE AF .3)四“A ”一“8”模型条件:如图3,DE ∥AF ∥BC,1111BC DE AF AG;结论:AF =AG 例1.(2022·山东东营·中考真题)如图,点D 为ABC 边AB 上任一点,DE BC ∥交AC 于点E ,连接BE CD 、相交于点F ,则下列等式中不成立...的是()A .AD AE DB EC B .DE DF BC FC C .DE AE BC ECD .EF AE BF AC【答案】C例2.(2021·江苏南京·中考真题)如图,AC 与BD 交于点O ,,OA OD ABO DCO ,E 为BC 延长线上一点,过点E 作//EF CD ,交BD 的延长线于点F .(1)求证AOB DOC △≌△;(2)若2,3,1AB BC CE ,求EF 的长.例3.(2022·重庆九年级期中)如图,AD 与BC 相交于点E ,点F 在BD 上,且AB ∥EF ∥CD ,求证:1AB +1CD =1EF .证明:∵AB ∥EF ,∴△DEF ∽△DAB ,∴EF AB =DF DB.又∵EF ∥CD ,∴△BEF ∽△BCD .∴EF CD =BF BD.∴EF AB +EF CD =DF DB +BF BD =BD BD =1.∴1AB +1CD =1EF.例4.(2022•安庆模拟)在四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O .(1)如图①,若四边形ABCD 为矩形,过点O 作OE ⊥BC ,求证:OE =CD .(2)如图②,若AB ∥CD ,过点O 作EF ∥AB 分别交BC 、AD 于点E 、F .求证:=2.(3)如图③,若OC 平分∠AOB ,D 、E 分别为OA 、OB 上的点,DE 交OC 于点M ,作MN ∥OB 交OA 于一点N ,若OD =8,OE =6,直接写出线段MN 长度.【分析】(1)由OE ⊥BC ,DC ⊥BC ,可知EO ∥CD ,且OB =OD ,可得结论;(2)由△DFO ∽△DAB ,得,同理,,,利用等式的性质将比例式相加,从而得出结论;(3)作DF ∥OB 交OC 于点F ,连接EF ,可知△ODF 是等腰三角形,得DO =DF =8,由△DMF ∽△EMO ,可得EM =,由△DMN ∽△DOE ,得,从而得出答案.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴O 是AC 中点,AB ⊥BC ,∵OE ⊥BC ,∴OE ∥AB ,∴E 是BC 中点,∴OE =;(2)证明:∵EF ∥AB ,∴△DFO ∽△DAB ,∴,同理,,,∴=,∴,即;(3)解:作DF∥OB交OC于点F,连接EF,∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC,∵DF∥OB,∴∠DFO=∠BOC=∠AOC,∴△ODF是等腰三角形,∴DO=DF=8,∵DF∥OE,∴△DMF∽△EMO,∴,∴EM=,∴,∵MN∥OE,∴△DMN∽△DOE,∴,∴,∴MN=.【点评】本题是相似形综合题,主要考查了矩形的性质,相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,对比例式进行恒等变形是解题的关键.课后专项训练1.(2021·山东淄博·中考真题)如图,,AB CD 相交于点E ,且////AC EF DB ,点,,C F B 在同一条直线上.已知,,AC P EF r DB q ,则,,p q r 之间满足的数量关系式是()A .111r q pB .112p r qC .111p q rD .112q r pA .43AC ,123BD B .【答案】D 【分析】过点B 作BO AD ∥交AC 理求出BO 的长,进而可求出AC 【详解】过点B 作BO AD ∥交∵AC AD ,BO AD ∥,∴DAC ∵AED OEB ,∴AED ∽∵3DE BE ,∴13EO BO AE DA .∵AB AC ,75ACB ,∵ 在Rt AOB △中,22BO AO AB A .41cmB .57cmC .【答案】C 【分析】设AF 与DE 交于点G ,连接BC ,交AF 三角形的性质可得ADE ABC ∠∠,从而可得DEAD AE ∵,AB AC , AD DAE BAC ∵,ADE △AF DE ∵,BC AF ,在Rt BAH 中,50cm AB 282cm BC BH ,B ,【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,相似三角形的判定与性质,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.4.(2022·湖北十堰·中考真题)如图,某零件的外径为10cm ,用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等)可测量零件的内孔直径AB .如果OA :OC =OB :OD =3,且量得CD =3cm ,则零件的厚度x 为()A .0.3cmB .0.5cmC .0.7cmD .1cm【答案】B 【分析】求出△AOB 和△COD 相似,利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB ,再根据外径的长度解答.【详解】解:∵OA :OC =OB :OD =3,∠AOB =∠COD ,∴△AOB ∽△COD ,∴AB :CD =3,∴AB :3=3,∴AB =9(cm ),∵外径为10cm ,∴19+2x =10,∴x =0.5(cm ).故选:B .【点睛】本题考查相似三角形的应用,解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB 的长.5.(2022·湖南怀化·中考真题)如图,△ABC 中,点D 、E 分别是AB 、AC 的中点,若S △ADE =2,则S △ABC =_____.【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ,12DE BC ,从而求得△ADE ∽△ABC ,然后利用相似三角形的性质求解.【详解】解:∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则DE 为中位线,所以DE ∥BC ,12DE BC 所以△ADE ∽△ABC ∴21()4ADE ABCS DE S BC ∵S △ADE =2,∴S △ABC =8故答案为:8.【点睛】本题考查中位线及平行线性质,本题难度较低,主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握.【答案】6【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出AEH △的高,可得出AM EH AD BC,再将数据代入即可得出答案.【答案】2【分析】过D 作DH 其次利用CDG CBD ∽案.∵在Rt ABC 中,AC BC 又∵2BD AD ,∴AD 在Rt CHD 中,CD CH ∵DG AE ∥,∴CFE8.(2022·四川宜宾·中考真题)如图,ABC 中,点E 、F 分别在边AB 、AC 上,12 .若4BC ,2AF ,3CF ,则EF ______.【答案】85【分析】易证△AEF ∽△ABC ,得EF AF BC AC 即EF AF BC AF CF即可求解.【详解】解:∵∠1=∠2,∠A =∠A ,∴△AEF ∽△ABC ,∴EF AF BC AC ,即EF AF BC AF CF∵4BC ,2AF ,3CF ,∴2423EF ,∴EF =85,故答案为:85.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.9.(2022·辽宁阜新·中考真题)如图,在矩形ABCD 中,E 是AD 边上一点,且2AE DE ,BD 与CE 相交于点F ,若DEF 的面积是3,则BCF △的面积是______.【答案】27【分析】根据矩形ABCD 的性质,很容易证明DEF ∽BCF △,相似三角形之比等于对应边比的平方,即可求出BCF △的面积.【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形,AD BC ,AD BC ∥EDF CBF ,EFD CFB ∵,EDF CBF DEF ∽BCF △,2AE DE ∵,AD BC ,DE :1BC :3,DEF S :2BCF S DE :2BC ,即3:1BCF S :9,27BCF S .故答案为:27.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,矩形的性质,综合性比较强,学生要灵活应用.掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键.10.(2022·湖北荆门·中考真题)如图,点G 为△ABC 的重心,D ,E ,F 分别为BC ,CA ,AB 的中点,具有性质:AG :GD =BG :GE =CG :GF =2:1.已知△AFG 的面积为3,则△ABC 的面积为_____.【答案】18【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可.【详解】解:∵CG :GF =2:1,△AFG 的面积为3,∴△ACG 的面积为6,∴△ACF 的面积为3+6=9,∵点F 为AB 的中点,∴△ACF 的面积=△BCF 的面积,∴△ABC 的面积为9+9=18,故答案为:18.【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质,熟练掌握线段中点的性质是解题关键.11.(2023·福建·统考中考真题)阅读下列材料,回答问题任务:测量一个扁平状的小水池的最大宽度,该水池东西走向的最大宽度AB 远大于南北走向的最大宽度,如图1.工具:一把皮尺(测量长度略小于AB )和一台测角仪,如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度);测角仪的功能是测量角的大小,即在任一点O 处,对其视线可及的P ,Q 两点,可测得POQ 的大小,如小明利用皮尺测量,求出了小水池的最大宽度AB ,其测量及求解过程如下:测量过程:(ⅰ)在小水池外选点C ,如图4,测得m AC a ,m BC b ;(ⅱ)分别在AC ,BC ,上测得3a CM m,m 3b CN ;测得m MN c .求解过程:(ⅱ)用皮尺测得mBC a.求解过程:由测量知,在过点C作CD AB,垂足为D.在Rt CBD△即cosBDa,所以cosBD a.同理,CD【答案】(1)13;(2)见解析;(3)94【分析】(1)由折叠性质可知DE CD,利用等面积求出(2)添加辅助线构造全等三角形和相似三角形,利用性质即可证明;(2)方法一:延长CF∵FA FB ,BFM AFC ,∴ BFM AFC SAS ≌.∴AC BM ,M ACF ,∴BM AC ∥,∴MBG CDG ,∴MBG CDG ∽,∴DG CD BG BM ,∴44339DG BG(1)如图1,当点D 在线段AB 上时,猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由;(2)如图2,当点D 在线段AB 的延长线上时,①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立?请说明理由;②如图3,连接AE .设4AB ,若AEB DEB ,求四边形BDFC 的面积.【答案】1CF BD ,理由见解析(2)①成立,理由见解析②4366 ∴60,ADG ABC ∴ADG △为等边三角形,∴60,60ADG ABC AGD ACB ,GDF CEF ,∴ADG △为等边三角形,∴AD AG DG ,∵AD CE ,AD AB AG AC ∴DG CE ,BD CG ,又DFG CFE ,∴ AAS DGF ECF ≌,∴12CF FG CG ,∴②过点D 作∥DG BC ,交AC 的延长线于点∴MC •CD =MD •CN CD =AB CE【答案】问题背景:见解析;尝试应用:22;迁移拓展:m 【分析】问题背景:根据EF BD ∥,EG CD ∥,推出,AFE ABD AEG ADC ∽∽,根据对应边成比例即可得到结论;尝试应用:延长EM 至D ,使得EM MD ,连接DB DC ,,证得四边形形,得到,,,BD EC EF BD BE DC EG DC ∥∥,由图(1)得,EF EG BD DC =,即可得到EF EG 得到22EF EG ;迁移拓展:过点E 作MN BC ∥,交AB 于点M ,交AC 于点N ,得到∵AM 是ABC 的中线,∴MB MC ,∵EM MD ,∴,,,BD EC EF BD BE DC EG DC ∥∥,由图(1)得,EF EG BD DC =∴EF EG EC BE ,∴EF EC EG BE 迁移拓展:如图(3),过点E 作MN BC ∥,交AB 于点∵ABC 是等边三角形,∴60ABC ACB BAC ∵MN BC ∥,∴AMN ∴,AM AN BM CN ∴又∵120CEB CEN(3)【答案】(1)12(2)见解析(3)【分析】(1)证明AEB△∽△(2)证明AEB CBF∽(3)设EG ED x,则【详解】(1)解:由题知,若13ED ,则AE AD17.(2022·四川内江·中考真题)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,点M、N分别在AB、AD上,且MN⊥MC,点E为CD的中点,连接BE交MC于点F.(1)当F 为BE 的中点时,求证:AM =CE ;(2)若EF BF =2,求AN ND 的值;(3)若MN ∥BE ,求ANND的值.【答案】(1)见解析(2)2737(3)27【分析】(1)根据矩形的性质,证明△BMF ≌△ECF ,得BM =CE ,再利用点E 为CD 的中点,即可证明结论;(2)利用△BMF ∽△ECF ,得12BM B EF CE F ,从而求出BM 的长,再利用△ANM ∽△BMC ,得AN AMBM BC,求出AN 的长,可得答案;(3)首先利用同角的余角相等得∠CBF =∠CMB ,则tan ∠CBF =tan ∠CMB ,得CE BCBC BM,可得BM 的长,由(2)同理可得答案.(1)证明:∵F 为BE 的中点,∴BF =EF ,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB ∥CD ,AB =CD ∴∠BMF =∠ECF ,∵∠BFM =∠EFC ,∴△BMF ≌△ECF (AAS ),∴BM =CE ,∵点E 为CD 的中点,∴CE =12CD ,∵AB =CD ,∴12BM CE AB ,∴AM BM ,∴AM =CE ;(2)∵∠BMF =∠ECF ,∠BFM =∠EFC ,∴△BMF ∽△ECF ,∴12BM B EF CE F ,∵CE =3,∴BM =32,∴AM =92,∵CM ⊥MN ,∴∠CMN =90°,∴∠AMN +∠BMC =90°,∵∠AMN +∠ANM =90°,∴∠ANM =∠BMC ,∵∠A =∠MBC ,∴△ANM ∽△BMC ,∴AN AM BM BC ,∴92342AN ,∴7162AN ,∴DN =AD ﹣AN =4﹣2716=3716,∴272716373716AN DN ;(3)∵MN ∥BE ,∴∠BFC =∠CMN ,∴∠FBC +∠BCM =90°,∵∠BCM +∠BMC =90°,∴∠CBF =∠CMB ,∴tan ∠CBF =tan ∠CMB ,∴CE BC BC BM ,∴344BM ,∴163BM ,∴162633AM AB BM ,由(2)同理得,AN AMBM BC,∴231643AN,解得:AN=89,∴DN=AD﹣AN=4﹣89=289,∴8292879ANND.【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,三角函数等知识,求出BM的长是解决(2)和(3)的关键.18.(2023•重庆中考模拟)问题提出:如图1,D、E分别在△ABC的边AB、AC上,连接DE,已知线段AD=a,DB=b,AE=c,EC=d,则S△ADE,S△ABC和a,b,c,d之间会有怎样的数量关系呢?问题解决:探究一:(1)看到这个问题后,我们可以考虑先从特例入手,找出其中的规律.如图2,若DE∥BC,则∠ADE=∠B,且∠A=∠A,所以△ADE∽△ABC,可得比例式:a ca b c d而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方.可得 22ADE ABC S a S a b .根据上述这两个式子,可以推出:22ADE ABC S a a a a c acS a b a b a b c d a b c d a b .(2)如图3,若∠ADE =∠C ,上述结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;着不成立,请说明理由.探究二:回到最初的问题,若图1中没有相似的条件,是否仍存在结论:ADE ABC S acS a b c d ?方法回顾:两个三角形面积之比,不仅可以在相似的条件下求得,当两个三角形的底成高具有一定的关系时,也可以解决.如图4,D 在△ABC 的边上,做AH ⊥BC 于H ,可得:1212ABD ADCBD AHS BD S DC DC AH .借用这个结论,请你解决最初的问题.延伸探究:(1)如图5,D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 反向延长线上,连接DE ,已知线段AD =a ,AB =b ,AE =c ,AC =d ,则ADEABCS S .(2)如图6,E 在△ABC 的边AC 上,D 在AB 反向延长线上,连接DE ,已知线段AD =a ,AB =b ,AE =c ,AC =d ,ADEABCS S .结论应用:如图7,在平行四边形ABCD 中,G 是BC 边上的中点,延长GA 到E ,连接DE 交BA 的延长线于F ,若AB =5,AG =4,AE =2,▱ABCD 的面积为30,则△AEF 的面积是.【答案】探究一:(2)见解析;延伸探究:(1)ac bd ;(2)ac bd ;结论应用:32【分析】问题解决:探究一(2):参照(1)中证明方法解答即可;探究二,过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ,然后按照探究一中方法证明即可;延伸探究:(1)过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ,然后按照探究一中方法证明即可;(2)过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ,然后按照探究一中方法证明即可;结论应用:取AD 的中点M ,连接GM 并延长交DE 于点N ,连接DG ,可得15ADG S ,根据题意,进而得出152ADE S,根据AM =DM ,MN AF ∥,可得FN =DN ,根据AE =2,AG =4,GN AF ∥,可得FN =2EF ,进而可得ED =5EF ,即可得出1352AEF ADE S S.【详解】解:问题解决:探究一:(2)成立,理由如下:∵∠ADE =∠C ,∠A =∠A ,∴ADE ACB ∽,∴a cc d a b,∴22()()ADE ABC S b a S c a c acc d a b c d a d ;探究二:过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ,∵,DM AC BN AC ,∴//DM BN ,∴AD DM aAB BN a b,121()()2ADE ABCAE DMS AE DM c a ac S AC BN c d a b a b c d AC BN;延伸探究:(1)过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ,∵,DM AC BN AC ,∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b ,1212ADEABCAE DMS AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ;(2)过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N,∵,DM AC BN AC ,∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b ,1212ADEABCAE DMS AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ;结论应用:取AD 的中点M ,连接GM 并延长交DE 于点N ,连接DG ,∴AM =DM ,1152ADG ABCD S S平行四边形,∵AE =2,AG =4,∴11522ADE ADG S S ,∵AM =DM ,MN AF ,∴FN =DN ,∵AE =2,AG =4,GN AF ∥,∴12EF AE FN AG ,即:FN =2EF ,∴ED =5EF ,∴1352AEF ADE S S .【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,平行线分线段成比例等知识点,熟练运用相似三角形的性【答案】【问题发现】3;【操作探究】sin MN PQ m ;【解决问题】15.【问题发现】由90ANM AQP C ,30A ,得12MN AM ,12PQ AP AM BP ,则1113222MN PQ AM BM AB,于是得到问题的答案.【操作探究】由90ANM AQP C ,A A ,可证明AMN ABC △∽△, MN AM PQ AP PQ MB∵四边形ABCD是菱形, ,BO BC AB AD8,COBOC90,∵,AM BN AD BC20.(2022·湖北武汉·中考真题)问题提出:如图(1),ABC 中,AB AC ,D 是AC 的中点,延长BC 至点E ,使DE DB ,延长ED 交AB 于点F ,探究AFAB的值.(1)先将问题特殊化.如图(2),当60BAC 时,直接写出AFAB的值;(2)再探究一般情形.如图(1),证明(1)中的结论仍然成立.问题拓展:如图(3),在ABC 中,AB AC ,D 是AC 的中点,G 是边BC 上一点, 12CG n BC n,延长BC 至点E ,使DE DG ,延长ED 交AB 于点F .直接写出AFAB的值(用含n 的式子表示).【答案】(1)[问题提出](1)14;(2)见解析(2)[问题拓展]24n 【分析】[问题探究](1)根据等边三角形的性质结合已知条件,求得30ADF ADB ,90AFD ,根据含30度角的直角三角形的性质,可得111,222AF AD AD AC AB,即可求解;(2)取BC 的中点H ,连接DH .证明DBH DEC △≌△,可得BH EC ,根据DH AB ∥,证明EDH EFB △∽△,根据相似三角形的性质可得32FB EB DH EH ,进而可得14AF AB ;[问题拓展]方法同(2)证明DBH DEC △≌△,得出,GH EC =,证明EDH EFB △∽△,得到2+2FB EB nDH EH ,进而可得AF AB24n.(1)[问题探究]:(1)如图,∵ABC中,AB AC,D是AC的中点,60BAC,ABC是等边三角形,12AD AB30ABD DBE,60A,DB DE,30E DBE,180120DCE ACB∵,18030ADF CDE E DCE,60A∵,90AFD,12AF AD,1124ADAFAB AB.(2)证明:取BC的中点H,连接DH.∵D是AC的中点,∴DH AB∥,12DH AB.∵AB AC,∴DH DC,∴DHC DCH.∵BD DE,∴DBH DEC.∴BDH EDC.∴DBH DEC△≌△.∴BH EC.∴32EBEH.∵DH AB∥,∴EDH EFB△∽△.∴32FB EBDH EH.∴34FBAB.∴14AFAB.(2)[问题拓展]如图,取BC的中点H,连接DH.∵D是AC的中点,∴DH AB∥,12DH AB.∵AB AC,∴DH DC,∴DHC DCH.∵DE DG,∴DGH DEC.∴GDH EDC.∴DGH DEC≌.∴GH EC=.HE CG∵12CG nBC nBC nCG1BG n CG,1111222nCE GH BC BG nCG n CG CG∴1221+22nCGEB BC CE n nEH EHn CCGG.∵DH AB∥,∴EDH EFB△∽△.∴2+2FB EB nDH EH.∴24FB nAB.∴42244AF n nAB.AFAB24n.【点睛】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,等边对等角,掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.(1)求证:BE CF .(2)当56AB FH ,AD 【答案】(1)见解析(2)6EF 【分析】(1)根据等边对等角得出GFE 可证明 AAS ABF DCE ≌,根据全等三角形的性质得出(2)根据CD FH ∥,得出DCE △△根据相似三角形的性质列出等式,解方程即可求解.【详解】(1)解:∵FH EF ,GE ∵四边形ABCD 是矩形,∴AB CD ,∴ AAS ABF DCE ≌,∴BF CE ,【点睛】本题考查了矩形的性质,全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,熟练掌握以上知识是解题的关键.。
专题02 相似三角形重要模型-母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容,常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型,其中“母子型”相似模型应用较为广泛,深入理解模型内涵,灵活运用相关结论可以显著提高解题效率,本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等;②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形;③第②步成立,直接从证这两个三角形相似,逆向证明到线段乘积相等;④第②步不成立,则选择替换掉线段比例式中的个别线段,之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形(通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点,由于小三角形寓于大三角形中,恰似子依母怀),也是有一个“公共角”,再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似.图1 图2 图31)“母子”模型(斜射影模型)条件:如图1,∠C=∠ABD;结论:△ABD∽△ACB,AB2=AD·AC.2)双垂直模型(射影模型)条件:如图2,∠ACB=90o,CD⊥AB;结论:△ACD∽△ABC∽△CBD;CA2=AD·AB,BC2=BD·BA,CD2=DA·DB.3)“母子”模型(变形)条件:如图3,∠D=∠CAE,AB=AC;结论:△ABD∽△ECA;例1.(2022·贵州贵阳·中考真题)如图,在ABC V 中,D 是AB 边上的点,B ACD Ð=Ð,:1:2AC AB =,则ADC V 与ACB △的周长比是( )A.B .1:2C .1:3D .1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ,即有12AC AD CD AB AC BC ===,则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++,问题得解.【详解】∵∠B =∠ACD ,∠A =∠A ,∴△ACD ∽△ABC ,∴AC AD CD AB AC BC ==,∵12AC AB =,∴12AC AD CD AB AC BC ===,∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++,∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2,故选:B .【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键.例2.(2023·广东·九年级课时练习)如图,在 Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,已知AD =94,55BD =,那么BC =_______.【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质,牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键.例3.(2022.山西九年级期中)如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且∠APB=120°,求证:(1)△ACP∽△PDB,(2)CD2=AC•BD.证明:(1)∵△PCD是等边三角形,∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,∴∠ACP=∠PDB=120°,∵∠APB=120°,∴∠APC+∠BPD=60°,∵∠CAP+∠APC=60°∴∠BPD=∠CAP,∴△ACP∽△PDB;(2)由(1)得△ACP∽△PDB,∴,∵△PCD是等边三角形,∴PC=PD=CD,∴,∴CD2=AC•BD.例4.(2022·浙江·九年级期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且ADAC=ACAB.(1)求证△ACD∽△ABC;(2)若AD=3,BD=2,求CD的长.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质,掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键.例5.(2022.浙江中考模拟)如图,在V ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB.(1)图1中共有 对相似三角形,写出来分别为 (不需证明):(2)已知AB=5,AC=4,请你求出CD的长:(3)在(2)的情况下,如果以AB为x轴,CD为y轴,点D为坐标原点O,建立直角坐标系(如图2),若点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿线段CB运动,点Q出B点出发,以每秒1个单位的速度沿线段BA运动,其中一点最先到达线段的端点时,两点即刻同时停止运动;设运动时间为t秒是否存在点P,使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)3,V ABC∽V ACD,V ABC∽V CBD,V ACD∽V CBD;(2)125;(3)存在,(2740,32),(98,910)【分析】(1)根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形,分别为:△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD.(2)先在△ABC中由勾股定理求出BC的长,再根据△ABC的面积不变得到1 2AB•CD=12AC•BC,即可求出CD的长.(3)由于∠B公共,所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,分两种情况进行讨论:①△PQB∽△ACB;②△QPB∽△ACB.【详解】解:(1)图1中共有3对相似三角形,分别为:△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD.证明:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠ACB=90°,又∵∠A=∠A,∴△ADC∽△ACB同理可证:△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD.故答案为:3;△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD.(2)如图2中,在△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=5,AC=4,∴BC3.∵△ABC的面积=12AB•CD=12AC•BC,∴CD=AC BCAB×=125.(3)存在点P,使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,理由如下:在△BOC中,∵∠COB=90°,BC=3,OC=125,∴OB=95.分两种情况:①当∠BQP =90°时,如图2①,此时△PQB ∽△ACB ,∴BP AB =BQ BC ,∴353t t -=,解得t =98,即98BQ CP ==,∴915388BP BC CP =-=-=.在△BPQ 中,由勾股定理,得32PQ ===,∴点P 的坐标为273(,)402;②当∠BPQ =90°时,如图2②,此时△QPB ∽△ACB ,∴BP BQ BC AB =,∴335t t -=,解得t =158,即15159,3888BQ cP BP BC CP ===-=-=,过点P 作PE ⊥x 轴于点E .∵△QPB ∽△ACB,∴PE BQ COAB ×=,即1581255PE =,∴PE =910.在△BPE 中,2740BE ===,∴92795408OE OB BE =-=-=,∴点P 的坐标为99(,)810,综上可得,点P 的坐标为(2740,32);(98,910).【点睛】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.例6.(2022·浙江绍兴·九年级期末)如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系,则称这两个相似三角形互为母子三角形.(1)如果DEF V 与ABC V 互为母子三角形,则DE AB的值可能为( )A .2 B .12 C .2或12(2)已知:如图1,ABC V 中,AD 是BAC Ð的角平分线,2,AB AD ADE B =Ð=Ð.求证:ABD △与ADE V 互为母子三角形.(3)如图2,ABC V 中,AD 是中线,过射线CA 上点E 作//EG BC ,交射线DA 于点G ,连结BE ,射线BE 与射线DA 交于点F ,若AGE V 与ADC V 互为母子三角形.求AG GF 的值.AG DG \=,DBF △.A .ABP CÐ=ÐB .APB Ð【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可.2.(2023成都市九年级期中)如图,矩形ABCD 中,F 是DC 上一点,BF ⊥AC ,垂足为E ,AD AB =12,△CEF 的面积为S 1,△AEB 的面积为S 2,则S 1S 2的值等于( )A .116B .15C .14D .125【解答】解:∵AD AB =12,∴设AD =BC =a ,则AB =CD =2a ,∴AC =,∵BF ⊥AC ,∴△CBE ∽△CAB ,△AEB ∽△ABC ,∴BC 2=CE •CA ,AB 2=AE •AC∴a 2=CE ,4a 2=AE ,∴CE AE =,∴CE AE =14,∵△CEF ∽△AEB ,∴S 1S 2=(CE AE)2=116,故选:A .3.(2023浙江九年级期中)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD 是AB 边上的高.如果BD =4,CD =6,那么BC :AC 是( )A .3:2B .2:3C .3D .2【答案】B 【解答】解:∵∠ACB =90°,CD 是AB 边上的高,∴∠ADC =∠CDB =∠ACB =90°,∵∠A +∠B =90°,∠A +∠ACD =90°,∴∠ACD =∠B ,∴△ACD ∽△CBD ,∴AC=CD =6=3∴BC =2,故选:B .【答案】12【分析】过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点96ACG BCG S AG AC S GB BC ===V V 32=,即可求解.【详解】解:如图所示,过点B 作BM AC ∥5.(2023•宜宾)如图,已知直角△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,AC =4,BC =3,则AD = .【分析】根据勾股定理求出AB ,根据射影定理列式计算即可.【解答】解:在Rt △ABC 中,AB ==5,由射影定理得,AC 2=AD •AB ,∴AD ==,故答案为:.【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理,在直角三角形中,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.6.(2022·江苏盐城·中考真题)如图,在ABC V 与A B C ¢¢¢V 中,点D 、D ¢分别在边BC 、B C¢¢上,且ACD A C D ¢¢¢∽△△,若___________,则ABDA BD¢¢¢△∽△.请从①BD B D CD C D ¢¢=¢¢;②AB A B CD C D ¢¢=¢¢;③BAD B A D ¢¢¢Ð=Ð这三个选项中选择一个作为条件(写序号),并加以证明.【答案】4【分析】根据条件证明ACD ~V 【详解】解:ADC ACB Ð=ÐQ AC AD AB AC\=,即2AC AB AD =×,8.(2022•惠山区九年级专项)如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90o ,AD ⊥BC 于D .(1)图中有多少对相似三角形?(2)求证:AB 2=BD g BC ,AC 2=CD g CB ,AD 2=BD g CD ;(3)求证:AB g AC =BC g AD【解析】(1)三对.分别是:△ABD ∽△CBA ;△ACD ∽△BCA ;△ABD ∽△CADD CB A(2)∵△ABD ∽△CBA ,∴AB BD BC AB=.∴AB 2=BD g BC ,∵△ACD ∽△BCA ∴AC CD CB AC =.∴AC 2=CD g CB ,∵△ABD ∽△CAD ,∴AD BD CD AD =,∴AD 2=BC g CD (3)1122ABC S AB AC BC AD ==V g g ,∴AB g AC =BC g AD【答案】(1)是,证明见解析(2)125【分析】(1)由已知可得AC AB AD AC=,从而ACD ABC △∽△,(2)由D 是ABC V 的“理想点”,当D 在AB 上时,证明CD 【详解】(1)解:点D 是ABC V 的“理想点”,理由如下:D Q 是ABC V 的“理想点”,当ACD B Ð=Ð时,ACD ÐQ 90CDB \Ð=°,即CD 是【答案】(1)证明见解析(2)15【分析】(1)根据相似三角形的判断方法,两角分别相等的两个三角形相似,证明即可;(2)根据相似三角形的性质,得BC AB2BAC B BAD ÐÐÐ=\=Q ,ACD BCA ACD ÐÐ=\~Q V ,AC DC AD BC AC AB\==设DC x =,则AD BD a ==-任务:(1)上述材料中的证法似”).(2)请补全证法2剩余的部分.ABD D \Ð=Ð,CAB Ð\2CAB ABC ÐÐ=Q ,ACB BCD Ð=ÐQ ,AC BC BC CD \=,b a \=【点睛】本题考查了等边对等角,三角形外角的性质,相似三角形的判定与性质.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.12.(2022·湖北武汉·一模)在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,点D 为AB 上一点.(1)如图1,若CD ⊥AB ,求证:AC 2=AD ·AB ;(2)如图2,若AC =BC ,EF ⊥CD 交CD 于H ,交AC 于F ,且49FH HE =,求AD BD的值;(3)如图3,若AC =BC ,点H 在CD 上,∠AHD =45°,CH =3DH ,则tan ∠ACH 的值为________.13.(2023·安徽合肥·九年级期中)ABC V 中,90ABC Ð=°,BD AC ^,点E 为BD 的中点,连接AE 并延长交BC 于点F ,且有AF CF =,过F 点作FH AC ^于点H .(1)求证:ADE CDB V V ∽;(2)求证:=2AE EF ;(3)若FH BC 的长.14.如图1,在ABC V 中,在BC 边上取一点P ,在AC 边上取一点D ,连AP 、PD ,如果APD △是等腰三角形且ABP △与CDP V 相似,我们称APD △是AC 边上的“等腰邻相似三角形”.(1)如图2,在ABC V 中AB AC =,50B Ð=°,APD △是AB 边上的“等腰邻相似三角形”,且AD DP =,PAC BPD Ð=Ð,请直接写出PAC Ð的度数;(2)如图3,在ABC V 中,2A C Ð=Ð,在AC 边上至少存在一个“等腰邻相似APD △”,请画出一个AC 边上的“等腰邻相似APD △”,并说明理由;(3)如图4,在Rt ABC △中4AB AC ==,APD △是AB 边上的“等腰邻相似三角形”,求出AD 长度的所有可能值.【答案】(1)30°;(2)见解析;(3)28-【分析】(1)只要证明∠A =∠PAB 即可解决问题.(2)如图3中,作∠BAC 的平分线AP 交BC 于P ,作PD ∥AB 交AC 于D ,只要证明DP =DA ,即可解决问题.(3)分三种情形讨论①如图3′中,当DA =DP 时.②如图4中,当PA =PD 时.③如图5中,当AP =AD 时.分别求解即可解决问题.【详解】解:(1)如图2中,∵AB =AC ,DA =DP ,∴∠B =∠C ,∠DAP =∠DPA ,∵∠PAC =∠BPD ,∴∠APC =∠BDP =∠DAP +∠DPA ,∵∠APC =∠B +∠BAP ,∴∠B =∠PAB =50°,∵∠BAC =180°-50°-50°=80°,∴∠PAC =30°故答案为30°.(2)如图3中,作∠BAC 的平分线AP 交BC 于P ,作PD ∥AB 交AC 于D ,∴∠BAP =∠PAD =∠DPA ,∠CPD =∠B ,∵∠CAB =2∠C ,∴∠PAD =∠C ,∴DP =DA ,∴△APD 是等腰三角形且与△APB 与△CDP 相似.(3)如图3′中,当DA =DP 时,设∠APD =∠DAP =x ,①若∠BPD =∠CAP =90°-x ,∠BDP =∠CPA =2x ,∴90°-x +2x +x =180°,∴x =45°,∴三角形都是等腰直角三角形,∴AD =2,②若∠PDB =∠CAP 时,设∠APD =∠DAP =x ,得到∠PDB =∠CAP =2x ,易知x =30°,设AD =a ,则AP ,∵△BPD ∽△CPA ,∴BD PD AC PA =,即44a -=a 如图4中,当PA =PD 时,易知∠PDB 是钝角,∠CAP 是锐角,∴∠PDB=∠CPA,则△BPD≌△CPA,设AD=a,则BD=4-a,BP=BC-CP=BC-BD(2-a)=-4+a,AC=4,∴a=4,解得:a=8-如图5中,当AP=AD时,设∠APD=∠ADP=x,则∠DAP=180°-2x,易知∠PDB为钝角,∠CAP为锐角,∴∠PDB=∠CPA=180°-x,∠CAP=90°-∠DAP=90°-(180°-2x)=2x-90°,在△APC中,2x-90°+180°-x+45°=180°,解得x=45°,不可能成立.综上所述.AD的长为28-.【点睛】本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会用构建方程的思想思考问题,属于中考压轴题.15.(2022•静安区期末)如图1,四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交边BC于点E,已知AB=9,AE=6,AE2=AB•AD,且DC∥AE.(1)求证:DE2=AE•DC;(2)如果BE=9,求四边形ABCD的面积;(3)如图2,延长AD、BC交于点F,设BE=x,EF=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域.【分析】(1)先证明△ABE∽△AED,可得∠AEB=∠ADE,再由平行线性质可推出∠ADE=∠DCE,进而证得△ADE∽△ECD,根据相似三角形性质可证得结论;(2)如图2,过点B作BG⊥AE,运用等腰三角形性质可得G为AE的中点,进而可证得△ADE≌△ECD(SAS),再求得S△ABE=×AE×BG=18,根据△ABE∽△AED 且相似比为3:2,可求得S△AED=S△CDE=8,由S=S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案;(3)四边形ABCD由△ABE∽△AED,可求得:DE=x,进而得出DC=x2,再利用△ADE∽△ECD,可得:CE=x,再利用DC∥AE,可得△AEF∽△DCF,进而求得:CF=EF,再结合题意得出答案.【解答】(1)证明:如图1,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∵AE2=AB•AD,∴=,∴△ABE∽△AED,∴∠AEB=∠ADE,∵DC∥AE,∴∠AEB=∠DCE,∠AED=∠CDE,∴∠ADE=∠DCE,∴△ADE∽△ECD,∴=,∴DE2=AE•DC;(2)解:如图2,过点B作BG⊥AE,∵BE=9=AB,∴△ABE是等腰三角形,∴G为AE的中点,由(1)可得△ADE、△ECD也是等腰三角形,∵AE2=AB•AD,AB=BE=9,AE=6,∴AD=4,DE=6,CE=4,AG=3,∴△ADE≌△ECD(SAS),在Rt△ABG中,BG===6,∴S△ABE=×AE×BG=×6×6=18,∵△ABE∽△AED且相似比为3:2,∴S△ABE:S△AED=9:4,∴S△AED=S△CDE=8,∴S四边形ABCD=S△ABE+S△AED+S△CDE=18+8+8=34;(3)解:如图3,由(1)知:△ABE∽△AED,∴=,∵BE=x,AB=9,AE=6,AE2=AB•AD,AD=4,∴=,∴DE=x,由(1)知:DE2=AE•DC,∴DC=x2,∵△ADE∽△ECD,∴==,∴CE=x,∵DC∥AE,∴△AEF∽△DCF,∴==,∴CF=EF,∴===,∴y=EF=CE=×x=,∵即,∴3<x<9,∴y关于x的函数解析式为y=,定义域为3<x<9.【点评】本题是相似三角形综合题,考查了角平分线定义,平行线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角形面积等知识,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.16.(2022·安徽·校联考三模)在ABC V 中,2ABC ACB Ð=Ð,BD 平分ABC Ð.(1)如图1,若3AB =,5AC =,求AD 的长.(2)如图2,过A 分别作AE AC ^交BC 于E ,AF BD ^于F .①求证:ABC EAF Ð=Ð;②求BFAC的值.(1)求证:ABE CAD △△≌;(2)求证:AC FB ∥;(3)若点D ,E ,F 在同一条直线上,如图2,求A BB C【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2是中位线,则EG CB ∥,加上第二小题结论就能得到四边形BCEF 是平行四边形,那么BC AD =,然后通过三角形外角的性质,可以证得ADE ACD Ð=Ð,就能证ACD V 和ADE V 是一组子母型相似,然后根据相似比可得最终答案.【详解】(1)解:Q 将ACD V 绕点C 逆时针旋转得到FCE △,FCE ACD \△≌△,CE CD \=,2AC CD =Q ,2AC CE \=,2AE AC CE CE CE CE CD \=-=-==,DC ABQ ∥DCA EAB \Ð=Ð,在ABE V 和CAD V 中,AE CD EAB DCA AB CA =ìïÐ=Ðíï=îQ ,()SAS ABE CAD \△≌△.(2)解:由(1)得BE AD =,ABE CAD Ð=Ð,CEF CDA Q △≌△,FE AD =∴,EFC DAC Ð=Ð,BE FE \=,EFC EBA Ð=Ð,EFB EBF \Ð=Ð,OFB EFB EFC Ð=Ð-ÐQ ,OBF EBF EBA Ð=Ð-Ð,OFB OBF \Ð=Ð,ECF DCA Ð=ÐQ ,OAC OCA \Ð=Ð,180OCA OAC AOC Ð+Ð+Ð=°Q ,180OBF OFB BOF Ð+Ð+Ð=°,又AOC BOF Ð=Ð,OCA OAC OBF OFB \Ð+Ð=Ð+Ð,即22CAO FOB Ð=Ð,(1)求证:2=×;AE FE BEÐ的大小;(2)求AFC。
考点19 相似三角形基本模型相似三角形在初中数学中因为不同类型的规律比较明显,所以被总结了很多的模型,比如:A 字图、8字图、母子三角形、一线三等角、手拉手相似等。
而掌握了这类模型的套路后,可以更快的应对相似三角形类的应用。
所以考生需要对该考点完全掌握。
一、A 字图及其变型二、8字图及其变型三、一般母子型四、一线三等角五、手拉手模型考向一、A 字图及其变型“斜A 型”型在圆中的应用:如图可得:△PAB ∽△PCD1.如图,在△ABC中,DE∥BC,DE=2,BC=6,则的值为( )A.B.C.D.【分析】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可.【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴===,故选:C.2.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD:AF:AB=1:2:5,则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB=( )A.1:2:5B.1:4:25C.1:3:25D.1:3:21【分析】由DE∥FG∥BC,可得△ADE∽△AFG∽△ABC,又由AD:AF:AB=1:2:5,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得S△ADE:S△AFG:S△ABC=1:4:25,然后设△ADE的面积是a,则△AFG和△ABC的面积分别是3a,21a,即可求两个梯形的面积,继而求得答案.【解答】解:∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC,∴AD:AF:AB=1:2:5,∴S△ADE:S△AFG:S△ABC=1:4:25,设△ADE的面积是a,则△AFG和△ABC的面积分别是4a,25a,则S四边形DFGE=S△AFG﹣S△ADE=3a,S四边形FBCG=S△ABC﹣S△AFG=21a,∴S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=1:3:21.故选:D.3.将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开,将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片,如果所得四边形纸片ABCD如图5所示,其中∠A=∠C=90°,AB=7厘米,BC=9厘米,CD=2厘米,那么原来的直角三角形纸片的面积是 54或 平方厘米.【分析】分两种情况讨论,由勾股定理求出AD长,由三角形面积公式求出四边形ABCD的面积,由相似三角形的性质,即可解决问题.【解答】解:(1)分别延长CD,BA交于M,连接BD,设△MBC的面积是S(cm2),∵∠C=∠DAB=90°,∴DC2+BC2=AB2+AD2=BD2,∴22+92=72+AD2,∴AD=6(cm),∴△ADB的面积=AD•AB=×6×7=21(cm2),△DCB的面积=DC•BC=×2×9=9(cm2),∴四边形ABCD的面积=21+9=30(cm2),∴△DMA的面积=(S﹣30)(cm2),∵∠M=∠M,∠MAD=∠MCB,∴△MDA∽△MBC,∴===,∴=,∴S=54(cm2).(2)分别延长AD,BC交于N,设△NAB的面积是S′(cm2),由(1)知四边形ABCD的面积=30(cm2),∵∠N=∠N,∠NCD=∠A=90°,∴△NCD∽△NAB,∴===,∴=,∴S′=(cm2),∴原来的直角三角形纸片的面积是54cm2或cm2.故答案为:54或.4.如图,矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.已知BC=6cm,DE =3cm,EF=2cm,那么△ABC的面积是 12 cm2.【分析】过点A作AN⊥BC,先利用相似三角形的判定说明△AGF∽△ABC,再利用相似三角形的性质求出△ABC的高,最后利用三角形的面积得结论.【解答】解:过点A作AN⊥BC,垂足为N,交GF于点M.∵四边形DEFG是矩形,∴GF∥DE,GF=DE=3cm,EF=MN=2cm.设AM=acm,则AN=(a+2)cm.∵GF∥DE,∴△AGF∽△ABC.∴=.∴=.∴a=2.∴AN=4cm.S△ABC=BC•AN=6×4=12(cm)2.故答案为:12.5.如图▱ABCD中,点E在BA的延长线上,连接EC、BD交于点G,EC交AD于F,已知EA:AB=1:2.(1)求EF:EC;(2)求FG:GC.【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理和比例的性质求解即可;(2)利用相似三角形的判定,先说明△EAF∽△CDF,再利用相似三角形的性质和比例的性质求出BC:FD,最后通过说明△FDG∽△CBG,利用相似三角形的性质得结论.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC.(1)∵EA:AB=1:2,∴=.∵AD∥BC,∴==.(2)∵AB ∥CD ,∴△EAF ∽△CDF .∴===.∴==.∵AD ∥BC ,∴△FDG ∽△CBG .∴==.考向二、8字图及其变型“蝴蝶型”变型1.如图,在△ABC 中,中线AD 与中线BE 相交于点G ,联结DE .下列结论成立的是( )A .B .C .D .【分析】由AD ,BE 是△ABC 的中线,得到DE 是△ABC 的中位线,推出△DEG ∽△ABG ,△CDE ∽△CBA ,由相似三角形的性质即可解决问题.【解答】解:AD ,BE 是△ABC 的中线,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB,DE=AB,∴△DEG∽△ABG,∴DG:AG=DE:AB=1:2,BG:EG=AB:DE,==,∴DG=AG,∵BG:EG=AB:DE=2:1,∴GB:BE=2:3,∴S△AGB:S△AEB=2:3,∵AE=EC,∴S△AEB=S△ABC,∴S△AGB=S△ABC,∵△CDE∽△CBA,∴==,∴S△CDE=S△ABC,∴=,结论成立的是=,故选:C.2.如图,在平行四边形ABCD中,F为BC的中点,延长AD至点E,使DE:AD=1:3,连接EF交DC 于点G,则S△CFG:S△DEG等于( )A.9:4B.2:3C.4:9D.3:2【分析】利用平行四边形的性质可得AD∥BC,AD=BC,,再根据线段中点的定义可得CF=BC=AD,然后证明8字模型相似三角形△EDG∽△FCG,利用相似三角形的性质进行计算即可解答.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵F为BC的中点,∴CF=BC,∴CF=AD,∵AE∥CF,∴∠E=∠GCF,∠EDG=∠C,∴△EDG∽△FCG,∵DE:AD=1:3,∴DE=AD,∴S△CFG:S△DEG=()2=()2=()2=,故选:A.3.如图,在正方形ABCD中,E为AD上的点,连接CE.以点E为圆心,以任意长为半径作弧分别交EC,ED于点N,M,再分别以M,N为圆心,以大于MN长为半径作弧,两弧在∠CED内交于点P,连接EP并延长交DC于点H,交BC的延长线于点G.若AB=16,AE:AD=1:4,则EH的长为 6 .【分析】根据题中作图判断EP是∠DEC的角平分线,利用线段比和勾股定理求出EC,再利用角平分线的性质和平行线的性质得到CG,利用相似三角形的判定和性质求出DH,最后利用勾股定理得结论.【解答】解:∵以点E为圆心,以任意长为半径作弧分别交EC,ED于点N,M,再分别以M,N为圆心,以大于MN长为半径作弧,两弧在∠CED内交于点P,连接EP,∴EP是∠DEC的角平分线,∴∠DEG=∠CEG.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC=AB=16,∠D=90°,AD∥BC.∵AE:AD=1:4,AE+ED=16,∴AE=4,ED=12.在Rt△EDC中,EC===20.∵AD∥BC,∴∠G=∠DEG=∠CEG.∴EC=CG=20.∵AD∥BC,∴△EDH∽△GCH.∴===.∵DH+HC=CD=16,∴DH=6.在Rt△EDH中,EH====6.故答案为:6.4.如图,在▱ABCD中,G是CD延长线上一点,连接BG交AC,AD于E,F.(1)求证:△ABE∽△CGE;(2)若AF=2FD,求的值.【分析】(1)根据平行四边形对边平行,得到∠ABE=∠CGE,再利用对顶角相等,可得△ABE∽△CGE;(2)利用平行四边形对边平行,证明△AEF∽△CEB,得到,再由(1)得,,从而求解.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABE=∠CGE,又∵∠AEB=∠CGE,∴△ABE∽△CGE.(2)解:设FD=m,则AF=2m,∴AD=3m,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,BC=AD=3m,∴∠EAF=∠ECB,∠AFE=∠CBE,∴△AEF∽△CEB∴==,又∵△ABE∽△CGE,∴==.即的值为.5.以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格,A,B,C,D均在格点上.(1)在图①中,的值为 1:3 ;(2)利用网格和无刻度的直尺作图,保留痕迹,不写作法.①如图②,在AB上找一点P,使AP=3;②如图③,在BD上找一点P,使△APB∽△CPD.【分析】(1)如图①中,利用平行线的性质求解即可.(2)①根据勾股定理得AB的长为5,再根据相似三角形的判定方法即可找到点P;②作点A的对称点A′,连接A′C与BD的交点即为要找的点P,使△APB∽△CPD.【解答】解:(1)如图①中,∵AB∥CD,∴△PCD∽△PBA.∴==,故答案为:1:3;(2)①取格点E,F,连接EF交AB于点P,点P即为所求的点.由勾股定理知:AB==5.∵AP=3,∴BP=2.∵BE∥FA,∴△EPB∽△FPA.∵AP:BP=AF:BE=3:2.∴取格点E,F,连接EF交AB于点P,点P即为所求的点;②如图③所示,作点A的对称点A′,连接A′C,交BD于点P,点P即为所要找的点,∵AB ∥CD ,∴△APB ∽△CPD .考向三、一般母子型:联系应用:切割线定理:如图,PB 为圆O 切线,B 为切点,则:△PAB ∽△PBC得:1.如图,在△ABC 中,CD ⊥AB 于点D ,有下列条件:①∠A =∠BCD ;②∠A +∠BCD =∠ADC ;③;④BC 2=BD •BA .其中能判断△ABC 是直角三角形的有( )A .0个B .1个C .2个D .3个【分析】根据题目中①②③④给出的条件分别判定△BCD ∽△BAC 或△ABC ∽△ACD 即可求得∠ACB =90°,计算能求证△BCD ∽△BAC 或△ABC ∽△ACD 的个数即可解题.【解答】解:①∵∠A =∠BCD ,∠A +∠ACD =90°,∴∠BCD +∠ACD =90°,故本命题成立;②条件不足,无法求证∠ACB =90°,故本命题错误;③∵BD :CD =BC :AC ,∠ADC =∠CDB =90°,∴Rt △ADC ∽Rt △CDB ,(因为都有一个直角,斜边直角边成比例)∴∠ACD =∠B ;∵∠B +∠BCD =90°,其中:∠A 是公共角AB 是公共边BD 与BC 是对应边∴∠ACD+∠BCD=90°,∵∠ACB=∠ACD+∠BCD,∴∠ACB=90°;故本命题正确;④∵BC2=BD×BA,∴=,∵∠B=∠B,∴△ABC∽△CBD,∴∠ACB=90°,故本命题成立,故选:D.2.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠ACD=3∠BCD,E为斜边AB的中点,则=( )A.B.C.D.【分析】利用相似三角形的判定与性质得到∠BCD=∠A=22.5°,利用三角形的外角的性质得到∠CED=45°,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到AE=CE=BE=AB,设CD=DE=x,则CE=,AD=(+1)x,代入化简即可得出结论.【解答】解:∵∠ACB=90°,∠ACD=3∠BCD,∴∠BCD=22.5°,∠ACD=67.5°.∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△BCD∽△BAC,∴∠BCD=∠A=22.5°.∵∠ACB=90°,E为斜边AB的中点,∴AE=CE=BE=AB.∴∠ECA=∠A=22.5°,∴∠CED=∠A+∠ECA=45°,∵CD⊥AB,∴CD=DE.设CD=DE=x,则CE=,∴AE=x,∴AD=AE+DE=(+1)x,∴=+1.故选:B.3.如图,在△ABC中,∠A=90°,点D、E分别在AC、BC边上,BD=CD=2DE,且∠C+∠CDE=45°,若AD=6,则BC的长为 8 .【分析】首先根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠BDE=90°,作DF⊥BC于F,则BF=CF,△DEF ∽△BED∽△BDF,得出===,设EF=x,则DF=2x,BF=CF=4x,得出BC=8x,DE=x,得出CD=BD=2x,AC=6+2x,证明△CDF∽△CBA,得出=,代入计算即可得出结果.【解答】解:∵∠A=90°,∴∠ABD+∠ADB=90°,∵BD=CD,∴∠DBC=∠C,∴∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C,∵∠C+∠CDE=45°∴2∠C+∠CDE=90°,∴∠ADB+∠CDE=90°,∴∠BDE=90°,作DF⊥BC于F,如图所示:则BF=CF,△DEF∽△BED∽△BDF,∴===,设EF=x,则DF=2x,BF=CF=4x,∴BC=8x,DE=x,∴CD=BD=2x,AC=6+2x,∵∠DFC=∠A=90°,∠C=∠C,∴△CDF∽△CBA,∴=,即=,解得:x=,∴BC=8;故答案为:8.4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是斜边AC的中点,连接DB,线段AE⊥线段BD交BC于点E,交DB于点G,垂足为点G.(1)求证:EB2=EG•EA;(2)联结CG,若∠CGE=∠DBC,求证:BE=CE.【分析】(1)根据相似三角形的判定与性质可得结论;(2)由直角三角形的性质得BD=AC=CD,再由相似三角形的判定与性质可得EC2=GE•EA,结合(1)的结论可得答案.【解答】证明:(1)∵AE⊥BD,∴∠BGE=90°,∵∠ABC=90°,∴∠BGE=∠ABE,∵∠BEG=∠AEB,∴△ABE∽△BGE,∴=,即EB2=EG•EA;(2)在Rt△ABC中,点D是斜边AC的中点,∴BD=AC=CD,∴∠DBC=∠DCB,∵∠CGE=∠DBC,∴∠CGE=∠DCB,∵∠GEC=∠GEC,∴△GEC∽△CEA,∴=,∴EC2=GE•EA,由(1)知EB2=EG•EA,∴EC2=EB2,∴BE=CE.考向四、一线三等角:同侧型(通常以等腰三角形或者等边三角形为背景)异侧型1.如图,AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D.AB=2,DE=4,BD=6.点C为BD上一点,连接AC、CE.当BC=( )时,可使AC⊥CE.A.3B.2或4C.D.2或3【分析】根据垂直定义可得∠B=∠D=∠ACE=90°,从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠ACB=90°,再利用平角定义可得∠ACB+∠ECD=90°,然后利用同角的余角相等可得∠ECD=∠A,从而证明△ABC∽△CDE,最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答.【解答】解:∵AB⊥BD,ED⊥BD,∴∠B=∠D=90°,∴∠A+∠ACB=90°,∵AC⊥CE,∴∠ACE=90°,∴∠ACB+∠ECD=180°﹣∠ACE=90°,∴∠ECD=∠A,∴△ABC∽△CDE,∴=,∴=,解得:BC=2或BC=4,∴当BC=2或4时,可使AC⊥CE,故选:B.2.如图,点A,B,C在同一直线上,∠A=∠DBE=∠C,则下列结论:①∠D=∠CBE,②△ABD∽△CEB,③=,其中正确的结论有( )个.A.0B.1C.2D.3【分析】根据三角形内角和和平角的定义可得①正确,进行可得△ABD∽△CEB,得出②正确;由相似三角形的性质可知,相似三角形的对应线段成比例,得出结论.【解答】解:由图可知,∠A+∠D+∠ABD=180°,∠ABD+∠DBE+∠CBE=180°,∵∠A=∠DBE,∴∠D=∠CBE,故①正确;∵∠A=∠C,∴△ABD∽△CEB,故②正确;∴=,故③正确;故选:D.3.如图,在矩形ABCD中,点E是对角线上一点,连接AE并延长交CD于点F,过点E作EG⊥AE交BC 于点G,若AB=8,AD=6,BG=2,则AE=( )A.B.C.D.【分析】过点E作EN⊥BC,垂足为N,延长NE交AD于点M,根据矩形的性质可得AD=BC=6,∠DAB =∠ABC=90°,从而可得四边形AMNB是矩形,进而可得∠AMN=90°,AB=MN=8,AM=BN,MN ∥AB,然后设ME=x,则EN=MN﹣EM=8﹣x,再证明A字模型相似三角形△DME∽△DAB,并利用相似三角形的性质求出DM,从而求出AM,GN的长,最后证明一线三等角模型相似三角形△AME∽△ENG,利用相似三角形的性质列出关于x的方程,进行计算即可求出ME,AM的长,从而在Rt△AME 中,利用勾股定理进行计算即可解答.【解答】解:过点E作EN⊥BC,垂足为N,延长NE交AD于点M,∴∠ENB=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=6,∠DAB=∠ABC=90°,∴四边形AMNB是矩形,∴∠AMN=90°,AB=MN=8,AM=BN,MN∥AB,∴∠DME=∠DAB=90°,∠DEM=∠DBA,∴△DME∽△DAB,∴=,设ME=x,则EN=MN﹣EM=8﹣x,∴=,∴DM=x,∴BN=AM=AD﹣DM=6﹣x,∵BG=2,∴GN=BN﹣BG=4﹣x,∵EG⊥AE,∴∠AEG=90°,∴∠AEM+∠GEN=90°,∵∠AEM+∠MAE=90°,∴∠MAE=∠GEN,∵∠AME=∠ENG=90°,∴△AME∽△ENG,∴=,∴=,∴x1=,x2=8,经检验:x1=,x2=8都是原方程的根,x2=8(舍去),∴ME=,AM=6﹣x=,∴AE===,故选:B.4.如图,在△ABC中,AB=10,BC=34,cos∠ABC=,射线CM∥AB,D为线段BC上的一动点且和B,C不重合,联结DA,过点D作DE⊥DA交射线CM于点E,联结AE,作EF=EC,交BC的延长线于点F,设BD=x.(1)如图1,当AD∥EF,求BD的长;(2)若CE=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;(3)如图2,点G在线段AE上,作∠AGD=∠F,若△DGE与△CDE相似,求BD的长.【分析】(1)可推出△ABD是等腰三角形,从而求得BD;(2)作AK⊥BC于K,EH⊥CF于H,可证得△AKD∽△DHE,可求得AK=8,DK=x﹣6,EH=y,DH=34﹣x+y,进一步求得结果;(3)推出可以是△GDE∽△CDE或△GDE∽△CED,当△GDE∽△CDE时,可推出△GDE≌△CDE及△ABD≌△AGD,进而求得此时BD的值;当△GDE∽△CED时,推出四边形ADFED是平行四边形,再根据△AKD∽△DTE,进而求得此时BD.【解答】解:(1)如图1,作AK⊥BC于K,∴BK=AB•cos∠ABC=10×=6,∴AK===8,∵EF=EC,∴∠ECF=∠F,∵CM∥AB,AD∥EF,∴∠B=∠ECF,∠ADB=∠F,∴∠B=∠ADB,∴AB=AD,∴BD=2BK=12;(2)如图2,作AK⊥BC于K,EH⊥CF于H,∴∠ADK=∠CHE=90°,∴∠ADK+∠DAK=90°,∵AD⊥DE,∴∠ADE=90°,∴∠ADK+∠EDH=90°,∴∠DAK=∠EDH,∴△AKD∽△DHE,∴=,∵BD=x,BK=6,BC=34,∴DK=x﹣6,DC=34﹣x,∵∠ECF=∠ABD,∴CH=CE•cos∠ECF=y•cos∠ABD=,∴EH=y,∴DH=DC+CH=34﹣x+,∴=,化简,得,y=,当∠HDE=∠ECF时,DE∥CE,∴∠DAK=∠ECH=∠ABD,∴DK=AK•tan∠DAK=8•tan∠ABK=8×=,此时,BD=BK+DK=6+=,∴6<x<;(3)如图3,∵∠AGD=∠F,∠AGD+∠DGE=180°,∴∠DGE+∠F=180°,∵∠ECF+∠DCE=180°,∠F=∠ECF,∴∠DGE=∠DCE,∴△GDE∽△CDE或△GDE∽△CED,当△GDE∽△CDE时,∠GDE=∠CDE,∵DE=DE,∴△CDE≌△GDE(AAS),∴DG=DC,∵∠ADE=90°,∴∠ADB+∠EDC=∠ADG+∠GDE=90°,∴∠ADB=∠ADG,∵∠ABD=∠ECF=∠F,∴∠ABD=∠AGD,∵AD=AD,∴△ABD≌△AGD(AAS),\∴DB=DG,∴BD=CD=BC=17,∵6<BD<,∴BD=17不符合题意,舍去;当△GDE∽△CED时,如图4,∠GDE=∠DEC,∠GED=∠CDE,∴DG∥CE,CD∥GE,∴四边形CDGE是平行四边形,由(1)(2)知,AK=8,DK=x﹣6,CD=34﹣x,△AKD∽△DTE,∴ET=AK=8,CT=BK=6,DT=40﹣x,∴=,∴=,∴x=8,综上所述:BD=8.考向五、手拉手相似模型:模型名称几何模型图形特点具有性质相似型手拉手△ABC ∽△ADEA 、D 、E 逆时针A 、B 、C 逆时针连结BD 、CE ①△ABD ∽△ACE ②△AOB ∽△HOC③旋转角相等④A 、B 、C 、H 四点共圆“反向”相似型手拉手△ABC ∽△ADE A 、D 、E 顺时针A 、B 、C 逆时针A 、D 、E`逆时针作△ADE 关于AD 对称的△ADE`性质同上①②③1.如图,△ABC 中,∠BAC =30°,∠ACB =90°,且△ABC ∽△AB 'C ',连接CC ',将CC ′沿C ′B ′方向平移至EB ',连接BE ,若CC '=,则BE 的长为( )A .1B .C .D .2【分析】连接BB′,在Rt△ABC中,利用锐角三角函数的定义可得=,再利用相似三角形的性质可得=,∠ACB =∠AC ′B′=90°,∠BAC =∠B ′AC ′=30°,从而利用等式的性质可得∠BAB ′=∠CAC ′,进而可证△BAB ′∽△CAC ′,然后利用相似三角形的性质可得∠BB ′A =∠CC ′A ,==,再利用平移的性质可得CC ′∥B ′E ,==,从而利用平行线的性质可得∠BB ′E =30°,最后证明△BCA ∽△BEB ′,从而可得∠BEB ′=90°,进而在Rt △BEB ′中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.【解答】解:连接BB ′,∵∠BAC=30°,∠ACB=90°,∴cos30°==,∵△ABC∽△AB'C',∴=,∠ACB=∠AC′B′=90°,∠BAC=∠B′AC′=30°,∴∠BAC+∠CAB′=∠B′AC′+∠CAB′,∴∠BAB′=∠CAC′,∴△BAB′∽△CAC′,∴∠BB′A=∠CC′A,==,由平移得:CC′=B′E=,CC′∥B′E,∴==,∵CC′∥B′E,∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠BB′A+∠BB′E=180°,∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠CC′A+∠BB′E=180°,∴∠AC′B′+∠AB′C′+∠BB′E=180°,∵∠AC′B′=90°,∠B′AC′=30°,∴∠AB′C′=90°﹣∠B′AC′=60°,∴∠BB′E=30°,∴∠BB′E=∠CAB=30°,∴△BCA∽△BEB′,∴∠BEB′=∠ACB=90°,∴BE=B′E•tan30°=×=,故选:B.2.如图,在△ABC中,AB=AC=3,BC=6,点P在边AC上运动(可与点A,C重合),将线段BP 绕点P逆时针旋转120°,得到线段DP,连接BD,CD,则CD长的最小值为 .【分析】以BC为边构建出和△BPD相似的三角形,通过将CD边转化为其他边来求值.【解答】解:如图所示,以BC为底边向上作等腰△BQC,使∠BQC=120°,连接PQ.由题意可得△BQC和△BPD均为顶角为120°的等腰三角形,可得,∠QBC=∠PBD=30°,∴∠QBC﹣∠QBD=∠PBD﹣∠QBD,∴∠PBQ=∠DBC,∴△PBQ∽△DBC,∴,∴当PQ⊥AC时,有PQ最小,即此时CD最小,如图所示,设OP′⊥AC,延长AQ与BC交K,此时QP'为QP的最小值,可得AK⊥BC,∵△BQC中,∠BQC=120°,BC=6,∴BK=3,∠QBK=30°,∴QK=,∵AB=AC=3,KC=3,∴AK==6,∴AQ=AK﹣QK=5,∵∠AP'Q=∠AKC=90°,∠QAP'=∠CAK,∴△AQP'∽△ACK,∴,∴,∴QP'=,∴CD=P′=.3.已知在Rt△ABC中,CD⊥AB于点D.(1)在图1中,写出其中两对相似三角形.(2)已知BD=1,DC=2,将△CBD绕着点D按顺时针方向进行旋转得到△C'BD,连接AC',BC.①如图2,判断AC'与BC之间的位置及数量关系,并证明;②在旋转过程中,当点A,B,C'在同一直线时,求BC的长.【分析】(1)利用两个角相等可得△ABC∽△ACD,△BCD∽△BAC;(2)①利用两边成比例且夹角相等证明△DBC∽△DC'A,得,∠DC'A=∠DBC,可得结论;②分点C'在线段AB或AB的延长线两种情形,分别画出图形,利用勾股定理列方程可得答案.【解答】解:(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°,∴△ABC∽△ACD,△BCD∽△BAC;(2)①,AC'⊥BC,理由如下:由(1)知,在图1中,△ABC∽△CBD∽△ACD,∴,如图2,∵∠BDC'=∠CDA=90°,∴∠BDC=∠C'DA,∴△DBC∽△DC'A,∴,∠DC'A=∠DBC,∵∠DEB=∠CEC',∴∠C'FE=∠BDC'=90°,∴AC'⊥BC,∴,AC'⊥BC;②如图,当点A、B、C'在同一直线上时,由①知,,AC'⊥BC,设BC=x,AC'=2x,在Rt△ACB中,由勾股定理得,x2+(2x﹣)2=(2)2,解得x=(负值舍去),如图,当A、C'、B在同一直线上时,同理可得,x2+(2x+)2=(2)2,解得x=(负值舍去),综上:BC=或.1.(2022秋•泗阳县期末)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆BE高2m,测得AB=3m,BC =6m.则建筑物CD的高是( )A.4m B.9m C.8m D.6m【分析】利用相似三角形的性质求解即可.【解答】解:∵EB∥CD,∴△AEB∽△ADC,∴=,∴=,∴CD=6(m),故选:D.2.(2022秋•成华区期末)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF,已知四边形BDEF是平行四边形,.若△ADE的面积为1,则平行四边形BDEF的面积为( )A.3B.4C.5D.6【分析】利用平行四边形的性质先说明△ADE∽△ABC、△CEF∽△CBA,再利用相似三角形的性质求出△ADE、△ABC、△CEF的面积,最后利用面积的和差关系得结论.【解答】解:∵四边形BDEF是平行四边形,∴DE∥BC,EF∥AB.∴△ADE∽△ABC,△CEF∽△CBA.∵,∴=.∴=.∴=()2=,=()2=.∵S△ADE=1,∴S△ABC=9,S△CEF=4.∵S△ADE+S△CEF+S平行四边形BDEF=S△ABC,∴S平行四边形BDEF=9﹣1﹣4=4.故选:B.3.(2022秋•海淀区校级月考)如图,在等腰△ABC中,AB=AC=9,BP=BC=2,D在AC上,且∠APD =∠B,则CD= .【分析】根据已知易得BC=6,从而可得CP=4,再利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C,从而利用三角形内角和定理可得∠BAP+∠APB=180°﹣∠B,然后利用平角定义可得∠APB+∠DPC=180°﹣∠B,从而可得∠DPC=∠BAP,进而可得△ABP∽△PCD,最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答.【解答】解:∵BP=BC=2,∴BC=3BP=6,∴CP=BC﹣BP=6﹣2=4,∵AB=AC=9,∴∠B=∠C,∴∠BAP+∠APB=180°﹣∠B,∵∠APD=∠B,∴∠APB+∠DPC=180°﹣∠APD=180°﹣∠B,∴∠DPC=∠BAP,∴△ABP∽△PCD,∴=,∴=,∴CD=,故答案为:.4.(2022秋•万州区期末)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=9,E为CD的中点,F为BC上一点,BF<FC,且AF⊥FE.对角线AC与EF交于点G,则GC的长为 .【分析】根据矩形的性质可得∠B=∠FCE=90°,由∠AFB+∠EFC=∠AFB+∠BAF可得∠EFC=∠BAF,以此证明△ABF∽△FCE,根据相似三角形的性质得,设BF=x,则CF=9﹣x,以此列出方程解得BF=3,CF=6,过点G作GH⊥BC于点H,再证明△CHG∽△CBA,△FHG∽△FCE,得到,,联立两式子,算出CH、GH,最后根据勾股定理即可求解.【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=∠FCE=90°,∵AF⊥FE,∴∠AFB+∠EFC=90°,∵∠AFB+∠BAF=90°,∴∠EFC=∠BAF,∴△ABF∽△FCE,∴,设BF=x,则CF=9﹣x,∵四边形ABCD为矩形,AB=6,E为CD的中点,∴CE=3,∴,整理得:x2﹣9x+18=0,解得:x1=3,x2=6,∵BF<FC,∴BF=3,CF=6,过点G作GH⊥BC于点H,如图,∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴GH∥AB,GH∥CD,∴△CHG∽△CBA,△FHG∽△FCE,∴,,∴①,②,联立①②得:,解得:,在Rt△CHG中,由勾股定理得GC=.故答案为:.5.(2022•安徽模拟)在数学探究活动中,小明进行了如下操作:如图,将两张等腰直角三角形纸片ABC 和CDE如图放置(其中∠ACB=∠E=90°,AC=BC,CE=DE).CD、CE分别与AB边相交于M、N 两点.请完成下列探究:(1)若AC=2,则AN•BM的值为 4 ;(2)过M作MF⊥AC于F,若=,则的值为 .【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得∠A=∠B=45°,∠MCN=45°,可得∠ACN=∠ACM+∠MCN=∠ACM+45°,∠BMC=∠ACM+∠A=∠ACM+45°,即可证明△ACN∽△BMC,可得=,即可求解;(2)过点C作CG⊥AB于点G,可得∠CGN=∠CFM=90°,由等腰直角三角形的性质可得∠NCG+∠MCG=45°,∠ACM+∠MCG=45°,从而可得∠NCG=∠MCF,可证得△GCN∽△FCM,可得==,设CG=4k,则CF=5k,AC=4k,即可求解=.【解答】解:(1)∵△ABC和△CDE为等腰直角三角形,∴∠A=∠B=45°,∠MCN=45°,BC=AC=2,∵∠ACN=∠ACM+∠MCN=∠ACM+45°,∠BMC=∠ACM+∠A=∠ACM+45°,∴∠ACN=∠BMC,∴△ACN∽△BMC,∴=,∵BC=AC=2,∴AN•BM=AC•BC=4,故答案为:4;(2)如图,过点C作CG⊥AB于点G,∵MF⊥AC,∴∠CGN=∠CFM=90°,∵∠NCG+∠MCG=45°,∠ACM+∠MCG=45°,∴∠NCG=∠MCF,∴△GCN∽△FCM,∵=,∴==,设CG=4k,则CF=5k,AC=4k,∴=,故答案为:.6.(2022秋•驻马店期末)如图,AD是Rt△ABC斜边上的高,若AB=4cm,BC=10cm,求BD的长.【分析】根据射影定理列出算式,代入数据计算即可.【解答】解:由射影定理得,AB2=BD•BC,则BD==1.6.7.(2022秋•开化县期中)如图,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,∠BCE=∠ACD.(1)求证:△ABC∽△DEC;(2)若AC:DC=2:3,BC=6,求EC的长.【分析】(1)由∠BCE=∠ACD,可得出∠BCA=∠ECD,结合∠A=∠D,可证出△ABC∽△DEC;(2)由△ABC∽△DEC,利用相似三角形的性质可得出AC:DC=BC:CE,结合已知条件,可求出EC 的长.【解答】(1)证明:∵∠BCE=∠ACD,∴∠BCE+∠ECA=∠ACD+∠ACE,即∠BCA=∠ECD.又∵∠A=∠D,∴△ABC∽△DEC.(2)解:∵△ABC∽△DEC,AC:DC=2:3,∴AC:DC=BC:CE=2:3,而BC=6,∴EC=9,∴EC的长为9.8.(2022秋•奉贤区期中)如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC.E为边CB延长线上一点,联结DE 交边AB于点F,联结AC交DE于点G,且=.(1)求证:AB∥CD;(2)如果AE2=AG•AC,求证:=.【分析】(1)由AD∥BC,得到△ADG∽△CEG,根据相似三角形的性质即可得到结论;(2)由AE2=AG•AC易得△AEG∽△ACE,所以∠AEG=∠ACE=∠DAG,可得△ADG∽△EDA,再根据相似三角形的性质可得结论.【解答】证明:(1)∵AD∥BC,∴△ADG∽△CEG,∴=,∵=,∴=,∴AB∥CD;(2)∵AE2=AG•AC,∴=,∵∠EAG=∠CAE,∴△AEG∽△ACE,∴∠AEG=∠ACE,∵AD∥BC,∴∠ACE=∠DAG,∴∠DAG=∠AEG,∵∠ADG=∠EDA,∴△ADG∽△EDA,∴,即=.9.(2022秋•长安区校级月考)如图,已知AB∥EF∥CD,AC,BD相交于点E,EF:AB=2:3.(1)若CE=4,求AE的长;(2)若CD=6,求AB的长;(3)若四边形ABFE的面积为8,直接写出△CEF的面积.【分析】(1)根据AB∥EF得到△CEF∽△CAB,接着利用相似三角形的性质得到EF:AB=2:3=CE:CA,由此求出CA=6即可求解;(2)根据AB∥EF∥CD,得到△ABE∽△CDE,接着得到AB:CD=AE:CE,利用比例的性质最后得到EFAE:CE=AB:CD=1:2即可求出AB=3;(3)由于△CEF∽△CAB得到S△CEF:S△CAB===,由此即可求解.【解答】解:(1)∵AB∥EF,∴△CEF∽△CAB,∴EF:AB=2:3=CE:CA,∵CE=4,∴2:3=4:CA,∴CA=6,∴AE=CA﹣CE=6﹣4=2;(2)∵AB∥EF∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴AB:CD=AE:CE,∵EF:AB=2:3=CE:CA,∴CE:EA=2:1,∴AE:CE=AB:CD=1:2,而CD=6,∴AB=3;(3)∵△CEF∽△CAB,∴S△CEF:S△CAB===,∴=,∴=,∴S△CEF=.10.(2022•文山州模拟)如图,在△ABC中,∠A=90°,D、E分别是AB、BC上的点,过B、D、E三点作⨀O,交CD延长线于点F,AC=3,BC=5,AD=1.(1)求证:△CDE∽△CBF;(2)当⨀O与CD相切于点D时,求⨀O的半径;(3)若S△CDE=3S△BDF,求DF的值.【分析】(1)根据圆内接四边形的性质可得∠BED+∠BFD=180°,再根据同角的补角相等可得∠CED =∠BFD,然后根据两角相等的两个三角形相似进行证明即可解答;(2)连接OD,过点O作OM⊥BD,垂足为M,可得DM=BM=DB,∠OMD=90°,从而可得∠ODM+∠MOD=90°,再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长,从而求出BD,DM的长,然后在Rt△ACD 中,利用勾股定理求出CD的长,再利用切线的性质可得∠ODC=90°,最后利用一线三等角相似模型证明△DMO∽△CAD,从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答;(3)过点D作DH⊥BC,垂足为H,过点B作BG⊥CF,垂足为G,根据△BDC的面积=BC•DH=BD•AC=BG•CD,可求出DH=,BG=,再根据已知S△CDE=3S△BDF,可得=,然后设DF=x,则CE=15x,从而利用(1)的结论,进行计算即可解答.【解答】(1)证明:∵四边形BEDF是⊙O的内接四边形,∴∠BED+∠BFD=180°,∵∠BED+∠CED=180°,∴∠CED=∠BFD,∵∠DCE=∠BCF,∴△CDE∽△CBF;(2)连接OD,过点O作OM⊥BD,垂足为M,∴DM=BM=DB,∠OMD=90°,∴∠ODM+∠MOD=90°,∵∠A=90°,BC=5,AC=3,∴AB===4,∵AD=1,∴BD=AB﹣AD=4﹣1=3,∴DM=BD=,在Rt△ADC中,CD===,∵⨀O与CD相切于点D,∴∠ODC=90°,∴∠ODM+∠ADC=180°﹣∠ODC=90°,∴∠MOD=∠ADC,∵∠OMD=∠A=90°,∴△DMO∽△CAD,∴=,∴=,∴DO=,∴⨀O的半径为;(3)过点D作DH⊥BC,垂足为H,过点B作BG⊥CF,垂足为G,∵△BDC的面积=BC•DH=BD•AC=BG•CD,∴BC•DH=BD•AC=BG•CD,∴5DH=3×3=BG,∴DH=,BG=,∵S△CDE=3S△BDF,∴CE•DH=3×DF•BG,∴CE•DH=3DF•BG,∴CE=3DF•,∴==,∴设DF=x,则CE=15x,由(1)得:△CDE∽△CBF,∴=,∴=,解得:x=,经检验:x=是原方程的根,∴DF=x=,∴DF的长为.1.(2022•巴中)如图,在平面直角坐标系中,C为△AOB的OA边上一点,AC:OC=1:2,过C作CD∥OB交AB于点D,C、D两点纵坐标分别为1、3,则B点的纵坐标为( )A.4B.5C.6D.7【分析】根据CD∥OB得出,根据AC:OC=1:2,得出,根据C、D两点纵坐标分别为1、3,得出OB=6,即可得出答案.【解答】解:∵CD∥OB,∴,∵AC:OC=1:2,∴,∵C、D两点纵坐标分别为1、3,∴CD=3﹣1=2,∴,解得:OB=6,∴B点的纵坐标为6,故选:C.2.(2022•凉山州)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,若DE∥BC,,DE=6cm,则BC的长为( )A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm【分析】根据=,得到=,根据DE∥BC,得到∠ADE=∠B,∠AED=∠C,得到△ADE∽△ABC,根据相似三角形对应边成比例即可得出答案.【解答】解:∵=,∴=,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC,∴=,∴=,∴BC=15(cm),故选:C.3.(2022•哈尔滨)如图,AB∥CD,AC,BD相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则BD的长为( )A.B.4C.D.6【分析】利用平行线证明判定三角形相似,得到线段成比例求解.【解答】解:∵AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴=,即=,∴BE=1.5,∴BD=BE+DE=4.5.故选:C.4.(2022•雅安)如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,DE∥BC,若=,那么=( )A.B.C.D.【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可.【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=,∵=,∴=,∴==.故选:D.5.(2022•扬州)如图,在△ABC中,AB<AC,将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点D在BC 边上,DE交AC于点F.下列结论:①△AFE∽△DFC;②DA平分∠BDE;③∠CDF=∠BAD,其中所有正确结论的序号是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③【分析】由旋转的性质得出∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,AB=AD,∠E=∠C,进而得出∠B=∠ADB,得出∠ADE=∠ADB,得出DA平分∠BDE,可判断结论②符合题意;由∠AFE=∠DFC,∠E=∠C,得出△AFE∽△DFC,可判断结论①符合题意;由∠BAC=∠DAE,得出∠BAD=∠FAE,由相似三角形的性质得出∠FAE=∠CDF,进而得出∠BAD=∠CDF,可判断结论③符合题意;即可得出答案.【解答】解:∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,AB=AD,∠E=∠C,∴∠B=∠ADB,∴∠ADE=∠ADB,∴DA平分∠BDE,∴②符合题意;∵∠AFE=∠DFC,∠E=∠C,∴△AFE∽△DFC,∴①符合题意;∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,∴∠BAD=∠FAE,∵△AFE∽△DFC,∴∠FAE=∠CDF,∴∠BAD=∠CDF,∴③符合题意;故选:D.6.(2022•达州)如图,点E在矩形ABCD的AB边上,将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点F 处,若CD=3BF,BE=4,则AD的长为( )A.9B.12C.15D.18【分析】证明△BEF∽△CFD,求得CF,设BF=x,用x表示DF、CD,由勾股定理列出方程即可求解.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠A=∠EBF=∠BCD=90°,∵将矩形ABCD沿直线DE折叠,∴AD=DF=BC,∠A=∠DFE=90°,∴∠BFE+∠DFC=∠BFE+∠BEF=90°,∴∠BEF=∠CFD,∴△BEF∽△CFD,∴,∵CD=3BF,∴CF=3BE=12,设BF=x,则CD=3x,DF=BC=x+12,∵∠C=90°,∴Rt△CDF中,CD2+CF2=DF2,∴(3x)2+122=(x+12)2,解得x=3(舍去0根),∴AD=DF=3+12=15,故选:C.7.(2022•云南)如图,在△ABC中,D、E分别为线段BC、BA的中点,设△ABC的面积为S1,△EBD的面积为S2,则=( )A .B .C .D .【分析】根据三角形的中位线定理,相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.【解答】解:在△ABC 中,D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点,∴DE 为△ABC 的中位线,∴DE ∥AC ,DE =AC ,∴△BED ∽△BAC ,∵=,∴=,即=,故选:B .8.(2022•锦州)如图,在正方形ABCD 中,E 为AD 的中点,连接BE 交AC 于点F .若AB =6,则△AEF 的面积为 3 .【分析】由正方形的性质可知AE =3,AD //BC ,则可判断△AEF ∽△CBF ,利用相似三角形的性质得到,然后根据三角形面积公式得到S △AEF =S △ABE .【解答】解:∵四边形ABCD 是正方形,∴AD =BC =AB =6,AD ∥BC ,∵E 为AD 的中点,∴AE =AB =3,∵AE ∥BC ,∴△AEF ∽△CBF ,∴==,∴S △AEF :S △ABF =1:2,∴S△AEF=S△ABE=××3×6=3.故答案为:3.9.(2022•牡丹江)如图,在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,点D 在BC边上,DE与AC相交于点F,AH⊥DE,垂足是G,交BC于点H.下列结论中:①AC=CD;②AD2=BC•AF;③若AD=3,DH=5,则BD=3;④AH2=DH•AC,正确的是 ②③ .【分析】①根据等腰直角三角形可知∠B=∠ACB=45°,若AC=CD,则∠ADC=∠CAD=67.5°,这个根据已知得不出来,所以①错误;②证明△AEF∽△ABD,列比例式可作判断;④证明△ADH∽△BAH,列比例式可作判断;③先计算AH的长,由④中得到的比列式计算可作判断.【解答】解:①∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠B=∠ACB=45°,∵∠ADC=∠B+∠BAD,而∠BAD的度数不确定,∴∠ADC与∠CAD不一定相等,∴AC与CD不一定相等,故①错误;②∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE,∵∠B=∠AED=45°,∴△AEF∽△ABD,∴=,∵AE=AD,AB=BC,∴AD2=AF•AB=AF•BC,∴AD2=AF•BC,故②正确;④∵∠DAH=∠B=45°,∠AHD=∠AHD,∴△ADH∽△BAH,∴=,∴AH2=DH•BH,而BH与AC不一定相等,故④不一定正确;③∵△ADE是等腰直角三角形,∴∠ADG=45°,∵AH⊥DE,∴∠AGD=90°,∵AD=3,∴AG=DG=,∵DH=5,∴GH===,∴AH=AG+GH=2,由④知:AH2=DH•BH,∴(2)2=5BH,∴BH=8,∴BD=BH﹣DH=8﹣5=3,故③正确;本题正确的结论有:②③故答案为:②③.10.(2022•东营)如图,在△ABC中,点F、G在BC上,点E、H分别在AB、AC上,四边形EFGH是矩形,EH=2EF,AD是△ABC的高,BC=8,AD=6,那么EH的长为 .【分析】设AD交EH于点R,由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH∥BC,∠EFC=90°,则△AEH∽△ABC,得=,其中BC=8,AD=6,AR=6﹣EH,可以列出方程=,解方程求出EH 的值即可.【解答】解:设AD交EH于点R,∵矩形EFGH的边FG在BC上,∴EH∥BC,∠EFC=90°,∴△AEH∽△ABC,∵AD⊥BC于点D,∴∠ARE=∠ADB=90°,∴AR⊥EH,∴=,∵EF⊥BC,RD⊥BC,EH=2EF,∴RD=EF=EH,∵BC=8,AD=6,AR=6﹣EH,∴=,解得EH=,∴EH的长为,故答案为:.11.(2022•上海)我们经常会采用不同方法对某物体进行测量,请测量下列灯杆AB的长.(1)如图(1)所示,将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处,测角仪高为b米,从C点测得A点的仰角为α,求灯杆AB的高度.(用含a,b,α的代数式表示)(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法,在至今仍有借鉴意义.如图(2)所示,现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前,测得其影长CH为1米,再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置,此时测得其影长DF为3米,求灯杆AB的高度.【分析】(1)根据题意可得BE=CD=b米,EC=BD=a米,∠AEC=90°,∠ACE=α,然后在Rt△AEC 中,利用锐角三角函数的定义求出AE的长,进行计算即可解答;(2)根据题意得:GC=DE=2米,CD=1.8米,∠ABC=∠GCD=∠EDF=90°,然后证明A字模型相似三角形△ABH∽△GCH,从而可得=,再证明A字模型相似三角形△ABF∽△EDF,从而可得=,进而可得=,最后求出BC的长,从而求出AB的长.【解答】解:(1)如图:由题意得:BE=CD=b米,EC=BD=a米,∠AEC=90°,∠ACE=α,在Rt△AEC中,AE=CE•tanα=a tanα(米),∴AB=AE+BE=(b+a tanα)米,∴灯杆AB的高度为(a tanα+b)米;(2)由题意得:GC=DE=2米,CD=1.8米,∠ABC=∠GCD=∠EDF=90°,∵∠AHB=∠GHC,∴△ABH∽△GCH,∴=,∴=,∵∠F=∠F,∴△ABF∽△EDF,∴=,∴=,∴=,∴BC=0.9米,∴=,∴AB=3.8米,∴灯杆AB的高度为3.8米.1.(2022•贺州)如图,在△ABC中,DE∥BC,DE=2,BC=5,则S△ADE:S△ABC的值是( )A.B.C.D.【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵DE=2,BC=5,∴S△ADE:S△ABC的值为,故选:B.2.(2022•南岗区三模)如图,点E在菱形ABCD的边CD的延长线上,连接BE交AD于点F,则下列式子一定正确的是( )A.B.C.D.。
相似三角形中的基本模型--半角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,难度大,是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法,熟练掌握基本解题模型,再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1.半角模型(相似模型)【常见模型及结论】1)半角模型(正方形中的半角相似模型)条件:已知,如图,在正方形ABCD中,∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点,且∠EAF=45°结论:如图1,△AMN∽△AFE且AFAM=AEAN=EFMN=2.(思路提示:∠ANM=∠AEF,∠AMN=∠AFE);图1图2结论:如图2,△MAN∽△MDA,△NAM∽△NBA;结论:如图3,连接AC,则△AMB∽△AFC,△AND∽△AEC.且AFAM=ACAB=2;图3图4结论:如图4,△BME∽△AMN∽△DFN.2)半角模型(特殊三角形中的半角相似模型)(1)含45°半角模型图1图2条件:如图1,已知∠BAC=90°,∠ABC=∠ACB=∠DAE=45°;结论:①△ABE∽△DAE∽△DCA;②ABBE=ADAE=CDAC;③AB⋅AC=BE⋅CD(AB2=BE⋅CD)(2)含60°半角模型条件:如图1,已知∠BAC=120°,∠ADE=∠DAE=60°;结论:①△ABD∽△CAE∽△CBA;②ADBD=CEAE=ACAB;③AD⋅AE=BD⋅CE(DE2=BD⋅CE)1(2023·山东济南·九年级期中)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的两点,且∠EAF=45°,AE、AF分别交BD于M,N.下列结论:①AB2=BN⋅DM;②AF平分∠DFE;③AM⋅AE=AN⋅AF;④BE+DF=2MN.其中正确的结论是()A.①②③④B.①②③C.①③D.①②【答案】A【分析】①转证AB:BN=DM:AB,因为AB=AD,所以即证AB:BN=DM:AD.证明△ABN∽△MDA;②把△ABE绕点A逆时针旋转90°,得△ADH证明△AFH≌△AFE(SAS);③即证AM:AN=AF:AE,证明△AMN∽△AFE(两角相等);④由②得BE十DF=EF,当E点与B点重合、F与C重合时,根据正方形的性质,结论成立.【详解】①∵∠BAN=∠BAM+∠MAN=∠BAM+45°,∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM,∴∠BAN=∠AMD.又∠ABN=∠ADM=45°,∴△ABN∽△MDA,∴AB:BN=DM:AD,∵AD=AB,∴AB2=BN⋅DM.故①正确;②如图,把△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADH,∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°.∴∠EAF=∠HAF,∵AE=AH,AF=AF,∴△AEF≌△AHF,∴∠AFH =∠AFE ,即AF 平分∠DFE ,故②正确;③∵AB ∥CD ,∴∠DFA =∠BAN ,∵∠AFE =∠AFD ,∠BAN =∠AMD ,∴∠AFE =∠AMN ,又∠MAN =∠FAE ,∴△AMN ∽△AFE ,∴AM :AF =AN :AE ,即AM ·AE =AN ·AF ,故③正确;④由②得BE +DF =DH +DF =FH =FE ,过A 作AO ⊥BD ,作AG ⊥EF ,则△AFE 与△AMN 的相似比就是AG :AO ,易证△ADF ≌△AGF (AAS ),则可知AG =AD =2AO ,从而得证,故④正确,故选:A .【点睛】此题考查了正方形的性质、相似(包括全等)三角形的判定和性质、旋转的性质等知识点,综合性极强,难度较大.2(2023·山东滨州·统考中考模拟)如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =4,点E 、F 分别在BC 、CD 上,若AE =5,∠EAF =45°,则AF 的长为.【答案】4103【分析】取AB 的中点M ,连接ME ,在AD 上截取ND =DF ,设DF =DN =x ,则NF =2x ,再利用矩形的性质和已知条件证明△AME ∽△FNA ,利用相似三角形的性质:对应边的比值相等可求出x 的值,在直角三角形ADF 中利用勾股定理即可求出AF 的长.【详解】解:取AB 的中点M ,连接ME ,在AD 上截取ND =DF ,设DF =DN =x ,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D =∠BAD =∠B =90°,AD =BC =4,∴NF =2x ,AN =4-x ,∵AB =2,∴AM =BM =1,∵AE =5,AB =2,∴BE =1,∴ME =BM 2+BE 2=2,∵∠EAF =45°,∴∠MAE +∠NAF =45°,∵∠MAE +∠AEM =45°,∴∠MEA =∠NAF ,∴△AME ∽△FNA ,∴AM FN =ME AN ,∴12x=24-x ,解得:x =43∴AF =AD 2+DF 2=4103故答案为4103.【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用,正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键.3(2023·福建龙岩·统考一模)如图,∠ACB =90°,AC =BC ,∠DCE =45°,如果AD =3,BE =4,则BC 的长是( ).A.5B.52C.62D.7【答案】C【详解】分析:由于△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,设DE=x,则AB=7+x,可以得出△ACE∽△CDE∽△BDC,根据相似三角形的性质,列出关于x方程,解出x,再计算BC的长.详解:设DE=x,则AB=7+x.∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠DCE=∠CAE=∠DBC=45°∴△ACE∽△CDE∽△BDC,设CD=a,CE=b,则有以下等式:x:b=b:3+x,x:a=a:4+x,x:a=b:AC,整理得:b2=x(x+3),a2=x(x+4),x•AC=ab,x2(x+3)(x+4)=a2b2=x2•AC2=x2(x+7)22,解得:x=5;∴AB=12,∴AC=BC=62.故选C.点睛:本题主要考查了三角形相似的性质和判定、等腰直角三角形的性质,以及列方程求解的能力.4(2023·广东·九年级专题练习)如图,ΔABC中,∠BAC=120°,AB=AC,点D为BC边上的点,点E为线段CD上一点,且CE=1,AB=23,∠DAE=60°,则DE的长为.【答案】7 3【分析】利用含30°角的直角三角形的性质及图形的相似可求DE的长.【详解】解:如图,作AF⊥BC于F,作EG⊥AC于G.∵ΔABC中,∠BAC=120°,AB=AC.∴∠B=∠C=30°.在R tΔCEG中,∠C=30°.∴EG=12CE=12,CG=32.∴AG=23-32=332.∵AF⊥BC.∴∠AFC=90°.∴AF=12AC=3.∵∠DAE=60°=∠FAC.∴∠DAF=∠EAG.∵∠AFD=∠AGE=90°.∴ΔADF∽ΔAGE.∴AF AG =DFEG,即3332=DF12.∴DF=13.由勾股定理得:AE2=AG2+EG2=AF2+EF2.∴EF2=3322+12 2-(3)2=4.∴EF=2.DE=2+13=73故答案为:73【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质及相似三角形的判定,作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键.5(2023·辽宁沈阳·统考二模)在菱形ABCD中,∠B=60°.点E,F分别在边BC,CD上,且BE= CF.连接AE,AF.(1)如图1,连接EF ,求证:△AEF 是等边三角形;(2)AG 平分∠EAF 交BC 于点G .①如图2,AG 交EF 于点M ,点N 是BC 的中点,当BE =4时,求MN 的长.②如图3,O 是AC 的中点,点H 是线段AG 上一动点(点H 与点A ,点G 不重合).当AB =12,BE =4时,是否存在直线OH 将△ACE 分成三角形和四边形两部分,其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3.若存在,请直接写出AH AG 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析;(2)①MN =23;②12或57【分析】(1)证△ABE ≌△ACF ,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可;(2)①连接AN ,证△NAM ∽△BAE ,列出比例式,根据相似比即可求解;②分点H 为AG 中点和点N 为EC 中点两种情况,根据相似比,求出比值即可.【详解】解:(1)∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC ,∵∠B =60°,∴△ABC 是等边三角形,∴AB =AC ,∠ACB =∠ACD =∠BAC =60°,∵BE =CF ,∴△ABE ≌△ACF ;∴AE =AF ,∴∠BAE =∠CAF ,∴∠EAF =60°,∴△AEF 是等边三角形;(2)①连接AN ,∵点N 是BC 的中点,∴∠ANB =90°,∵∠B =60°,∴∠BAN =30°,∴cos ∠BAN =AN AB=32,由(1)知,△AEF 是等边三角形,∠EAF =60°,AG 平分∠EAF∴∠AME =90°,∠EAM =30°,∴cos ∠EAM =AM AE=32,∠BAN -∠EAN =∠EAM -∠EAN ,即∠BAE =∠NAM ,∴△NAM ∽△BAE∴MN BE =AM AE,∴MN 4=32,∴MN =23②如图,当点H 为AG 中点时,即AH AG=12;∵O 是AC 的中点,∴OH ∥EC ,∴△AMO ∽△AEC ,∵AO AC =12,∴S △AMO S △AEC =14,即S △AMO S 四边形MECO=13;同理,如图所示,当点N 为EC 中点时,ON ∥AE ,S △CON S 四边形NEAO=13;连接FG ,作FP ⊥BC ,交BC 延长线与点P ,∵BE =CF =4,AB =BC =12,∴CE =8,∵CD ∥AB ,∴∠B =∠DCP =60°,∴∠CFP =30°,∴CP =2,FP =CF 2-CP 2=23,∵AE =AF ,AG =AG ,∠EAG =∠FAG ,∴△EAG ≌△FAG ,∴EG =FG ,设EG =x ,CG =8-x ,PG =10-x ,(10-x )2+(23)2=x 2,解得,x =5.6,∵EN =CN =4,AH AG =EN EG =45.6=57;综上,AH AG的值为:12或57.【点睛】本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,解直角三角形,相似三角形的判定与性质,解题关键是熟练运用相关几何知识,构建几何模型证明相似或全等.6(2023山东九年级期中)如图,正方形ABCD 的对角线相交于点O ,点M ,N 分别是边BC ,CD 上的动点(不与点B ,C ,D 重合),AM ,AN 分别交BD 于点E ,F ,且∠MAN 始终保持45°不变.(1)求证:AF AM=22;(2)求证:AF ⊥FM ;(3)请探索:在∠MAN 的旋转过程中,当∠BAM 等于多少度时,∠FMN =∠BAM ?写出你的探索结论,并加以证明.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)∠BAM =22.5.【分析】(1)先证明A 、B 、M 、F 四点共圆,根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM =90°,根据等腰直角三角形性质即可解决问题.(2)由(1)的结论即可证明.(3)由:A .B 、M 、F 四点共圆,推出∠BAM =∠EFM ,因为∠BAM =∠FMN ,所以∠EFM =∠FMN ,推出MN ∥BD ,得到CMCB =CN CD,推出BM =DN ,再证明△ABM ≌△ADN 即可解决问题.【详解】解:(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ABD =∠CBD =45°,∠ABC =90°,∵∠MAN =45°,∴∠MAF =∠MBE ,∴A 、B 、M 、F 四点共圆,∴∠ABM +∠AFM =180°,∴∠AFM =90°,∴∠FAM =∠FMA =45°,∴AM =2AF ,∴AF AM=22.(2)由(1)可知∠AFM =90°,∴AF ⊥FM .(3)结论:∠BAM =22.5时,∠FMN =∠BAM理由:∵A 、B 、M 、F 四点共圆,∴∠BAM =∠EFM ,∵∠BAM =∠FMN ,∴∠EFM =∠FMN ,∴MN ∥BD ,∴CM CB =CN CD,∵CB =DC ,∴CM =CN ,∴MB =DN ,在△ABM 和△ADN 中,∵AB =AD ,∠ABM =∠ADN ,BM =DN ,∴△ABM ≌△ADN ,∴∠BAM =∠DAN ,∵∠MAN =45°,∴∠BAM +∠DAN =45°,∴∠BAM =22.5°.7(2022·广东深圳·统考二模)【教材呈现】(1)如图1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起,点A 为公共顶点,∠BAC =∠G =90°,若△ABC 固定不动,将△AFG 绕点A 旋转,边AF ,AG 与边BC 分别交于点D ,E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),则结论BE ⋅CD =AB 2是否成立(填“成立”或“不成立”);【类比引申】(2)如图2,在正方形ABCD 中,∠EAF 为∠BAD 内的一个动角,两边分别与BD ,BC 交于点E ,F ,且满足∠EAF =∠ADB ,求证:△ADE ∽△ACF ;【拓展延伸】(3)如图3,菱形ABCD 的边长为12cm ,∠BAD =120°,∠EAF 的两边分别与BD ,BC 相交于点E ,F ,且满足∠EAF =∠ADB ,若BF =9cm ,则线段DE 的长为cm .【答案】(1)成立;(2)证明见解析;(3)53cm .【分析】(1)根据等腰三角形性质得出∠DAC =∠AEB ,再证△BEA ∽△CAD 即可;(2)根据正方形性质得出∠CAF =∠DAE 即可;(3)如图3,在DE 上取一点M ,使∠MAD =30°,过M 作MN ⊥AD 于N ,根据四边形ABCD 为菱形,且∠BAD =120°,证出∠MAD =∠MDA =30°,再证△ACF ∽△AME ,求出AC =3AM ,利用菱形ABCD 的边长为12cm ,求出CF =3ME =3cm 即可.【详解】解:(1)结论BE ⋅CD =AB 2成立理由:如图1,∵△ABC 和△AFG 都是等腰直角三角形,∴∠B =∠C =∠FAG =45°∵∠DAC =∠CAE +45°,∠AEB =∠CAE +45°,∴∠DAC =∠AEB又∵∠B =∠C ,∴△BEA ∽△CAD ,∴BE AC =AB CD ,∵AC =AB ,∴BE ⋅CD =AB 2,故答案为:成立(2)证明:如图2,∵四边形ABCD 是正方形,∴∠CAD =∠ACB =∠ADB =45°,∵∠EAF =∠ADB ,∴∠EAF =∠CAD =45°,∴∠ACF +∠CAE =∠DAE +∠CAE ,∴∠CAF =∠DAE ,又∵∠ACB =∠ADB ,∴△ADE ∽△ACF ;(3)线段DE 的长为53cm理由:如图3,在DE 上取一点M ,使∠MAD =30°,过M 作MN ⊥AD 于N ,又∵四边形ABCD 为菱形,且∠BAD =120°,∴∠CAD =∠ACB =∠ADC =60°,∴∠MDA =12∠ADC =30°∴∠MAD =∠MDA =30°,∴∠AME =60°,∴∠AME =∠ACB =60°,∵∠CAD =60°,∠MAD =30°,∴∠CAM =30°,∵∠EAF =∠ADB ,∴∠EAF =∠CAM =30°,∴∠CAF =∠MAE ,∴△ACF ∽△AME ,∴CF ME =AC AM,∵AN =12AD ,AN =AM cos30°=32AM ,∴2AN =3AM ,2AN =AD ,∴MA =MD =33AD ,∵AD =AC ,∴AC =3AM ,∴CF ME =ACAM=3,∵菱形ABCD的边长为12cm,∴BC=AD=12cm,∵BF=9cm,∴CF=3ME=3cm,∴ME=3cm,∵MD=33AD,∴MD=33×12=43cm ,∴DE=ME+MD=43+3=53cm,∴线段DE的长为53cm.故答案为53.【点睛】本题考查等腰直角三角形性质,正方形性质,三角形相似判定与性质,菱形性质,锐角三角形函数,掌握等腰直角三角形性质,正方形性质,三角形相似判定与性质,菱形性质,锐角三角形函数是解题关键.课后专项训练1(2023·广东深圳·九年级校考阶段练习)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,DC上,AE、AF分别交BD于点M,N,连接CN、EN,且CN=EN.下列结论:①AN=EN,AN⊥EN;②BE+DF=EF;③∠DFE=2∠AMN;④EF2=2BM2+2DN2.其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】A【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADH,则∠1=∠4,AE=AH,BE=DH,可证得△BNA ≌△BNC,从而得到AN=CN,∠NCE=∠BAN,进而得到∠NEC=∠NCE=∠BAN,再由四边形内角和定理可得AN=NE,AN⊥NE,故①正确;再证明△AFE≌△AFH,可得EF=FH=DF+DH=DF+ BE,∠AFH=∠AFE,故②正确;再由∠MAN=∠NDF=45°,∠ANM=∠DNF,可得∠AMN=∠AFD=∠AFE,从而得到∠DFE=2∠AMN,故③正确;再证明△AMN∽△AFE,△AEN是等腰直角三角形,可得AE=2AN,从而得到EF=2MN,将△ABM绕点A逆时针旋转90°,得到△ADG,则∠DAG=∠BAM,AM=AG,∠ADG=∠ABM=45°,证明△ANG≌△ANM,可得MN=GN,再由勾股定理,可得故④正确,即可求解.【详解】解:如图,将△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADH,则∠1=∠4,AE=AH,BE=DH,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,∠ABD=∠CBD=45°,在△BNA和△BNC中,BN=BN ∠NBA=∠BA=BCNBC∴△BNA≌△BNC,∴AN=CN,∠NCE=∠BAN,∵CN=EN,∴∠NEC=∠NCE=∠BAN,∵∠NEC+∠BEN=180°,∴∠BAN+∠BEN=180°,∴∠ABC+∠ANE=180°,∴∠ANE=90°,∴AN=NE,AN⊥NE,故①正确;∴∠3=∠AEN=45°,∵∠1=∠4,∴∠2+∠4=∠2+∠1=45°,∴∠3=∠FAH=45°,∵AF=AF,AE=AH,∴△AFE≌△AFH,∴EF=FH=DF+DH=DF+BE,∠AFH=∠AFE,故②正确;∵∠MAN=∠NDF=45°,∠ANM=∠DNF,∴∠AMN=∠AFD=∠AFE,又∵∠AFE=∠AFD,∠DFE=∠AFE+∠AFD,∴∠DFE=2∠AMN,故③正确;∵∠MAN=∠EAF,∠AMN=∠AFE,∴△AMN∽△AFE,∴NMEF =ANAE,∵AN=NE,AN⊥NE,∴△AEN是等腰直角三角形,∴AE=2AN,∴NMEF =ANAE=12,∴EF=2MN,如图,将△ABM绕点A逆时针旋转90°,得到△ADG,则∠DAG=∠BAM,AM=AG,∠ADG=∠ABM=45°,∴∠NDG=90°,即△GDN是直角三角形,∵∠MAN=45°,∴∠BAM+∠DAN=∠DAG+∠DAN=∠GAN=45°=∠MAN,∵AN=AN,∴△ANG≌△ANM,∴MN=GN,∴MN2=DN2+DG2=DN2+BM2,∴EF2=2MN2=2DN2+2BM2,故④正确;故选A.【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用旋转法,添加辅助线构造全等三角形解决问题.2(2022·广东深圳·统考一模)如图,正方形ABCD中,E是BC的中点,F在CD上,CF=2DF,连接AE,AF与对角线BD交于点M,N,连接MF,EN.给出结论:①∠EAF=45°;②AN⊥EN;③tan∠AMN=3;④DN:MN:BM=2:5:3.其中正确的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④【答案】A【分析】将△ABE顺时针旋转,使得AB与AD重合,此时得△ADG,将△AFD逆时针旋转,使得AD与AB 重合,此时得△ABH,根据∠HAF=∠GAE=90°,即可求得∠HAE=∠FAE=45°,①正确;根据∠HAE=∠FAE=45°可得△AMN∼△DFN,即可求tan∠AMN=tan∠DFN=ADDF =63=3,即可得③正确;根据如图正方形构造直角坐标系,求出直线AE、AF、BD的解析式,再联立解析式,即可求得M、N两点的坐标,再根据坐标求出DN、MN、BM、AN、NE,即可知AN=NE=3102,则有∠EAN=∠AEN=45°,则有∠ANE=90°,AN⊥NE,②正确;根据DN、MN、BM长度可知DN:MN:BM=3:5:4,④错误.【详解】将△ABE顺时针旋转,使得AB与AD重合,此时得△ADG,将△AFD逆时针旋转,使得AD与AB 重合,此时得△ABH,链接EF,如图所示:为了方便计算,设正方形的边长为6,则有AB=BC=CD=AD=6,则有BE=EC=3=DG,CF=4,DF=2=BH,∠BAE=∠DAG,则有:HE=5=FG,利用勾股定理,易求得:AH=AF=210,AE=AG=35,EF=5,BD=62,根据图形的旋转,可知∠HAB=∠FAD,∠BAE=∠DAG,∴∠HAF=∠GAE=90°,∵AH=AF,HE=5=FG,AE=AE,∴△AHE≅△AFE,同理可证得△AEF≅△AGF,∴∠HAE=∠FAE,又∵∠HAF=∠GAE=90°,∴∠HAE=∠FAE=45°,故①正确;∵∠HAE=∠FAE=45°,∠ANM=∠DNF,∴△AMN∼△DFN,同理可证△AMN∼△BME,∴∠AMN=∠DFN,∴tan∠AMN=tan∠DFN=ADDF =62=3,故③正确;以B为坐标原点O,AB所在的直线为y轴,以BC所在的直线为x轴,构建直角坐标系,则有A点坐标为(0,6),B点坐标为(0,0),C点坐标为(6,0),D点坐标为(6,6),F点坐标为(6,4),E点坐标为(3,0),则直线AF的解析式为:y=-13x+6,BD的解析式为y=x,AE的解析式为y=-2x+6,联立:y=-13x+6 y=x,得到N点坐标为:92,9 2,同理的M点坐标为(2,2),过M点作MP垂直于BC,交BC于P点,过N点作NQ垂直于DC,交DC于Q点,则有MP=2,DQ=DC-QC=6-92=32,则有BM=(2-0)2+(2-0)2=22,DN=6-9 22+6-922=322,则有MN=BD-BM-DN=62-22-322=522,则有:DN:MN:BM=322:522:22=3:5:4,故④错误;根据N点坐标为:92 ,92,A点坐标为:(0,6),E点坐标为:(3,0),可得AN=0-9 22+6-922=NE=3-922+0-922=3102,则在△AEN中,∠EAN=∠AEN=45°,∴∠ANE=90°,∴AN⊥NE,故②正确;故选:A.【点睛】本题考查了直角坐标系的构建、相似三角形以及坐标系中求解两点间距离等知识.准确作出辅助线并构建直角坐标系是解答本题的关键.3如图,正方形ABCD中,△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C ,AB 、AC 分别交对角线BD于点E、F,若AE=4,则EF⋅ED的值为()A.4B.6C.8D.16【答案】D【分析】先根据正方形的性质、旋转的性质可得∠EAF=∠EDA=45°,再根据相似三角形的判定与性质即可得.【详解】∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=∠EDA=45°,由旋转的性质得:∠B AC =∠BAC,∴∠B AC =∠EDA,即∠EAF=∠EDA,在△AEF和△DEA中,∠EAF=∠EDA ∠AEF=∠DEA,∴△AEF∼△DEA,∴EF AE =AEDE,即EF4=4DE,∴EF⋅DE=16,故选:D.【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.4如图,菱形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD边上的动点,BE=AF,∠BAD=120°,则下列结论:①ΔBEC≌ΔAFC;②ΔECF为等边三角形;③∠AGE=∠AFC;④若AF=1,则GFGE=12.其中正确个数为()A.4B.3C.2D.1【答案】B【分析】由SAS证明△BEC≌△AFC,①正确;由全等三角形的形状得CE=CF,∠BCE=∠ACF,再由∠BCE+∠ECA=∠BCA=60°,得∠ACF+∠ECA=60°,得△CEF是等边三角形,②正确;由∠AGE=∠CAF+∠AFG=60°+∠AFG,∠AFC=∠CFG+∠AFG=60°+∠AFG,得∠AGE=∠AFC,故③正确;④过点E 作EM ∥BC 交AC 下点M 点,易证△AEM 是等边三角形,则EM =AE ,由AF ∥EM ,则△AFG ∽△MEG ,得④错误.【详解】解:①∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =AD =4,∠BAC =∠CAD .∵∠BAD =120°,∴∠BAC =∠CAD =60°,∴ΔABC 和ΔACD 都是等边三角形,∴∠B =∠CAD =60°,BC =AC .∵BE =AF ,∴ΔBEC ≌ΔAFC SAS ,故①正确.②∵ΔBEC ≌ΔAFC ,∴CE =CF ,∠BCE =∠ACF .∵∠BCE +∠ECA =∠BCA =60°,∴∠ACF +∠ECA =60°,∴ΔCEF 是等边三角形,故②正确.③∵∠AGE =∠CAF +∠AFG =60°+∠AFG ,∠AFC =∠CFG +∠AFG =60°+∠AFG ,∴∠AGE =∠AFC ,故③正确.④过点E 作EM ∥BC 交AC 于点M ,∴∠AEM =∠B =60°,∠AME =∠ACB =60°,∴ΔAEM 是等边三角形,∴EM =AE .∵BE =AF =1,∴AE =AB -BE =4-1=3,∴EM =AE =3.∵AF ∥EM ,∴ΔAFG ~ΔMEG ,∴GF GE=AF EM =13﹐故④错误,正确个数为3.故选B .【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识;熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.5(2023·浙江绍兴·校联考三模)矩形ABCD 中,AB =6,AD =12,连接BD ,E ,F 分别在边BC ,CD 上,连接AE ,AF 分别交BD 于点M ,N ,若∠EAF =45°,BE =3,则DN 的长为.【答案】1255【分析】根据矩形的性质,由勾股定理得出BD ,延长AB 至P ,使PB =AB =6,过P 作BC 的平行线交DC 的延长线于Q ,得正方形APQD ,延长AE 交PQ 于H ,连接HF ,将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°,点D 与点P 重合,得到△APG ,由旋转的性质可得PG =PF ,∠APG =∠ADF =90°,AG =AF ,∠PAG =∠DAF ,证出∠GAF =90°,得出∠GAH =∠FAH =45°,可证△AGH ≌△AFH ,得出GH =FH ,证出FH =DF +PH ,设DF =x ,则FQ =12-x ,利用勾股定理列出方程求出x =4,然后由DF ∥AB ,得△DFN ∽△BAN ,所以DF AB=DN BN =23,即可求出DN 的长.【详解】解:在矩形ABCD 中,∵∠BAD =90°,AB =6,AD =12,∴BD =AB 2+AD 2=62+122=65,如图,延长AB 至P ,使PB =AB =6,过P 作BC 的平行线交DC 的延长线于Q ,得正方形APQD ,延长AE交PQ于H,连接HF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,点D与点P重合,得到△APG,∵四边形APQD是正方形,∴AP=PQ=DQ=AD,∠PAD=∠APH=∠Q=∠ADQ=90°,由旋转得:△APG≌△ADF,∴PG=DF,∠APG=∠ADF=90°,AG=AF,∠PAG=∠DAF,∴∠PAG+∠PAF=∠PAF+∠DAF=90°,即∠GAF=90°,C ,P,H三点共线,∵∠HAF=45°,∴∠GAH=90°-45°=45°,∴∠GAH=∠FAH=45°,在△AGH和△AFH中,AG=AF∠GAH=∠FAH AH=AH,∴△AGH≌△AFH SAS ,∴GH=FH,∵GH=PG+PH=DF+PH,∴FH=DF+PH,设DF=x,则FQ=DQ-DF=12-x,∵AB=BP=6,BE∥PQ,∴AEEH =ABBP=1,∴AE=EH,∴PH=2BE=2×3=6,∴FH=DF+PH=6+x,HQ=12-6=6,在Rt△QFH中,由勾股定理得:FQ2+HQ2=FH2,∴(12-x2+62=x+62,解得:x=4,∴DF=4,∵DF∥AB,∴△DFN∽△BAN,∴DFAB =DN BN=23,∴DN=25BD=25×65=1255.故答案为:1255.【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质等知识;证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键.6(2023·成都市·九年级专题练习)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论:①△AED≌△AEF;②AEBE=ADCD;③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积;④BE2+DC2=DE2;⑤BE=EF-DC;其中正确的选项是(填序号)【答案】①③④【分析】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF,AD=AF,因为∠BAC=90°,∠DAE=45°,所以∠CAD+∠BAE=45°,可得∠EAF=45°=∠DAE,由此即可证明△AEF≌△AED;②当△ABE∽△ACD时,该比例式成立;③根据旋转的性质,△ADC ≌△ABF ,进而得出△ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积;④据①知BF =CD ,EF =DE ,∠FBE =90°,根据勾股定理判断.⑤根据①知道△AEF ≌△AED ,得CD =BF ,DE =EF ;由此即可确定该说法是否正确.【详解】解:①根据旋转的性质知∠CAD =∠BAF ,AD =AF .∵∠BAC =90°,∠DAE =45°,∴∠CAD +∠BAE =45°,∴∠EAF =45°,∴△AED ≌△AEF ;故本选项正确;②∵AB =AC ,∴∠ABE =∠ACD ;∴当∠BAE =∠CAD 时,△ABE ∽△ACD ,∴AE BE =AD CD ;当∠BAE ≠∠CAD 时,△ABE 与△ACD 不相似,即AE BE ≠AD CD;∴此比例式不一定成立,故本选项错误;③根据旋转的性质知△ADC ≌△AFB ,∴S △ABC =S △ABD +S △ABF =S 四边形AFBD ,即三角形ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积,故本选项正确;④∵∠FBE =45°+45°=90°,∴BE 2+BF 2=EF 2.∵△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后,得到△AFB ,∴△AFB ≌△ADC ,∴BF =CD .又∵EF =DE ,∴BE 2+DC 2=DE 2,故本选项正确;⑤根据①知道△AEF ≌△AED ,得CD =BF ,DE =EF ,∴BE +DC =BE +BF >DE =EF ,即BE +DC >FE ,故本选项错误.综上所述:正确的说法是①③④.故答案为:①③④.【点睛】本题考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识,三角形三边的关系,相似三角形的性质与判定,解题时注意旋转前后对应的相等关系.7(2023·上海宝山·校考一模)如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 、E 在边BC 上,∠DAE =∠B =30°,且AD AE=32,那么DE BC 的值是.【答案】13318-1.【分析】由已知可得△ABE ∼△DAE ,从而可知AB BE =AD AE=32,AE 2=BE ∙DE ,设AB =3x ,则BE =2x ,再利用勾股定理和等腰三角形性质用x 表示DE 和BC ,从而解答【详解】解:∵∠BAE =∠DAE +∠BAD ,∠ADE =∠B +∠BAD ,又∵∠DAE =∠B =30°,∴∠BAE =∠ADE ,∴△ABE ∼△DAE ,∴AB BE =AD AE =32,AE 2=BE ∙DE ,过A 点作AH ⊥BC ,垂足为H ,设AB =3x ,则BE =2x ,∵∠B =30°,∴AH =12AB =32x ,BH =332AB =332x ,∴EH =BH -BE =332-2 x ,在Rt △AHE 中,AE 2=AH 2+EH 2=32x 2+332x -2x 2=13-63 x 2,又∵AE 2=BE ∙DE ,∴13-63 x 2=2x ∙DE ,∴DE =13-632x ,∵AB =AC ,AH ⊥BC ,∴BC =2BH =33x ,∴DE BC=13-632x 33x =13318-1,故答案为:DE BC =13-632x 33x=13318-1 .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理,利用三角形相似得到AB 与BE 的关系是解题的关键.8(2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中)通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.原题:如图1,点E ,F 分别在正方形ABCD 的边BC ,CD 上,∠EAF =45°,连接EF ,则EF =BE +DF ,试说明理由.(1)思路梳理∵AB =CD ,∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ,可使AB 与AD 重合.∵∠ADC =∠B =90°,∠FDG =180°,∴点F ,D ,G 共线.根据(从“SSS ,ASA ,AAS ,SAS ”中选择填写),易证△AFG ≌,得EF =BE +DF .(2)类比引申如图2,四边形ABCD 中,AB =AD ,∠BAD =90°,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,∠EAF =45°.若∠B ,∠D 都不是直角,则当∠B 与∠D 满足等量关系时,仍有EF =BE +DF .(3)联想拓展如图3,在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,点D ,E 均在边BC 上,且∠DAE =45°.猜想BD ,DE ,EC 应满足的等量关系,并写出推理过程.(4)思维深化如图4,在△ABC 中,∠BAC =60°,AB =AC ,点D ,E 均在直线BC 上,点D 在点E 的左边,且∠DAE =30°,当AB =4,BD =1时,直接写出CE 的长.【答案】(1)SAS,△AFE(2)∠B+∠D=180°(3)DE2=BD2+EC2,理由见解析(4)CE的长为87或83【分析】(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,再证明△AFE≌△AFG进而得到EF=FG,即可证明结论;(2)∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF与(1)的证法类同;(3)把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE ,连接DE ,根据旋转的性质,可知△AEC≌△ABE 得到BE =EC、AE =AE、∠C=∠ABE 、∠EAC=∠E AB,,根据Rt△ABC中的,AB=AC得到∠E BD=90°,所以E B2+BD2=E D2,证△AE D≌△AED,利用DE =DE 得到DE2=BD2+EC2;(4)分两种情况:点D在BC边上或点D在BC的延长线上,①当点D在BC边上时,过点A作AF⊥BC于点F,过点D作DG⊥AB于点G,利用三角函数求出BG,DG,AF,再证明△AFE∽△AGD,运用相似三角形性质即可求出EF,再由CE=CF-EF可求得CE;②当点D在CB的延长线上时,过点A作AF⊥BC于点F,过点D作DG⊥AB于点G,与①同理可求得EF,再由CE=CF+EF求出CE即可.【详解】(1)解:∵AB=AD,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.∴∠BAE=∠DAG,∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠EAF=∠FAG,∵∠ADC=∠B=90°,∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,在△AFE和△AFG中,AE=AG∠EAF=∠FAG AF=AF,∴△AFE≌△AFG SAS ,∴EF=FG,即:EF=BE+DF.故答案为:SAS,△AFE;(2)解:∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF,理由如下:∵AB=AD,∴如图2:把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,∴∠BAE=∠DAG,∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠EAF=∠FAG,∵∠ADC+∠B=180°,∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,在△AFE和△AFG中,AE=AG∠FAE=∠FAG AF=AF,∴△AFE≌△AFG SAS ,∴EF=FG,即:EF=BE+DF.故答案为:∠B+∠D=180°;(3)解:猜想:DE2=BD2+EC2.理由如下:如图3:把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE ,连接DE ,∴△AEC≌△ABE ,∴BE =EC,AE =AE,∠C=∠ABE ,∠EAC=∠E AB,在Rt△ABC中,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABC+∠ABE'=90°,即∠E BD=90°,∴E B2+BD2=E D2,又∵∠DAE=45°,∴∠BAD+∠EAC=45°,∴∠E AB+∠BAD=45°,即∠E AD=45°,在△AE D和△AED中,AE =AE∠E AD=∠DAE AD=AD,∴△AE D≌△AED SAS ,∴DE=DE ,∴DE2=BD2+EC2;(4)解:点D,E均在直线BC上,点D在点E的左侧,BD=1,∴分两种情况:点D在BC边上或点D在CB的延长线上,①当点D在BC边上时,如图4-1,过点A作AF⊥BC于点F,过点D作DG⊥AB于点G,∵AB=AC=4,∠BAC=60°,∴BF=CF=2,∠BAF=∠CAF=30°,AF=3BF=23,∵∠AGD=90°,∠B=60°,BD=1,∴BG=12BD=12,DG=3BG=32,∴AG=AB-BG=4-12=72,∵∠DAE=30°,∴∠DAF+∠BAD=∠DAF+∠FAE=30°,∴∠BAD=∠FAE,∵∠AFE=∠AGD=90°,∴△AFE∽△AGD,∴EFDG =AFAG,∴EF32=2372,∴EF=67,∴CE=CF-EF=2-67=87;②当点D在CB的延长线上时,如图4-2,过点A作AF⊥BC于点F,过点D作DG⊥AB于点G,由①知,BF=CF=2,∠BAF=∠CAF=30°,∵∠DGB=90°,∠DBG=∠ABC=60°,∴BG=12BD=12,DG=3BG=32,∴AG=AB+BG=4+12=92,∵∠DAE=∠BAF=30°,∴∠DAG+∠BAE=∠BAE+∠EAF,∴∠DAG=∠EAF,∴△DAG∽△EAF,∴EFDG =AF AG,∴EF32=2392,∴EF=23,∴CE=CF+EF=2+23=83.综上所述,CE的长为87或83.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角函数定义、勾股定理的应用等知识点,掌握全等三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的判定和性质,合理添加辅助线并灵活运用分类讨论思想是解题的关键.9(2023·陕西西安·九年级校考期中)问题研究,如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点D、E为底边BC 上的两个动点(不与B、C重合),且∠DAE=∠B.(1)请在图中找出一个与△ABE相似的三角形,这个三角形是;(2)若∠BAC=90°,分别过点D、E作AB、AC的垂线,垂足分别为F、G,且DF、EG的反向延长线交于点M,若AB=1,求四边形AFMG的面积;问题解决(3)如图所示,有一个矩形仓库ABCD,其中AB=40米,AD=30米,现计划在仓库的内部的E、F两处分别安装监控摄像头,其中点E在边BC上,点F在边DC上.设计要求∠EAF=45°且CE=CF,则CE的长应为多少米?【答案】(1)ΔDAE;(2)四边形的面积为12;(3)CE的长为70+45385米.【分析】(1)根据已知条件及相似三角形的判定可直接得出;(2)把ΔABD绕点A逆时针旋转90°得到ΔACH,连接EH,根据旋转可得ΔABD≅ΔACH,利用三角形全等的性质得出BD=CH,AD=AH,∠ACH=∠B,利用角和边之间的关系可得:ΔCEH为直角三角形,根据勾股定理及等量代换得出CE2+BD2=EH2,根据全等三角形的判定得出ΔHAE≅ΔDAE,得EH=DE,再求出各三角形的面积确定SΔCGE+SΔBDF=SΔDEM,再根据图形中三角形的关系得出S四边形AFMG=SΔABC,即可求得四边形面积;(3)根据(2)中思路,作图:延长AD到S,延长BC到G,使AS=BG=AB,连接SG,延长AF交SG于点H,连接EH,延长GS到T,使ST=BE,连接AT,则四边形ABGS为正方形,根据全等三角形的判定定理得出ΔATH≅ΔAEH,根据全等三角形的性质及等量代换得出∠HAT=∠HAE,再利用三角形全等的判定证明ΔATH≅ΔAEH,设CE=CF=x,可得出ST=30-x,GE=x+10,DF=40-x,在根据相似三角形的判定和性质得出ADAS=DFSH,将各边代入得出SH,HE,GH,在RtΔADF中,利用勾股定理得出方程求解即可.【详解】解:(1)∵∠AEB=∠DEA,∠B=∠DAE,∴ΔDAE~ΔABE,故答案为:ΔDAE;(2)如图所示:把ΔABD绕点A逆时针旋转90°得到ΔACH,连接EH,∴ΔABD≅ΔACH,∠DAH=90°,∴BD=CH,AD=AH,∠ACH=∠B,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠ACH=45°,∴∠ECH=∠ACB+∠ACH=90°,∴CE2+CH2=EH2,∴CE2+BD2=EH2,∵∠DAE=∠B,∴∠DAE=45°,∵∠DAH=90°,∴∠HAE=∠DAE=45°,在ΔHAE和ΔDAE中,AH=AD∠HAE=∠DAE AE=AE,∴ΔHAE≅ΔDAE,∴EH=DE,∴CE2+BD2=DE2,∵MG⊥AC于点G,∠ACB=45°,∴∠DEM=∠CEG=∠ACB=45°,∴CG=EG,∴CE2=2CG2,∵SΔCGE=12×CG×CE=CG22,∴SΔCGE=CE24,同理可得:SΔBDF =BD24,在ΔDEM中,∠DEM=∠EDM=45°,∴∠M=90°,同理可得:SΔDEM=DE2 4,∵CE2+BD2=DE2,∴SΔCGE+SΔBDF=SΔDEM,∴S四边形AFMG =S五边形AFDEG+SΔCGE+SΔBDF,即S四边形AFMG=SΔABC,∵SΔABC=12×AB×AC=12,∴S四边形AFMG=12,即四边形的面积为12;(3)如图,延长AD到S,延长BC到G,使AS=BG=AB,连接SG,延长AF交SG于点H,连接EH,延长GS到T,使ST=BE,连接AT,则四边形ABGS为正方形,∴BG=GS=AS=AB=40,DS=CG=40-30=10,在ΔABE和ΔAST中,AB=AS∠ABE=∠ASTBE=ST,∴∠BAE=∠SAT,AB=AT,∴∠HAT=∠HAS+∠SAT=∠HAS+∠BAE=45°,,∴∠HAT=∠HAE,在ΔATH和ΔAEH中,AT=AE∠HAT=∠HAEAH=AH,∴ΔATH≅ΔAEH,∴HT=HE,设CE=CF=x,则ST=BE=BC-CE=30-x,GE=x+10,DF=40-x,∵DF∥SH,∴ΔADF~ΔASH,∴ADAS=DFSH,即:3040=40-xSH,解得:SH=160-4x3,∴HE=HT=HS+ST=160-4x3+30-x=250-7x3,GH=GS-SH=40-160-4x3=4x-403,∴在Rt ΔADF 中,x +10 2+4x -4032=250-7x 3 2,解得:x 1=70+45385,x 2=70-45385(舍去),即CE 的长为70+45385米.【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的运用求解等,根据题意作出相应辅助线,融会贯通综合运用这些知识点是解题关键.10(2023·陕西汉中·九年级统考期末)如图,△ABC 中,∠BAC =120°,AB =AC ,点D 为BC 边上一点.(1)如图1,若AD =AM ,∠DAM =120°.①求证:BD =CM ;②若∠CMD =90°,求BD CD的值.(2)如图2,点E 为线段CD 上一点,且CE =4,AB =63,∠DAE =60°,求DE 的长.【答案】(1)①见解析,②BD CD=12(2)6.5【分析】(1)①通过证明△ABD ≌△ACM ,即可求证;②由①可得BD =CM ,再根据等边对等角求出∠ACM 和∠ACB 的度数,即可得出∠MCD =60°,最后根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半即可求证;(2)过点E 作EG ⊥AC 于G ,过A 作AF ⊥BC 于F ,证明△ADF ∽△AEG ,可以求出DF ,利用勾股定理可以求出EF 的长,从而可以求解.【详解】(1)证明:①∵∠BAC =120°,∠DAM =120°,∴∠BAC -∠CAD =∠DAM -∠CAD ,即∠BAD =∠MAC ,在△ABD 和△ACM 中,AB =AC∠BAD =∠MAC AD =AM,∴△ABD ≌△ACM SAS ,∴BD =CM ;②∵∠BAC =120°,AB =AC ,∴∠ACB =12180°-120° =30°,由①可得:△ABD ≌△ACM ,∴∠ACM =∠ACB =30°,∴∠DCM =∠ACM +∠ACB =60°,∵∠CMD =90°,∴在△CDM 中,∠CDM =180°-90°-60°=30°,∴CM =12CD ,整理得:CM CD =12,由①可得BD =CM ,∴BD CD=12.(2)过点A 作AF ⊥BC 于点F ,过点E 作EG ⊥AC 于点G ,∵AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠C =12180°-120° =30°,∵EG ⊥AC ,AB =AC =63,∴AF =12AC =33,在Rt △ACF 中,根据勾股定理可得:CF =AB 2-AF 2=9,∵CE =4,∴EF =CF -CE =9-4=5,∵EG ⊥AC ,∠C =30°,∴EG =12EC =2,在Rt △CEG 中,根据勾股定理可得:CG =CE 2-EG 2=23,∴AG =AC -CG =63-23=43,∵AB =AC ,∠BAC =120°,AF ⊥BC ,∴∠CAF =12∠BAC =60°,∵∠DAE =60°,∴∠DAE -∠EAF =∠CAF -∠EAF ,即∠DAF =∠EAG ,∵∠AFD =∠AGE =90°,∴△ADF ∽△AEG ,∴DF EG =AF AG ,即DF 2=3343,解得:DF =32,∴DE =DF +EF =32+5=6.5.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理等等,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.11(2023·辽宁沈阳·九年级统考期末)【教材呈现】(1)如图1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起,A 为公共顶点,∠BAC =∠G =90°,BC =6,若△ABC 固定不动,将△AFG 绕点A 旋转,边AF 、AG 与边BC 分别交于点D ,E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合)①求证:AE 2=DE •BE ;②求BE •CD 的值;【拓展探究】(2)如图2,在△ABC 中,∠C =90°,点D ,E 在边BC 上,∠B =∠DAE =30°,且AD =34AE ,请直接写出DE BC 的值.【答案】(1)①证明见解析;②18;(2)25318-2【分析】(1)①只需要证明△ABE ∽△DAE ,得到AE DE =BE AE,即可推出AE 2=DE ∙BE ;②先证明∠AEB =∠DAC ,则可证△AEB ∽△DAC ,推出BE ∙CD =AB ∙CA ,然后利用勾股定理求出AB =AC =32,即可得到BE ∙CD =AB ∙CA =18;(2)设AD =3x ,AE =4x ,先证明△ADE ∽△BDA ,推出BD AB =AD AE =34,设BD =3y ,AB =4y ,得到DE =AE ⋅AD AB=3x 2y ,求出AC =2y ,BC =23y ,则CD =BC -BD 23-3 y 在直角△ACD 中,AD 2=CD 2+AC 2,则9x 2=23-3 2y 2+4y 2,即可推出x 2y2=25-1239,由此求解即可.【详解】解:(1)①∵△ABC 和△AGF 都是等腰直角三角形,∠BAC =∠G =90°,∴∠B =∠C =∠GAF =。