等差和等比数列的性质及其应用
- 格式：pdf
- 大小：105.72 KB
- 文档页数：1
+5),令1
一二
二o,
二一2
夕+
5=O
得二二
1,
g
二3,
子
是b.+i
=3b。,
b。
=b:·
3卜1,
而bi
~a:
+戈+.
05,
+ai
原数列通项公式为a
一5x3“
一。
一3
例4
数列{a,
}:a:
=
1,
3a,,:
一a.
+
(2”+5
)a.
。.+1,。,
求通项
公式
略解:
令`一
会代
入关系式即
可得
.b+:
,
3b,
十2。+5,
此题
转
化为例3
等差和
等比
数列的
性质及
其应
用
(
福建松
澳中学)刘桦
性质1
{a,
}是等
差数列,
则
有(l
)a。
二a.
+(
拼一。)d
(2
)当,
沪n时,
a。+。
=阴a川
一月Q”
打盆一月;
求证
(s
)”S、
=川5.
+二。
(m一
n
)d
2(4
)S二+二
=S
二解:
由性质2知山+
*a+a
,=a`+I
+郎+
2,=aZ
`+32
·:
52。+
,I一
,=
冬(2
、+3
2一:
)(a:
+。:。+
3,一1
)
一
`.
,引一舀2、
一-
-一,、
一通一
~,引一“
1___、
A月__
=母
(2尧
+31
一1
)·
于=
于(2掩
+31
一1
)。
2、
一一--
一/
24、
一一
一
不难
将性质2
推广到多个
项相加(或相乘)的情
性质3{
`}是等比
数列,
则有
(1)a=a”
q明一”
:
(2
)S,
+.
=S,
+g,
S
二S,
+。用·
S。
(证明
略)
例3
{a,
}是等l一
匕数列,
a,
=a,
a.
=b,
al
二c,
:
砂一’·
夕一m·c门一”
=1
证:
由性质3,
a=b。’
一,,
。=6。`一,,
a
卜’b`一
,e,
一。
+S。
+
m”
d
我们只证(4
),
其余留
给读者
证:
(`
)=(
bqm
一”
)卜’·
6`
一(b。`
一,)杭
一
二6
卜`+
`一m+.
一g
(价一,)(.“,
)岑`,一
”)
(一,,
。
一`
一_、_
(m+n
)(。
+”
一1
)d
“爪+”
一、“.
甲’.
少.1
-I--
一一一万
—’
S,
=川ai
+优(
m一1)
d
2S。
二”a一
+”
(n一1
)d
2性质4
{`}为等
差数列的充
要条件
是:
S,
=A价+价
(证明略)
~_二~_
5_
川,
例4·
a{"
提等差数PJ,淤一
带,
,
笋”,
S
二+5.
+m”dal二1
求通项公式
解:
由性质4,
S,。
二姓。,
+B。,
S。
二A
n,
+
价,
,
(m+”
)a:
+型生竺二
妙生l坦竺
幽d
见S,:
S。刁mZ
+B,n
=一
刃孚砂下石。一
=答化简
得”一
阮
例1
求a,+,
;一(。
+,
)。1
补些卫迹
笋
吵一S,:
+”
{a,
}是等差
数列,
(1
)若a。=g,
a。
二P,
(2
)若S户=g,
S,
=P,
求S,+。
(P产g
)
解:
(l
)由性质l,
(2
)a,+。
=2少一qa。
P一q
二
里竺二只夕
户
一q,o。
(2
)由性质1(
3)
有PSg
=gSP
Pa
(口
一P)d
2将s,=口,
S。
=户代
入解得
d=一2
(夕
+q
)
Pq由(4
)得Sp+。
二S。
+S。
+pq
d
=一(P+g
)
性质2已
知。,
。,
p,`
(N,
且。+n=p+q
(1
)若{a
廿是等
差数列,
则
有a。
+a:
=ap+a。
;
(2
)若{`}是等比
数列则
有甄·
a,
=外·
。。
证明从略
例2
{a,
}
是等
差数列,
“、+a。+
,+a*+2,+山+3
,
二月
求S:、+
32一:。明
笋n,
B二。5。
二月护,
由S,
=a1=1,
得
A
=l,
S,
=”2,
a。
二。2
一(”
一z
)2
=2”
一1
(。=l,
2,…
)
用以
上性质处理一些数列
问题,
可简
化计算和
论
证过
程
数列分组的
应用
(陕白
安康
师范学校)王
凯
把
数列
{aN}按某
种规律分组,
得到一
个新的群数
列:
(a,,
a2…
。。:
),
(a。+t,
a。:+2,…,
璐2
),
…研
究下列问题:1
归入
第为组的
是哪些
项;2
项`是
第几
组的
第几项;
3
第瓦
组所有项
的和
是多少?
例1
将自然数列
分组如下:(1,
2
),
(3,
4,
5,
6),
(7,
8,
…,
12),
(13,
14,
…,
20
),
……
问1987
是第几组的
第几项
?第吞组
数的和
为多
少?
解:观
察分组方法,
第k
组共2掩个
数,
因此掩
组
的第一
项为2+4+…+2传一)+z
=掩
(k
一l
)+l,
最后一项
为k
Z+k,
设掩2一
掩+1
《1987《kZ
+儿,
解得
掩二45,
儿2
一壳+r
=19sr,
故一。57
为第7项明
确T
第k组
数的
首末两
个,不难
求得其和
为
考
·
[(吞2
一
,
皿4少
