4.1 工程问题

工程问题10道经典例题

工程问题在数学中是一个常见且重要的部分，它与我们的日常生活和实际工作紧密相关。下面为您列举 10 道经典例题，希望能帮助您更好地理解和掌握工程问题。

例题 1：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。两人合作，几天可以完成这项工程？

解题思路：把这项工程的工作量看作单位“1”，甲每天的工作效率是 1/10，乙每天的工作效率是 1/15，两人合作每天的工作效率是（1/10

＋ 1/15），那么合作完成这项工程需要的时间就是 1÷（1/10 ＋ 1/15）＝ 6 天。

例题 2：一项工作，甲 3 小时完成了这项工作的 1/4，乙 4 小时完成了这项工作的 1/3。甲、乙两人合作，几小时能完成这项工作？

解题思路：先求出甲每小时的工作效率是 1/4÷3 ＝ 1/12，乙每小时的工作效率是 1/3÷4 ＝ 1/12，两人合作每小时的工作效率是（1/12 ＋

1/12）＝ 1/6，所以完成工作需要 1÷1/6 ＝ 6 小时。

例题 3：一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成。现在甲队先做 5 天，然后甲、乙两队合作，还需要多少天才能完成这项工程？ 解题思路：甲队 5 天完成的工作量是 5×（1/20）＝ 1/4，剩下的工作量是 1 1/4 ＝ 3/4。甲、乙两队合作每天的工作效率是（1/20 ＋ 1/30）＝ 1/12，所以还需要的时间是 3/4÷1/12 ＝ 9 天。

例题 4：修一条路，甲队每天修这条路的 1/10，乙队每天修这条路的 1/15。两队合作 5 天，能修这条路的几分之几？

解题思路：两队合作每天修的路程是（1/10 ＋ 1/15），那么 5 天修的路程就是 5×（1/10 ＋ 1/15）＝ 5/6。

例题 5：一件工作，甲单独做 8 小时完成，乙单独做 12 小时完成。现在甲先做 2 小时，剩下的由乙单独做，还要多少小时完成？

小学工程问题应用题： 工作效率工作时间=工作总量；工作总量工作时间=工作效率；工作总量工作效率=工作时间；工作总量工作效率和=合作时间；一件工作-已完成的部分=未完成的部分；

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解工程问题的方法

工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者之间的关系是：

工作效率×工作时间=工作量

工作量÷工作时间=工作效率

工作量÷工作效率=工作时间

根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。

由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。

一、工作总量是具体数量的工程问题

例1 建筑工地需要1200吨水泥，用甲车队运需要15天，用乙车队运需要10天。两队合运需要多少天？（适于四年级程度）

解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量÷工作时间=工作效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作时间”，求出两队合运需用多少天。 小学工程问题应用题： 工作效率工作时间=工作总量；工作总量工作时间=工作效率；工作总量工作效率=工作时间；工作总量工作效率和=合作时间；一件工作-已完成的部分=未完成的部分；

页脚内容2 甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率）

1200÷15=80（吨）

乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）

1200÷10=120（吨）

两个车队一天共运的吨数：

六年级上册数学教案《工程问题》人教版

1. 教学目标

1. 了解工程问题的定义和基本概念；

2. 掌握选择合适的数学模型解决工程问题的方法；

3. 能够运用所学的知识完成一些常见的工程问题。

2. 教学重点和难点

• 教学重点：掌握选择数学模型解决工程问题的方法；

• 教学难点：运用所学知识解决工程问题的实际应用。

3. 教学内容

3.1 工程问题的定义与基本概念

3.1.1 工程问题的定义

• 工程问题是指实际生产、建设和生活中的各种问题；

• 工程问题具有复杂性、变化性、不确定性和多样性等特点；

• 工程问题解决需要应用数学、物理等知识。

3.1.2 工程问题的基本概念

• 工程：指人类运用自然物资和能源，在地球表面上进行的各种工作，是生产、建设和生活的物质基础；

• 工程设计：指根据使用要求，运用技术、经济、管理等原则和方法，对工程实施进行全面规划和设计；

• 工程实施：指根据设计方案，组织人力、物力、财力等资源进行工程建设，并对工程工作进行全面组织和管理。 3.2 选择数学模型解决工程问题的方法

3.2.1 选择数学模型的意义

• 工程问题解决需要应用数学知识；

• 选择合适的数学模型能够简化问题、提高计算效率；

• 合适的数学模型有助于提高解决问题的准确度。

3.2.2 选择数学模型的方法

• 根据工程问题的实际情况，选择合适的数学方法；

• 分析工程问题的相关因素，确定问题的瓶颈因素；

• 根据问题相关因素，选择适合的数学方法和模型。

3.3 运用所学的知识完成一些常见的工程问题

3.3.1 常见工程问题

• 长方体容器设计问题；

• 水平投射问题；

• 工程测量问题。

3.3.2 解决常见工程问题的方法

• 根据问题的实际情况，选择合适的数学模型；

• 运用所学的知识，建立数学模型，解决问题；

• 检验解答结果，确定是否符合实际情况。

4. 教学方法与预期效果

4.1 教学方法

本节课程采用课堂讲授法、提问互动法、小组合作学习法等多种教学方法，旨在帮助学生掌握选择数学模型解决工程问题的方法和运用所学的知识完成一些常见的工程问题。 4.2 教学效果

小学奥数─工程问题分类讲解

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一． 工程问题的基本概念

定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”

工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率；

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；

② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；

④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．

三、利用常见的数学思想方法：

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；

（1） 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；

（2） 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；