排列与组合2020年高考数学一轮考点
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排列与组合2020年高考数学一轮考点
2020 年高考数学一 考点
57 摆列与 合
一、【知 精 】
1. 摆列与 合的观点
名称 定
摆列
从 n 个不一样元素中拿出 m m≤n
) 依据必定的 序排成一列
(
合 个不一样元素 合成一
2. 摆列数与 合数
(1)从 n 个不一样元素中拿出 m m≤n 个元素的所有不一样摆列的个数，叫做从 n 个
()
不一样元素中拿出 m个元素的摆列数 .
(2) 从 n 个不一样元素中拿出 m( m≤n) 个元素的所有不一样 合的个数，叫做从 n 个
不一样元素中拿出 m个元素的 合数 .
3. 摆列数、 合数的公式及性 公式
性
m n n－ n－ ⋯(n－m＋ ＝ n！
n
1)(2)1)（n－ m）！ . (1)A ＝ (
m n（ n－ ）（ n－ ）⋯（ n－m＋ ）
m n
A 1 2 1 ＝ (2)C n＝ m＝ m！
A
m
n！ n，m∈ * ，且 m≤n 特 地 0
m！（ n－m）！ ( N n＝
1 ). C n
(1)0 ！＝ 1；An＝ n！ . m n － mm m m (2)C ＝C ； C ＝C＋C － 1
n n n ＋1 n n 【注意点】
1. 解受条件限制的摆列、 合 ，往常有直接法 ( 合理分 ) 和 接法 ( 清除法 ).
分 准 一，防止出 重复或 漏 .
2. 于分派 ，一般先分 ，再分派，注意均匀分 与不均匀分 的区 ，防止重复或 漏 .
二、【典例精 】
考点一 摆列
【例 1】 有 3 名男生、 4 名女生，在以下不一样条件下，求不一样的摆列方法 数 .
(1) 5 人排成一排； 排列与组合2020年高考数学一轮考点
(2) 排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；
(3) 全体排成一排，女生一定站在一同；
(4) 全体排成一排，男生互不相邻；
(5)( 一题多解 ) 全体排成一排，此中甲不站最左边，也不站最右侧；
(6)( 一题多解 ) 全体排成一排，此中甲不站最左边，乙不站最右侧 .
【分析】 (1) 从 7 人中选 5 人摆列，有 5 种). A ＝7×6×5×4×3＝ 2 520( 7
(2) 分两步达成，先选 3 人站前排，有 3 4
A7种方法，余下 4 人站后排，有 A4种方法，
3 4
共有 A7·A4＝5 040( 种).
(3)( 捆绑法 ) 将女生看作一个整体与 3 4
名男生一同全摆列，有 A4 种方法，再将女
4 4 4
生全摆列，有 A4 种方法，共有 A4 ·A4＝576( 种).
(4)( 4
种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个 插空法 ) 先排女生，有 A4
3 4 3
空位安排男生，有 A5种方法，共有 A4·A5＝1 440( 种). (5) 法一 ( 特别元素优先法 ) 先排甲，有 5 种方法，其余 6
6 人有 A 种摆列方法， 6
共有 6 5×A＝ 3 600( 种 ).
6
法二 2
( 特别地点优先法 ) 左右两边地点可安排另 6 人中的两人，有 A6种排法，其
5 2 5
他有 A5种排法，共有 A6A5＝ 3 600( 种).
(6) 法一 6
( 特别元素优先法 ) 甲在最右侧时，其余的可全排，有 A6 种方法；甲不
1
在最右侧时， 可从余下的 5 个地点任选一个， 有 A5 种，而乙可排在除掉最右侧的
地点后剩下的 5 此中任选一个有 1 5
A5种，其余人全摆列， 只有 A5种不一样排法， 共有
6 1 1 5 A＋A AA ＝3 720.
6 5 5 5
法二
( 间接法 )7 名学生全摆列，只有 7 6
A7种方法，此中甲在最左边时，有 A6种方
6 种方法，此中都包括了甲在最左边且乙在最右侧的情况， 法，乙在最右侧时，有 A
6
5 7 6 5
＝3 720( 种).
有 A5种方法，故共有 A7－2A6＋A5
【解法小结】 摆列应用问题的分类与解法
(1) 关于有限制条件的摆列问题，剖析问题时有地点剖析法、元素剖析法，在实质进行摆列时一般采纳特别元素优先原则， 即先安排有限制条件的元素或有限制条件的地点，关于分类过多的问题能够采纳间接法 .
(2) 对相邻问题采纳捆绑法、不相邻问题采纳插空法、定序问题采纳倍缩法是解决有限制条件的摆列问题的常用方法 . 排列与组合2020年高考数学一轮考点
考点二 组合问题
【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查， 已知此中有 15 种赝品 . 现从 35
种商品中选用 3 种.
(1) 此中某一种赝品一定在内，不一样的取法有多少种？
(2) 此中某一种赝品不可以在内，不一样的取法有多少种？
(3) 恰有 2 种赝品在内，不一样的取法有多少种？
(4) 起码有 2 种赝品在内，不一样的取法有多少种？
(5) 至多有 2 种赝品在内，不一样的取法有多少种？
2
种) ，∴某一种赝品 【分析】 (1) 从余下的 34 种商品中，选用 2 种有 C34＝561(
一定在内的不一样取法有 561
种.
(2) 从 34 种可选商品中，选用 3 3 2 3
种 ). 3 种，有 C34种或许 C35－C34＝ C34＝5 984(
∴某一种赝品不可以在内的不一样取法有 5 984 种.
1 2
(3) 从 20 种真货中选用 1 件，从 15 种赝品中选用 2 件有 C20C15＝ 2 100( 种).
∴恰有 2 种赝品在内的不一样的取法有 2 100 种.
1 2 3 1 2 3
(4) 选用 2 种赝品有 C20C15种，选用 3 种赝品有 C15种，共有选用方式 C20C15＋C15＝2
100＋ 455＝2 555( 种).
∴起码有 2 种赝品在内的不一样的取法有 2 555 种.
(5) 选用 3 种的总数为 3 3
C35，选用 3 种赝品有 C15种，所以共有选用方式
3 3
C35－C15＝ 6 545 －455＝6 090( 种 ).
∴至多有 2 种赝品在内的不一样的取法有 6 090 种.
【解法小结】 组合问题常有以下两类题型变化：
(1) “含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素拿出，再由此外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除， 再从剩下的元素中去选用 .
(2) “起码”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这种题一定十分重视“起码”与“至多”这两个要点词的含义，提防重复与漏解 . 用直接法和间接法都可
以求解，往常用直接法分类复杂时，考虑逆向思想，用间接法办理.
考点三 分组、分派问题 多维研究
角度 1 整体均分问题
【例 3－1】 国家教育部为了发展贫穷地域教育，在全国要点师范大学免费培育 排列与组合2020年高考数学一轮考点
教育专业师范生， 毕业后要分到相应的地域任教， 现有 6 个免费培育的教育专业师范毕业生要均匀分到 3 所学校去任教，有 ________种不一样的分派方法 .
【答案】 90
2 2 2
【分析】 先把 6 个毕业生均匀分红 3 组，有 C6C34 C2种方法，再将 3 组毕业生疏
A
3
2 2 2
3 个毕业生均匀分到 C6C4C2 3 到 3 所学校，有 A3 ＝6 种方法，故 6 3 所学校，共有 3 ·A3
A
3
＝ 90 种分派方法 .
角度 2 部分均分问题
【例 3－2】 某学校派出 5 名优异教师去边远地域的三所中学进行教课沟通，每
所中学起码派一名教师，则不一样的分派方法有 ( )
A.80 种 B.90 种 C.120 种 D.150 种
【答案】 D
2 2 1
5 3 1 【分析】 分两类：一类，第一步将 5 名老师按 2，2，1 分红 3 组，其分法有 C CC
2
A2
2 2 1
5 3 1
种，第二步将分好的 3 组分派到 3 个学校，则有 CC C 3
种分派方法； 2 3
A2 ·A＝90
3 1 1
C CC
另一类，第一步将 5 2 1 5 名老师按 3，1， 1 分红 3 组，其分法有 2 种，第二步将
A
2
3 1 1
C5C2C1 3 ＝60 种分派方法 . 分好的 3 组分派到 3 个学校，则有 2 A
A 3
2
所以不一样的分派方法的种数为 90＋60＝150( 种).
角度 3 不平分问题
【例 3－3】 A，B， C， D，E， F 六人围坐在一张圆桌上开会， A 是会议的中心发
言人，一定坐最北面的椅子， B，C 二人一定坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩
余的三把椅子，则不一样的坐法有 ()
A.24 种 B.30 种 C.48 种 D.60 种
【答案】 C
【分析】 B，C二人一定坐相邻的两把椅子，有 4 种状况， B，C能够互换地点，
