知识篇 知识结构与拓展 高；塾 ，
■郑州市回民中学 芦国贤 等， 数列的 ＂ ｌｌ在数列学 『『１【 重要位 ．陔 ．几的 ｌ点多而繁杂，州学ｆ『Ｊ掌握起 求比较 雄。卜 就等差数列的 识进行细 敛梳 ． ＩＩｄ学 形成系统的 以网络，以便 ｉ 地 点，为后续数列的学 打 Ｆ良好ｎ Ｊ。￡础。 一、知识点总结 １．等 数列的堪奉定义。 ［ｆ＿ ｃ ：一ｃ，（ 为常数）．，ｆ≥２。 ２．等 数列通项公式及推广公式。 “ ＝“Ｊ 卜（， １） 一ｄ＂斗“Ｉ ｄ（１，』∈ Ｎ）．荫 坝为（』＿．公差为 ，末项 ｃｆｌ 。 柞广：（ 一（』Ｊ ＋（” ”２）ｃ，．从 ｄ一 ３．等）：－２－。ｆＩ项。 （１） 果“，Ａ， 组成等差数列。那么Ａ ｌＩ【｛作 ｔｊ，，的 差中项，即Ａ一“＿ 或２Ａ＝： “Ｔ ｆ） （２）数列｛ｃ ｝址等 数列｛一｛２ 一“一 ＋ （ ．】（ ≥’２） ２“ ｊ一“ ＋“¨＿ 。 ４．等片数列的 ”项和公式。 ～ ＋ 一 ， 牟（“。 ）， 一Ａ ＋Ｂ， ． ・｝，Ａ、Ｂ 址常数． 以 ｊ ｃ， ０时，Ｓ 足炎ｒ ， 的二次 卜ｉ常数ｊ－贝幻０。 二 等差数列的性质 １． ，， 牡 ≠０ ｆ＿ｌ 等差数列的通顺公式 （ ． “ （７， １）（ 一ｃ， ？＋“ｌ （，是炎于， 的 欠函数．ｆ＿Ｉ．斜 为公差 。 ｒ『 『』！ ｓ 一＂“ ｇ－ ！ 卜Ｔ“ ＋ ８ （“．一导），。足天于”的二次 数上ｉ常数项为Ｏ ｏ ２．营公差ｃ，＞０，则 ¨Ｉ为递增等差数 列；若公差ｄ（。０．则｛ａ，，｝ 递减等弟数列；若 公差 一０，则为常数列。 ３．！ｌｊⅢ．７１．ｐ，ｑ∈Ｎ ｝１．＂ ＋， 一 ＋ｑ时． 则柯∽， ＋ 一“ｐ＋“ ，特圳地． ‘ｊ…＋， 一２ 时．则有ｃｌＪ ＋ 一２ 。 －般地川 ＋ 一 ＆２＋“＂ ｌ一“、－斗“， ！一・。 ４．若｛ ｝，｛，） ｝为等篪数列，则｛ 斗 ｂ ，），（ “ 十 『），，｝都为等 数列。 ５．苦 ｝是等差数列．则 Ｓ Ｓ ，…，也是等差数列。 ６．数列｛ ｝为等差数列．≈隔走（是∈ 『、， ）项取 一项，即 ， ． ， …… 仍为等篪数列。 ７．设数列＿（１ｌ ｝足等参数列．ｃ 为公差．Ｓ 是奇数项的和，ｓ 是偶数项的干¨，ｓ 是前” 项的和。 ①、 项数为奇数２， ｛１ ｆＩ、Ｊ‘．若满足： —ｓ ＋Ｓ偶二＝（２，ｆ｛１）（ｚ ｌ。 ｌ Ｓ偶一“ 】． ｆ Ｓ 一（¨十１）“ ！， 则 ～ 一 一 其 ｔ ｃ 是项数为２， 的等 数列的 中 项。 ③ 项数为偶数２”时． Ｓ舟一“１ ‘＿＿“、＋“ … ＋“＿】 １ 一 ¨（“Ｉ＋“ １） ————— ——一”“¨； Ｓ偶一 ：， －Ｆ“ｌ ＋“． ＋ … ｝ “ ＝－＝ ”（“：Ｉ斗“ ） ————＿＝－——一 “ １； Ｓ偶 Ｓ舟一， ｄ １ ， 一， ｃ，；
1 等差数列的性质与应用 姓名_______
1.已知等差数列na满足244aa，3510aa，则它的前10项的和10S（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
2.若等差数列{}na的前5项和525S，且23a，则7a（ ）
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
3.设等差数列na的前n项和为nS,若111a,466aa,则当nS取最小值时,n等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN．若则32b，1012b，则8a
（ ）
A．0 B．3 C．8 D．11
5.已知na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为na的前n项和，*nN，则10S的值为（ ）
A．-110 B．-90 C．90 D．110
6设nS为等差数列}{na的前n项和。已知)6(144,324,3666nSSSnn，则n等于( )
A.16 B.17 C.18 D.19
7等差数列na的前n项和记为nS，345aaa++若的值是一个确定的常数，则数列{nS}中也为常数的项是 （ ）
A7 .S B.8S C.13S D.15S
8设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
罨； 试周刊２０１０年第４２期
等差数列的性质及其应用
吴玉发
（湖南省永州市第四中学，湖南永州４２５０００）
等差数列的性质是高考常考的内容，重点考查等差数列 性质的灵活运用。活用性质．学生不仅可以获得较好的解题思 路与方法，简化运算，快速解题，而且有利于拓宽思路，加深对 等差数列的认识。
１．通项公式的推广ａ ｍａ 十（ｎ
ｎ≠ｍ） Ｎ１：（２０１０年全国高考Ｉ卷文科）设等差数列｛ａ¨｝满足ａ，＝５， ａｌｏ＝－９，
（Ｉ）求｛ ｝的通项公式；
（ＩＩ）求｛ａ ｝的前ｎ项和Ｓ 及使得Ｓ 最大的序号ｎ的值。
简析：
（１）由ａ 一 ＋（ｎ—ｍ）ｄ￣ｔｄ＝ ａ－ａ： ： －９－５＿＿２，
３Ｌａ３：５，代人通项公式ａ ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，得ａｌ＝９，
二、黄金分割的起源
一般认为，黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星 形的作图有关，特别是由五角星形作图的需要引起的。五角星 形是一种很耐人寻味的图案，世界许多国家国旗上的“星”都 画成五角形。现今有将近４０个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳 其、古巴等）的国旗上有五角星。
为什么是五角而不是其他数目的角？也许是古代留下来 的习惯。五角星形的起源甚早，现在发现最早的五角星形图案 是在幼发拉底河下游马鲁克地方（现属伊托克）发现的一块公 元前３２００年左右制成的泥板上。古希腊的毕达哥拉斯学派用 五角星形作为他们的徽章或标志，称之为“健康”。可以认为毕 达哥拉斯已熟知五角星形的作法，由此可知他已掌握了黄金 分割的方法。现在人一般认为，黄金分割是由公元前６世纪的 毕达哥拉斯发现的。系统论述黄金分割的最早记载是欧几里 得的《几何原本》，在该书第四卷中记述了用黄金分割作五边 形、十边形的的问题，在第二卷第ｌ１节中详细讲了黄金分割的 计算方法，其中写道：“以点ｈ按中末比截线段ａｂ，使ａｂ：ａｈ＝ａｈ： ｈｂ。”将这一式子计算一下：设ａｂ＝ｌ，ａｈ＝ｘ，则上面等式中，点ｈ 是ａｂ的黄金分割点，０．６１８＠做“黄金数”。《几何原本》把它称为 “中末比”。直到文艺复兴时期，人们重新发现了古希腊数学， 并且发现这种比例广泛存在于许多图形的自然结构之中．因 而高度推崇中末比的奇妙性质和用途。意大利数学家帕乔利 称中末比为“神圣比例”：德国天文学家开普勒称中末比为“比 例分割”，并认为勾股定理“好比黄金”，中末比“堪称珠玉”。最 早在著作中使用“黄金分割”这一名称的是德国数学家Ｍ．欧 姆，他是发现电学的欧姆定律的Ｇ．Ｓ．欧姆的 弟弟。他在自己的著作《纯粹初等数学》（第 二版．１８３５）中用了德文字：“ｄｅｒ ｇｏｌｄｅｎｅ ｓｃｈｎｉｔｔ（黄金分割）”来表述中末比，以后．这
课程内容
《等差数列性质的应用》
复习回顾：
等差数列的定义：an+1-an=d
等差数列的通项公式：an=a1+（n-1）d
等差数列中的等差中项：A=（a+b）/2
等差数列中第m项与第n项的关系：an=am+（n-m）d
等差数列的性质：
1、{an}是有穷等差数列，则与首末两项之和都相等，且等于首末两项之和。
2、已知ap，aq是等差数列中的任意两项，公差为d，则ap=aq+（p-q）d←→d=（ap-aq）/（p-q）
思考：等差数列{an}中，首项a1，公差d≠0；若m+n=p+q，am+an与ap+aq有什么关系？
3、m+n=p+q → am+an=ap+aq
推广：若p=q则m+n=2p ←→ am+an=2ap
4、若{an}，{bn}为等差数列，则{an+k}、{k·an}（k≠0）、{an±bn}仍为等差数列，公差分别为d、kd、d1±d2。
5、下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成公差为md的等差数列。
6、若{an}为等差数列，则Sn、S2n、-Sn、S3n、-S2n仍为等差数列。
等差数列的性质的应用：
例1：已知等差数列{an}中，a5+a10+a15+a20=2，求S24。
例2：已知等差数列{an}的前10项之和为140，其中奇数项之和为125，求第6项。
例3：已知一个等差数列前n项和为25，前2n项的和为100，求前3n项和。
例4：若{an}{bn}为等差数列，前n项和分别为Sn、Tn。
则证明：an/bn=S2n-1/T2n-1
例如：设Sn、Tn分别是两个等差数列{an}{bn}的前n项和，若Sn/Tn=（3n+2）/（8n+7）（n∈N*），则a11/b11=？
例5：已知：等差数列{an}中，ap=q，aq=p（p≠q），求ap+q的值。
例6：已知等差数列{an}中，Sp=q，Sq=p（p≠q），求Sp+q的值。
