２００７年４月 第２４卷第２期 枣庄学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＺＡＯＺＨＵＡＮＧ ＵＮＩＶＥＲＳ１ＴＹ Ａｐｒ．２００７ Ｖｏ１．２４ Ｎ０．２
幂线性空间的维数与基
刘振宇
（１．山东大学数学与系统科学院，山东济南 ２５０１００；２．枣庄学院数学与信息科学系，山东枣庄２７７１６０）
［摘要］首次给出了幂线性空间的概念，得到了线性空间的幂集提升，进而给出并讨论了幂线性空间的基、维数．
［关键词］幂线性空间；幂集提升；基；维数
［中图分类号］０１５１．２４ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１００４—７０７７（２００７）０２—００２８—０２
０引言
模糊数学的发展突出了集值映射的重要性，各种数学结构需要由论域向其幂集上提升．
自文［１］中考虑了代数结构的提升问题，首次提出了ＨＸ群的概念．文Ｅ２］提出代数群的提
升一幂群的概念以来，超代数的研究引起了不少学者的关注，文［３］给出了环的幂集提Ｙｔ－，文
［４］给出了格的幂集提升，并相应得到一系列有ｆｉｒ值的成果．
１线性空间与商空间
定义１．１＿５ 设ｖ是一个非空集合，Ｆ是一个数域在集合Ｖ的元素之间定义了一种代数运
算，叫做加法：这就是说，给出了—个法则，对于Ｖ中任意两个向量 与 ，在Ｖ中都有唯一的一
个元素 与它们对应，称为向量 与 的和，记为： ＝ ＋ ；在数域Ｆ与集合Ｖ的元素之间
还定义了一种运算，叫做数量乘法：这就是说，对于数域Ｆ中任一个数后与Ｖ中任一个元素 ，
在Ｖ中都有唯一的一个元素６与它们对应，称为后与Ｖ中任一个元素 的数量乘积，记为 ＝
后 如果加法与数量乘法满足下述规则，那么Ｖ称为数域Ｆ上的线性空间．记为：（ ，Ｐ，＋，・）．
加法满足下面四条规则：
（１） ＋ ＝ ＋ ；
（２）（ ＋ ）＋ ＝ ＋（ ＋ ）；
（３）在Ｖ中有一个元素Ｏ，对于Ｖ中任意的一个元素 ，都有： ＋Ｏ＝ （具有这个｝生质的
元素Ｏ称为 中的零元素）；
（４）对于Ｖ中任意一个元素 ，在Ｖ中都存在一个元素 ，使得： ＋ ＝０（称 为 的负
求v1∩v2的基和维数例题
我们可以通过计算两个向量空间的交集的基和维数来解决这个问题。
假设有两个向量空间$V_1$和$V_2$，它们的基分别为$\{v_1,v_2,v_3\}$和$\{w_1,w_2,w_3\}$。
首先，我们可以通过将两个基中的向量组合起来，得到$V_1$和$V_2$的交集$V_1\cap V_2$的基。具体来说，我们可以将$V_1$和$V_2$的基中的向量两两组合，得到所有可能的线性组合。然后，我们可以检查这些线性组合是否属于$V_1\cap V_2$。如果一个线性组合属于$V_1\cap V_2$，那么它就是$V_1\cap V_2$的基的一部分。
例如，对于$V_1$和$V_2$的基$\{v_1,v_2,v_3\}$和$\{w_1,w_2,w_3\}$，我们可以得到以下线性组合：
$v_1+w_1,v_1+w_2,v_1+w_3,v_2+w_1,v_2+w_2,v_2+w_3,v_3+w_1,v_3+w_2,v_3+w_3$
然后，我们可以检查这些线性组合是否属于$V_1\cap V_2$。例如，我们可以计算$v_1+w_1$是否属于$V_1\cap V_2$：
$v_1+w_1=v_1+0v_2+0v_3+1w_1+0w_2+0w_3$
由于$V_1$和$V_2$的基都是线性无关的，因此$v_1+w_1$属于$V_1\cap V_2$当且仅当$v_1=0w_1$且$0=1w_2$且$0=0w_3$。显然，这些条件都不满足，因此$v_1+w_1$不属于$V_1\cap V_2$。
我们可以对其他线性组合进行类似的检查，最终得到$V_1\cap
V_2$的基。
一旦我们得到了$V_1\cap V_2$的基，我们就可以计算它的维数。维数是基中向量的个数。因此，$V_1\cap V_2$的维数就是它的基中向量的个数。
- 1 - 矩阵论里基与维数
矩阵论是数学中的一个重要分支，其中基与维数的概念是至关重要的。基是指向量空间中的一组线性无关的向量，它们可以用来表示该空间中的任何向量。而维数则是指向量空间中最小的基中向量的个数。例如，二维平面上的向量空间可以用两个线性无关的向量作为基，因此其维数为2。
在矩阵论中，我们可以用矩阵来表示向量，从而将向量空间的问题转化为矩阵的性质问题。对于一个矩阵空间，其基可以是一组矩阵，而维数则是这组矩阵中的矩阵个数。
基与维数的概念在矩阵论中有着广泛的应用。例如，在求解线性方程组时，我们可以将其转化为矩阵乘法的形式，然后利用矩阵的基和维数来求解方程组的解。此外，在矩阵的变换和对角化过程中，基与维数也起着重要的作用。
总之，基与维数是矩阵论中不可或缺的概念，它们为我们理解和解决各种矩阵问题提供了重要的思路和方法。
- 1 - 多项式空间的基和维数
多项式空间是指由所有次数不超过某个给定值的多项式组成的向量空间。在这个向量空间中，存在许多基，它们可以用来表示任何一个多项式。本文将探讨多项式空间的基和维数的相关知识。
首先，我们需要了解什么是基。在线性代数中，基是一组向量，它们可以用来表示向量空间中的所有向量。对于多项式空间，基就是一组多项式，它们可以用来表示多项式空间中的所有多项式。具体而言，我们可以将多项式按照次数递增的顺序排列，然后选择其中的某些多项式作为基。一般来说，我们会选择次数最高的多项式作为第一个基，然后选择次数次高的多项式作为第二个基，以此类推。
接下来，我们需要确定多项式空间的维数。维数是指向量空间中基的数量。对于多项式空间，我们可以用次数来表示维数。具体而言，设多项式空间的次数上界为n，则多项式空间的维数为n+1。这是因为我们需要选择次数分别为0到n的n+1个多项式作为基。
在确定了基和维数之后，我们可以利用基来表示多项式空间中的任何一个多项式。具体而言，我们可以将一个多项式表示成它在基上的线性组合的形式。例如，如果我们选取了一组基{1, x, x^2, …,
x^n}，那么任何一个次数不超过n的多项式都可以表示成a0*1 + a1*x
+ a2*x^2 + … + an*x^n的形式，其中a0, a1, a2, …, an为常数。
最后，我们需要注意的是，多项式空间的基并不唯一。在同一个多项式空间中，可以选择不同的基来表示多项式。不同的基可能会导致表示同一个多项式时系数的不同，但它们都是合法的表示方法。 - 2 -
