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2020届人教B版(文科数学) 三角函数、解三角形 单元测试

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1．(2019·广州市调研测试)已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．13B ．3C ．－13D ．－3解析：选A.因为α是锐角，cos α＝55，所以sin α＝255，所以tan α＝sin αcos α＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝13，故选A. 2．已知sin 2α＝45，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.110 C.15D.45解析：选B.cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝110.故选B. 3．(2019·湖北新联考模拟)sin 10°1－3tan 10°＝( )A ．14B ．12C ．32D ．1 解析：选A.sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14.故选A.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－cos α＝( ) A ．±33B ．－63C ．63D ．±63解析：选 D.sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－cos α＝sin αcos π6＋cos αsin π6－cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6，而cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝±63，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－cos α＝±63，故选D.5．已知cos 2θ＝45，则sin 4θ＋cos 4θ＝________．解析：法一：因为cos 2θ＝45，所以2cos 2θ－1＝45，1－2sin 2θ＝45，因为cos 2θ＝910，sin 2θ＝110，所以sin 4θ＋cos 4θ＝4150.法二：sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1－12×925＝4150.答案：41506．已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________．解析：因为sin αcos α1－cos 2α＝12，所以sin αcos α2sin 2α＝12，cos αsin α＝1，所以tan α＝1，又因为tan(α－β)＝12，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝1－121＋1×12＝13.答案：137．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.8．(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2 α＋cos 2 α＝1，所以cos 2 α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2 α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.[综合题组练]1．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β的值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan αtan β1－tan αtan β＝1.因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝π4.2．已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( ) A ．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B ．tan(α＋β)＝2tan(α－β) C ．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D ．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)解析：选A.法一：因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，sin 2α＝2sin 2β， 所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]，整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A. 法二：因为sin 2α＝2sin 2β，所以tan （α＋β）tan （α－β）＝sin （α＋β）cos （α－β）cos （α＋β）sin （α－β）＝12（sin 2α＋sin 2β）12（sin 2α－sin 2β）＝3sin 2βsin 2β＝3，即tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.3．化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________．解析：原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2αcos 2β＝1－cos 2β－cos 2α＋cos 2αcos 2β4＋1＋cos 2β＋cos 2α＋cos 2αcos 2β4－12cos 2αcos 2β＝12＋12cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝12.答案：124．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________．解析：因为tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，所以tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α. 又α，β均为锐角， 所以β＝π4－α，即α＋β＝π4，所以tan(α＋β)＝tan π4＝1.答案：15．(应用型)如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？解：连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ ＝400sin 2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当点A ，D 到圆心O 的距离为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2.6．(综合型)已知函数f (x )＝A cos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值． 解：(1)因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝A cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2， 所以A ＝2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＝2cos(α＋π3＋π6)＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017， 得sin α＝1517，又α∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以cos α＝817.由f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝2cos(β－π6＋π6)＝2cos β＝85， 得cos β＝45，又β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝817×45－1517×35＝－1385.。

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2020届 人教A版__解三角形-单元测试

2020届 人教A版__解三角形-单元测试

解三角形一、单选题1．在ABC ∆中，B=30︒，C=45︒， c=1，则最短边长为（ ）A C ．12D【答案】B【解析】由题意，易知B C A <<，所以b 最小．由正弦定理，得sin sin c B b C == 2．已知ABC ∆中，2=a ，3=b ， 60=B ，那么=∠A （ ）A ． 45B ． 90C ． 135或 45D ． 150或 30 【答案】A 【解析】试题分析：利用正弦定理，B bA a sin sin =得：22360sin 2sin sin 0===bB a A ，由于b a <，则B A <，于是045=A ，选A. 考点：利用正、余弦定理解三角形.【易错点评】利用正弦定理求三角形的内角，当求出b a <22sin =A 时，容易得出045=A 或 135，这时务必要研究角A 的范围，由于，则B A <，说明角A 为锐角，所以045=A .3．已知ABC ∆满足a b >，则下列结论错误的是（ ）A ．AB > B ．sin sin A B >C ．cos cos A B <D ．sin2sin2A B > 【答案】D【解析】由大边对大角，可知A B >，所以A 正确； 由正弦定理可知， sin sin A B >，所以B 正确；由A B >，且cos y x =在()0,π单调递减，可知cos cos A B <，所以C 正确； 当90,30A B ==时， a b >，但sin2sin2A B <，所以D 错误。

故选D 。

点睛：本题考查三角函数与解三角形的应用。

本题中涉及到大边对大角的应用，正弦定理的应用，三角函数单调性的应用等，需要学生对三角模块的综合掌握，同时结合特殊值法去找反例，提高解题效率。

4．在∆ABC 中，,30,,1=∠==A x b a 则使∆ABC 有两解的x 的范围是（ ）A 、)332,1( B 、),1(+∞ C 、)2,332( D 、)2,1( 【答案】D 【解析】试题分析：结合图形可知，三角形有两解的条件为,sin b x a b A a =><，所以01,sin 301b x x =><，12x <<，故选D 。

2020届人教B版(文科数学) 推理与证明、算法、复数 (8) 单元测试

2020届人教B版(文科数学) 推理与证明、算法、复数 (8) 单元测试

2020届人教B版（文科数学）推理与证明、算法、复数 (8) 单元测试1.若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个“=”不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此证法是(B)(A)分析法 (B)综合法(C)分析法与综合法并用(D)反证法解析:由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.故选B.2.用数学归纳法证明“2n>2n+1对于n≥n的正整数n都成立”时,第一步证明中的应取(B)起始值n(A)2 (B)3 (C)5 (D)6解析:因为n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.=3.故选B.所以n的第一个取值n3.按照图1～图3的规律,第10个图中圆点的个数为(B)(A)36 (B)40 (C)44 (D)52解析:因为根据图形,第一个图有4个点,第二个图有8个点,第三个图有12个点,…,所以第10个图有10×4=40个点,故选B.4.在△ABC中,不等式++≥成立;在四边形ABCD中,不等式+++≥成立;在五边形ABCDE中,++++≥成立.猜想在n边形中,成立的不等式为(C)(A)++…+≥(B)++…+≥(C)++…+≥(D)++…+≥解析:通过观察发现不等式左边为多边形的各个内角的倒数之和,右边的分子为边数的平方,分母为多边形的内角和,而n边形的内角和为(n-2)π,故猜想在n边形中成立的不等式为++…+≥,故选C.5.如图,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1层),第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,依此类推,如果一个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为(C)(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:由题意知,第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为2×6,第4层的点数为3×6,第5层的点数为4×6,…,第n(n≥2,n∈N+)层的点数为6(n-1).设一个点阵有n(n≥2,n∈N+)层,则共有的点数为1+6+6×2+…+6(n-1)=1+×(n-1)=3n2-3n+1,由题意得3n2-3n+1=169,即(n+7)·(n-8)=0,所以n=8,故共有8层.6.函数y=x+在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,函数y=x+在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数,函数y=x+在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数,……利用上述所提供的信息解决下列问题:若函数y=x+(x>0)的值域是[6,+∞),则实数m的值为(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由归纳和类比推理知,函数y=x+(x>0)在(0,]上是减函数,在[,+∞)上为增函数,所以当x=时,y有最小值,即+=6,解得m=2,故选B.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,x n+y n能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=时,命题亦真.解析:n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立.答案:2k+18.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是.解析:假设两个一元二次方程均无实根,则有即解得{a|-2<a<-1},所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围.答案:{a|a≤-2或a≥-1}9.(2018·渭南一模)观察下列不等式:①<1;②+<;③++<;…则第5个不等式为.解析:由①<1;②+<;③++<;归纳可知第4个不等式应为+++<2;第5个不等式应为++++<.答案:++++<能力提升练(时间:15分钟)10.导学号 18702625将1,,,按如图所示的方式排列,若规定(m,n)表示第m排从左往右第n个数,则(7,5)表示的数是(B)1第1排第2排1第3排1第4排1第5排…………(A)1 (B)(C)(D)解析:所给数字4个数一循环,且每排的个数与排数相等.因为前6排的个数为1+2+3+4+5+6==21,所以(7,5)表示第21+5=26个数,因为26÷4=6……2,所以(7,5)表示的数为.选B.11.导学号 18702626从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为(C)(A)2 097 (B)1 553 (C)1 517 (D)2 111解析:根据如题图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=1 517,得a=157,是自然数.且a为表中第20行第5个数,符合,若9a+104=2 097,a≈221.4不合题意;若9a+104=1 553,a=161,a为表中第21行第一个数不合题意;若9a+104=2 111,a=223,a为表中第28行第7个数,不合题意.12.已知命题:在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0),△ABC的顶点B在椭圆上,顶点A,C分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为e,则=,现将该命题类比到双曲线中,△ABC的顶点B在双曲线上,顶点A,C分别为双曲线的左、右焦点,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).双曲线的离心率为e,则有.解析:根据题意,由类比推理知,命题的前提已经给出,需要计算研究命题的结论, 在双曲线中===,在△ABC中,由正弦定理得=,所以=.答案:=好题天天练1.导学号 18702627运用合情推理知识可以得到:当n≥2时,(1-)(1-)(1-)…(1-)=.解题关键:根据n=2,3时的关系式寻找规律,利用归纳推理求解.解析:n=2时,1-==,n=3时, (1-)(1-)=×==,…从而可得当n≥2时, (1-)(1-)(1-)…(1-)=.答案:2.导学号 18702628在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k项:k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得1×2=(1×2×3-0×1×2),2×3=(2×3×4-1×2×3),…n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2),类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果为.解题关键:根据已知条件及类比推理将n(n+1)(n+2)表示为某相邻两式的差.解析:因为k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]=k(k+1)[(k+2)-(k-1)],所以k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]=[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)].因为n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],所以1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4),…n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)].所以1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=[(1×2×3×4-0×1×2×3)+(2×3×4×5-1×2×3×4)+…+n(n+1)×(n+2)×(n+3)-(n-1)×n×(n+1)×(n+2)]=n(n+1)(n+2)(n+3).答案:n(n+1)(n+2)(n+3)。

2020届人教A版解三角形单元测试(2)

2020届人教A版解三角形单元测试(2)

解三角形一、单选题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a2+c2－b2=3ac ，则角B 的值为A 、6πB 、3πC 、6π或65πD 、3π或32π【答案】A 【解析】略 2．ABC ∆中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形 【答案】B 【解析】因为sin cos cos a b c A B C ==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== ,即ABC ∆为等腰直角三角形，选B.3．已知△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC ＝1 ：1 是A ．60°B ．90°C ．120°D ．135° 【答案】C 【解析】略4．锐角ABC ∆中，若2A B =，则ab的取值范围是A 、()1,2B 、(C 、)2D 、【答案】D 【解析】略5．（2015秋•潍坊期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足bcosC=a ，则△ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 【答案】C【解析】试题分析：已知等式利用余弦定理化简，整理可得：a 2+c 2=b 2，利用勾股定理即可判断出△ABC 的形状．解：在△ABC 中，∵bcosC=a ， ∴由余弦定理可得：cosC==，整理可得：a 2+c 2=b 2，∴利用勾股定理可得△ABC 的形状是直角三角形． 故选：C ．考点：正弦定理；余弦定理．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的变分别为a 、b 、c ，则“”a b ≤是“sin sin ?A B ≤的（ ）A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理得2sin sin a bR A B==（其中R 为ABC ∆外接圆的半径），则2sin a R A =， 2sin b R B =， 2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ≤⇔≤⇔≤，因此“”a b ≤是“sin sin ?A B ≤的充分必要必要条件，故选A.考点：本题考查正弦定理与充分必要条件的判定，属于中等题.视频7．在钝角三角形ABC 中，三边长是连续自然数，则这样的三角形（ ） A ．一个也没有 B ．有无数个 C ．仅有一个 D ．仅有2个 【答案】C 【解析】试题分析：设三边长分别是x ，x+1，x+2（x ∈N *） ∵三角形ABC 是钝角三角形ABC ∴最长边所对的角为钝角，可得x 2+（x+1）2＜（x+2）2，整理得x 2﹣2x ﹣3＜0 解之得﹣1＜x ＜3，满足条件的正整数x=1或2但是三边为1、2、3时，不能构成三角形；而三边为2、3、4时，恰好构成钝角三角形 因此满足条件的三角形只有1个 考点：三角形的形状判断8．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角 【答案】C 【解析】试题分析：利用三角形内角和可将已知条件化为，B C 2sin 2sin =,2C B π=+=∴或C B ，故选C ．考点：三角形形状的判断．9．在ABC ∆中， •3AB BC =,其面积32S ⎡∈⎢⎣，则AB BC 与夹角的取值范围为（ ） A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．23,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】设|,?AB c BC a ==， AB 与BC 的夹角为θ33cos ?,AB BC ac ac cos θθ∴⋅==∴＝13332222S acsin tan tan θθθ∴≤≤＝＝ 144tan ππθθ∴≤≤≤≤.故选B ．10．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若4AB DB =，1()4CD CA CB R λλ=+∈，则λ的值为A ．23 B. 34 C. 23- D ． 34-【答案】B 【解析】略11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinA =sinC ，则△ABC 一定是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 【答案】B【解析】由正弦定理设asinA =bsinB=csinC=k，又sinA=sinC，即ak=ck，所以a=c．故选B．12．在ΔABC中，b=asinC,c=acosB，则ΔABC一定是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．直角三角形【答案】B【解析】在ΔABC中，∵b=asinC,c=acosB，由正弦定理可得sinB=sinAsinC，sinC=sinAsinB，∴sinB=sinAsinAsinB，∴sinA=1,∴A=π2，∴sinC=sinAsinB，即sinC=sinB，∴由正弦定理可得c=b，故ΔABC一定是等腰直角三角形，故选B.二、填空题13．在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, a=1，且(bc−2)cosA+ accosB=1−b2，则△ABC面积的最大值为______________．【答案】√34【解析】【分析】根据余弦定理得到参数a的值，进而得到bc=1,根据重要不等式可得到面积的最值.【详解】由(bc−2)cosA+accosB=1−b2，得c(bcosA+acosB)+b2=1+2cosA，由bcosA+acosBc =sinBcosA+sinAcosBsinC=sin⁡(A+B)sinC=1，所以bcosA+acosB=c.所以c2+b2=1+2cosA，故cosA=c2+b2−12，又由余弦定理，cosA=c 2+b2−a22bc, a=1，故bc=1，又cosA=c 2+b2−12≥2bc−12=12，所以sinA≤√32，故S△ABC=12bcsinA≤√34，当且仅当b=c=1即△ABC为等边三角形时等号成立，所以△ABC面积的最大值为√34．故答案为：√34【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab及b2、a2时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.14．在ABC ∆中，有下列命题： ①sin sin a A b B =； ②sin sin a B b A =； ③cos cos a B b A =；④若sin sin A B >，则A B >； ⑤若A B >，则sin sin A B >． 其中恒成立的命题序号为_____________ 【答案】②④⑤ 【解析】试题分析：由正弦定理得，命题①等价于22b a =,显然只有等腰三角形时才成立；命题②显然成立；cos cos a B b A=B A B A A B B A =⇔=-⇔=⇔0)sin(cos sin cos sin ,故只有在等腰三角形时成立；B A b a B sin sin A >⇔>⇔>,显然命题④⑤成立，考点：运用正弦定理判断与三角形的命题。

2020届人教A版__解三角形-单元测试

2020届人教A版__解三角形-单元测试

解三角形一、单选题1．已知α是三角形的一个内角,且32cos sin =+αα,则这个三角形（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．不等腰的直角三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 试题分析：由题32cos sin =+αα, 则：()2225sin cos ,sin cos 0318αααα⎛⎫+==-< ⎪⎝⎭因为： sin 0,cos 0αα><，则三角形为钝角三角形。

考点：三角函数的变形及三角形形状的判断. 2．【答案】A【解析】本题考查向量的数量积及其最佳值问题如图示以为A 原点，以CA 和CB 所在直线为x 轴和y 轴建立直角坐标系，则()()()0,0,0,3,4,0A B C -，则()4,3CB = .设(),M x y 则()4,CM x y =+，由//CM CB 得443y x +=，即334y x =+，则()3,34x M x +，所以()()33,3,4,344x x AM x CM x =+=++；又AM CM ⊥，则0AM CM ⋅=，则()()()2223331617,34,34390444252x x x x x x x x x +⋅++=+++=++= 所以2251361440x x ++=解得3625x =-或4x =-（舍）所以()3648,2525M =-，所以()3648,2525AM =-设()()3,3,404a N a a +-≤≤，则()3,34a AN a =+，则()()()3648336348144,,33252542542525a a a AM AN a ⋅=-⋅+=-++⨯=即40a -≤≤时取最大值14425AM AN ⋅=故正确答案为A 3．在，则边的边长为（ ）A ．B ．3C ．D ．7【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，三角形的面积，解得，在中，由余弦定理得，所以．考点：余弦定理及三角形的面积公式的应用．4．已知ABC ∆中，AB=AC=5，BC=6，则ABC ∆的面积为A ．12B ．15C ．20D ．25 【答案】A 【解析】试题分析：因为，ABC ∆中，AB=AC=5，BC=6，所以，BC4=，三角形的面积为12，选A 。